Субгармонические резонансы в распределенной системе как следствие негармонического колебания поршня, генерирующего эти явления Текст научной статьи по специальности «Физика»

МАШИНОСТРОЕНИЕ И ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, ВОПРОСЫ МЕТРОЛОГИИ

УДК 533.6.011.72

А. В. Репина, В. Б. Репин, Р. Г. Зарипов

СУБГАРМОНИЧЕСКИЕ РЕЗОНАНСЫ В РАСПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЕ КАК СЛЕДСТВИЕ НЕГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ ПОРШНЯ,

Построена математическая модель нелинейных колебаний газа в открытой трубе вблизи субгармонических резонансов. Приведено сравнение с экспериментальными данными. Показано, что частоты для первого и второго нелинейного резонансов не являются кратными частоте первого линейного резонанса и смещены в область низких частот.

The mathematic model by nonlinear oscillations of a gas in an open-ended tube near subharmonic resonances constructed. Comparison with experimental datais reduced. It shown that frequencies by first and second nonlinear resonances is not divisible by frequency offirst linear resonance and removed to the field of low frequences.

Экспериментальные исследования показывают, что в круглой трубе открытой с одного торца, а на другом торце расположен периодически колеблющийся поршень, возникают резонансные колебания газа на частотах, рассчитываемых из соотношений линейной акустики, а также на субгармонических частотах [1]. При этом полагают, что субгармонические резонансы обусловлены нелинейными явлениями, хотя до настоящего времени отсутствуют теоретические работы, позволяющие рассчитать амплитудные значения скорости газа в трубе при этих резонансах, поскольку в теоретических работах предполагалось, что поршень движется по гармоническому закону[2,3]. На самом деле в экспериментальных исследованиях поршень движется не по гармоническому закону, а по известному закону для кривошипношатунного механизма, поскольку именно таким образом во всех экспериментальных работах проводилось возбуждение колебаний.

Здесь Р = 1/К, К - длина шатуна кривошипно-шатунного механизма, I - амплитуда хождения поршня. Разлагая в ряд указанный закон перемещения поршня по малому параметру Р, получим

ГЕНЕРИРУЮЩЕГО ЭТИ ЯВЛЕНИЯ

Ключевые слова: субгармонический резонанс, труба, амплитуда скорости.

Key words: subharmonic resonance, pipe, amplitude of velocity.

un = Ia sin at +

Psin2®

(1)

0,5

un = I a (sin at + PA2 sin2® + p3 A4 sin 4® + p5 A6 sin6® +...), (2)

где

a4 = — 4 16

. 3 2 3 25 04

1 +—P2 +------P4 +...

A = -36 32

4 32

3 5 P2

— + — P2 +... В 32

+ ...

(5)

При решении поставленной задачи использовалась полная система уравнений вязкого теплопроводного сжимаемого газа [4], при этом полагалось, что амплитуда смещения поршня

I мала по сравнению с длиной трубы L, толщина акустического пограничного слоя

8 = (у/®)0,5 существенно меньше радиуса трубы 14 . Этих предположений достаточно, чтобы

используя метод возмущений свести задачу к решению волнового уравнения

+ к2 ра = 0 ,

бх

где введено следующее обозначение

(6)

к =

которое удобно представить в виде

0,5 +

(г-1J1Z О z. J0 (z. О

0,5 -

1 Jl(ZО

z J0 (Z 0

0,5

(7)

kn = kn 0

(L + Pn (a)0 + iPn (a)

(8)

Здесь k - комплексное волновое число, мнимая часть которого определяет затухание волны в процессе ее распространения вдоль трубы, а действительная часть - определяет сдвиг собственной частоты трубы, обусловленной вязкостью и теплопроводностью газа, по сравнению со случаем идеальной среды; J0, J1 - функции Бесселя первого рода нулевого и

первого порядка, соответственно, от аргументов Za = i 3/2Pr1/2 H, Z = i3/2 H ; величина H = R/8; kn0 = nrn]c0 ; c0 - скорость звука в невозмущенном газе.

Для высокочастотного случая

р„ (о)=-р„ (ш)=-j2 ^ 1+^рр] h ■ (9)

При высокочастотных колебаниях решение уравнения (6) ищется в виде

п

p = 2Гп cos(x + Zn + iP)expi( + /) , (10)

n=1

n

u = Z rnhn (1 - fn ) sin knX +%n + iPn ) exp i + / - V2) . (11)

n=1

Воспользуемся граничными условиями для определения неизвестных констант Гп , /n, Xn и Pn, для чего рассмотрим течение газа на открытом торце трубы. Пусть на некотором расстоянии от выходного сечения внутри трубы скорость изменяется по следующему закону

u = V[sinmt + D2sin2m + D3 sin3®f + D4sin4mt + D5 sin5®f +...], (12)

где ^ , D2 , ^ , D4, D5 - неизвестные константы.

В области открытого торца трубы примем модель, согласно которой истечение газа из трубы осуществляется в струйном режиме (и > 0), а затекание газа в трубу осуществляется в режиме стока, центр которого расположен в точке О (рис.1).

Рис. 1 - Схема течения

В силу закона сохранения массы количество выбрасываемого из канала газа должно компенсироваться возвратом его через полуокружность АА . Тогда можно записать следующее условие

I* т

Эо{ и+()Л + Э} и- = 0, (13)

о {

где Э0 = жН2 - площадь поперечного сечения трубы; Э = 2жН2 - площадь полусферы

*

затекания газа при его всасывании в трубу; I - длительность истечения; Т - период колебаний.

Поскольку Эо < Э, то для выполнения условия (13) длительность истечения I должна

быть больше длительности всасывания (Т -I 0 . Это возможно лишь в случае, когда скорость

содержит постоянную составляющую независящую о времени [3]. Здесь константа А описывает постоянную составляющую скорости. Полагаем, что добавка А пропорциональна амплитуде колебаний скорости газа на открытом торце трубы (А = ГПо^). Тогда имеем выражения для скорости газа вне трубы для фазы всасывания и фазы выброса, соответственно

и+ (I) = БУ (т0 + б1п® + й2 б1п2® + й3 Б1п3<® + ...0, -р<® <(ж + р), (14)

и-(I) = V(т0 + ып® + 02б1п2<® + 03Б1п3<® +...),(ж + р) <® < (2ж-р). (15)

Величина р, определяющая фазу смена режима всасывания на режим выброса, вычисляется из следующего соотношения

р = агсБ1п т0. (16)

Для Р << 1 величина т0 рассчитывается как

т0 = 0,2172 + 0,058603 - 0,0207022. (17)

При численном значении Р = 0,25 поправка к величине т0 с учетом ангармоничности

движения поршня не превышает 1,1 % .

Разлагая скорость (14) в области открытого торца в ряд Фурье, получим

u/V =(0,5m0 + b0) + Ф (z) (0,5m0 - b0) + [(0,5 + bL) + Ф (z) (0,5 - b,) ] sin+t +D2 [і - Ф (z)] c, cos +t + D2 [(0,5 + b2) + Ф (z) (0,5 - b2) ] sin 2+ + +c2 [і - Ф (z)] cos2+ + [(0,5D3 + b3) + Ф (z) (0,5D3 - b3)] sin 3+ +

D2

c3 [і - Ф (z) ] cos3+ +...

где коэффициенты

bo =

ж

1 f D3 D5 1

m0p + cosp +—cos3p + —cos5p +... I, 3 5 J

к 1 I о sin2p D3 , . ■ л \

b, =— p + 2m0cosp-------+ -43- (2sin2p-sin4p)

b2 =-ж

1 f sin4p'

p

b3 =

1 f 2 1 D

D3p +—m0cos3p + —(2sin2p- sin4p) —3sin6p 3 4 6

ж

c2 =

1 f cos3p1

ci Ы cosp+— J • m0 sin2p + 4cos3 p- 2cosp + D3 [ co^5p + cosp

1

c3 = —(cos5p-5cosp).

ж

(19)

(20) (21) (22)

(23)

(24)

(25)

В зависимости от геометрии открытого торца трубы функция Ф(I) имеет следующий вид [5]: для круглой трубы с бесконечным фланцем

Ф ( z) = R 7 z

а для круглой трубы без фланца

Ф (z) = R2 z2 + (z - R)2 + (ж/2) R (z - R)

(26)

(27)

Воспользуемся выражением (18) для продольной компоненты скорости и на большом расстоянии от среза трубы. Как следует из соотношения (26), при 1 > 3R величина Ф (I) « 0,

с точностью до 0,1. В этом случае, исходя из асимптотической записи уравнения (18), получим явное выражение для продольной компоненты скорости на большом расстоянии от открытого торца трубы

и/У = (0,5т0 + Ь0) + (0,5т0 + Ь:)б\п^ + О^сов^ + й2 (0,5 + Ь2)б\п2^ +

+c2cosat + (0,5D3 + b3)sin3a + Dlc3 cos3at +...

(28)

На срезе трубы, где Ф (z) = 1, величина продольной компоненты скорости, как это следует из соотношения (18), запишется как

u/V = m0 + sin at + D2sin2at + D3sin3at +... (29)

Подставив (28) и (29) в условие Лагранжа-Коши [6], получим граничное условие для пульсаций давления на срезе открытого торца трубы

2

Рсс = Р0 + Pt2V {[(0-5 m0 + b0) + (0,5 + b,) sin at + D2c1 cos at + +D2 (0,5 + b2) sin 2at + c2 cos 2at + (0,5D3 + b3) sin 3a +

+(D2/5) c3 cos3af ] 2 -[m0 + sin at + D2 sin2a + D3 sin3®f]‘ '. (30)

Произведя алгебраические и тригонометрические преобразования соотношение (30), с точностью до третьей гармоники, запишется в виде

РсС - Р0 =^— (90 + 9, sin at + g, cos at + g2sin2a +

+g2 cos 2at + g3 sin 3at + g3 cos 3at +...).

Коэффициенты разложения gn имеют вид

g0 = [-0,75m02 - 0,375 - 0,375D22 - 0,375D32 + m0b0 + b02 +(b, + b,) /2

+ D22cL/2 + DL (b2 + b22)2 + c 2/2 + (D3 b3 + b3)2/2 + D22c32/50], g, = -1,5m0 + m0b, + b0 + 2b0b-, -(0,5 + b,)c2 + D^c, (0,5 + b2)-

+ (D2 /5) (0, 5 + b2 ) c3 + c2 (0,5D3 + b3 ) ,

g, = D2[2(0,5m0 + b0)c, -0,75 + 0,5(b, + b2) + b,b2 + c,c2 + + (, 5 + b2 ) (° 5D3 + b3 ) + c2c3 /5 - D3 ] ,

g 2 = D2 [-1,5 m0 + (m0b2 + b0 + 2 b0b2) + c, (0,5 + b,) -

-(3/5)(0,5 + b,) + c, (0,5D3 + b3)], g2 = [0,375 -( + b2)/2 + Dfc,2/2 + 2 (0,5m0 + b0) c2 - 0,75D3 + +0,5b3 + 0,5D3b, + b-,b3 + D^c,c3/5 , g3 = -, 5 m0D3 + m0b3 + D3b0 + 2 b0b3 + c2 (0,5 + b,) + D^c, (0,5 + b2) g3 = D2 [(1/5) c3 (m0 + 2b0) + cc + .

240

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

Коэффициент g0 описывает стационарную составляющую разности давлений на срезе

трубы и в окружающем пространстве. Для определения пульсационных составляющих, как

давления p ., так и продольной компоненты скорости и, в дальнейшем будем использовать СС

связь в виде

2

рс с = P0V {[(0,5 m0 + b0) + (0,5 + b,) sin at + D2c, cos at + D2 (0,5 + b2) sin2at + +c2cos2<a + (0,5D3 + b3) sin3a + (D2/5) c3cos3a +...]2 -[m0 + sin at +

+D2 sin 2at + D3 sin 3at ]2 }. (39)

Воспользуемся соотношением (11) и применим граничное условие на поршне (2). Собрав слагаемые при одинаковых гармониках, получим серию граничных условий для каждой гармоники в отдельности: для первой гармоники

lasinat = Real[c^h, ( - /,) sin(x, + ip,)expi(at + W| -ж/2)], (40)

для второй гармоники

lajBA2 sin2at = Re al [c0r2h2 (, - f2)sin (x2 + ip2)exp i (2at + W2 -Ж2)] (41)

для третьей гармоники

0 = Re al \_c0r3h3 ( - /3) sin (*3 + iP3) exp i (3at + W3 - ж/2)], (42)

для четвертой гармоники

lap3 A4 sin4at = Re al [c0r4h4 (, - f4)sin (x4 + p4)exp i (4at + W4 - ж/2)] . (43)

Воспользуемся граничным условием на поршне (40) для первой гармоники

lasinat = Re al [(-i) c^h, (, - /,) sin (x, + ip,)exp i (at + w + a,) ],

из которого находим выражение для безразмерной амплитуды колебаний скорости газа r, и главного значения аргумента Wi

r, = (MJB)(sin2xch2p + cos2*sh2p) 0,5, (44)

W = arctg(tg*cthp) - a,.

Произведя аналогичные вычисления для последующих гармоник, получим

Xn =/2 - k0nL(, + pn), pn = ^пГпВ2 + k0nLpn ,

rn =pn-,){MjBn)(sin2Xnch2Pn + cos2 Xnsh2Pn) 0,5, (45)

Wn = arctg (tgxncthp)- an .

Из сопоставления выражения (31) и граничного условия для давления на открытом торце трубы [6] следует, что G, = g,, G2 = g2 . Поскольку величины gn и gn включают

241

неизвестные параметры Пп, расчет проводился методом последовательных приближений. На первом этапе в соотношениях (3.2.51) отбрасывали все слагаемые, содержащие величины Пп, т.к. они по порядку существенно меньше единицы, а именно

Пп ~ Р(п—1 << 1. (46)

При этом в первом приближении из (33) следует, что

д1 = [-1,5т0 + т0Ь1 + Ь0 + 2Ь0Ь1 - (0,5 + Ь1) с2 + с2Ь3 ] . (47)

Поскольку т0 « 0,2172, Ь0 « 0,3258, Ь1 « 0,135 + 0,01305П2, Ь2 = 0,

с1 = 0, 5615 + 0, 3003П2, с1 = 0, 5615 + 0, 3003П2, с3 « -1, 4235 + 0, 3004П2,

Ь3 « 0,03638 + 0,039П2, тогда д1 « 0,2353. Величина д1 « 0 .

Во втором приближении при вычислении коэффициентов дп и дп учтем слагаемые,

содержащие ^2, а остальные П| и 03 отбросим.

Тогда выражения (33) и (35) запишутся

д1 = 0,2353 + 0,0062П2, (48)

д2 = 0,5578П2, (49)

п Р М

где п2 = — —-.

2 2 Бг1

Во втором приближении по малому параметру Р вычисление поправки к решению производится по следующим формулам

^2 = ж/2 — к02— (1 + Р2 ) ,

Р2 = 0,2789 • ^ Рг2в1 + к^-р,

В1Г1

r2 = P(Mn/B2)(sin2 (2p + cos2 ^shp) °’5, (50)

/2 = arctg (tg^2cthp2) - a2 .

При расчете амплитуды пульсаций скорости газа на открытом торце трубы использовались следующие параметры, реализованные в эксперименте [7, 8]: длина трубы L = 1,84 м, радиус трубы R = °,°22 м, радиус поршня Rn = °, °31 м. Поршень соединялся с

трубой через конусный переходник высотой hK = °, 134 м, длина шатуна К = °, 132 м, амплитуда хождения поршня (полуразмах) l = °, °33 м. Поскольку диаметр поршня и диаметр трубы различны, то эффективная длина трубы с учетом поправки Рэлея рассчитывалась следующим образом [9]

(2 +m +1)

L = Lo + m l + ±— + aR = 2,212 м, (51)

3

где m = Rn/R = 1,4°9; a = °,6133 - коэффициент в поправке Рэлея. Кинематическая

вязкость воздуха принималась равной v = 15,61-1°-6 м2/с; показатель адиабаты у = 1,4; число Прандтля Pr = °, 71.

Для анализируемых экспериментальных данных безразмерная величина отношения полуразмаха колебаний поршня к длине шатуна составила величину Р = I/К = 0,25 .

На рис. 2 представлены результаты расчета амплитудно-частотной характеристики с учетом второго приближения и приведено сравнение с экспериментальными данными [7].

Расчеты показали, что в области первого линейного резонанса вклад от второй гармоники является малой величиной. Так, без учета второй гармоники расчетная амплитуда колебаний скорости газа составила величину 110,87 м/с, а с учетом второй гармоники эта величина возросла и стала равной 112,44 м/с. Такой незначительный вклад второй гармоники в области первого линейного резонанса объясняется тем, что для второй гармоники не реализуются условия резонанса. Этот эффект отмечался в работе [5]. Тем не менее, учет второй гармоники уменьшил расхождение между теоретическим и экспериментальным значением скорости до величины 0,39 % для первого линейного резонанса.

Рис. 2 - Амплитудно-частотная характеристика для круглой трубы, открытой с одного торца, с учетом второго приближения: сплошная линия - теория, точки -экспериментальные данные [8]

Учет второй гармоники позволил объяснить наличие нелинейных резонансов. Эксперимент показывает, что первый нелинейный резонанс реализуется при частоте, равной 18,15 Гц, тогда как расчет дает 18,5 Гц. Амплитуда пульсаций скорости газа в эксперименте достигала 20,7 м/с, в то время как расчет дает 28,17 м/с. Таким образом, рассчитываемая величина амплитуды пульсаций скорости дает завышение на 36 % по сравнению с экспериментально измеренной.

Литература

1. Ilgamov, M.A. Nonlinear oscillations of a gas in a tube / M.A. Ilgamov, R.G. Zaripov, R.G. Galiullin // Appl. Mech. Rev. - 1996. - Vol. 49. - № 3. - P. 137-154.

2. Wijngaarden, L. van. On the oscillations near and at resonance in open pipes / L. van Wijngaarden // J. Engng. Math. - 1969. - Vol. 2. - № 3. - P. 225-240.

3. Галиуллин, Р.Г. Нелинейные резонансные колебания газа в трубе с открытым концом / Р.Г. Галиуллин, Э Р. Галиуллина, Е.И. Пермяков // Акустический журнал - 1996. - Т. 42. - № 6. - С. 769772.

4. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости, газа и плазмы / Л.Г. Лойцянский. - М.: Наука, 1970, - изд. 3, -904 с.

5. Галиуллин, Р.Г. Нелинейные колебания газа в трубах Уч.пособие по курсу «Нелинейные колебания

газа в трубах» / Р.Г. Галиуллин, Л.А. Ткаченко. - Киев, 2007. - 115 с.

6. Репина, А. В. Нелинейные резонансные колебания газа в плоском канале с открытым торцом /

A.В. Репина, Р.Г. Галиуллин // Известия вузов. Авиационная техника. - 2008. - № 1. - С. 33-36.

7. Зарипов, Р.Г. Нелинейные колебания газа в открытой трубе при возбуждении высших резонансов / Р.Г. Зарипов, В.Б. Репин // Сборник трудов XI Всесоюзной акуст. конф. - Акуст. инст. АН СССР, 1991. - С. 23-26.

8. Зарипов, Р.Г. Нелинейные колебания газа в трубе / Р.Г. Зарипов, М.А. Ильгамов, Ю.Н. Новиков,

B.Б. Репин // Труды Всесоюзной конференции «Нелинейные явления». М.: Наука. - 1991. - С. 47-53.

9. Зарипов, Р.Г. Нелинейные колебания газа в открытой трубе / Р.Г. Зарипов // Акустический журнал. -1977. - Т. 23. - Вып. 3. - С. 375-383.

© А. В. Репина - асс. каф. физики КНИТУ, nastia_repina@mail.ru; В. Б. Репин - канд. физ-мат. наук, доц. каф. физики КНИТУ, nastia_repina@mail.ru; Р. Г. Зарипов - д-р физ.-мат. наук, проф., зам дир. по науч работе ИММ КазНЦ РАН, zaripov @mail.knc.ru.