CC BY
8
УДК 624.014
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-463-468
КРИТИЧЕСКИЕ ЗНАЧЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ ДЛЯ ВСЕСТОРОННЕ ОБЖАТЫХ ВЫПУКЛЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Д.В. Бабич, Т.И. Дородных, А.В. Парамонов
Исследуются оболочки вращения положительной гауссовой кривизны с различными геометрическими характеристиками типа внутриоболочечного объема и площади срединной поверхности оболочек на предмет бифуркационной устойчивости. При действии всестороннего равномерного внешнего давления выявлен общий характер зависимости запаса устойчивости от интегральных геометрических характеристик оболочек.
Ключевые слова: оболочки вращения, кривизна оболочки, устойчивость, запас устойчивости, критическое давление.
Исследованию напряженно-деформируемого состояния, критической нагрузки, прочности, устойчивости для различного вида оболочек посвящено значительное количество работ [1-3]. В данной работе выявляется общий характер зависимости запаса устойчивости от интегральных геометрических характеристик типа внутриоболочечного объема и площади срединной поверхности оболочек, с использованием анализа известных аналитических [1,2] и численных [4,5] результатов по исследованию бифуркационной устойчивости оболочек вращения положительной гауссовой кривизны при, действии всестороннего равномерного внешнего давления. Установление таких зависимостей представляет интерес с точки зрения выявления возможности проведения косвенной сравнительной оценки запаса устойчивости выпуклых оболочек различной формы, что облегчает выбор наиболее предпочтительной формы и размеров оболочечных конструкций по условиям устойчивости.
В [5] приведены полученные Х.М. Муштари формулы для определения критического давления эллипсоидальных оболочек, очерченных по поверхностям, полученным вращением эллипса с полуосями, а, Ь вокруг оси, содержащей полуось Ь
2 Е И2
Чкр = , . —-^ а < Ь, (1)
л/з(1 - V2)
2Ь2 - а2
Чкр =
2Е И2Ь2
л/з(1 - V2)
а > Ь,
(2)
а
где И - толщина оболочки, Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона материала. Формулы (1), (2), как частный случай, следуют из более общей формулы [1]
2Е И2
Чкр = / . —-, (3)
73Г7У (2 ^ - я2) V
где Я1, Я2 - некоторые средние значения главных радиусов кривизны участков оболочки, ограниченных линиями локальных форм потери устойчивости.
Объем, заключенный внутри эллипсоидальной оболочки, приближенно определяется формулой
4 2
V = - па2 Ь. (4)
3
Площадь срединной поверхности в зависимости от соотношения длин полуосей а и Ь определяется выражениями
( \
$ = 2п
а2 +-
аЬ I а2 = штат, 1---
2 V ь 2
- а-
а < Ь,
(5)
0 = 2п
аЬ í ^ Л
а2 + , г1п
аа
Ь2 -1 + Ь
а > Ь. (6)
/
Ввиду сложной зависимости (5), (6) от длин полуосей, а и Ь, в общем случае не представляется возможным выразить значения критического давления через величины внутриобо-лочечного объема и площади срединной поверхности в замкнутом виде. Поэтому используются крайние случаи этой задачи. Тогда для вытянутых (а < Ь) эллипсоидальных оболочек при (а << Ь) соотношение (5) заменяется приближенным выражением
Б = 2п(а2 + 2 аЬ). (7)
Учитывая приближенные значения квадратов длин полуосей а и Ь
2 9 2 V2 ,2 16 Б4 а2 =— п2-гг, Ь2 =—--2, (8)
которые следуют из (4), (7), формула (1) принимает вид
2Е И2
^р Г~ ^ о 4 V 2 . (9)
А/3(1 -у ) 0,185 X102 - 2,780 V-
V2 о2
Из (9) следует, что при всех прочих равных условиях из вытянутых эллипсоидальных оболочек с одинаковым внутренним объемом наибольшим запасом устойчивости будет обладать оболочка с наименьшей площадью срединной поверхности.
Для вытянутых оболочек а ^ Ь , формулы (1), (5) приближенно можно представить в
виде
2Е И2
^р = I 2 "Г, (10)
д/з(1 -У ) а
о = 2п(а2 + аЬ). (11)
С учетом (4), (11) квадраты длин полуосей а и Ь выражаются в виде
1 04
а2 ^ Ь2 =2^ , (12)
((П)
тогда формулу (10) можно записать в виде
-^2
2Е ^ V2 (13)
Этот случай соответствует сферической оболочке, для которой связь между внут-риоболочечным объемом и площадью срединной поверхности однозначна.
В случае сплюснутых (а > Ь) оболочек при (а >> Ь) площадь срединной поверхности оболочки приближенно определяется, как это следует из (6), выражением
0 = 2п а2. (14)
Из (4), (14) вытекают формулы для квадратов длин полуосей а и Ь
2 0 Ь 2 9 V2
а =—, Ь =---, (15)
2п 4 02
с учетом которых зависимость критических значений давления от интегральных геометрических параметров будет определяться соотношением
0,711 х 103 ЕИ 2V2 „„
Якр = ,-=--^ • (16)
л/з(1 -У2) 0
Случай а ^ Ь для сплюснутых оболочек сводится к рассмотренному выше случаю сферической оболочки.
Таким образом, и в случае сплюснутых эллипсоидальных оболочек с одинаковым внутриоболочечным объемом наибольшим запасом устойчивости будет обладать оболочка с наименьшей площадью срединной поверхности, хотя характер зависимости критических значений давления от интегральных геометрических параметров не совпадает с таковым для вытянутых эллипсоидальных оболочек. Это отличие связано с различным соотношением величин главных кривизн рассматриваемых типов оболочек.
Следует отметить, что в соответствии с геометрическим подходом к задачам устойчивости [2] в предположении изометричности преобразования поверхности выпуклой оболочки при местной потере устойчивости на основании формулы (3) может быть получена оценка критического значения давления в виде
0,126 х 104 ЕИ V2
9кр =■
л/3(1 - V2)
$4
(17)
где V - объем, занимаемый сегментом выхлопа; $ - площадь сегмента.
Указанный характер зависимости критических значений давления от значений интегральных геометрических параметров имеет место для рассмотренных типов оболочек в практически возможном диапазоне изменения соотношения длин полуосей эллипсоидальных оболочек.
Ниже приводятся таблицы расчетов для различного вида оболочек.
Изотропные оболочки с постоянным внутренним объемом
Таблица 1
№ п/п а/Ь (а/И) 10 2 (Ь/И)10 2 (&И?)10 -4 (9крЕ)106
1 0,25 1,949 7,779 153,9 1,03
2 0,50 2,546 4,913 129,6 2,86
3 0,75 2,812 3,749 122,1 5,99
4 1,0 3,095 3,095 120,4 12,63
5 1,25 3,334 2,667 121,5 6,97
6 1,5 3,543 2,362 124,1 4,29
7 1,75 3,73 2,137 127,7 2,84
В табл. 1 приведены результаты расчетов для изотропных оболочек (V = 0,3) и с
внутренним объемом V = 4,1877 х 106 И3 .
В табл. 2 аналогичные результаты представлены для оболочек с отличающимся внутренним объемом. В этом случае определяющие геометрические параметры, по которым возможна косвенная оценка запаса устойчивости оболочек, зависят от соотношения главных кривизн срединной поверхности. В частности, когда кривизна образующей не превосходит кри-
V
визну в окружном направлении, таким параметром является —, в противоположном случае -
$
V $2.
Изотропные оболочки с различным внутренним^ объемом
Таблица 2
№ п/п а/Ь $/а2 V/a3 (к$уа (^2)10а (9крЕ)104
1 0,25 2,531 0,262 0,103 0,409 0,624
2 0,50 5,369 1,047 0,195 0,363 0,691
3 1,00 12,569 4,189 0,333 0,265 1,210
4 1,25 17,075 6,544 0,383 0,225 0,496
5 1,50 22,249 9,425 0,424 0,190 0,238
Рассмотрена устойчивость оболочек со свободным верхним и шарнирно опертым нижним основанием при боковом обжатии равномерным давлением. Главные радиусы кривизны оболочек вращения определялись выражениями
ъ =
я0
и ■ 2 \3/2 (1 + х sm а)
Ъ =
ъ0
(1 + хsin2 а У
/2
(18)
где % характеризует форму оболочки вращения: % = -1 соответствует параболоиду, % > -1 — эллипсоидам, % = 0 — сфере; Д0 — радиус кривизны в полюсе; а — угол между осью вращения и нормалью к срединной поверхности оболочки. Рассмотрены оболочки со следующими размерами: высота Н = 192 мм, толщина Н = 0,2 мм, радиусы верхнего и нижнего оснований г0 = 159 мм, г1 = 226 мм. Необходимые для расчетов параметры определяются по формулам
Д0 =
¿VН2(1 + х) + Г2 + Г12]2 -4Го2г2
(19)
а0 = arcsin
л/д
а1 = arcsin
ХГ<Т ^00 - хгг
В табл. 3 сравниваются геометрические и статические параметры выпуклых оболочек вращения. Также приведены критические значения давления, отнесенные к таковому для сферической (q* ) оболочки. Согласно полученным результатам, оболочкам с большим значением отношения внутреннего объема к площади боковой поверхности соответствуют большие значения критического давления.
Таблица3
№ п/п х Д0 .10-2 ,мм £. 10-6 ,мм2 V -10-8 ,мм3 (V / £)-10 -2 ,мм * q
1 -1,0 0,671 0,284 0,074 0,261 0,10
2 -0,5 1,609 0,260 0,102 0,392 0,70
3 0,0 2,278 0,192 0,196 1,019 1,00
4 0,5 2,873 0,199 0,182 0,915 0,95
5 1,0 3,341 0,118 0,072 0,610 0,90
6 2,0 4,494 0,055 0,029 0,527 0,75
г
г
0
Аналогичный результат наблюдается и для выпуклых оболочек из ортотропных материалов [5]. В табл. 4 проводится сравнение геометрических и статических параметров для нескольких вариантов оживальных оболочек, срединная поверхность которых образуется вращением дуги некоторой окружности относительно оси, смещенной на расстояние С от центра этой окружности. Внутренний объем и площадь срединной поверхности оживальных оболочек определяются формулами
v = 1,048Н [(д - с)2 + г02 ],
S = 4пд2
1 - г0 + С
д
сь 2д2
(20)
где Д - радиус образующей; г0 - радиус параллели торцевого сечения; Ь - длина образующей
оболочки; Н - высота оболочки. Рассматривались усеченные оболочки с жестко защемленными торцами, которые равноудалены от экваториального сечения, со следующими относительными размерами Н : г0 : И = 142,8 : 70 : 1. Со следующим характеристиками материала оболочки Е1 : Е2 :012 :013 : 023 = 5,25 :8:1:1:1; у1 = 0,080; V, = 0,121. В табл. 4 приведены безразмерные параметры критического давления в виде
q =
Чг0_
Е1И2
Критическое значение давления для оживальных оболочек
(21) Таблица 4
№ п/п С/И (Д/И) -10 -2 (Ь/И) -10 3 (V / И3) -10 -7 (£/И2)-10 5 (V / £)-1/И * q
1 104 100,702 0,142 0,221 0,628 35,19 0,120
2 103 10,724 0,143 0,230 0,647 35,55 0,225
3 102 1,844 0,147 0,286 0,732 39,07 0,416
4 0 0,999 0,159 0,373 0,897 41,58 0,424
2
Представленные результаты свидетельствуют о том, что безотносительно к другим условиям запас устойчивости выпуклых оболочек вращения при внешнем равномерном давлении коррелирует с величиной отношения внутреннего объема и площади срединной поверхности оболочки, повышаясь с ростом этого отношения. Это обстоятельство позволяет проводить косвенную сравнительную оценку запаса устойчивости выпуклых оболочек вращения, а также упрощает поиск наиболее предпочтительных форм оболочечных конструкций по условиям устойчивости при боковом и всестороннем обжатии.
Список литературы
1. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. М.: Наука, 1978. 360 с.
2. Погорелов А.В. Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек. М.: Наука, 1967. 280 с.
3. Романов П.В. Напряженно-деформированное состояние полой цилиндрической оболочки при обжиме // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2019. Вып. 12. С.136-138.
4. Бабич Д.В., Дородных Т.И. Неоднозначность критической нагрузки для сферических оболочек вращения при повреждаемости материала сдвигом // Изв. РАН МТТ. 2016. № 1. С.97-109.
5. Амиро И.Я., Прокопенко Н.Я. О влиянии формы меридиана и кольцевого подкрепления на величину критического давления для оболочек вращения // Прик. механика. 1995. 31, № 1. С.56-63.
Бабич Дмитрий Васильевич, д-р техн. наук, консультант, BaЬicИ_dv@ukr.net, Украина, Киев, Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины,
Дородных Татьяна Ивановна, канд. физ.-мат. наук, старший инженер, tdortula@gmail.com, Россия, Тула, Тульский Государственный Педагогический Университет им. Л.Н. Толстого,
Парамонов Андрей Викторович, канд. физ.-мат. наук, доцент, ya,pav1979@yandex.ru Россия, Тула, Тульский Государственный Педагогический Университет им. Л.Н. Толстого
CRITICAL PRESSURE VALUES FOR COMPRESSED CONVEX SHELLS OF ROTATION
D.V. Babich, T.I. Dorodnykh, A.V. Paramonov
Shells with positive Gaussian curative and different geometric characteristics such as the internal volume and area of the side surface of a shell are investigated for bifurcation stability. Under the action of all-round uniform external pressure, the general character of the dependence of stability on the integral geometric characteristics of shells is established.
Key words: shells of rotation, shell curvature, stability, stability reserve, critical pressure.
Babich Dmytro Vasiliovych, doctor of technical sciences, consultor, Babich_dv@ukr.net, Ukraine, Kyiv, S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of the NAS of Ukraine,
Dorodnykh Tatiana Ivanovna, candidate of physical-mathematical sciences, senior engineer, tdortula@gmail.com, Russia, Tula, L.N. Tolstoy Tula's State Pedagogical University,
Paramonov Andrey Victorovich, candidate of physical-mathematical sciences, docent, ya,pav1979@yandex.ru, Russia, Tula, L.N. Tolstoy Tula's State Pedagogical University
