CC BY
367KUBIK TENGLAMANI YECHISHNING KARDANO USULI Kulanov Ikrom Burxonovich
Jizzax politexnika instituti katta o'qituvchisi https://doi.org/10.5281/zenodo.6522221 Annotatsiya. Bu maqolada kubik tenglamani yechishning Kardano usuli keltirilgan. Bu usul bilan kubik tenglamalarni yechish iqtidorli o 'quvchilarning matematika faniga bo'lgan qiziqishlarini ortirishga, mustaqil ravishda bilim saviyalarini oshirishga va mantiqiy fikrlashga yordam beradi.
Kalit so'zlar: bessel funksiyasi, kubik tenglama,Gardano, qoshma kompleks sonlar.
Аннотация. В данной статье представлен метод Кардано решения кубического уравнения. Решение кубических уравнений таким способом помогает одаренным учащимся повысить интерес к математике, самостоятельно повысить уровень знаний, логически мыслить.
Ключевые слова: функции Басселя, кубическое уравнение, Кардано, сопрежённые комплексное числа.
Abstract. This article presents Cardano's method for solving a cubic equation. Solving cubic equations in this way helps gifted students increase their interest in mathematics, independently increase their level of knowledge, and think logically.
Keywords: bessel function, sequations of the third degree, Cardano, complex conjugate.
МЕТОД КАРДАНО ДЛЯ РЕШЕНИЯ КУБИЧЕСКОГО
УРАВНЕНИЯ
CARDANO METHOD FOR SOLVING A CUBIC EQUATION
Kirish.Tenglamalar nazariyasi Bessel funksiyalarining1 nollari, integrasiya va boshqalar xarakteristik tenglamalarni o'rganishda zarur bo'lgan tenglamalarni yechishni o'z ichiga oladi.
Ko'phad yoki integral ratsional algebraik funksiya
ko'rinishda bo'ladi, bu yerda a0,alt a2,... o'zgarmas koeffitsentlar, n esa ko'phadning darajasi va nomanfiy butun son.
n = 1,2,3,4 bo'lganda mos chiziqli, kvadrat, kubik va bikvadrat funksiyalar deyiladi. O'zgarmasni nol darajali ko'phad sifatida qarash mumkin. Algebraik funksiya - P0(x)y71 + P^y71"1 + P2(x)yn~2 + - + Fn(x) = 0 ko'rinishdagi tenglamani qanoatlantiruvchi xar qanday y = f(x) funksiyadir. Bu yerda P0 (x), P1 (x), P2 (x),.., Pn (x) lar x o'zgaruvchining ko'phadlari.
Algebraik tenglamalarda yechimlarini tenglamaning ildizlari (yoki nollari) sifatida ham qarash mumkin.chim
ax + b = 0 chiziqli tenglama uchun yechim x = — - , kvadrat tenglama
uchun yechim x12 = ^ ° , kubik tenglamaning yechimlarini esa Kardano
usulida topish mumkin.
Kubik tenglamani XI asrda Umar Xayyom (1048-1123) birinchi marta geometrik usulda yechgan edi. U uchinchi darajali tenglamani aylana va parabola tenglamalariga ajratib ularning kesishish nuqtasining berilgan tenglamaning yechimi ekanligini isbotlagan edi2.
Italyan matematigi Djerolamo Kardano kubik tenglamani yechishning bu usulini 1545 yilda Ars Magna shahrida e'lon qilgan.
Asosiy qism.Kubik tenglamaning umumiy ko'rinishi
y = a0xn + 1 + a2xn 2H-----ha
n-1
n
1 B.V.Ramana: "Higher Engineering Mathematics" 11th Edition, Tata McGraw-Hill, 2010.34 p.
2 G.Gaymnazarov va boshq. Umar Xayyom va algebra //Fizika, matematika va informatika. 2014.№ 5.- B.48-52.
Tenglamaning ikkala tomonini a± ga bo'lib ko'rinishga olib kelamiz.
Bu tenglamani x = u — ^ (3) almashtirish orqali soddaroq holga keltiramiz:
(u3 — 3u2 ^ + 3u—— ~~
) + £i \u2 -2u- + —
2 b2
9 2 71 \ 3 9
) - c ( ! i — 7 ) - d = 0 yoki
Bu kubik tenglamani yechish uchun u = y + z (6) almashtirish olamiz. 4 va 7 solishtirib p = —3yz, q = — {y3 + z3) ni olamiz. Bu yerdan
Demak, = — (ya + z^),yJz* = ~~ ■ Viyet teoremasiga ko'ra x3,y3 lar xl — qx - TT = 0 (8) kvadrat tenglamaning yechimi bo'ladi. Shuning uchun
(9) va
A= — + q TT belgilab olamiz3.
1-holat. Faraz qilaylik, A> 0 bo'lsa, u hol day3 vaz3 ikkalasi ham haqiqiy va (4) kubik tenglamaning ildizlari y + z,coy + co2z,co2y + coz (12) ga teng bo'ladi. Bu yerda
1 + co + co2 = 0).
Demak (2) kubik tenglamaning izlanayotgan ildizlari quyidagiga teng bo'ladi.
2-holat. Faraz qilaylik, ¿=0 bo'lsa, u holday3 va z3 ikkalasi harn haqiqiy va (4) kubik tenglamaning ildizlari y + z, coy + co2z,co2y + coz yoki 2y, — y, —y (14) ga teng bo'ladf <->> - to1 = -:,y = z j.
Demak (2) kubik tenglamaning izlanayotgan ildizlari quyidagiga teng bo'ladi.
3-holat. A< 0 bo'lsa, u holday vaz ikkalasi harn komples sonlar va y" = a - ib,z" = o. - ib ga teng bo'ladi.
Agar kubik tenglamaning yechimlari - in ra m - in bo'lsa u holda (4) kubik tenglamaning yechimlari quyidagicha bo'ladi.
\ 3n (16)
3 Roman Witula, Damian Slota. Cardano's formula, square roots, Chebyshev polynomials and radicals. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 363 (2010) 639-647p.
Muavr formulasidan foydalanib bu yechimlarni quyidagicha ifodalash mumkin. (4) kubik tenglamaning yechimlari quyidagicha bo'lsin.
o. = rcoiip, b = i'ihup. [r = \ o2 - b2, тсцр = -. larni o'rniga qo'yamiz Xuddi shunday
Shunday qilib (18), (19) larni (17) ga qo'yib
Natijada (2) kubik tenglamaning yechimi
(13),(15),(20) sonlar kubik tennglama uchun Kardano formulalari deyiladi4. Mi sol I.'ZSx3 - 9x2 + 1 = 0 tenglamani yeching5.
9x
Yechilishi.Tenglamani x ——l— = 0 ko'rinishga keltiramiz.
28 28
b 1 / 9 \ 3
u--= и----=uH--
3 3 V 28/ 28
O'rniga qoyamiz
Demak, p =
= 0 yoki ir
27 730
= — и = у + z deb olamiz.
4 B.V.Ramana: "Higher Engineering Mathematics" 11th Edition, Tata McGraw-Hill, 2010.35p.
5Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М. Наука, 2006.
3
z = —q =
Shuday qilib y 3
y3, z3 lar t boyicha quyidagi kvadrat tenglamaning yechimlari bo'ladi.
Bu yerda diskirminant
Shuning uchun x va y laming qiymatlari xaqiqiy sonlardan iborat. t uchun yechim
Shuning uchun
3 10 3
x u H— =---1— =
28 28 28
qolgan ikkita yechimi
7 1
— — = - - Bu berilgan kubik tenglamaning yechimi,
^ , 3 5+4^/3* 3 8+4 \/3i 2+V3 i
Demak, x = u H— =--1— =-=-.
28 28 28 28 7
coy + CO Z — — =
-1 - VI i
1 + V3i\ ( 9 \ 10 - 8V3i 5 - 4V3i
2-28
28
^ , 3 5-4^/3 i 3 8-4 \/3i 2-V3 i
Demak, x = u H— =--1— =-=-.
28 28 28 28 7
Shunday qilib kubik tenglamaning uchala ildizi quyidagiga teng:
Misol 2. x3 — 27 x + 54 = 0 tenglamani yeching6.
Yechilishi. Bu yerda p = —27, q = 54.x2 yoqligi uchun almashtirish olmaymiz. .V = y - z deb olamiz.
,3 ,3
y ,zA lar t boyicha quyidagi kvadrat tenglamaning yechimlari bo'ladi. t2 + 54t- 272 = 0
Bu yerda diskirminant D = (54)2 + 4 ■ 272 = 0 Demak, t ikkita bir xil yechimga ega.Ya'ni x3 = y3,x = y.
Demak, y3 = 54
Berilgan kubik tenglamaning yechimlari: 2y, y, —y ya'ni 6,-3,-3. Misol 3.x3 - 3x2 - 12x + 16 = 0 tenglamani yeching. x2 ni yoqotish uchun x = u-j = u-<^1 = u+ l almashtirish olamiz.
;r - 3ü2 - 3ü - 3ü2 - öü - 3 - :2ü - 12 - 16 = 0 yoki
Bu yerda p = -15,q = 2.u = y + z almashtirish olamiz.Shunday qilib
C-is)3 _ r3
El
27
27
Shunday qilib y3,z3 lar t bo'yicha quyidagi kvadratik tenglamaning yechimi bo'ladi.
Bu yerda diskirminant D = (2)2 - 4 ■ 53 < 0 Shunday qilib y3, z3 ildizlar qo' shma kompleks sonlar.
6 A. S. Yunusov, S. I. Afonina, M. A. Berdiqulov,D. I. Yunusova qiziqarli matematikava olimpiada masalalari.55b.
ISSN: 2181-3337
SCIENCE AND INNOVATION
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL
Demak,
demak,
Xuddi shunday
= y - z,x = a — i bo'lgani uchun berilgan kubik tenglamaning yechimlari:
1 + 2V5cosj, 1 + 2Scos^^, 1 + bu yerda <P = arctg(—Vl24).
Xulosa. Turli matematika musobaqalari va olimpiadalarida kubik tenglamalarga bir necha bor duch kelamiz. Bu tenglamalarni yechishda o'quvchilar ancha qiyinchiliklarga duch kelishadi. Yuqorida keltirilgan kubik tenglamanin yechishning Kardano usuli bu qiyinchiliklarni yengishga yordam beradi.To'rtinchi darajali tenglamalarni yechish usullaririni keying maqolada e'lon qilamiz.
Adabiyotlar:
1. B.V.Ramana: "Higher Engineering Mathematics" 11th Edition, Tata McGraw-Hill, 2010.
2. G.Gaymnazarov va boshq. Umar Xayyom va algebra //Fizika, matematika va informatika. 2014.№ 5.- В.48-52.
3. Roman Witula, Damian Slota. Cardano's formula, square roots, Chebyshev polynomials and radicals. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 363 (2010) 639-647p.
4. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 2006.
5. A. S. Yunusov, S. I. Afonina, M. A. Berdiqulov,D. I. Yunusova qiziqarli matematikava olimpiada masalalari. Toshkent, 2007.
