Кривизна фазового пространства Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 514.84

КРИВИЗНА ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА

М. Г. Иванов

Московский физико-технический институт (государственный университет),

Россия, 141700, Московская область, Долгопрудный, Институтский переулок, 9.

E-mail: ivanov.mg@mipt. ru

Показывается, что электромагнитное поле в классической и квантовой механике естественным образом описывается через геометрию расширенного фазового пространства, в число координат которого входят время и сопряжённый ему импульс ро = —Е.

Ключевые слова: фазовое пространство, квантовая механика, калибровочная симметрия, кривизна, некоммутативная геометрия.

Введение. Квантовое коммутационное соотношение между координатой и сопряжённым импульсом имеет вид [Q,P] = ih, оно часто переписывается через операторы конечных сдвигов по координате и импульсу [1,2]:

и(и)=е~^, U(u)tp(Q) = tp(Q - и), и(и)ф(Р) = е~^ф(Р), (1)

V{v)=e V(v)tp(Q)=e ^ф(Я), У(ь)ф(Р) = ф(Р + v). (2)

Коммутационное соотношение записывается в виде группового коммутатора

U (u)V (v)U~l (u)V~l (v) = U(u)V(v)U(—u)V{—v) = e^“. (3)

Таким образом, последовательность сдвигов в фазовой плоскости (Q, Р) по замкнутому прямоугольному контуру площади uv соответствует умножению волновой функции на фазовый множитель е~. Это означает, что фазовой плоскости можно приписать постоянную кривизну в расслоении над группой U(1) аналогично кривизне, задаваемой в калибровочной U(1) теории тензором электромагнитного поля.

Можно связать между собой две хорошо разработанные области математической физики: симплектическую геометрию и теорию калибровочных полей. Симплектическая форма и тензор электромагнитного поля объединяются в один объект, задающий кривизну в расслоении фазового пространства над группой U( 1). В литературе эта аналогия разрабатывается в одну сторону: квантовая механика как калибровочная теория в фазовом пространстве [4].

Для частицы во внешнем электромагнитном поле характеристики поля уже не должны входить в гамильтониан, вместо этого в духе общей теории относительности (ОТО) заряженная частица свободно движется в искривлённом фазовом пространстве.

Хотя исходная идея связана с квантовыми коммутационными соотношениями, подобная переформулировка возможна как для классической, так и для квантовой механики.

Михаил Геннадьевич Иванов (к.ф.-м.н., доц.), доцент, каф. теоретической физики.

1. Коммутаторы и скобки Пуассона. Пусть Хк — координаты в фазовом пространстве. Для коммутаторов и классических скобок Пуассона имеем

[Хк,ХЬ] = 1ЫКЬ, {Хк, Хь} = Зкь.

В нашей интерпретации — тензор кривизны фазового пространства (над группой и{ 1)).

В канонических координатах

Х^ =д\ Хр1=Ру, = -,]р^ = 5}, ^ = ,1Р^ = 0.

Переход от обобщённых импульсов Р к кинематическим импульсам р позволяет исключить статическое магнитное поле из гамильтониана, описав его как добавку к кривизне фазового пространства. Для таких («новых канонических») координат х имеем

х^=дг = Яг, хр> = р3 = Р3 - е~А^), {хк,хь}=1кь, (4)

рЪ = = /«V = 0) = е-{(кА3 - дзА±). (5)

Симплектическая форма со задаётся матрицей, обратной к матрице I, т. е.

икь1ьм = 5%.

^qiPj ^pjqi ^JJqiqi ’ ^PiPj (®)

В случае статических (не зависящих от времени) полей переход к «новым каноническим» координатам — это всего лишь замена координат в фазовом

тК Т <-> т КТ

пространстве, 1 — это прежним тензор и в новых координатах, гамиль-

тониан — прежняя скалярная функции на фазовом пространстве, скобка Пуассона также остаётся прежней. Это автоматически доказывает (в силу произвольности выбора координат при тензорной записи скобки Пуассона), что и динамика системы остаётся прежней.

Поскольку между старыми и новыми координатами есть взаимно однозначное соответствие, мы будем нумеровать их одинаковыми индексами.

Утверждение 1. Движение классической или квантовой заряженной частицы во внешнем статическом магнитном поле Н может быть описано гамильтонианом свободной частицы

н = А

2 т

если на фазовом пространстве задана симплектическая форма вида (6), включающая в себя магнитное поле ^ = —е^кН^. Скобки Пуассона (классические или квантовые) задаются неканоническими соотношениями (5). Это описание соответствует гамильтониану

(Р - -А)2

Н = ±------с—^~

2 т

с векторным потенциалом А (где Н = rot А), не зависящим от времени, в неканонических координатах х (4).

Похожий подход в рамках некоммутативной геометрии развивался Бел-лиссардом [3].

Чтобы в рамках данного подхода описать переменное электромагнитное поле, необходимо расширить фазовое пространство, рассматривая время х° = = t и соответствующий времени обобщённый импульс ро = —Е как дополнительные координаты.

2. Лагранжев формализм в расширенном конфигурационном пространстве. Пусть задан некий лагранжиан L(t,q,q), который явно зависит от времени. Мы можем переписать неавтономную систему как автономную, записав время t как функцию от некоторого монотонного параметра т:

'%(*)] = J L(t, q, q)dt = J L(t, q, q'/t') t' dr, q

j (ЛіІ£

dt’ ^ dr'

Мы получаем новый (расширенный) функционал действия Sp[t(r), q(r)\ с новым (расширенным) лагранжианом Ьр, который для любой траектории совпадает с исходным действием 5 [(?(£)], но зависит от другого набора функций:

Sp[t(T),q(r)]= J Lp(t,t',q,q')dT, Lp(t,t', q, q') = L(t, q, q'/t') t'.

Легко проверить, что уравнения Эйлера для старого и расширенного лагранжианов эквивалентны, причём

_ dLp _ dL _ dLp дЬ ^ _

Pi ~ dqi! ~ дф ’ Ро ~ dt' ~ дф q ~

Уравнения Лагранжа для расширенного лагранжиана для координат q(r) и времени t(r) с точностью до множителя t' совпадают с уравнениями Лагранжа и уравнением баланса энергии для исходного лагранжиана

SSP _ ■ 5S _ ,/fdL dpj\ 5SP _,/f9L dE\

5ql(T) bql(t) \dql dt J1 5t(r) V dt dt)'

«Энергия» для расширенного лагранжиана тождественно равна нулю:

£ = p0t' + Piqг! - Lp = t'(p0 + E) = 0.

Расширенное действие описывает ту же физическую систему, что и исходное, но поскольку выбор параметризации времени t(r) произволен (любая гладкая монотонная функция), уравнения Лагранжа оказываются зависимыми (уравнение баланса энергии выражается через остальные уравнения).

3. Гамильтонов формализм в расширенном фазовом пространстве. Для расширенного фазового пространства перейдём к гамильтоновому формализму. Соответствующее преобразование Лежандра оказывается неоднозначным. «Энергию» для расширенного лагранжиана надо выразить через координаты и импульсы (включая t и ро):

8 = t'po + ql,pi - Lp = t'(p0 +Pi<¥ - L) =t' (po + H(t,p, q)),

t' не может быть определено из уравнений Лагранжа. Положим

t' = f(t,po,q,p),

где / ф 0 — произвольная гладкая функция. Получается «гамильтониан»

H(t,p0,q,p) = f(t,po,q,p) ■ (po + H(t,q,p)). (7)

Соответствующие уравнения Гамильтона («расширенные уравнения Гамильтона») имеют вид

dt дП , , <9/ , dPo 9П ОН df

dT = dn=f Wo й7 = -Ж = -/^-а(р» + я)'

d^_m_fdE_ dj_ djH_ т_ ..он д]_

dr dpi f dpi Фг ^ dr dqi f dqi dq^P° ^

«На энергетической поверхности», т. e. если задать начальные условия, для которых ро = —Н, расширенные уравнения Гамильтона дают уравнение хода времени ^ = /, уравнение баланса энергии и уравнения Гамильтона для исходных координат и импульсов с новым временем т. При этом воспроизводится гамильтонова динамика исходной системы.

Если / = const ф 0, то для любых начальных условий воспроизводится гамильтонова динамика исходной системы, при этом

|(р о + Я) = 0,

т. е. начальное значение ро может быть произвольным и энергия Е = —ро оказывается определена с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Можно сказать, что в этом случае интеграл движения ро + H(t, q,p) — нулевой уровень энергии, который может быть выставлен произвольно.

Утверждение 2. Движение классической заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле Fij может быть описано «гамильтонианом» (7) свободной частицы

и = /(№ + ш)-

если на расширенном фазовом пространстве (включающем время и энергию) задана симплектическая форма (6), включающая электромагнитное поле F^. Описание соответствует «гамильтониану»

е , , (Р - "А)2

с потенциалом А^ = (Ао, А) в неканонических координатах х (4) на расширенном фазовом пространстве.

4. Квантовая механика с расширенным гамильтонианом. В квантовом случае импульс в «координатном по времени» представлении ро = При

/ = 1 имеем

П=р0 + Н, (8)

что даёт обычное уравнение Шрёдингера:

'Нф = 0 ^—ih^+H^(t) = 0. (9)

При ином выборе функции / ф const мы можем также воспроизвести уравнение Клейна—Фока—Гордона:

К = f ■ (Ро + Н), f=p0-H, Н = л/m2^TpV,

% = pi — Н2 = pi — р2с2 — т2с4, % = c2h2(^A —"2^2) — гп2с4.

Вернёмся, однако, к случаю / = 1 как простейшему и, вероятно, наиболее фундаментальному.

В энергетическом (импульсном ПО времени) представлении Ро = —Е, и мы получаем стандартное стационарное уравнение Шрёдингера

(~Е + Й)ф(Е) = 0

с нормировкой на вероятность данной энергии (ф(Е)\ф(Е)) = ре и нестандартной интерпретацией: ф(Ь) и ф(Е) связаны между собой преобразованием Фурье.

Несмотря на то, что в расширенный классический гамильтониан время входит на общих основаниях с другими координатами, в квантовой механике между ними возникает различие за счёт определения пространства волновых функций, которые не являются квадратично интегрируемыми по времени.

Уравнение (9) имеет вид уравнения на собственную функцию оператора TL с собственным числом 0. Мы можем написать аналогичное уравнение для произвольного собственного числа Eq € R:

НФе0 = Ео {~^dt + =

Уравнения (10) описывает ту же самую динамику, что и уравнение (9), но с нулевым уровнем энергии, сдвинутым на Eq. Решения этих уравнений отличаются на фазовый множитель

Фе o(t) =

Ненормируемость волновых функций Фе0 при интегрировании по всем координатам, включая время, связана с тем, что функции относятся к непрерывному спектру. В стандартной формулировке квантовой механики, где время рассматривается не как координата, а как параметр, естественное пространство волновых функций — гильбертово пространство L2(Mra), при включении времени в число координат волновая функция должна принадлежать оснащённому расширенному гильбертовому пространству Ф; D L2(Mra+1) D Ф.

Утверждение 3. Движение квантовой заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле Fij может быть описано волновой функцией из оснащённого расширенного гильбертова пространства Ф; D Ьг(М4) D Ф,

которая является собственной функцией непрерывного спектра «гамильтониана» (8) свободной частицы

" л. Р2 П=т + 2^

для произвольного собственного числа. Квантовые скобки Пуассона задаются неканоническими соотношениями (5), включающими электромагнитное поле Рц. Это описание соответствует стандартному временному уравнению Шрёдингера с гамильтонианом

е (Р - -А)2 И = —А0 + 1 с ; , с 2 т

с потенциалом А^ = (Ао, А) (где ^ = с^А,- —д3Аг) в неканонических координатах на расширенном фазовом пространстве х (4) и с волновой функцией •0(£, г) которая рассматривается не как функция £ —> £2(К3), а как элемент пространства Ф; I) £2(К4) I) Ф.

5. Пространство волновых функций. Однако пока волновые функции — по-прежнему функции на конфигурационном пространстве, хотя и расширенном. Чтобы получить функции, зависящие как от координат (включая £), так и от импульсов (включая ро = —Е), воспользуемся представлением волновых функций как элементов оснащённого пространства Фока.

Далее будем считать, что координаты и импульсы обезразмерены.

Когерентное состояние 1рг (где г = ЧОу|р° € С™, qo,Po € Мга) получается из основного состояния п-мерного изотропного гармонического осциллятора

1 ~2

^о(ч) =

с помощью сдвига по координате на qo и импульсу на ро, т. е. с помощью некоторой комбинации операторов (1) и (2) для разных координат и импульсов. В зависимости от того, вдоль какой траектории в фазовом пространстве осуществляется сдвиг, когерентные состояния с одинаковым г могут отличаться друг от друга на фазовый множитель, что связано с некоммутативностью сдвигов по координате и импульсу (3).

Набор когерентных СОСТОЯНИЙ {фг}г£Сп не является базисом (поскольку переопределён), но образует ортоподобную систему:

[ \Фт)(Фт.\с1гс1г* = 7Тп ■ 1. (11)

Любой ВОЛНОВОЙ функции ф(с[) МЫ можем сопоставить функцию Ф^о,Ро) =

= Ф(г):

Ф(г) = (фг*\ф).

В силу (11) функция Ф обладает многими свойствами настоящей волновой функции, например,

|Ф|2 в классическом пределе переходит в совместное распределение вероятности на фазовом пространстве.

Поскольку когерентные состояния определены с точностью до фазового множителя, функция Ф^, р) определена с точностью до умножения на ег"(ч’р), т. е. с точностью до локального калибровочного предобразования группы II ( 1).

Если все когерентные состояния были получены ИЗ фо сдвигом вдоль прямой в фазовом пространстве (это условие фиксирует калибровку), то

Ф(г) = е“^ /(г), (12)

где /(г) — функция из пространства Фока.

Пространство Фока [2, 5] (в указанных книгах пространство Фока описывается, но термин «пространство Фока» не используется) — пространство аналитических функций /(г) комплексных переменных г = (г\,..., гп), на котором определено скалярное произведение

В пространство Фока Т> включаются только те функции, для которых скалярный квадрат (/, /) конечен.

На пространстве Фока

9 Л I Л ~дхь % к Л ~о£7 ~

“‘ = 8? < = ® = Рк = ^Г' (13)

что позволяет построить представление других операторов, выражающихся через координаты и импульсы.

Мы можем определить расширенное пространство Фока, добавив ещё одну комплексную переменную Хо-

Пространство Фока является гильбертовым пространством, и мы можем определить оснащённое пространство Фока Рг I) Т> И> Р, выделив в Т> линейное всюду плотное подпространство Р.

Таким образом, в качестве аналога волновых функций на фазовом пространстве мы можем взять (12):

Ф {я,р)=еГ3^~Ч = (Чо,Чъ---Лп), Р = (Ро,Р1,---,Рп), (14)

где функция / : Сга+1 —> С принадлежит оснащённому расширенному пространству Фока. Соответствующее представление гамильтониана может быть построено с помощью представления (13) операторов координаты и импульса, полагая г =

Утверждение 4. Собственная функция из оснащённого расширенного гильбертова пространства Ф; I) Ьг(М4) I) Ф (см. Утверждение 3) для «гамильтониана»

Н = Ро--Ао+ (Р ~ ^А)2 с 2 т

может быть представлена как элемент / оснащённого расширенного пространства Фока Р' I) V I) Р, на котором «гамильтониан» (8) действует согласно правилу (13). Комплексной аналитической функции / можно сопоставить функцию на расширенном фазовом пространстве (14):

Локальные калибровочные преобразования с группой U( 1) для функции на расширенном фазовом пространстве имеют вид Ф(q,p) —> Ф(q,p) • eta(q’p\

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 11 —01 —00828—а).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Н. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics. New York: Dover, 1931. 444 pp.; русск. пер.: Г. Вейль, Теория групп и квантовая механика. М.: Наука., 1986. 496 с.

2. Л. Д. Фаддеев, О. А. Якубовский, Текдии по квантовой механике для студентов-мате-матиков. М., Ижевск: РХД, 2001. 256 с.; англ. пер.: L. D. Faddeev, О. A. Yakubovskii, Lectures on Quantum Mechanics for Mathematics Students / Student Mathematical Library. Vol. 47. Providence, RI: American Mathematical Society, 2009. xii+234 pp.

3. J. Bellissard, “Noncommutative Geometry of Aperiodic Solids” / In: Geometric and Topological Methods for Quantum, Field Theory (Villa de Leyva, 2001). River Edge, NJ: World Sci. Publishing, 2003. Pp. 86-156.

4. J. M. Isidro, M. A. de Gosson, “A gauge theory of quantum mechanics” // Mod. Phys. Lett. A., 2007. Vol. 22, no. 3. Pp. 191-200.

5. М. Г. Иванов, Как понимать квантовую механику. М., Ижевск: РХД, 2012. 516 с. [М. G. Ivanov, How to understand quantum mechanics. Moscow, Izhevsk: ROD, 2012. 516 pp.]

Поступила в редакцию 17/ХИ/2012; в окончательном варианте — 15/11/2013.

MSC: 51P05, 81Q70

PHASE SPACE CURVATURE

M. G. Ivanov

Moscow Institute of Physics and Technology (State University),

9, Inststitutskii per., Dolgoprudnyi, Moskovskaya obi., 141700, Russia.

E-mail: [email protected]

Electromagnetic field in classical and quantum mechanics is naturally represented by geometry of extended phase space, with extra coordinates of time and canonically conjugate momentum po = —E.

Key words: phase space, quantum mechanics, gauge symmetry, curvature, noncommutative geometry.

Original article submitted 17/XII/2012; revision submitted 15/11/2013.

Mikhail G. Ivanov (Ph.D. (Phys. & Math.)), Associate Professor, Dept, of Theoretical Physics.