CC BY
70
А. В. Репина, В. Б. Репин, Р. Г. Зарипов
КРИТЕРИЙ ОБРАЗОВАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ УДАРНЫХ ВОЛН
Ключевые слова: периодические ударные волны, разрыв, резонанс.
Показано, что при больших амплитудах колебаний, которые реализуются в резонаторах, классические критерии формирования ударных волн не состоятельны. Установлен критерий формирования периодических ударных волн для исследуемой системы.
Key words: periodic shock waves, break, resonance.
It shown, that for the large amplitudes oscillations, arising in resonators, classical criterions forming shock waves don ’t verisimilar. Determined the criterion forming periodic shock waves for investigation system.
При форсированных режимах тепловых двигателей с использованием горения зачастую возникают неустойчивые режимы, которые получили название вибрационное горение. При этом амплитуда колебаний скорости, давления, температуры и т.д. достигает значительных величин, приводя либо к разрушению всей установки в целом, либо к выводу из строя системы управления установкой [1]. Наряду с отрицательными эффектами возникают и положительные явления, такие как пяти-, десятикратное увеличение теплонапряженности топочного объема, увеличение коэффициента теплоотдачи к стенкам камеры. Все это позволяет конструировать более компактные топочные устройства, принцип работы которых основан на вибрационном горении. Экспериментально обнаружено, что такие режимы горения могут сопровождаться формированием периодических ударных волн. Это явление может быть использовано не только для форсирования процессов горения, но также в качестве источника мощных звуковых колебаний, которые в дальнейшем могут использоваться для интенсификации тепло-, массообменных процессов, для распыления жидких и пастообразных материалов, а также при создании акустического холодильника. Наиболее простой схемой моделирующей нелинейные волновые явления является открытая с одного конца труба, а с другого конца в трубу введен поршень, двигающийся по гармоническому закону. При совпадении частоты колебаний поршня с собственной частотой трубы в последней возникают колебания значительной амплитуды [2]. При достижении определенной амплитуды колебаний газа в профиле волны образуется разрыв и формируются периодические ударные волны, амплитуда которых при резонансе достигает максимальной величины.
Наиболее легко это явление реализуется в закрытой трубе [3,4] и в работе [5] сформулирован критерий, при выполнении которого разрывы в профиле волны не формируются. При выводе этого критерия полагалось, что единственным механизмом, приводящим к ограничению амплитуды, является вязкая диссипация.
В трубе открытой с одного конца, помимо вязкой диссипации, существует дополнительный источник потерь механической энергии волны, связанный с обменом волновой энергией системы с окружающей средой. В такой ситуации возникновение ударных волн также возможно, но требует более высоких значений пульсаций скорости
газа. Можно показать, что в данной ситуации основным источником потерь является излучение с открытого конца, а вязкой диссипацией можно пренебречь. В этом случае ситуация сводится к хорошо известной задаче о формировании разрыва в профиле бегущей волны и имеет место следующее соотношение [6]
х* = с0/овМ0 , (1)
где х - координата образования разрыва, отсчитываемая от поршня в сторону открытого конца трубы, о- циклическая частота колебаний, М0 = и/с0 , и - амплитудное значение
колебаний скорости газа в точке образования разрыва, с0 - скорость звука в газе, е = (у +1)/2, у - показатель адиабаты.
Предварительные расчеты, изложенные в работе [7] показали, что существующие формулы для расчета параметров при которых формируется разрыв в профиле скорости и давления внутри трубы с использованием формулы (1) дают завышенные значения по сравнению с наблюдаемыми в эксперименте.
Поскольку для формирования разрыва волна должна пройти определенное расстояние от источника, то легче всего это явление реализуется в наиболее удаленной от поршня точке, то есть на срезе открытого конца трубы. Тогда уравнение (1) для резонансного режима колебаний перепишется в виде х* = 1_ = л:с0(2п-1)/2оп = с0/опвМ0 . Было учтено, что труба длиной 1_, являясь четверть волновым резонатором с набором собственных частот газового столба оп = л:с0 (2п -1// 2Ь. Таким образом, можно получить
выражение для вычисления критического значения числа Маха М0 = 4/л:(у + 1/2п -1/ для
различных номеров резонанса.
В таблице приведены экспериментальные данные из работы [7] и рассчитанные значения амплитуды колебаний скорости из знания критического числа Маха, полученного из вышеприведенной формулы. Сравнение указанных величин показывает существенное расхождение между экспериментом. Это связано с тем, что соотношение (1) и выражение для расчета критического числа Маха получены для конечных, но малых по сравнению со скоростью звука, амплитуд колебаний скорости газа.
В настоящей работе рассматривается теоретическая модель, позволяющая вычислить критерий формирования разрыва в профиле волны с учетом реальных условий проведения эксперимента.
Запишем уравнение характеристики для простой волны
х - V = 1 (и/, (2)
где V = с0 + (у + 1)и/2 есть скорость распространения волны от поршня.
Момент образования ударной волны характеризуется следующими равенствами [6]
сХ/ Ш = 5 2х/ ^и2 = 0, которые, согласно (2), приводят к системе уравнений
5 ( 1 ^ с*(и)
- х
- х
и=и
си ^ v(u)J си
52 ( 1 ^ 5(и)
5и2 ^ V(U)J 5и2
=0
(3)
=0
и=и*
Величина и* соответствует величине скорости в профиле волны, при которой формируется разрыв.
Находим значение x из первого уравнения (3) и, подставив его во второе, получим уравнение, которое является исходным для вычисления координаты формирования разрыва в профиле волны.
5f (U)
aU
(r + 1)U/2 + c0 a2f(U)
(4)
U=U
у+1 au2
Рассмотрим случай, когда поршень колеблется по гармоническому закону U/U0 = sinrat и, следовательно, t = arcsin(U/U0 Vю • Уравнение (4) запишется так
2s(u2 - u2 )=_(sU + c0 )^ , (5)
решение которого имеет вид
U* = c0 (1 -i¡ 1 + 8s2M2 )/2s • (6)
Из (6) следует, что U всегда принимает отрицательные значения, что свидетельствует о том, что формирование разрыва всегда начинается в зоне разрежения на переднем фронте волны.
Из первого уравнения системы (3) следует формула для расстояния образования разрыва
х* = af (и')
a Í 1 ^
х=о/ aU 1V (U* ))
ш
Учитывая приведенное выражение для времени 1, уравнение (7) перепишется в виде
х* =
(со +bU* )2
(7)
(8)
8ш(и2 - и*2 )0,5'
После подстановки (5) в (8) окончательно получим значение координаты образования разрыва
Ог
х* =
'0
(3-V1 + 2z2)
2ш
д/z2 - (1 - v^+sz2
(9)
где ъ = 2вМ0. Пусть амплитуда колебаний газа мала, т.е. ъ << 1, то из формулы (9) вытекает известная для нелинейной акустики формула (1).
В таблице приведены экспериментальные данные из работы [8] и теоретические расчеты по формулам (1) и (8). При первом резонансе (п=1) расчет по формуле (8) предсказывает величину довольно близкую к измеренной в эксперименте, вычисления по приближенной формуле (1) завышают эту величину почти в 1,5 раза. Для второго резонанса обе формулы дают сильно заниженную величину по сравнению с экспериментом, хотя расхождение между двумя вычислениями не превышает 20%.
Таблица 1 - Критические значения амплитуды пульсаций скорости
n U - эксп (м/с) U - теор (м/с) формула (1) U - теор (м/с) формула (9)
1 120 183 115,2
2 78,3 61 51,5
3 менее 60 36,6 33
Текущее значение скорости в профиле волны (U ), при котором в профиле волны формируется разрыв также увеличивается по абсолютной величине при уменьшении номера резонанса. Выражение (5) показывает, что эта величина всегда меньше амплитудного значения скорости в волне (U* < U0 ). Равенство выполняется только при М0 = 0,83 , т.е. когда sM0 = 1. При выполнении этого условия из формулы (8) следует
x = 0. Это означает, что разрыв в данной ситуации формируется непосредственно на поршне.
Литература
1. Харрье, Д.Т. Неустойчивость горения в ЖРД / Д.Т. Харрье, Ф.Г. Рирдон - М.: Изд. Мир, 1975. -869с.
2. Ilgamov, M.A. Nonlinear oscillations of a gas in a tube / M.A. Ilgamov, R.G. Zaripov, R.G. Galiullin, V.B. Repin // Applied Mechanics Reviews. - 1996. - № 3. - Vol. 49: - P. 137-154.
3. Галлиев, Ш.У. О периодических ударных волнах в газе / Ш.У. Галлиев, М.А. Ильгамов, А.В. Садыков // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1970. - №2. - С. 57-66.
4. Zaripov, R.G. Non - linear gas oscillations in a pipe / R.G. Zaripov, M.A. Ilgamov // J. Sound and Vibr. - 1976. - №2. - Vol. 46. - P. 246-257.
5. Булович, С.В. Критерий возникновения ударно - волнового течения газа в замкнутой цилиндрической трубе, вызванного гармоническими колебаниями поршня / С.В. Булович // Письма в ЖТФ. - 2007. Вып.11. - Т.33. - С. 40-44.
6. Остроумов, Г.А. Основы нелинейной акустики / Г.А. Остроумов - Л.: Изд. ЛГУ, 1967. - 132с.
7. Зарипов, Р.Г. Нелинейные колебания газа в открытой трубе при наличии высших резонансов / Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин // Сб. науч. тр. / Всесоюз. акуст. конф., Москва. - 1991. - С. 23-26.
8. Зарипов, Р.Г. Нелинейные колебания газа в трубе / Р.Г. Зарипов, М.А. Ильгамов, Ю.Н. Новиков, В.Б. Репин // Сб. науч. тр. конф. «Нелинейные явления», Москва. - 1991. -С. 47-53.
© А. В. Репина - асс. каф. физики КГТУ, nastia_repina@mail.ru; В. Б. Репин - канд. физ-мат. наук, доц. каф. физики, nastia_repina@mail.ru; Р. Г. Зарипов - д-р физ-мат. наук, зам дир. по науч работе КазНЦ РАН, ZARIPOV@mail.ru.
