CC BY
24
Cloud of Science. 2019. T. 6. № 2 http:/ / cloudofscience.ru
Кубическая модель кристаллической решетки гексагонального алмаза
И. Е. Еремин, Д. В. Фомин
Амурский государственный университет 675027, Благовещенск, Игнатьевское шоссе, 21
e-mail: [email protected]
Аннотация. Анализируются тетраэдрическая модель и способ получения кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза (лонсдейлита). Разрабатывается кубическая модель кристаллической решетки гексагонального алмаза. Показывается эквивалентность кубической и тетраэдрической моделей.
Ключевые слова: модель кристаллической решетки, гексагональный алмаз, лонсдейлит, компактный матричный метод, метод компактного матричного описания, тетраэдрическая модель, кубическая модель.
1. Введение
В настоящее время активно ведутся разработки новых веществ и соединений, находящихся в конденсированном состоянии. Важным аспектом таких исследований является расчет параметров кристаллических решеток, в том числе коэффициента компактности и постоянной Маделунга [1-6].
В работе с веществами кубической сингонии хорошо показал себя метод компактного матричного описания кристаллической решетки. Данный метод позволяет многократно сократить объем исходных данных и многократно ускорить и упростить процесс вычислений [3, 7-10]. Однако, данный метод основывается на симметрии куба. Именно благодаря ей метод компактного матричного описания и показывает названные сильные стороны. И по той же причине метод компактного матричного описания на данный момент не применяется к веществам более сложной сингонии.
Но, если у веществ более сложных сингоний существует необходимая кубическая симметрия, то метод компактного матричного описания применим и к ним. Таким образом, окажется возможным выполнять расчеты структурных параметров кристаллических решеток с меньшим объемом исходных данных, за более короткий срок, на большем фрагменте кристалла исследуемого вещества и получать более точные результаты.
Наличие кубической симметрии кристаллической решетки означает наличие некоторого фрагмента этой решетки, удовлетворяющего следующим условиям: 1) фрагмент должен иметь кубическую форму; 2) транслирование данного куба по
векторам, коллинеарным и равным по модулю его ребрам, должно приводить к воспроизведению кристаллической решетки данного вещества. Таким образом речь идет о поиске некоего аналога элементарной ячейки, который можно назвать «куб-генератор».
Возникают вопросы о том, каковы размеры куба-генератора и как он ориентирован в пространстве относительно кристаллической решетки. Для разрешения этих вопросов нужно: 1) выбрать наиболее удобное для анализа вещество, относящееся к более сложной (не кубической) сингонии, 2) проанализировать его кристаллическую решетку, 3) сделать выводы о наличии у данного вещества кубического периода, куба-генератора и его параметров. Подтверждение выдвинутых предположений у выбранного вещества будет означать перспективность адаптации метода компактного матричного описания для данного вещества и веществ близких к нему по структуре, а также проверки выдвинутых предположений для веществ, имеющий более сложную структуру кристаллической решетки.
В качестве исследуемого вещества был выбран гексагональный алмаз (лонс-дейлит), так как: 1) его кристаллическая решетка относится к гексагональной син-гонии, то есть более сложной, не кубической сингонии; 2) он состоит из атомов только одного элемента, что значительно упрощает исследование [11, 12].
Для дальнейшего исследования кристаллической решетки данного вещества необходимо выбрать наиболее подходящую для этого модель. В работе [10] проводится анализ различных моделей кристаллической решетки гексагонального алмаза и делается вывод о том, что тетраэдрическая модель является наиболее перспективной из существующих. А также о том, что может существовать кубическая модель, которая более всего подходит для проведения исследования. В работе [13] существование такой модели подтверждается и разрабатывается способ ее получения.
Таким образом, целю данной работы является получение кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза, удобной для проведения дальнейших исследований, направленных на выявление наличия и определения значения кубического периода кристаллической решетки гексагонального алмаза.
Задачами исследования являются: 1) проведение анализа тетраэдрической модели и способа получения кубического описания, представленных в работах [10, 13]; 2) разработка самостоятельной кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза.
2. Анализ тетраэдрической модели
В рассматриваемой тетраэдрической модели [9, 10] основным элементом является тетраэдр. На рис. 1 представлен тетраэдр ЛБСО и вписанный в него фрагмент кри-
сталла гексагонального алмаза. Пусть задана декартова система координат и координаты точек A,B,C и D известны. Каждый тетраэдр может быть однозначно определен координатами четырех своих вершин. Этой же информации достаточно, чтобы определить расположение частиц, принадлежащих этому тетраэдру: 4 частицы располагаются в вершинах A, B, C и D. Еще одна — в точке пересечения высот тетраэдра, центре его описанной окружности.
Точки A, B, C и D входят в базис тетраэдра, следовательно, их координаты известны. Точка F является пересечения высот тетраэдра, следовательно, принадлежит высоте тетраэдра ABCD и по свойству правильного тетраэдра находится на расстоянии радиуса описанной окружности от точек базиса:
R = (1)
4
где т — длина ребра тетраэдра. Таким образом точка F может быть получена из точки D перемещением точки D на вектор g, направленный из точки D к основанию ABC и равный по модулю радиусу описанной окружности R.
Рисунок 1. Базовый элемент тетраэдрической модели гексагонального алмаза с фрагментом кристаллической решетки
Вектор g может быть получен из суммы векторов DA, DB и DC следующим образом:
Ш+рв+РС R
| DA + DB + DC |
Сумма данных векторов дает вектор, исходящий из точки D и направленный перпендикулярно к плоскости основания ABC, то есть вектор сонаправленный искомому. Затем выполняется нормализация вектора суммы и приведение его к необ-
ходимой длине — таким образом получается искомый вектор Вектора 1)А, 1)В и ОС легко находятся, так как задаются вершинами тетраэдра, координаты которых известны. Таким образом, легко можно установить расположение частиц в конкретном базовом элементе тетраэдрической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза.
В качестве базиса тетраэдрической модели используется пара тетраэдров и набор векторов трансляции (см. рис. 2) [10].
Рисунок 2. Фрагмент тетраэдрической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза: базисные и производные тетраэдры, вектора трансляции
Вектора трансляции а и b легко могут быть найдены из базиса тетраэдра: а = АС, Ь = АВ (см. рис. 2). Вектор с, как видно из чертежа, направлен перпендикулярно вверх от плоскости основания ABC и имеет длину равную двум высотам тетраэдра. Таким образом, по свойству высоты правильного тетраэдра:
DA+DB+DC
с = - _- _- _- • 2 Н,
| DA + DB + DC |
H = (3)
Таким образом, имея два базисных тетраэдра, заданных координатами вершин, можно однозначно определить расположение атомов углерода в них и рассчитать
вектора трансляции, позволяющие построить модель сколь угодно большого фрагмента кристаллической решетки гексагонального алмаза.
3. Анализ способа получения кубической модели
В работе [13] предлагается строить кубическую модель на основе тетраэдрической, при этом вписывать тетраэдры в кубы двух разных типов так, как это показано на рис. 3. Определим точные размеры этих кубов и расположение в них частиц. А затем рассмотрим возможность создания самостоятельной кубической модели, не требующей обращения к тетраэдрической.
Известно, что тетраэдр может быть вписан в куб так, как это показано на рис. 4. На рассматриваемом фрагменте таким способом в кубы вписаны тетраэдры нижнего слоя.
Будем называть кубы, аналогичные кубам нижнего слоя — С-кубами, а кубы, аналогичные кубам верхнего слоя, — К-кубами (см. рис. 3). Таким образом, на рис. 4 изображен С-куб.
Рисунок 3. Фрагмент тетраэдрической Рисунок 4. Тетраэдр, вписанный в куб
модели и соответствующий ему фрагмент кубической модели
Расположим представленный на рис. 3 фрагмент тетраэдрической модели под углом и впишем тетраэдры нижнего слоя EFGA, GШB, GJKC в кубы ETFROAPG, GPHQNBSI, KOGLMCNJ так, как это показано на рис. 5.
Зададим плоскость а, проходящую через точки ОСК Опустим перпендикуляр из точки D на плоскость а — получим точку V. Проведем через нее прямые a и Ь, параллельные CO и CN соответственно. Продлим прямые GO и GN до пересечения с прямыми a и Ь — получим точки W и Z, являющиеся вершинами основания искомого куба, наименьшего из возможных, удовлетворяющих заданным требованиям (см. рис. 6).
Рисунок 5. Фрагмент тетраэдрической модели, расположенный под углом
и вписанный в кубы
Рисунок 6. Построение вершин нижнего основания куба К-типа.
Таким образом, одним из оснований верхнего куба является четырехугольник ЖОХУ. Данный четырехугольник является прямоугольником, так как его стороны образованы пересечением параллельных и перпендикулярных прямых: ОХ || ЖУ,
ОЖ|| ХУ, ох ±ОО.
Так как ЕРОЛ, ОШВ, ОЗКС и ЛВСО — являются одинаковыми правильными тетраэдрами, поэтому очевидно, что точка О равноудалена от прямых РВ и РЛ. Соответственно и проекция точки О на плоскость а — точка У, равноудалена от прямых ОИ и ОО. Следовательно, УЖ = УХ. Следовательно, прямоугольник ЖОХУ — квадрат и основание искомого куба.
Осталось найти второе основание К-куба. Для этого зададим плоскость р, такую что Р || а, О е р. Спроецируем точки О,Ж и Z на плоскость Р — получим точки О' и Z' соответственно (см. рис. 7). Таким образом, получен искомый куб — WGZVW О'Z'О, представленный на рис. 8.
Рисунок 7. Построение вершин верхнего основания куба К-типа
Рисунок 8. Фрагмент тетраэдрической модели, полностью вписанный в кубы С- и К-типов
Тогда рассматриваемый фрагмент тетраэдрической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза может быть представлен с помощью кубов двух разных типов.
Определим длину ребра К-куба. Для этого построим куб С-типа OGNCAPBC' и упростим чертеж (см. рис. 9, слева). Проведем диагонали GD, PC, PC' , GC. В равностороннем треугольнике ABC проведем медиану из вершины C на сторону
АВ. При этом получим точку Е, являющуюся основанием медианы СЕ, и точку Е, являющуюся центром основания правильного тетраэдра АВСО (см. рис. 9, справа).
Рисунок 9. К-куб со вписанным в него тетраэдром и дополнительные построения
Рассмотрим получившийся прямоугольник ОРС'С и отрезок ОО (см. рис. 10). Поскольку РО и С'С — ребра куба ООЫСАРВС', а ОС и РС — диагонали граней того же куба, то
РО = С'С = а,
Г (4)
ОС = РС' = ал/2.
Рисунок 10. Прямоугольник GPC'C и отрезок ОБ
Рассмотрим треугольник АОСС':
АОСС' = 90°, ОС' = 4ОСГ+СС2 = л/2а2 + а2 = а^Ь- (5)
Тогда по свойству диагоналей прямоугольника ОРС'С имеем:
ОН = НС =10С = ^. (6)
2 2
Рассмотрим треугольник АРС'С:
АРС'С = 90°, РН = НС, (7)
по свойству диагоналей прямоугольника ОРС'С ^ С'И — медиана АРС'С. РЕ = ЕС' по свойству диагоналей квадрата ЛРБС ^СЕ — медиана АРСС. Тогда по свойству медиан треугольника:
СЕГ\С' Н = Р => Ш? \ РС' = \\ 2. (8)
Откуда:
3ир=ИС=аИ, ИР=оИ, РС'=оИ. (9)
2 6 3
Рассмотрим тетраэдр ЛБСО: РП — высота, следовательно:
I2 • ал/2 = 2а = ^
3 уз лУэ 3
Тогда в кубе GZVWG'Z'ОЖ' диагональ:
р-^^!^. (ю)
GD=GИ+ир+Рв=аИ+аИ+2а^
CG =
2 6 3 ^л/3(3 +1 + 4) 4 ал/3
6 3
GV2 = 2 DV2,
GD2 = GV2 + DV2 = 2DV2 + DV2 = 3DV2,
\ 2
(11)
4^ ^ = 3DV2, 4
DV = - а. 3
Таким образом, длины ребер К- и С-кубов относятся как 4 к 3 соответственно.
Модель кристаллической решетки должна давать возможность определять точное расположение частиц в пространстве. В случае построения модели, состоящей из кубов К- и С-типов, необходимо быть в состоянии определить места нахождения частиц в пределах заданного куба.
Куб может быть однозначно определен указанием типа (К- или С-куб) и базисом — координатами 4-х своих точек. Для дальнейшего рассмотрения тетраэдриче-ских и кубических моделей гексагонального алмаза будем использовать трехмерную декартову систему координат с длиной единичного отрезка по каждой из осей равной а/ 3, как наиболее удобную для построений.
Будем называть такой единичный отрезок условной единицей. Так как
, 1
1 у. е. = —а,
3 (12)
т
= а>/2,
где а — длина ребра С-куба, т — длина ребра тетраэдра (см. рис. 4), то из тетраэдра ЛБСБ (см. рис. 1) по свойству правильного тетраэдра имеем
Клвсв - т (13) где — радиус описанной окружности. Откуда:
4
т = 7б Клвс°' (14)
С учетом длины связи между двумя атомами углерода в состоянии 8р3-гибридизации имеем [14, 15]:
14 14 2
1 у е -___и__-__и -__и
1 у. з 46 42 Клвс° з^ Клвсо,
Клвш - ЛР, (15)
ЛГ - БГ - СГ - БЕ - 0,1543 нм,
1 у. е. - - 0,1543 нм » 0.0594 нм.
3у3
Тогда базис К-куба может быть задан так: [Л(0;4;0), Б(4;4;0), С(0;4;4), Б(0;0;0)] (см. рис. 11). Очевидно, что вершины куба, не входящие в базис, можно получить простым переносом известных вершин на соответствующие вектора.
Аналогично для С-куба. При этом тип куба С или К может быть легко определен вычислением расстояния между двумя смежными вершинами базиса, например Л и Б : если расстояние равно 3 единицам, значит этот базис задает С-куб, если 4, то К-куб.
Рисунок 11. Система координат и К-куб в ней
Поскольку базовые элементы тетраэдрической модели вписываются единообразно для всех кубов каждого типа, то, имея базис куба, можно однозначно определить положение частиц в нем и соответствующий этому кубу тетраэдр. Рассмотрим
фрагмент модели, изображенный на рис. 12. Куб ЕЯОСТЕРЛ является кубом С-типа. Пусть его базис составляют вершины Т, Г, Л, Е соответственно.
Рисунок 12. Базис кубической и тетраэдрической моделей гексагонального алмаза
Частицы располагаются в вершинах F, A, E, G и в точке J, являющейся точкой пересечения высот тетраэдра EFGA. Координаты точек F, A, E известны, поскольку они входят в базис. Координаты точки G легко может быть получена переносом точки Е на вектора ТА и TF.
Поскольку в рассматриваемой модели все кубы всегда ориентированы одинаково, то всегда и для каждого куба разность координат соответствующих точек базиса будет постоянной, поэтому при заданной системе координат для С-куба:
Й = (3;0;0),
TF = (0;0;3),
_ (16)
ТЕ = (0;-3;0),
G = E + (3;0;3).
Точка J лежит на диагонали FO рассматриваемого куба, а также является центром описанной окружности тетраэдра EFGA Следовательно:
FJ = Rfga = EF^6 = ^ = af. (17)
Тогда координаты точки J могут быть получены смещением точки F на вектор, сонаправленный вектору FO и длиной FJ :
(18)
| FO | | FO | 2
Рассмотрим К-куб WGZVW'G'Z'D на том же рис. 12. Расположение тетраэдра в кубах К-типа отличается от рассмотренного. Соответственно, отличается и способ определения координат частиц, принадлежащих данному кубу.
Пусть базис рассматриваемого куба составляют точки Ж', G', D, Ж соответственно. Частицы располагаются в точках D, Л, Б, С, являющихся вершинами тетраэдра ЛБCD, и в точке J', являющейся точкой пересечения высот того же тетраэдра. Координаты точки D известны, т. к. она входит в базис куба.
На основании сделанный ранее расчетов длины ребра К-куба и чертежей 8, 9, 12 можно сделать вывод, что координаты точек Л, Б, С, могут быть получены из координат точки Ж :
Л = Ж + (0;3;1),
Б = Ж + (3;3;3), (19)
С = Ж + (3; 0; 1).
Точка J' лежит на диагонали DG рассматриваемого куба, а также является центром описанной окружности тетраэдра ЛБCD. Следовательно:
Ш--RJc:D==Л^J6== ^ = ^. (20)
Тогда координаты точки J' могут быть получены смещением точки и на вектор, сонаправленный вектору IX} и длиной DJ' :
^ = 0 + = 0 + (21) \ГЮ\ \ГЮ\ 2
При этом координаты точки G могут быть легко получены из координат точки Ж:
G = Ж + (0;0;4). (22)
Таким образом, очевидно, что, зная базис куба, можно 1) легко определить координаты заключенных в нем атомов углерода, 2) легко перейти к соответствующему ему тетраэдру и наоборот. Что так же означает эквивалентность тетраэдриче-ской и кубической моделей кристаллической решетки гексагонального алмаза.
Рассмотрим построение модели фрагмента кристалла гексагонального алмаза с помощью кубической модели. Как и в случае с тетраэдрами, в качестве исходных данных потребуются два базовых элемента: один С- и один К-куб, представленные на рис. 13. Эти кубы соответствуют базовым элементам тетраэдрической модели: тетраэдру нижнего слоя — С-куб, тетраэдру верхнего слоя — К-куб.
Для определения векторов трансляции, действующих в кубической модели, рассмотрим более крупный фрагмент кристалла. Возьмем за основу его тетраэдри-ческую модель. Расположим в 0-слое 3 тетраэдра, имеющие 1 общую вершину. Расположим в слоях № 1 и № -1 по 1 тетраэдру (см. рис. 14 слева). Затем, для большего удобства, повернем полученную структуру так, как показано на рис. 14
справа. И, наконец, заменим тетраэдры соответствующими им кубами С- и К-типов (см. рис. 15).
Рисунок 13. Базис кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза
Рисунок 14. Фрагмент тетраэдрической модели кристаллической решетки
гексагонального алмаза
Рисунок 15. Фрагмент тетраэдрической и кубической модели кристаллической решетки
гексагонального алмаза
Легко заметить, что элементы кубической модели образуют, своего рода, диагональные слои. При этом становится очевидно, что два вектора трансляции а и Ь, обеспечивающие «рост» структуры «внутри» выбранного слоя, лежат на диагоналях граней С-куба. Вектор трансляции с, задающий «переход» между слоями, лежит на диагонали К-куба. Система векторов трансляции, перенесенных и отложенных от одной точки, представлена на рис. 16.
Обратим внимание, что вектора а,Ь и с кубической модели соответствуют векторам трансляции тетраэдрической модели: вектора а и Ь кубической модели лежат на ребрах тетраэдров, соответствующих С-кубам. Вектор с совмещает переносом тетраэдры слоев одинаковой четности № -1 и 1, что так же соответствует вектору трансляции с тетраэдрической модели.
Координаты векторов трансляции могут быть легко получены из базовых кубов (см. рис. 12):
а = ТА+ ТЕ = (3; 0; 0) + (0; 0; 3) = (3; 0; 3), Ь = ТА + ТЕ = (3; 0; 0) + (0; -3; 0) = (3; -3; 0), с = ¥45 - УГО - Ж'Ж = (4;0;0) - (0;0;4) - (0;-4;0), ? = (4; 4;-4).
(23)
Очевидно, что рассматриваемая кубическая модель фрагмента кристалла гексагонального алмаза может быть получена из заданного базиса путем трансляции его элементов на данные вектора. На рис. 17-19 приведены фрагменты кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза, полученные трансляцией базиса данной модели на вектора а,Ь и с соответственно.
Рисунок 16. Фрагмент кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза и вектора трансляции
Рисунок 18. Фрагмент кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза, полученный трансляцией на вектор Ъ
Рисунок 17. Фрагмент кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза, полученный трансляцией на вектор а
Рисунок 19. Фрагмент кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза, полученный трансляцией на вектор с
4. Эквивалентность кубической и тетраэдрической моделей
Эквивалентность данных моделей следует, прежде всего, из того, что кубическая модель была выведена на основе тетраэдрической (процесс вывода описан в предыдущем разделе).
Так же, стоит отметить, что, во-первых, существует жесткая связь между тетраэдрами и кубами — основными элементами рассматриваемых моделей кристаллической решетки. В частности, все тетраэдры всех четных слоев тетраэдрической модели ориентированы одинаково и одинаково вписаны в С-кубы так, как это показано на рис. 4, 12, 15. А все тетраэдры всех нечетных слоев тетраэдрической модели ориентированы одинаково и одинаково вписаны в К-кубы так, как это показано на рис. 12 и 15.
При этом очевидно, что возможно получить координаты вершин тетраэдра, вписанного в выбранный куб: для С-куба — это координаты его вершин Е, Е, Л,С (см. рис. 12). Для К-куба — это координаты его вершины В и координаты точек Л,В, С, получаемых из вершины этого же куба Ж по выражениям (19) (см. рис. 12).
Так же возможно получить координаты вершин куба, соответствующего заданному тетраэдру. Для тетраэдра четного слоя — вершины тетраэдра Е,Л,Е являются вершинами соответствующего ему С-куба, при том входящими в состав его базиса. А вершина С-куба Т, являющаяся последней вершиной его базиса, может быть найдена переносом вершины тетраэдра С:
СА + СЕ + СЕ /2,2 Сг = — — —^^-^¡т +а , (24)
| СА + СЕ + СЕ\
где т — длина ребра тетраэдра, а — длина ребра С-куба. Откуда с учетом (12):
СА + СЕ + СЕ
~ \СА + Ы + СЕ\ N 2 (25)
_ Ы+Ы+сш г—
С = —=—=—=г- • тф. 5.
\СА + СЕ + СЕ\
Вектора СА, СЕ, СЕ и т известны, так как известны координаты вершин данного тетраэдра.
Для тетраэдра нечетного слоя — вершина В является вершиной, входящей в состав базиса искомого К-куба (см. рис. 12). Остальные вершины базиса К-куба Ж', G' и Ж могут быть получены из вершин тетраэдра с учетом (19):
Ж = А + (0; -3;-1),
Ж' = А + (0;1;-1), (26)
О' = А + (0; 1; 3).
Во-вторых, вектора трансляции обеих моделей совпадают. В выражениях (23) приведены значения координат векторов трансляции для кубической модели. Рассчитаем значение координат векторов трансляции тетраэдрической модели. Для этого возьмем за основу рис. 12 и отметим на нем вектора трансляции тетраэдрической модели (см. рис. 20). Пусть начало используемой системе координат совпадает с точкой Е. Тогда, с учетом рассчитанных длин ребер С- и К-кубов (ЕЯООТЕРА и ЖО2УЖО'Z'О соответственно), координаты интересующих нас вершин таковы: Е(0;0;0), 0(3;0;3), Я0;3;3), О(7;4;-1).
Рисунок 20. Базис кубической и тетраэдрической модели.
Вектора трансляции тетраэдрической модели
Вектора а и Ъ задают «рост» структуры в пределах одного слоя. Вектор с
задает «переход» между слоями. Таким образом, вектора а и Ъ задают перенос вершин Е и Е тетраэдра Е1'(} в вершину С? соответственно. А вектор с задает перенос вершины О основания тетраэдра четного слоя ЕЕО в вершину О тетраэдра нечетного слоя АВСО (см. рис. 2). Тогда координаты векторов трансляции для тетраэдрической модели таковы:
а = £и = (3;0;3)-(0;0;0) = (3;0;3),
Ь=ЕП = (3;0;3) - (0;3;3) = (3;-3;0), (27)
с=Ж = (7;4;-1)-(3;0;3) = (4;4;-4).
Тогда, как видно из выражений (26) и (27) вектора трансляции тетраэдриче-ской и кубической моделей имеют одинаковые координаты и, таким образом, совпадают. Таким образом, можно сделать вывод об эквивалентности тетраэдрической и кубической моделей кристаллической решетки гексагонального алмаза.
5. Заключение
В ходе проведенного исследования был выполнен анализ тетраэдрической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза и способа получения кубического описания, представленных в работах [10, 13]. На основании результатов этого анализа удалось разработать самостоятельную кубическую модель кристаллической решетки гексагонального алмаза.
Полученная кубическая модель эквивалентна тетраэдрической. При этом возможно легко перейти от тетраэдрической модели к кубической и наоборот. С одной стороны, это позволяет пользоваться преимуществами обеих моделей, а с другой, подтверждает правильность разработанной модели. Кубическая модель обладает простотой и, так же, как тетраэдрическая, позволяет моделировать даже крупные фрагменты кристаллической решетки с помощью простых алгоритмов, не предъявляя высоких требований к вычислительным мощностям.
Разработанная кубическая модель кристаллической решетки гексагонального алмаза состоит из элементов одинаково ориентированных в пространстве. По мнению авторов данной работы, это позволяет предположить, что, если куб-генератор для гексагонального алмаза существует, то наиболее вероятно, что он ориентирован в пространстве так же, как базисные кубы модели. Таким образом, поставленные задачи решены, а цель исследования достигнута.
Следующим шагом в исследовании применимости метода компактного матричного описания к кристаллическим решеткам веществ сложных сингоний должен стать вычислительный эксперимент, использующий разработанную кубическую модель для определения существования куба-генератора.
Литература
[1] Зуев В. В., Поцелуева Л. Н., Гончаров Ю. Д. Кристаллоэнергетика как основа оценки свойств твердотельных материалов. — СПб., 2006.
[2] Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики : учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. — М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979.
[3] Сычев М. С. Моделирование структурных параметров кубических кристаллических решеток: дисс. ... канд. тех. наук: 05.13.18. — Благовещенск, 2015.
[4] Шаскольская М. П. Кристаллография : учеб. пособие для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Высшая школа, 1984.
[5] Izgorodina E. I., Bernard U. L., Dean P. M., Pringle J. M., MacFarlane D. R. The Madelung Constant of Organic Salts // Crystal Growth & Design. 2009. No. 9. DOI: 10.1021/cg900656z
[6] Kittel C. Introduction to Solid State Physics. — New York: Wiley. 1996.
[7] Еремин И. Е., Сычев М. С. Метод компактного описания энергетических параметров кристаллической решетки // V Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы 2010». — Пенза, 2010. С. 103-111.
[8] Еремин И. Е., Еремина В. В., Сычев М. С., Моисеенко В. Г. Эффективные коэффициенты компактности двухкомпонентных кубических кристаллов // ДАН. 2015. Т. 461. № 6. С. 650-652.
[9] Фомин Д. В. Расширение применимости метода компактного матричного описания кристаллических структур М. С. Сычева // Интерактивная наука. 2016. № 8.
[10] Фомин Ден. В., Еремин И. Е. Анализ моделей кристаллической решетки гексагонального алмаза // Фундаментальные и прикладные разработки в области технических и физико-математических наук. Сб. науч. статей по итогам работы пятого межд. круглого стола 29 сентября 2018 г. — Казань: ООО «Конверт», 2018.
[11] База данных по минералогии. Mindat.org: Lonsdaleite. — Hudson Institute of mineralogy. (https://www.mindat.org/min-2431)
[12] International Tables for Crystallography. Vol. A: Space Group Symmetry / Ed: M. I. Aroyo. — International Union of Crystallography, 2016. DOI: 10.1107/97809553602060000114
[13] Fomin Den. V., Eremin I. E. Developing the way of designing of cubic model of hexagonal diamond // Themed collection of papers from International scientific conference "Sci-ence.Research.Practice" by HNRI «National development». October 2018. — SPb. : HNRI «National development», 2018.
[14] Горленко В. А., Кузнецова Л. В., Яныкина Е. А. Органическая химия : учеб. пособие. Ч. III-IV. — М. : Прометей, 2012.
[15] Горленко В. А., Кузнецова Л. В., Яныкина Е. А. Органическая химия : учеб. пособие. Ч. V, VI — М. : Прометей, 2012.
Авторы:
Илья Евгеньевич Еремин — доктор технических наук, профессор, кафедра информационных и управляющих систем, факультет математики и информатики, Амурский государственный университет
Денис Васильевич Фомин — аспирант, кафедра информационных и управляющих систем, факультет математики и информатики, Амурский государственный университет
The cubic model of crystal lattice of hexagonal diamond
I. E. Eremin, Den. V. Fomin
Amur State University
21, Ignatievskoe highway, Blagoveshchensk, Russia, 675027 e-mail: [email protected]
Abstract. Analyzed tetrahedra! model and the way of designing of cubic model of the crystal
lattice of hexagonal diamond (Lonsdaleite). Develops cubic model of the lattice of hexagonal
diamond. Proves equivalence of cubic and tetrahedral models.
Keywords: crystal lattice model, hexagonal diamond, Lonsdaleite, compact matrix method,
method of compact matrix description, tetrahedral model, cubic model.
References
[1] Zuyev V. V., Potseluyeva L. N., Goncharov Yu. D. (2006) Kristalloenergetika kak osnova otsenki svoystv tverdotel'nykh materialov. Saint-Petersburg. [In Rus]
[2] Sirotin Yu. I., Shaskol'skaya M. P. (1979) Osnovy kristallofiziki: Uchebnoye posobiye. Moscow, Nau-ka, Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoy literatury. [In Rus]
[3] Sychev M. S. Modelirovaniye strukturnykh parametrov kubicheskikh kristallicheskikh reshetok. Tesis, Blagoveshchensk, 2015. [In Rus]
[4] Shaskol'skaya M. P. (1984) Kristallografiya:Uchebnoye posobiye. Moscow, Vysshaya shkola. [In Rus]
[5] Izgorodina E. I., Bernard U. L., Dean P. M., Pringle J. M., MacFarlane D. R. (2009) Crystal Growth & Design, 9. DOI: 10.1021/cg900656z
[6] Kittel C. (1996) Introduction to Solid State Physics. New York: Wiley.
[7] Yeremin I. Ye., Sychev M. S. (2010) Metod kompaktnogo opisaniya energeticheskikh parametrov kris-tallicheskoy reshetki. In V Mezhdunarodnaya nauchno-tekhnicheskaya konferentsiya «Analiticheskiye i chislennyye metody 2010». Penza, P. 103-111. [In Rus]
[8] Yeremin I. Ye, Yeremina V. V., SychevM. S., Moiseyenko V. G. (2015) DAN. 461(6):650-652. [In Rus]
[9] Fomin D. V. (2016) Interaktivnaya nauka, 8. [In Rus]
[10] Fomin Den. V., Yeremin I. Ye. (2018) Analiz modeley kristallicheskoy reshetki geksagonal'nogo almaza In Fundamental'nyye i prikladnyye razrabotki v oblasti tekhnicheskikh i fiziko-matematicheskikh nauk. Sbornik nauchnykh statey po itogam raboty pyatogo mezhdunarodnogo kruglogo stola 29 sentyabrya 2018 g. Kazan': OOO «Konvert. [In Rus]
[11] https://www.mindat.org/min-2431
[12] Aroyo M. I. (Ed.) International Tables for Crystallography. Vol. A: Space Group Symmetry // International Union of Crystallography, 2016. DOI: 10.1107/97809553602060000114
[13] Fomin Den. V., Eremin I. E. (2018) Developing the way of designing of cubic model of hexagonal diamond. In Themed collection of papers from International scientific conference "Sci-ence.Research.Practice" by HNRI «National development». October 2018. Saint-Petersburg.
[14] Gorlenko V. A., Kuznetsova L. V., Yanykina Ye. A. (2012) Organicheskaya khimiya: Uchebnoye posobiye. Vol. III-IV. Moscow, Prometey. [In Rus]
[15] Gorlenko V. A., Kuznetsova L. V., Yanykina Ye. A. (2012) Organicheskaya khimiya: Uchebnoye posobiye. Vol. V, VI. Moscow, Prometey. [In Rus]
