CC BY
271
УДК 330.564.2+316.34
Функция Лоренца и математическое определение среднего класса
The Lorenz curve and a mathematical definition of the middle class
Павлов Олег Иванович Pavlov Oleg Ivanovich
Кандидат физ.-мат. наук, PhD, кафедра экономико-математического моделирования,
Российского университета дружбы народов
г. Москва [email protected] Павлова Ольга Юрьевна Pavlova Olga Yuryevna
Кандидат физ.-мат. наук, кафедра высшей математики, статистики и информатики,
Академии труда и социальных отношений
г. Москва [email protected]
Аннотация. Широко распространено мнение о стабилизирующей роли среднего класса в обществе, и, следовательно, о желательности наличия как можно большего среднего класса.
Точного понятия среднего класса в общественных науках не существует. П.С. Геворкян и В.И. Малыхин дали следующее математическое определение: общество обладает средним классом, если средней части населения (упорядоченного в порядке возрастания богатства) принадлежит не менее половины всего богатства общества.
В данной статье продолжается изучение взаимосвязи между существованием среднего класса в смысле Геворкяна-Малыхина и возможной величиной коэффициента Джини. С этой целью (и принимая во внимание неустойчивость указанного определения среднего класса) введено понятие дефицита среднего класса как количественной меры недостатка (или избытка) совокупной доли богатства средней части общества. Установлено максимальное возможное значение дефицита среднего класса в обществе с данным
коэффициентом Джини. Оказалось, что в ключевом случае такое максимальное значение достигается на кривой Лоренца, являющейся двухзвенной ломаной линией.
В качестве следствия получена оценка снизу на совокупную долю богатства средней части населения в терминах коэффициента Джини.
Abstract. It is widely believed that a middle class plays a stabilizing role in a society. Hence, it is desirable for the middle class to be a sizable portion of a society.
There is no strict definition of the middle class in the social sciences. P.S. Gevorgyan and V.I. Malykhin gave the following mathematical definition: there is the middle class in a society if the middle part of the population (if ordered by wealth) possesses at least one-half the total wealth.
We continue the study of the interrelation between the presence of the middle class in the sense of Gevorgyan-Malykhin and the possible value of the Gini coefficient. For this (taking into account the instability of Gevorgyan-Malykhin definition), introduced is a notion of the middle class deficit as a quantitative measure of deficiency (or excess) in the wealth of the middle part of the society. Established is a maximal possible middle class deficit value given the Gini coefficient. It turns out, in case of not too big Gini coefficient, such a maximal middle class deficit is attained in the class of two-segment polygonal Lorenz curves.
As a corollary, we obtain a lower-bound estimate for a combined wealth of the middle part of a society in terms of its Gini coefficient.
Ключевые слова: средний класс, коэффициент Джини, кривая Лоренца, теорема Геворкяна-Малыхина, дефицит среднего класса.
Keywords: middle class, Gini coefficient, Lorenz curve, Gevorgyan-Malykhin theorem, middle class deficit.
Кривая Лоренца и коэффициент Джини
При изучении неравенства в богатстве (доходах, пр.) населения широко используется функция Лоренца Ь(и) и её графическое представление — кривая Лоренца [7]. Функция Лоренца определена на отрезке [0,1]; ¿(¿) равно доле богатства (или дохода), которой обладают беднейшие члены общества, составляющие долю z от его численности. График функции Лоренца называется кривой Лоренца.
Рисунок 1. Кривая Лоренца.
Отношение площади заштрихованной области (см. рис. 1) к половине площади квадрата (т.е. удвоенная площадь заштрихованной области) называется коэффициентом Джини данного общества. Мы будем обозначать коэффициент Джини, соответствующий функции Лоренца ¿(¿) через }(£) или просто ].
В статье [7] кривая Лоренца использовалась как графическое отображение неравенства в распределении богатства в обществе. Впоследствии, кривая Лоренца и коэффициент Джини широко применялись и для изучения
распределения доходов1. Кроме того, известны приложения коэффициента Джини за пределами экономики и социальных наук2.
Исчерпывающее изложение вопросов, связанных с кривой Лоренца и коэффициентом Джини см. в [10], а популярное введение — в [4]. Анализ динамики изменения в России коэффициента Джини и другого важного индикатора социальной напряжённости — децильного коэффициента, см. в [13] и [14].
Средний класс в обществе. Математическое определение
Не существует точного определения среднего класса. Часто, этим термином называют часть общества, удовлетворяющую тем или иным срединным критериям благосостояния, образованности и пр. [9]. Широко распространено мнение, что средний класс является гарантом стабильности в обществе [8]. Поэтому, в интересах общества иметь как можно больший средний класс.
Пытаясь нащупать условие, обеспечивающее существование достаточно большого среднего класса, П.С. Геворкян и В.И. Малыхин дали в [11] следующее математическое
Определение 1. В обществе есть средний класс, если
(1)
где 1(2) обозначает функцию Лоренца.
Теорема Геворкяна-Малыхина (см. [11, теорема 3]) гласит, что если в
1 1 обществе есть средний класс, то ] <-. (В оригинальной формулировке / < -,
2 4
так как Геворкян и Малыхин понимают коэффициент Джини просто как площадь между кривой Лоренца и диагональю квадрата (без удвоения).) К
1 При этом коэффициент Джини по доходам может очень сильно отличаться от коэффициента Джини по совокупному богатству, см. [2] и [3].
2 См. приложения к астрономии [1] и генетике [5].
сожалению, данное математическое определение среднего класса не лишено недостатков. В [12] замечено, что для любой двухзвенной кривой Лоренца Ь
(т.е. ломаной линии с вершинами в точках (0,0), (а, Ь), и (1,1)), ь(^) — Ь < 1 1
-, если а > - и Ь < а. Такие ломаные располагаются сколь угодно близко к кривой Лоренца равномерного распределения (для которого разность ь(^) —
Ь равна в точности То есть, при сколь угодно малом изменении кривой
Лоренца равномерного распределения (обладающего средним классом) можно получить двухзвенную кривую Лоренца средним классом не обладающую, что и свидетельствует об указанной неустойчивости. Данная неустойчивость вызвана тем, что неравенство (1) является нестрогим. Авторы обобщили в [12] определение 1, дав следующее определение (являющееся строгим неравенством) £-среднего класса:
Определение 2. В обществе есть £-средний класс, если.
О—ЬОИ—* (2)
Рассмотрим выражение й = ^ — (Ь — Ь ) .
Если й > 0 , то й показывает, насколько разности Ь — Ь не хватает
для существования среднего класса в смысле Геворкяна-Малыхина. Если же
й < 0 , то модуль | й | равен избытку разности Ь — Ь . Средний класс в
смысле Геворкяна-Малыхина существует, если и только если . Итак, для функции Лоренца Ь(т) имеет смысл дать следующее Определение 3. Назовём дефицитом среднего класса значение выражения
Ь(Ь© —Ь(;))- (3)
Будем обозначать дефицит, соответствующий функции Лоренца Ь(2), через .
Из вышесказанного следует, что средний класс в смысле Геворкяна-Малыхина существует, если и только если его дефицит неположителен.
Насколько далеко может быть общество от существования среднего класса при данном значении коэффициента Джини? Равносильно, насколько большим может быть дефицит среднего класса при данном значении коэффициента Джини? Наша статья посвящена поиску ответа на эти вопросы.
Пусть обозначает максимальное значение среди всех кривых Лоренца с данным значением коэффициента Джини. Смысл — это максимальное значение доли дохода (или богатства), которой не хватает средней части населения, для того, чтобы её суммарный доход (богатство) равнялись хотя бы половине дохода (богатства) всего населения. Найдём значения : Теорема 1.
а. Если / > то ( (/) =
3 2
б. Если / <-, то ( (/ ) = -/, и это значение достигается на двухзвенной
4 3
кривой Лоренца с первой координатой средней вершины, равной
Доказательство пункта а. Зафиксируем некоторое значение коэффициента
з
Джини /' > -. Рассмотрим двухзвенную кривую Лоренца и с вершинами в точках , , и :
(Л 0) 1
Рисунок 2.
Тогда действительно :
Дефицит равен
Пункт а доказан.
з
Доказательство пункта б. Пусть /' < -. Зафиксируем кривую Лоренца И'
такую, что . Наряду с рассмотрим ещё две кривые Лоренца и
такие, что выполняются следующие свойства:
( (£' ') < ( (¿! ) < ( (£2 ) (*)
и
ЯП =Я12).
Кроме того, обе кривые Ь 1 и Ь 2 будут двухзвенными ломаными линиями,
3
у которых первая координата средней вершины равна -.
4
В качестве возьмём двухзвенную ломаную линию , где ,
В = (?■ ■Ь" ©)'и 0 = (1Д). ТогдаЬ1 © = Ь" (;)
Рисунок 3.
В силу выпуклости исходной кривой Ь '' , каждая её точка лежит не выше соответствующей точки ломаной О В 0 , поэтому Ь 1 > Ь ' ' . Следовательно,
1 ( /3\ /1\\ 1 / /3\ /1\\
=I" (?)" ^ С?) ] = 2 - Г (;)" ^ (5) ] *
1 / /3\ /1\\
что доказывает левую часть двойного неравенства (*).
В качестве Ь 2 возьмём двухзвенную ломаную линию О С Б , такую, что / ( Ь 2 ) = / (Ь ' ) (поэтому равенство (**) выполняется автоматически). Тогда точка
С имеет координаты _/' ) согласно [6, стр.51].
Рисунок 4.
в силу выпуклости кривой (равенство возможно, только если и совпадают, т.е. , только если изначально являлась двухзвенной
з
ломаной с первой координатой средней вершины, равной -), поэтому / ( Ь г) <
/ (Ь 2 ) согласно (**). Следовательно, точка С лежит не выше точки В , а значит угловой коэффициент прямой не превосходит углового коэффициента прямой . Получаем
, ч 1 / /3\ /1\\ 1 /3 1\ 1 /3 1\ = 2~ \ 2 \4/ ~~ \4/ ) = 2~ \4 _ 4/ ~2~ \4 _ 4/ ~
Правая часть двойного неравенства (*) также доказана. Это значит, что , причём кривая имеет вид, указанный в формулировке пункта б теоремы 1. Осталось вычислить значение й ( Ь 2 ) .
вторая координата т. С — вторая координата т. О
кос — т. 77 —
первая координата т. С — первая координата т. и
. 4
3 V '
|-0 3
Окончательно,
1 /3 1\ 1 ( 4 \ 1
4
1-1+-Г
2
_ 1 ~ 2
Теорема 1 доказана.
Заметим, что значение й (|) = 1 может быть вычислено с использованием как пункта а, так и пункта б теоремы 1. Доказательство пункта б проходит для случая / = ^ и значение й = 1 достигается (как и для всех
3
/ < -) только на двухзвенной кривой Лоренца с первой координатой средней
4
3 3 1
вершины, равной -. Если же / > -, то значение й (/) = - достигается не только
на двухзвенной кривой Лоренца Ь с вершинами в точках , , и , но также и на некоторых кривых, содержащих горизонтальный отрезок с концами
3
в точках О и (/, 0 ) для любого ] такого, что - < / < /.
4
Следствие 1. ь ©—ь (1) > 2—
3 12 12 3
Доказательство следствия 1. Если / > то - — -/<- — 3 ' ~ = 0. С другой стороны, Ь ^ — Ь ^ > 0 так как функция Лоренца является неубывающей.
3
Следовательно, следствие справедливо при / > -.
4
Если / < то й (/) = 2/, откуда й (Ь) = ^ — ^Ь ф — Ь ^ < 2/. Перенеся в последнем неравенстве ^ направо со знаком ''минус'', и умножив обе части
неравенства на минус единицу получим Ь ^ — Ь ^ > ^ — 2/, что и требовалось доказать.
Библиографический список
1. Abraham R., Sidney van den Bergh, Nair P., A New Approach to Galaxy Morphology: I. Analysis of the Sloan Digital Sky Survey Early Data Release // Astrophysical Journal. 2003. P. 218-229.
2. Domeij, Da., Floden M. Inequality Trends in Sweden 1978-2004. Review of Economic Dynamics. 2010. V. 13 No. 1 P. 179-208.
3. Domeij D., Klein P. Accounting for Swedish Wealth Inequality // Paper no. 0883 presented at the Econometric Society World Congress, Seattle, August 13, 2000.
4. Farris F.A. The Gini index and measures of inequality // American Mathematical Monthly. 2010. Vol. 117. No. 10. P. 851-864.
5. Gianola D., Perez-Enciso M., Toro M.A. On market-assisted prediction of genetic value: Beyond the ridge // Genetics. 2003. V. 163. P. 347-365.
6. Kampke T., Radermacher F.J. Income Modeling and Balancing. A Rigorous Treatment of Distribution Patterns // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. V. 679, 2015.
7. Lorenz M. O. Methods of Measuring the Concentration of Wealth // Publications of the American Statistical Association. 1905. Vol. 9. No. 70. P. 209-219.
8. Mareeva S.V. Middle Class: System of Values and Perceptions on Country's Development Vector // Journal of Economic Sociology (Latvia). 2015. Vol. 3. No. 1. P. 39-54.
9. Tikhonova N. Middle class in contemporary Russia // Middle class as a precondition of a sustainable society: fifteen years later; Ed. by M. Keliyan. - Sofia, Avangard Prima, 2015. P. 121-134.
10. Yitzhaki S., Schechtman E. The Gini Methodology. A Primer on a Statistical Methodology // Springer Series in Statistics. V. 272, 2013.
11. Геворкян П.С., Малыхин В.И. Распределение богатства в обществе и средний класс // Труд и социальные отношения. 2010. № 12. С. 9097.
12. Павлов О.И., Павлова О.Ю. Коэффициент Джини и математическое определение среднего класса // Инновации в жизнь. 2016. № 4.
13. Парамонов В.В., Парамонова В.Е. Формирование социальной политики в современной России // Вестник РУДН, серия Государственное и муниципальное управление. 2014. № 1. С. 21-28.
14. Савина Т.Н. Проблемы и пути обеспечения устойчивого социального развития // Вестник РУДН, серия Экономика. 2015. № 3. С. 7-15.
