CC BY
23Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, № 2
УДК 538.91
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ВЫЯВЛЕНИЮ КУБИЧЕСКОГО ПЕРИОДА ГЕКСАГОНАЛЬНОГО АЛМАЗА И. Е. Ерёмин, Ден. В. Фомин
Аннотация. Коэффициент компактности и постоянная Маделунга являются одними из ключевых параметров в исследованиях веществ, находящихся в конденсированном состоянии. Метод компактного матричного описания кристаллической решетки позволяет ускорить и упростить вычисление этих параметров кристаллической решетки. Однако данный метод основан на кубической симметрии кристаллической структуры, поэтому не применяется для веществ не кубической сингонии.
В работе исследуется кристаллическая решетка гексагонального алмаза на предмет наличия кубического периода и куба-генератора. Цели работы: 1) установить наличие или отсутствие кубического периода и куба-генератора исследуемой кристаллической решетки; 2) определить ориентацию в пространстве куба-генератора; 3) определить значение кубического периода; 4) проверить сохранение выявленной периодичности на протяженном фрагменте кристалла.
По результатам описанного в работе вычислительного эксперимента подтверждено существование кубического периода и куба генератора. Рассчитано значение кубического периода (36 условных единиц, ~ 2,14нм). Показано его сохранение на протяженном фрагменте кристалла. Показана одинаковая ориентация в пространстве куба-генератора и базовых элементов двухкомпонентной кубической модели кристаллической решетки гексагонального алмаза.
Полученные результаты позволяют применить метод компактного матричного описания к кристаллической решетке гексагонального алмаза, а значит, оптимизировать вычисление коэффициента компактности и постоянной Маделунга для данного вещества.
Б01: 10.25587/8УРи.2019.102.31513
Ключевые слова: вычислительный эксперимент, кубический период, куб-генератор, модель кристаллической решетки, гексагональный алмаз, лонсдейлит, компактный матричный метод, метод компактного матричного описания.
1. Введение
В настоящее время активно ведутся разработки новых веществ и соединений, находящихся в конденсированном состоянии. Важным аспектом таких исследований является расчет параметров кристаллических решеток, в том числе коэффициента компактности и постоянной Маделунга [1-6].
В работе с веществами кубической сингонии хорошо показал себя метод компактного матричного описания кристаллической решетки. Он позволяет многократно сократить объем исходных данных, а также ускорить и упростить
© 2019 Ерёмин И. Е., Фомин Ден. В.
процесс вычислений [3, 7-10]. Однако данный метод основывается на симметрии куба. Кристаллические решетки кубической сингонии обладают необходимым свойством по определению. Наличие кубической симметрии у кристаллических решеток более сложных сингоний еще не подтверждено. Поэтому метод компактного матричного описания на данный момент неприменим для расчета структурных параметров кристаллических решеток сложных сингоний.
Таким образом, обнаружение кубической симметрии у веществ с кристаллическими решетками сложных сингоний будет означать применимость к ним метода компактного матричного описания, что, в свою очередь, позволит повысить точность и скорость расчетов структурных параметров их кристаллических решеток.
Наличие кубической симметрии кристаллической решетки означает наличие некоторого фрагмента этой решетки, удовлетворяющего следующим условиям: 1) фрагмент должен иметь кубическую форму; 2) транслирование данного куба по векторам, коллинеарным и равным по модулю его ребрам, должно приводить к воспроизведению кристаллической решетки данного вещества. Таким образом, речь идет о поиске некоего аналога элементарной ячейки — «куба-генератора».
В качестве вещества с кристаллической решеткой сложной сингонии был выбран гексагональный алмаз, так как 1) его кристаллическая решетка относится к гексагональной сингонии, то есть более сложному, не кубическому виду; 2) он состоит только из атомов углерода, что значительно упрощает исследование [11,12].
Для изучения кристаллической решетки данного вещества был разработан способ ее описания, представленный в работе [13]. Данный способ позволяет строить модель кристаллической решетки гексагонального алмаза, состоящую из одинаково ориентированных в пространстве кубов «К» и «С» типов. Это позволило сформулировать предположения о наличии кубического периода у кристаллической решетки гексагонального алмаза, а также о его ориентации в пространстве, описанные в работе [14].
Данные предположения были проверены в ходе мыслительного эксперимента по выявлению кубического периода гексагонального алмаза. В частности, было показано существование кубического периода и куба-генератора кристаллической решетки гексагонального алмаза. Было подтверждено совпадение его ориентации в пространстве с ориентацией К- и С-кубов, являющихся базовыми элементами данной модели. Также было рассчитано числовое значение ребра куба-генератора (кубического периода кристаллической решетки гексагонального алмаза) ~ 2,1 нм [14].
Однако выдвинутые предположения и результаты, полученные в ходе мыслительного эксперимента, целесообразно проверить более строгим методом и на большем фрагменте кристаллической решетки. Для этого были разработаны методика проведения вычислительного эксперимента по выявлению кубического периода гексагонального алмаза [15] и компьютерная программа «Астра»
Рис. 1. Система координат и расположенный в ней К-куб
[16,17], предназначенная для осуществления вычислительных экспериментов по указанной методике с использованием современных средств вычислительной техники.
Цель данного исследования — проверить предположения, выдвинутые в [9,13], а также проверить и расширить результаты мыслительного эксперимента [14]. А именно: 1) установить наличие или отсутствие кубического периода кристаллической решетки гексагонального алмаза и куб-генератора; 2) ориентацию в пространстве куб-генератора; 3) определить значения периода кристаллической решетки гексагонального алмаза; 4) проверить сохранение выявленной периодичности на протяженном фрагменте кристалла.
Задачами исследования являются: 1) подготовка и проведение вычислительного эксперимента согласно специально разработанной методике, описанной в работе [15], посредством программы определения периода простейшей гексагональной решетки «Астра» [16,17], 2) описание хода и результатов эксперимента, 3) анализ полученных результатов.
2. Методика эксперимента
Согласно методике проведения данного вычислительного эксперимента и описания использованного программного инструмента в начале исследования в трехмерной декартовой системе координат располагается С-куб с базисом [(0; 0; 0), (0; 3; 0), (3; 3; 0), (0;3;3)]. При этом оси системы координат направлены так, как показано на рис. 1 [15].
Затем исходный куб переносится на вектор в результате чего получается некоторый новый С-куб. Вектор С рассчитывается как вектор суммы произведений векторов трансляции модели на значения соответствующих им коэффициентов [15]:
и = аг •а + в •Ь + 7г • с, (1)
где — целочисленные коэффициенты из заданного перед началом экс-
перимента диапазона, а а, Ь, с — векторы трансляции кубической модели с координатами, представленными в выражении (2) [15]:
а = (3; 0; 3), Ь = (3; -3;0), с =(4; 4; -4). (2)
После этого выполняется сравнение точки 0(0; 0;0), входящей в базис исходного куба, с точкой О', занимающей такое же место в базисе нового куба. Если точка О' идентична исходной, информация о ней сохраняется в выходных файлах. Затем перенос исходного куба и последующие действия повторяются, но уже для другой комбинации коэффициентов в выражении (1).
Отметим, что согласно методике эксперимента идентичной исходной точке О(0; 0; 0) считается точка О' такая, что 1) находится в кубе того же типа и на том же месте, что и точка О, 2) координаты точек О и О' отличаются только одной компонентой. Таким образом, координаты точек, идентичных исходной и лежащих на оси ОХ, будут иметь вид
О'(х'; 0; 0). (3)
При этом принадлежность точки О' кубу того же типа и нахождение на том же месте в базисе обеспечивается перемещением исходного куба на вектор являющийся комбинацией векторов трансляции кубической модели исследуемой кристаллической решетки.
Если кристаллическая структура гексагонального алмаза действительно обладает предположенной периодичностью и предположение об ориентации куба-генератора верно, то 1) двигаясь вдоль каждой из осей в любом направлении, мы будем встречать точки, идентичные исходной; 2) эти точки будут на равном расстоянии друг от друга; 3) периоды, выявленные для исследуемой структуры вдоль каждой из осей, будут одинаковыми.
Важно отметить, что для оптимизации процесса вычислений возможно переносить не весь исходный С-куб целиком (8 вершин) или его базис (4 вершины), а только интересующую нас исходную точку О (0; 0; 0).
В случае же выбора в качестве исходного К-куба и размещении его в декартовой системе координат, как показано на рис. 1, очевидно, меняется только базис исходного куба: [(0; 0; 0), (0; 4; 0), (4; 4; 0), (0; 4; 4)]. При этом в целях оптимизации вычислений переносить можно не весь исходный К-куб целиком или его базис, а только интересующую нас исходную точку О (0; 0; 0).
Это, в свою очередь, означает возможность проводить описанные вычисления без учета типа выбранного исходного элемента кубической модели, что позволяет сократить объем необходимых вычислений еще в 2 раза.
Более полные и развернутые описания методики вычислительного эксперимента и программы определения периода простейшей гексагональной решетки «Астра» приведены в работах [15,17] соответственно.
3. Подготовка и проведение эксперимента
Согласно методике эксперимента и описанию программного инструмента для его проведения, представленных в работах [15,17], исходными данными является диапазон коэффициентов при векторах трансляции кубической модели. Именно он определяет размеры фрагмента кристаллической решетки, на котором будет проводиться исследование.
Фрагмент решетки должен быть достаточно большим, чтобы можно было проверить, сохраняется ли выявленная в ходе мыслительного эксперимента периодичность вдоль каждой из осей трехмерной декартовой системы координат, описанной в методике эксперимента [15]. Поэтому необходимо выбрать соответствующий диапазон коэффициентов. Сделать это можно опытным путем: с помощью программы «Астра» провести несколько тестовых вычислительных экспериментов с разными диапазонами, при необходимости постепенно увеличивая или уменьшая их. Затем на основе полученных данных выбрать диапазон для проведения основного вычислительного эксперимента.
В ходе таких тестовых запусков было определено, что при диапазоне коэффициентов [0; 50] охватывается 12 полных предполагаемых кубических периодов кристаллической решетки гексагонального алмаза. Для проведения основного вычислительного эксперимента расширим этот диапазон, включив в него и отрицательные направления осей координат: [-100; 100]. Расчет будем вести по всем осям.
Программу для проведения эксперимента запустим на виртуальной машине Oracle Virtual Box v.5.2.22 с характеристиками, представленными в табл. 1. Каталог для сохранения результатов: «С:\-100_100\». Окно программы «Астра» с введенными настройками представлено на рис. 2.
Таблица 1. Характеристики виртуальной машины
Название параметра Значение
Операционная система MS Windows ХР Professional х32
Объем оперативной памяти 350 МБ
Объем жесткого диска 10 ГБ
Центральный процессор Intel Core 2 Duo
После ввода исходных данных и других необходимых настроек нажатием кнопки «Общий старт» было запущено выполнение вычислительного эксперимента со сбором данных по всем координатным осям.
4. Результаты эксперимента
Процесс выполнения эксперимента завершился штатно за 16 минут 11 секунд. При этом было обработано 8120601 комбинаций коэффициентов при векторах трансляции кубической модели. Вид программы «Астра» после завершения эксперимента представлен на рис. 3.
В каталоге «С:\-100_100\», заданном для сохранения результатов, обнаружено 3 файла: стЬ_1;11гогщ11_Х.сзу, стЬ.ШгогщЬ.У.сзу, стЬ_1;11гогщ1^.сзу. Содержимое этих файлов представлено в табл. 2, 3 и 4 соответственно. Каждая строка табл 2, 3 и 4 содержит информацию о найденной точке: столбцы «<аЬ»,
Рис. 2
1 Коэффндечты ДО: Стоп (IT! 1 -II» 1
Вдоль X х, у - о, z - о
вдоль V ВдоАь2 X-0.Y-0, Z Результат подбора Ш
1 , Подбор по всем осям завершён. • J Обретено ковбнкжшм: 8120601 гатр4ченоерене»1:0:16:П 1 vat |
MftC fO СОКДОН4+ __
Путь: 0:16:11/0:11:05 31£0601 /8120601
[IIHIIIIIIIIIHIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
Рис. 3
«bi», «ci» содержат значения коэффициентов аг, вг и Yi соответственно, столбец «Point» — координаты точки с точностью до 2-х знаков после запятой в качестве дополнительного средства выявления ошибок.
Таблица 2. Содержимое файла стЬ_1;11го1^11_Х.с8У
ai bi ci Point
-100 -100 -75 (-900,00 0,00|0,00) ai bi ci Point
-96 -96 -72 (-864,00 0,00|0,00) - 4 3 (36,00|0,00|0,00)
-92 -92 -69 (-828,00 0,00|0,00) * 8 6 tY2,UU|l U,UU| U,UUJ
-88 -88 -66 (-792,00 0,000,00 :z 12 9 (108,00 0,00 0,00)
-84 -84 -63 (-756,00 0,00|0,00) — 16 12 (144,00 0,00 0,00)
-80 -80 -60 (-720,00 ' I ' / on 0,0010,00) Z, 20 15 (180,00 0,00 0,00)
-76 -76 -57 (-684,00 1 ' 7 ОД 0,00 0,00) 24 18 (216,00 0,00 0,00)
-72 -72 -54 (-648,00 0,00|0,00) — 28 21 (252,00 0,00 0,00)
-68 -68 -51 (-612,00 0,000,00) — 32 24 (288,00 0,00 0,00)
-64 -64 -48 (-576,00 0,0010,00) — 36 27 (324,00 0,00 0,00)
-60 -60 -45 (-540,00 - 1 ' 40 0,0010,00) —^r- 40 30 (360,00 0,00 0,00)
-56 -56 -42 (-504,00 7 1 ' ' ЛЛ 0,00|0,00) — 44 33 (396,00 0,00 0,00)
-52 -52 -39 (-468,00 48 0,00|0,00) Zz 48 36 (432,00 0,00 0,00)
-48 -48 -36 (-432,00 1 1 ' / ко 0,0010,00) * 52 39 (468,00 0,00 0,00)
-44 -44 -33 (-396,00 0,00|0,00) * 56 42 (504,00 0,00 0,00)
-40 -40 -30 (-360,00 60 0,00|0,00) — 60 45 (540,00 0,00 0,00)
-36 -36 -27 (-324,00 64 0,00 0,00) z: 64 48 (576,00 0,00 0,00)
-32 -32 -24 (-288,00 0,00|0,00) ^ 68 51 (612,00 0,00 0,00)
-28 -28 -21 (-252,00 0,00 0,00) Iz 72 54 (648,00 0,00 0,00)
-24 -24 -18 (-216,00 76 0,00|0,00) Q 76 57 (684,00 0,00 0,00)
-20 -20 -15 (-180,00 0,000,00 *rA 80 60 (720,00 0,00 0,00)
-16 -16 -12 (-144,00 1 Я4 0,00|0,00) — 84 63 (756,00 0,00 0,00)
-12 -12 -9 (-108,00 0,0010,00) _ 88 66 (792,00 0,00 0,00)
-8 -8 -6 V / 1 ' / |1.J (-72,0010,0010,00) * 92 69 (828,00 0,00 0,00)
-4 -4 -3 4 „' 1 ' ! ' ' Qfi (-36,00|0,00|0,00) -r^- 96 72 (864,00 0,00 0,00)
0 0 0 100 (0,00|0,00|0,00) 100 75 (900,00 0,00 0,00)
5. Анализ полученных результатов
Каждый полученный файл содержит информацию о найденных в ходе вычислительного процесса точках декартовой системы координат, идентичных исходной точке 0(0; 0;0) согласно сформулированным условиям.
Первое, что бросается в глаза, это существенно большее количество найденных точек, лежащих на оси 0Х, по сравнению с количеством найденных точек, лежащих на других осях. По мнению авторов работы, это объясняется координатами векторов трансляции кубической модели исследуемой кристаллической решетки, представленными в выражении (2). Легко заметить, что при едином общем диапазоне значений коэффициентов аг, вг, Тг у векторов трансляции а, Ь, с исследуемая структура гораздо более вытянута вдоль оси 0Х, чем вдоль осей 0У и 0Z. К примеру, при максимальном значении коэффициентов в использованном для проведения эксперимента диапазоне [-100; 100] значения наибольших по модулю достижимых компонентов координат вектора
Таблица 3. Содержимое файла cmb_through_Y.csv
ai bi ci Point
-48 96 -36 (0,00 -432,00 0,00)
-44 88 -33 (0,00 -396,00 0,00)
-40 80 -30 (0,00 -360,00 0,00)
-36 72 -27 (0,00 -324,00 0,00)
-32 64 -24 (0,00 -288,00 0,00)
-28 56 -21 (0,00 -252,00 0,00)
-24 48 -18 (0,00 -216,00 0,00)
-20 40 -15 (0,00 -180,00 0,00)
-16 32 -12 (0,00 -144,00 0,00)
-12 24 -9 (0,00 -108,00 0,00)
-8 16 -6 (0,00 i -72,00 i 0,00)
-4 8 -3 (0,00 i -36,00 i 0,00)
0 0 0 (0,Q0|0,00 0,00)
ai bi ci Point
4 -8 3 (0,00 i 36,00|0,00)
8 -16 6 (0,00 i 72,00|0,00)
12 -24 9 (0,00 108,00 0,00)
16 -32 12 (0,00 144,00 0,00)
20 -40 15 (0,00 180,00 0,00)
24 <-48 18 (0,00 216,00 0,00)
28 -56 21 (0,00 252,00 0,00)
32 -64 24 (0,00 288,00 0,00)
36 -72 27 (0,00 324,00 0,00)
40 -80 30 (0,00 360,00 0,00)
44 -88 33 (0,00 396,00 0,00)
48 -96 36 (0,00 432,00 0,00)
Таблица 4. Содержимое файла cmb_through_Z.csv
ai bi ci Point
96 -48 -36 (0,00 0,00 432,00)
88 -44 -33 (0,00 0,00 396,00)
80 -40 -30 (0,00 0,00 360,00)
72 -36 -27 (0,00 0,00 324,00)
64 -32 -24 (0,00 0,00 288,00)
56 -28 -21 (0,00 0,00 252,00)
48 -24 -18 (0,00 0,00 216,00)
40 -20 -15 (0,00 0,00 180,00)
32 -16 -12 (0,00 0,00 144,00)
24 -12 -9 (0,00 0,00 108,00)
16 -8 -6 (0,00 10,00 i 72,00)
8 -4 -3 (0,00 10,00 i 36,00)
0 0 0 (0,00|0,00|0,00)
ai bi ci Point
-8 4 3 (0,00 (0,00 1 -36,00)
-16 8 6 (0,00 10,00 1 -72,00)
-24 12 9 (0,00 0,00 -108,00)
-32 16 12 (0,00 0,00 -144,00)
-40 20 15 (0,00 0,00 -180,00)
-48 24 18 (0,00 0,00 -216,00)
-56 28 21 (0,00 0,00 -252,00)
-64 32 24 (0,00 0,00 -288,00)
-72 36 27 (0,00 0,00 -324,00)
-80 40 30 (0,00 0,00 -360,00)
-88 44 33 (0,00 0,00 -396,00)
-96 48 36 (0,00 0,00 -432,00)
t, а значит, и всех получаемых точек, таковы:
txmax = 100 • ax + 100 • Ъх + 100 • Cx = 300 + 300 + 400 = 1000, tymax = 100 • ay - 100 •by + 100 •Cy = 0 + 300 + 400 = 700, (4)
tzmax = 100 • az + 100 • bz + 100 •Cz = 300 + 0 + 400 = 700.
Обратимся к координатам полученных точек. Согласно сформулированной методике вычислительного эксперимента по выявлению периода кристаллической решетки гексагонального алмаза, если кристаллическая структура гексагонального алмаза действительно обладает предположенной периодичностью и предположение об ориентации куба-генератора верно, то должен выполняться ряд условий.
Первое условие: двигаясь вдоль каждой из осей в любом направлении, мы будем встречать точки, идентичные исходной. В ходе эксперимента были выявлены 50 точек, идентичных исходной, лежащих на оси ОХ, как на положительной, так и на отрицательной ее части, и по 25 точек, идентичных исходной, лежащих на осях ОУ и OZ, как на положительных, так и на их отрицательных частях. Таким образом, первое условие выполнено.
Второе условие: выявленные точки должны быть на равном расстоянии друг от друга. Для проверки выполнения этого условия проанализируем разность координат полученных точек. Для этого применим табличный процессор: откроем с его помощью файл с результатами стЬ.ШгогщЬ-Х.сзу и создадим дополнительный столбец, в который вынесем координату Х каждой полученной точки. Затем создадим еще один столбец, в котором табличный процессор должен отображать разность координат соседних точек. Результат этих манипуляций представлен на рис. 5. Как видно, расстояние между найденными точками постоянно и равно 36. Такая же обработка содержимого файлов стЬ.ШгогщЬ.У.сзу и стЬ.ШгогщЬ^^.сзу дала аналогичные результаты (рис. 5, 6). Таким образом, второе условие выполнено.
Третье условие: периоды, выявленные для исследуемой структуры вдоль каждой из осей, должны быть одинаковыми. Как было отмечено, результаты обработки координат найденных точек показывают, что выявленная величина периода, равная 36, общая для всех осей.
Таким образом, можно заключить, что 1) кубический период и куб-генератор для кристаллической решетки гексагонального алмаза существуют; 2) куб-генератор ориентирован в пространстве так же, как и базовые элементы кубической модели кристаллической решетки лонсдейлита; 3) значение выявленного периода равно 36 условным единицам (1 у.е. есть 1/3 длины ребра С-куба, что составляет ~ 0, 0594 нм [14]); 4) выявленная периодичность сохраняется на протяженном фрагменте кристалла.
6. Заключение
В ходе исследования кубического периода кристаллической решетки гексагонального алмаза методом вычислительного эксперимента были проверены предположения, выдвинутые в работах [9,13], а также результаты, полученные в ходе мыслительного эксперимента, описанного в [14].
В частности, согласно методике вычислительного эксперимента по выявлению кубического периода гексагонального алмаза, описанной в [15], с помощью программы определения периода простейшей гексагональной решетки «Астра» [16,17] был проведен эксперимент, в результате которого были получены три набора точек. Характеристики координат этих точек и алгоритм их выявления позволили подтвердить следующие предположения: 1) предположение о наличии кубического периода и куба-генератора для кристаллической решетки гексагонального алмаза; 2) предположение об одинаковой ориентации в пространстве куба-генератора и базовых элементов кубической модели кристаллической
С! Роп
■75 (-«00.00|0.00)0.00)
-7г (-еы.оо|о.сю|0.оо) -69 [-823,0010.00)0 00) -66 (-792.OOIO.OOIO.OOJ ■63 (-756,00|0 «40.00) 60 (.720.0010.00)0 00) -57 (-6ВЛ 0C40.00I0.00J ■54 (-643.00|0.00|0 00)
■и (-иг.оор.ачо.оо) -48 (■576.0010.00)0.00) ■45 (540,00|0.00|0.00) -42 (ЯН.ООРООР.ОО) -39 (468.00)0.00(0.00) ■36 (-432,00)0.0010 00) •33 (-396.00|0.00(0.00)
-зо(-збо.оо|о.оо)о.оо) -27 (-324.OOIO.OOlO 00) 24 (-288.0010.0010.00) .21 ( 252 00|0.00|0 00) -18 ( 216,0010.00)0.00) ■15 (-180.0010.0010.00) ■12 (14Л,00|0.00|0,00) ■9(108.0010.00)0.00) •8 (.72.0010 00|0 00) -3 [-36.0010,0010,00) 0(0,00(0 00(0.00)
900 -864 -828 792 ■756 720 684 648 <12 •576 -540 •504 468 432 <396 360 ■324 288 ■252 216 180 ■ 144 ■108 ■72
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
т
ГЯ
28 29 _3_0_
34"
ИЦ 37 зэ
40 И
43
43
4/
45.
52
аГ
о
[2 12
16 16
20 20
24 24
28 28
32 32
36 36
40 40
52 52
56 56 БО 60
64 64
68 68
72 72 76 76 80 80
92 92 96 96 100 100
• « 2 =
ёГ Ь
О (0.00(0,00(0.00) 3 (36.00(0.00(0.00) 6(72.0010.00(0.00) 9 (108.00(0,0010,00) 12 (Ji4.00l0 00p.00) 15 (180.00(0.00(0.00) 18(216.00(0,00)0.00) 21 (252.0010,0010,00) 24(288.00|0,00|0.00) Л7 сззл.оор.оор.оо) 30 (360.00|0 00)0.00) 33 (396.0010 00)0.000 36 (432.00|0.00|0.00) 39(468.0010.0010.00) 42 (504.00)0,00|0,00) 45 (540.00|0.00)0.00) 48(576.00|0.00|0.00) 51 (612.00)0,0010,00) 54 (648.00|0 оор.оо) 57 (684.00(0.0010, Ш) во (720.00Р 00(0.00) 63 (756.00)0,00|0.00) 66 (792.00)0.0010,00) 69 (828.00|0.00)0.00) 72 (864.00)0,00|0,00) 75 (900.00)0,00)0,00)
Рис. 4. Обработка координат найденных точек, лежащих на оси ОХ
ПА Р] * 2 ш =АВ5(1М-Е13)
А, 8 с| о Е ШЛЯ
1 А) Ы я £Яй Г Раи
2 ■48 96 ■36 (0,001-432,00)0.00) ■432
3 44 88 ■33 (0 OOI-396.OOIO.OOJ -396 36
4 40 30 -30 (0,001-360.00|0.00) -360 36
5 36 72 ■27(0.00|324.00)0.00) -324 36
6 -32 64 ■24 (0.00|-288.00)0.00) ■288 36
7 ■28 56 ■21 (0.00|-252.00)0.00) -252 36
8 -24 48 -18(0,001-216.00)0.00) -216 36
9 ■20 40 ■15 (0 00|.160 00)0.00) -180 36
.1.0 ■16 32 ■12 (0,00|-144.00)0 00) ■ 141 36
■12 24 ■9 (0,00|-108.00|0.00) ■108 36
13 •6 16 -6 (0,00|-72.0010.00) -72! 36
4 8 -3(0.001-36.00)0.00) ■36 36
за 0 0 0(0,0ф.00|0.00} <4 щ
15 4 •8 3(0,00|36<Ю|0.00) 36 ж
16 8 -16 Б(0.00|72.0ф,00) 72 36
Л 12 -24 9 (0,001108.00)0.00) 108 36
18 16 -32 12(0,00|144.00)0.00) 144 36
19 20 40 15(0 00|180.00)0,00) 180 36
20 24 48 18 (0,00|216 00)0.00) 216 36
28 -56 21(0.00|252.00)0.00) 252 36
22 32 -М 24(0,001238.00)0.00) 283 36
23 36 -72 27(0,00|324.00)0.00) 324 гб
_25_ 40 80 30(0,00|350.00|0.00) 360 36
44 -88 33(0,001396.00)0.00) 396 36
26 48 -96 36(0,001432.00)0.00) 432 36
П4
Рис. 5. Обработка координат найденных точек, лежащих на оси ОУ
- К Ъ = =АВ5(Е14-Е131
□
31 Ь| 96 -43 -44 80 -40 72 -36
о о
-8 4
-16 8
■24 12
-32 16
40 20
48 24
■56 28
Ы 32
72 3« -£0 40
-88 44 •96 48
с. Рог!
-36 (0.00)0.001432.00) -33 (0,00)0.00|396.00) ■30(0,00|0.00|3в0.00) -27 (0,00)0.00)324.00) ■24 (0 00)0.00)238.00) ■21 (0,00)0 00)252 00) ■18 (0 00)0.00|216,00) ■15 (0.00)0.00)130.00) -12 (0,00|0.00|144,00) 9 (0 00|0.00)108.00) ^ (0.00)0.00)72,00) -3(0.00)0.00136.00) О (0 00|0.00(0.00) 3(0,00|0.00|-36.00) 6 (0.00|0.00)-72.00) 9 (0 00)0.00)108,00) 12 (0,00|0.00|-144.00) 15 (С100|0.00н180.00) 18 (0,00)0.00|-216.00) 21(0 00|0.00|-252.00) 24 [0.00)0 001-288.00) 27 (0.00)0,00)-324.00) 30 (0,00)0.001-360.00) 33(0,00|0.00|.396 00) 36 (0,00)0,00)432.00)
432 396 360 324 288 252 216 180 144 108 72 36
с
-36 -72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432
Рал
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
=щ
X ЗЁ 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
Рис. 6. Обработка координат найденных точек, лежащих на оси OZ
решетки гексагонального алмаза.
В ходе анализа полученных в ходе вычислительного эксперимента результатов были подтверждены данные мыслительного эксперимента, описанного в [14]. А именно, подтверждено числовое значение кубического периода кристаллической решетки гексагонального алмаза, составившее 36 условных единиц или ~ 2,14 нм. Также было подтверждено сохранение этой периодичности на большем фрагменте кристаллической решетки.
Таким образом, на все вопросы эксперимента были получены ответы, задачи — решены, а цель исследования достигнута. Благодаря тому, что полученные
результаты показывают наличие кубической симметрии у кристаллической решетки гексагонального алмаза и сообщают параметры этой симметрии, очевидно, становится возможным описание кристаллической решетки гексагонального алмаза с помощью сначала трехмерных матриц, получаемых путем наложения равномерной трехмерной координатной сетки с некоторым шагом на кубический фрагмент кристаллической решетки — куб-генератор и фиксации наличия атомов углерода в узлах этой сетки. Это, в свою очередь, позволит перейти к использованию метода компактного матричного описания путем сворачивания и разбиения трехмерной матрицы на слои, как это описано в [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Зуев В. В., Поцелуева Л. Н., Гончаров Ю. Д. Кристаллоэнергетика как основа оценки свойств твердотельных материалов. СПб., 2006.
В 1 прошу указать издательство!
2. Сиротин Ю. И., Шаскольская М. П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979.
3. Сычёв М. С. Моделирование структурных параметров кубических кристаллических решеток: дис. ... канд. тех. наук. Комсомольск-на-Амуре, 2015. 130 с.
В 3 прошу указать организацию!
4. Шаскольская М. П. Кристаллография. М.: Высш. шк., 1984.
5. Izgorodina E. I., Bernard U. L., Dean P. M., Pringle J. M., MacFarlane D. R. The Madelung constant of organic salts // Crystal Growth & Design. 2009. V. 9, N 1. P. 4834-4839. DOI: 10.1021/cg900656z
6. Kittel C. Introduction to solid state physics. New York: Wiley, 1996.
7. Еремин И. Е., Сычёв М. С. Метод компактного описания энергетических параметров кристаллической решетки //V Междунар. науч.-тех. конф. «Аналитические и численные методы 2010». Пенза, 2010. С. 103-111.
8. Ерёмин И. Е., Ерёмина В. В., Сычёв М. С., Моисеенко В. Г. Эффективные коэффициенты компактности двухкомпонентных кубических кристаллов // Докл. АН. 2015. Т. 461, № 6. С. 650-652.
9. Фомин Д. В. Расширение применимости метода компактного матричного описания кристаллических структур М. С. Сычёва // Интерактивная наука. 2016. № 8. ISSN 2414-9411. DOI 10.21661/r-113596.
10. Фомин Ден. В., Еремин И. Е. Анализ моделей кристаллической решетки гексагонального алмаза // Фундаментальные и прикладные разработки в области технических и физико-математических наук. Сб. науч. статей по итогам работы V междунар. круглого стола (29 сентября 2018 г.). Казань: ООО «Конверт», 2018. С. 81-86.
11. Mindat.org: Lonsdaleite [Электронный ресурс] // База данных по минералогии. Hudson Inst. Mineralogy. URL: https://www.mindat.org/min-2431 (Дата обращения: 25.01.2019).
12. Volume A: Space group symmetry [Электронный ресурс] // International tables for crystallography. Int. Union Crystallography, 2016. URL: http://xrpp.iucr.org/Ac/ (Дата обращения 25.01.2019). DOI: 10.1107/97809553602060000114.
13. Фомин Ден. В., Еремин И. Е. Developing the way of designing of cubic model of hexagonal diamond // Мат. междунар. науч. конф. «Наука. Исследования. Практика» (октябрь 2018 г.). СПб.: ГНИИ «Нацразвитие», 2018. С. 61-67.
14. Фомин Ден. В., Еремин И. Е. Мыслительный эксперимент по выявлению кубического периода гексагонального алмаза // Фундаментальные и прикладные разработки в области технических и физико-математических наук: Сб. науч. статей по итогам работы VI междунар. круглого стола. Казань: ООО «Конверт», 2018. С. 99-104.
15. Фомин Ден. В., Ерёмин И. Е. Методика вычислительного эксперимента по выявлению кубического периода гексагонального алмаза // Новые направления в многодисциплинарных исследованиях и практике. Сб. науч. тр. по мат. XXIV междунар. междисципл. форума молодых ученых (Екатеринбург, 15 января 2019 г.). Екатеринбург: Профессиональная наука, 2019. С. 66-71.
16. Фомин Д. В., Еремин И. Е. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018663888 (РФ). Программа определения периода простейшей гексагональной решетки «Астра» / Амур. гос. ун-т; Фомин Д. В., Еремин И. Е. Зарег. 06.11.2018, бюл. № 11.
17. Фомин Ден. В., Ерёмин И. Е. Программа определения периода простейшей гексагональной решетки «Астра» // Высокие технологии и инновации в науке: мат. междунар. науч. конф. ГНИИ «Нацразвитие» (январь 2019 г.). СПб.: ГНИИ «Нацразвитие», 2019.
Поступила в редакцию 21 февраля 2019 г. После доработки 3 мая 2019 г. Принята к публикации 3 июня 2019 г.
Ерёмин Илья Евгеньевич, Фомин Денис Васильевич Амурский государственного университет, факультет математики и информатики, кафедра информационных и управляющих систем, Игнатьевское шоссе, 21, Благовещенск 675000 Нуа.егеш1п.70@ша11.ги, [email protected]
Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2019. Том 26, №2
UDK 538.91
COMPUTATIONAL EXPERIMENT FOR IDENTIFYING OF CUBIC PERIOD OF HEXAGONAL DIAMOND I. E. Eremin and Den. V. Fomin
Abstract: The coefficient of compactness and the Madelung constant are key parameters in researches of substances in condensed state. The method of compact matrix description of crystal lattice makes calculation of these parameters faster and simpler. However, since this method is based on cubic symmetry of the crystal structure, it cannot be applied to substances of noncubic syngony.
In this paper, we study the crystal lattice of a hexagonal diamond to determine existence of the cubic period and cube-generator. The goals of our study are the following: 1) to determine the presence or absence of the cubic period and cube-generator of the crystal lattice; 2) to determine the space orientation of the cube-generator; 3) to determine the value of the cubic period; 4) to verify preservation of the discovered periodicity for an extensive crystal fragment.
The results of the computational experiment prove the existence of the cubic period and cube-generator. The value of the cubic period is obtaine (36 notational units, ~ 2, 14 nm). Its preservation for an extensive crystal fragment is shown. It is shown that the space orientation of the cube-generator and basic elements of a two-component cubic model of the crystal lattice of the hexagonal diamond is the same.
The obtained results lead to applicability of the method of compact matrix description to the crystal lattice of the hexagonal diamond, thus optimizing the calculation of the compactness coefficient and the Madelung constant for this substance.
DOI: 10.25587/SVFU.2019.102.31513 Keywords: computational experiment, cubic period, crystal lattice model, hexagonal diamond, Lonsdaleite, compact matrix method, method of compact matrix description.
REFERENCES
1. Zuev V. V., Potselueva L. N., and Goncharov Y. D., Crystallogenetic as the Basis of Evaluation of Properties of Solid State Materials [in Russian], Saint-Petersburg (2006).
2. Sirotin Y. I. and Shaskolskiy M. P., Basics of Crystal Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1979).
3. Sychev M. S., Modeling of structural parameters of cubic crystal lattices [in Russian]: Diss. kand. tekhn. nauk, Komsomolsk-na-Amure, 2015. 130 p.
4. Shaskolskaya M. P., Crystallography, Vyssh. Shkola, Moscow (1984).
5. Izgorodina E. I., Bernard U. L., Dean P. M., Pringle J. M., and MacFarlane D. R., "The Madelung constant of organic salts," Crystal Growth & Design, 9, No. 1, 4834-4839 (2009). DOI: 10.1021/cg900656z
6. Kittel C., Introduction to Solid State Physics, Wiley, New York (1996).
7. Eremin I. E. and Sychev M. S., "A method of compact description of crystal lattice energy parameters [in Russian]," in: 5th Int. Sci. Tech. Conf. "Analytical and Numerical Methods 2010", pp. 103-111, Penza (2010).
8. Eremin I. E., Eremina V. V., Sychev M. S., and Moiseenko V. G., "Effective compactness coefficients of two-component cubic crystals [in Russian]," Dokl. AN, 461, No. 6, 650-652 (2015).
© 2019 I. E. Eremin, Den. V. Fomin
9. Fomin D. V., "Extension of applicability of the method of compact matrix description of crystal structures of M. S. Sychev [in Russian]," Interact. Sci., No. 8 (2016). ISSN 2414-9411. DOI 10.21661/r-113596.
10. Fomin Den. V. and Eremin I. E., "Analysis of crystal lattice models of hexagonal diamond [in Russian]," in: Fundamental and Applied Developments in the Field of Technical, Physical and Mathematical Sciences, Sb. Nauch. Statey po Itogam Raboty V Mezhdunar. Krugl. Stola (Sept. 29, 2018), pp. 81-86, Konvert, Kazan (2018).
11. Mindat.org: Lonsdaleite [electronic resource], Mineralogy Database, Hudson Inst. Mineralogy, URL: https://www.mindat.org/min-2431 (Date of access: 25.01.2019).
12. Volume A: Space Group Symmetry [electronic resource], Int. Tables for Crystallography, Int. Union of Crystallography, 2016. URL: http://xrpp.iucr.org/Ac/ (Date of access: 25.01.2019). DOI: 10.1107/97809553602060000114.
13. Fomin Den. V. and Eremin I. E., "Developing the way of designing of cubic model of hexagonal diamond [in Russian]," in: Temat. Sb. Nauch. Tr. Mezhdunar. Nauch. Konf. "Science. Research. Practice" GNII "Natsrazvitie" (Oct. 2018), pp. 61-67, GNII "Natsrazvitie", Saint-Petersburg (2018).
14. Fomin Den. V. and Eremin I. E., "The thought experiment to identify cubist period hexagonal diamond [in Russian]," in: Fundamental and Applied Developments in the Field of Technical, Physical and Mathematical Sciences, Sb. Nauch. Statey po Itogam Raboty VI Mezhdunar. Krugl. Stola, pp. 99-104, Konvert, Kazan (2018).
15. Fomin Den. V. and Eremin I. E., "The method of computational experiment to identify the cubic period of hexagonal diamond [in Russian]," New Directions in Multidisciplinary Research and Practice, Coll. Sci. Pap. Mat. XXIV Int. Interdiscipl. Forum of Young Scientists (Yekaterinburg, Jan. 15, 2019), pp. 66-71, Prof. Sci., Yekaterinburg (2019).
16. Fomin D. V. and Eremin I. E., Certificate No. 2018663888 (Russia) of State Registration of Computer Program, The Program for Determining the Period of the Simplest Hexagonal Lattice "Astra" [in Russian] / Amursk. Gos. Univ., Fomin D. V., Eremin I. E. Reg. 06.11.2018, Bull. No. 11.
17. Fomin Den. V. and Eremin I. E., "Program for determining period of the simplest hexagonal lattice "Astra" [in Russian]," in: High Technologies and Innovations in Science, Sb. Nauch. Tr. Mezhdunar. Nauch. Konf. GNII "Natsrazvitie" (Jan. 2019). GNII "Natsrazvitie", Saint-Petersburg (2019).
Submitted February 21, 2019 Revised May 3, 2019 Accepted June 3, 2019
Ilya E. Eremin, Denis V. Fomin
Department of Information and Control Systems,
Amur State University,
21 Ignatievskoe Shosse, Blagoveshchensk 675000, Russia [email protected], [email protected]
