CC BY
4
УДК 624.014
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-2-45-50
КРИТИЧЕСКАЯ НАГРУЗКА РАДИАЛЬНО ОБЖАТЫХ ОБОЛОЧЕК НУЛЕВОЙ
ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ
Д.В. Бабич, Т.И. Дородных, А.В. Парамонов
Для цилиндрических и конических оболочек (оболочек нулевой Гауссовой кривизны) исследуется общий характер зависимости запаса устойчивости таких оболочек от внутреннего объема и площади срединной поверхности оболочек при воздействии всестороннего равномерного внешнего давления.
Ключевые слова: цилиндрические оболочки, конические оболочки, устойчивость, запас устойчивости, критическое давление.
Устойчивости различных оболочек посвящено достаточно много работ. Практический интерес обусловлен обширным применением оболочечных элементов в реальных конструкциях. Существует ряд методов определения устойчивости оболочек при различном напряженно-деформированном состоянии. Следует, в первую очередь, отметить работы, в которых используется метод конечных элементов, энергетический метод, метод равновесия. [1-3].
Данная работа является продолжением работы [4], где на основе исследований бифуркационной устойчивости цилиндрических и конических оболочек при действии радиального равномерного внешнего давления выявлен общий характер зависимости запаса устойчивости от интегральных геометрических параметров - внутриоболочечного объема и площади срединной поверхности оболочек. Установление таких зависимостей представляет интерес с точки зрения выявления возможности проведения косвенной сравнительной оценки запаса устойчивости оболочек, облегчающей выбор наиболее предпочтительной формы и размеров оболочеч-ных конструкций по условиям устойчивости.
С использованием известных аналитических и численных решений задач устойчивости цилиндрических и конических оболочек [5,6], критические значения интенсивности радиального давления для свободно опертых изотропных цилиндрических оболочек средней длины определяются формулой Саутуэлла - Папковича [5,6]
д = 0,856^—Я Г-]52 . (1)
4 ' (1 )3/4 Ь IЯ J
В (1) обозначено: Е, V- модуль упругости и коэффициент Пуассона; Я, Ь, к - радиус, длина и толщина оболочки, соответственно. Внутриоболочечный объем с точностью до век
личин Я и площадь срединной поверхности определяются выражениями
V = тгЯ2Ь; 5 = 2жЯЬ .
Если длину и радиус оболочки выразить через площадь боковой поверхности внутренний объем V
52 „ „V
Ь =
то формула (1) примет вид
4лУ'
д = 1,211^-
Я = 2— 5
Е
к5
(2) 5 и
(3)
(4)
(1 -V2 )3/4 (V5)
Из формулы (4) следует связь между критическими значениями радиального давления для оболочек одинаковой толщины с различными площадями срединной поверхности 51,5 и
внутриоболочечными объемами V, V2
д2
45
дд±
д2
Ж Ж
Зависимости (4), (5) имеют место и для оболочек с другими условиями опирания [6]. Аналогичные зависимости справедливы также для ортотропных радиально обжатых оболочек [6].
Таким образом, из некоторого многообразия оболочек одинакового внутриоболочеч-ного объема при прочих равных условиях наибольшим запасом устойчивости обладает оболочка с наименьшей площадью срединной поверхности.
В табл. 1 приведены результаты, иллюстрирующие связь критических значений радиального давления для изотроных (у = 0,3) цилиндрических оболочек внутреннего объема
V = 124,88 -106 И 3со значениями площадей боковой £ и полной £п поверхностей. Порядковым номером 4 обозначена оболочка с минимальной площадью полной поверхности. Из табл. 1 видно, что характер зависимости критического давления от площади полной поверхности не однозначен в области возможных размеров оболочек с одинаковым внутренним объемом, а между критическим давлением и площадью срединной поверхности существует обратная связь, которая прослеживается во всем диапазоне изменения размеров оболочек одинакового внут-риоболочечного объема.
Отсутствие однозначной зависимости между критическим давлением и площадью полной поверхности цилиндра, очерченного оболочкой, обусловлено независимостью значений площадей боковой поверхности и оснований цилиндра.
Таблица 1
Критические значения радиального давления для изотропных цилиндрических оболочек
с внутренним объемом V = 124,88 • 106 И3
(Я-10 -2)/И (Ь -10-2)/И (£ п -10-4)/и 2 (£ • 10 -4)/И2 (д•106)/Е
6,000 1,104 265,39 39,21 0,566
4,000 2,484 162,97 62,43 0,462
3,152 4,000 141,63 79,22 0,410
2,708 5,417 138,24 92,17 0,381
2,500 6,360 139,17 99,90 0,365
2,000 9,938 150,01 124,88 0,326
Для конических оболочек значения площадей срединной поверхности и оснований связаны между собой, что сказывается на характере зависимости критических значений радиального давления от интегральных геометрических параметров для замкнутых и усеченных конических оболочек.
Критические значения радиального давления для замкнутых в вершине изотропных шарнирно опертых конических оболочек определяются по формуле Н.А. Алумяэ[5]
Е
д = 3,15-
5/2
(-7" (^Г , (6)
(1 -у )
где 11 — длина образующей от вершины до основания; а — угол между образующей и основанием оболочки. Формула (6) применима для оболочек с углом а, изменяющимся в диапазоне 20° <а< 80°.
Внутриоболочечный объем V и площадь поверхности £п, охватывающей этот объем, определяются выражениями
V = ^/^а; £ =£ + ^ (7)
где £2- площадь основания; £ - площадь срединной поверхности оболочки; г2 - радиус основания оболочки. Тогда, исходя из (7), получим
1 £ ♦ зv
11=—; tgа = —3,
ж г2 ж г2
и формула (6) примет вид
Из (8) с учетом
д = 16,37^2
55
БН5
V3
(1 )3/4 55/2 52'
252 < 5п7/
(8)
(9)
следует, что из всего многообразия оболочек фиксированного внутриоболочечного объема наибольшим запасом устойчивости обладает оболочка с наименьшей суммарной площадью срединной поверхности и основания Размеры таких оболочек определяются по формулам
I = 3г • г =^3 — (10)
II 3Г2' Г л/2 V *
В табл.2 проведено сравнение геометрических и силовых параметров для различных оболочек с одинаковым внутренним объемом V = 124,88 • 106 Н3.
Критические значения радиального давления для конических оболочек
Таблица 2
О (г2 /10-2)/Н (^/10-2)/Н (5 п/10 -4)/Н2 (5/10 -4)/Н2 (д•106)/Б
28,90 6,00 6,85 242,27 129,85 0,111
53,54 4,45 7,49 166,87 104,66 0,347
56,30 4,30 7,75 162,80 104,69 0,371
65,00 3,82 9,03 154,06 108,29 0,433
70,00 3,51 10,27 152,24 113,24 0,455
70,53 3,48 10,44 152,22 114,32 0,456
77,24 3,00 13,58 156,31 128,03 0,417
78,44 2,90 14,47 158,15 131,75 0,415
82,53 2,50 19,24 170,77 151,13 0,396
Из рассмотренных оболочек наибольшим запасом устойчивости обладает оболочка с углом конусности О = 70,53 0. С увеличением площади полной поверхности критические значения радиального давления понижаются. В табл. 2 для оболочек с углом конусности О = 70,53 0 критическое значение радиального давления получены на основе формулы Сейда [6] для свободно опертых конических оболочек
г
д = АОдв; г = 1 --А , (и)
где
дв =-
0,92 БН5
Ш7
г + г
• Я = 0 2
2sino'
(12)
дв- верхнее критическое давление эквивалентной цилиндрической оболочки; Я - средний радиус кривизны конической оболочки; Ь — длина образующей оболочки; г0 — радиус меньшего основания. Функция / (гк), характеризует влияние конусности [2]. Для оболочек с
г0
отношением радиусов оснований, изменяющемся в пределах 1 > — > 0 35, она приближенно
г
2
представляется в виде /(гк) = 1 + 0,6гк3. Из табл. 2 видно, что результаты, полученные по
формулам (6) и (11) в областях их применимости, согласуются с указанной особенностью зависимости критического давления от площади полной поверхности оболочек.
Для усеченных конических оболочек наблюдается более сложная зависимость критических значений радиального давления от геометрических характеристик.
Для выявления этой зависимости ввиду отсутствия строгих аналитических решений этой задачи можно воспользоваться приближенной формулой критического давления (11) и результатами численного решения.
г
2
Внутриоболочечный объем V , площади боковой поверхности £, оснований £ £2 и полной поверхности £ для усеченных конусов вычисляются по формулам
V
\ж(г20 + г0г2 + г2)(г2 - г0£ = тг{г0 + г2)ь;
3
(13)
£ п — £ + £ о + £ 2 ■
С учетом выражений Ь и Я , найденных в соответствии с (13),
Ь —
3V
((о £о £ 2 + ^2 )
Первая формула из (11) принимает вид
Я —
«та
+ л/^Г
«та
д — 25,09/ (гк)
£3/2 ((о ^д/^О^Т +
(14)
(15)
Из (15) следует, что при всех прочих равных условиях запас устойчивости усеченных конических оболочек одинакового внутриоболочечного объема зависит от соотношения площадей средней поверхности и оснований оболочки, определяемом знаменателем выражения
(15).
С учетом оценки
^ ^Л 3
£3
!(( + £2 )1/2 < ££п
1 + V £о £2
2 £
2
(16)
из (15) следует, что запас устойчивости усеченных конических оболочек с не близкими к оо и 9оо углом а увеличивается с уменьшением произведения значений площадей боковой и полной поверхности. Этот результат согласуется с данными, которые относятся к свободно опертым оболочкой (формула (15)) и оболочкам с защемлением по меньшему основанию и шарнирным опиранием до большему [5], а также с данными по расчету критических значений радиального давления для жестко защемленных оболочек с фиксированной площадью меньшего либо большего оснований, полученных на основании формул Сейда [6]. Указанный общий характер зависимости критических нагрузок от интегральных геометрических параметров имеет место также для оболочек с одинаковой длиной образующей.
В случае оболочек, сравниваемых по равенству некоторых характерных размеров, но отличающихся внутренним объемом, критические значения радиального давления следует смотреть, как это следует из (15), (16), за значением отношения корня квадратного из величины внутриоболочечного объема и произведения площади полной и боковой поверхности конуса, повышаясь с ростом этого отношения.
Таблица 3
Критические значения радиального давления для усеченных конических оболочек
а Ь = Го
—.1о-5 И2 V. ю-7 И3 И5/2 • 1о6 ££ п д .1о5 Е
2о о,923 о,242 о,24о о,о7 о,132
4о о,867 о,216 о,396 о,11 о,381
бо о,785 о,181 о,431 о,15 о,7о7
8о о,683 о,143 о,366 о,19 1,о62
а ь —1о Го
— .1о-7 И2 ^ .1о-7 V — -1о 9 И3 ^ И5/2 • 1о8 ^ п д • 1о6 Е
2о о,358 о,7о1 о,4о7 о,о8 о,о2о
4о о,3о3 о,542 о,569 о,15 о,о72
бо о,22о о,336 о,389 о,27 о,191
8о о, 117 о,144 о,115 о,64 о,593
В табл. 3 представлены результаты сравнения статических и геометрических параметров для изотропных (v = 0,3) жестко защемленных усеченных конических оболочек с отно-
r
сительной толщиной — = 102, полученные на основе решений в рядах. [6]. Аналогичный ре-h
зультат имеет место и для оболочек с другими условиями закрепления торцов.
Список литературы
1. Psotny M., Havran J. Stability analysis of an open shallow cylindrical shell with imperfection under external pressure. Dynamics of Civil Engineering and Transport Structures and Wind Engineering - DYN-WIND' 2017 V 107, MATEC Web Conf. DOI: http://doi.org/ 10.1051/matecconf/20171070052.
2. Ali Ghorbanpour Arani, Said Golabi, Abbas Loghman. Investigating elastic stability of cylindrical shell with an elastic core under axial compression by energy method // Journal of Mechanical Science and Technology. 2007.V.21(7). P. 983-996.
3. Yuh-Chyun Tzeng, Ching-Churn Chern. Stability analysis of a circular cylindrical shell by the equilibrium method // International Journal of Structural Stability and Dynamics/ 2008. V.08(3). P. 465-485.
4. Бабич Д.В., Дородных Т.И., Парамонов А.В. Критические значения давления для всесторонне обжатых выпуклых оболочек вращения // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2021. Вып.10. С. 463 - 467.
5. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.
6. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1963. 879 с.
Бабич Дмитрий Васильевич д-р техн. наук, консультант, Babich_dv@ukr.net,
Украина, Киев, Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины,
Дородных Татьяна Ивановна, канд. физ.-мат. наук, ст. инженер, tdortula@gmail.com, Россия, Тула, Тульский Государственный Педагогический Университет им. Л.Н. Толстого,
Парамонов Андрей Викторович, канд. физ.-мат. наук, доцент, ya,pav1979@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский Государственный Педагогический Университет им. Л.Н. Толстого
CRITICAL LOAD FOR RADIALLY COMPRESSED SHELLS OF ZERO GAUSSIAN CURVATURE
D.V. Babichj T.I. Dorodnykh, A.V. Paramonov
For cylindrical and conical shells (shells of zero Gaussian curvature), the common dependences of the stability for such shells on the internal volume and area of the middle surface under the action of a uniform radial external pressure is investigated.
Key words: cylindrical shells, conical shells, stability, margin of stability, critical pressure.
Babich Dmytro Vasiliovychj doctor of technical sciences, consultor, Babich_dv@ukr.net,
Ukraine, Kyiv, S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine,
Dorodnykh Tatiana Ivanovna, candidate of physical-mathematical sciences, senior engineer, tdortula@gmail.com, Russia, Tula, L. N. Tolstoy Tula's State Pedagogical University,
Paramonov Andrey Victorovich, candidate of physical-mathematical sciences, docent, ya,pav1979@yandex.ru, Russia, Tula, L. N. Tolstoy Tula's State Pedagogical University
