CC BY
66
С. И. Дуев
КРИТЕРИЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ В РЕАКТОРЕ ИДЕАЛЬНОГО СМЕШЕНИЯ НА РЕЖИМЕ С ПОЛНЫМ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИСХОДНЫХ И ПРОМЕЖУТОЧНЫХ РЕАГЕНТОВ В РЕЦИРКУЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ «РЕАКТОР - БЛОК РАЗДЕЛЕНИЯ»
Ключевые слова: реактор с рециклом, режим с полным использованием исходных реагентов, множественность
стационарных состояний.
Рассматривается рециркуляционная система: реактор - блок разделения. Получен критерий существования единственности стационарного состояния в реакторе идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов.
Key words: reactor with recycle, regime with a full using of basic and intermediate reactants, multiplicity of steady states.
The recycle system reactor - separation unit is considered. Criteria of the existence of a singularity of the steady states in the continuous tank reactor on the regime with a full using of basic and intermediate reactants in given.
Введение
Одним из эффективных путей решения проблемы сведения к минимуму отходов производства, в частности непрореагировавших исходных и промежуточных продуктов реакции, является использование рециркуляции [1]. При функционировании рециркуляционной системы реактор - блок разделения большой интерес вызывает режим, при котором достигается полное использование исходных реагентов. Однако, наличие обратной связи в системе приводит к множественности стационарных состояний в реакторе.
Причем, как показано в работах [2-6] на этом режиме возможно существование нового типа стационарных состояний - континуума стационарных состояний. В настоящей работе получен критерий существования единственности стационарного состояния в реакторе идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов. Типичная структура рециркуляционной системы реактор-блок разделения представлена на рис.1.
Рис. 1 - Блок схема рециркуляционной системы реактор - блок разделения
Здесь С - количество смеси, поступающее в систему в единицу времени, Р - количество рециркуляционной смеси в единицу времени, Р -количество смеси, поступающее в реактор в единицу времени, х - вектор концентраций в реакторе (со значком “0” - на входе в систему, со
значком * - в рецикле, со значком вых - на выходе системы).
1. Математическая модель реактора идеального смешения в рециркуляционной системе реактора - блок разделения.
Математическая модель реактора идеального смешения в стационарном состоянии на режиме с полным использованием исходных реагентов может быть записана так:
Gx(0) + Vw - Fx + Rx * = 0
GCpP T(0) + U(Tx - T) + VQw-- FCppT + RCppT* = 0 x* = y(x,T) T* = Ф^Т)
(І)
(2)
(З)
(4)
где Ото - тепловой эффект реакции, С р - удельная теплоемкость, р - плотность смеси, Тх -
температура хладоагента, и - коэффициент теплопередачи, отнесенный к единице поверхности теплообмена. ф и Фт - функции, определяющие
режим работы узла разделения.
Используя матрицу стехиометрических коэффициентов А выражаем вектор-скоростей образования регентов w через скорости элементарных стадий реакций:
W = АГ (5)
С учетом условий существования режима
[6]:
Fxi = Rx^i = 1,...£
(6)
где І - число исходных и промежуточных реагентов, систему уравнений (1) на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов для І исходных и промежуточных реагентов можно записать так [6]:
с
А*(Уг - С и) = о (7)
м
Выражая скорости элементарных стадий реакции из уравнений (9) и подставляя в (11), получим явное выражение для определения температуры в реакторе:
Т=+итх+РсррТк+М^Ц)- (12)
где A - подматрица, состоящая из І строк матрицы A.
Критерий стационарного состояния
единственности
Если выполнены условия:
1) температура в рецикле постоянна T* = const = TR;
2) скорости элементарных стадий реакции могут быть выражены через концентраций реагентов.
rj= kjf[xaij, j = 1,.p.
(8)
где к у - константа скорости ] -й стадии реакции, а у - порядок I -го компонента в ] -й стадии реакции;
Л *
3) ранг Б матрицы А равен числу исходных и промежуточных реагентов £.
*
4) ранг матрицы Б матрицы А равен числу элементарных стадий реакций р : Б = р,
то на режиме с полным использованием исходных и промежуточных реагентов существует единственное стационарное состояние.
Доказательство
Если выполнено условие 3): Б = £, то система уравнений (7) имеет только тривиальное решение, поэтому можно записать:
Vrj - GJj = 0, j ^..i.
j M j
(9)
Учитывая, что общий тепловой эффект реакции можно представить как:
Qw = i^jQ
j=1
(ІО)
где Q j - тепловой эффект j -й стадии реакции,
температуру в реакторе следующим образом:
можно определить
T =
1
F U(GCppT(0) + UTx + RCppT + Vi>,rjQj).
FCpp+U j=1
(11)
Таким образом, температура в реакторе в этом случае определяется однозначно.
Докажем теперь, что система уравнений (9) имеет единственное решение. Подставляя выражения (8) в уравнение (9), получим следующую систему алгебраических уравнений относительно х■, і = 1,...т :
j = 1,.„І.
(ІЗ)
Здесь возможны два случая.
1. Среди элементарных стадий реакции существуют обратимые.
Тогда хотя бы один элемент вектора и равен нулю в силу определения этого вектора. Поскольку систему уравнений можно представить в виде
П
x“'J = -
G
MVk
(14)
то очевидно, что при ^ = 0 необходимо, чтобы,
по крайней мере, одно из значений X і, І = было равным нулю. Отсюда следует, что если среди элементарных стадий реакции есть обратимые, то режим с полным использованием исходных и промежуточных реагентов невозможен, поскольку в этом случае система уравнений (13) допускает тривиальное решение.
2. Среди элементарных стадий реакции не существует обратимых.
Логарифмируя систему уравнений (14), получим
ІІ І
Inxi = р j,
(ІЗ)
і=1
где
Pj= ln(
G
MVk
-), j = 1....І.
(І6)
Поскольку сіе^) * 0 , то система
уравнений (15), а следовательно, и система уравнений (13) имеет единственное положительное решение, а это означает, что концентрации исходных и промежуточных реагентов Хі, Х2 ,...Х і
определяются однозначно. А так как среди элементарных стадий реакции не существует
i=1
i=1
обратимых, то и концентрации конечных
продуктов X £+1,...Хт определяются единственным образом из оставшихся (т - £) уравнений системы (1).
Таким образом, в рассматриваемом случае концентрации компонентов реакции и температура в реакторе определяются однозначно, то есть на режиме существует единственное стационарное состояние.
Полученный критерий является
достаточным, поскольку возможны случаи, когда единственность решений может быть и при Б Ф р
3. Примеры исследования
1. Реакция А В С в неизотермическом реакторе идеального смешения.
Матрица А имеет следующий вид:
A* =
-1 0
1 -1
(17)
Её ранг Б равен 2, и выполнена цепочка равенств: 5 = £ = р. Следовательно, на режиме с полным использованием исходного продукта А и промежуточного продукта В будет существовать единственное стационарное состояние.
Действительно система уравнений (1) запишется так:
- Vr1 + G = -Vk1x1 + G = 0,
Vr1 - Vr2 = Vk1x1 - Vk2x2 = 0.
(І8)
Отсюда определяем выражения для нахождения концентраций A, B і G
x. =------,
1 Vk„
Vk„
(19)
в которых константа скорости ki (І=1.2) зависит от температуры в соответствии с формулой Арренниуса:
Ei
RT
ki= Aie RtI , І = 1,2,
(2O)
где А - предъэкспоненциальный множитель, Е | -
энергия активации I - й стадии реакции.
Единственное стационарное значение температуры на режиме определяется из выражения (12):
T =
1
Cpp+U
(GCppT0) + UTx +RCppTR + G(Q + 02»-(21)
Пример 2. В политропическом реакторе идеального смешения протекает обратимая реакция первого порядка А В.
*
Матрица А имеет вид:
A* = (-1,+1).
(22)
Её ранг в равен 1 , Б = І , но р = 2 и э Ф р. Учитывая, что в соответствии со стехиометрией концентрация исходного продукта А на входе в систему Хі(0) равна 1моль/моль, уравнение (1)
запишется в виде:
- Vr, + G + Vr2 = 0.
(2З)
Учитывая, что х2 = 1 - х1, из уравнения (31) можно определить концентрацию исходного продукта А в реакторе:
x1 =-
G + Vk2 V(k1 + k2).
(24)
Температура в реакторе определяется из выражения (12), которое в данном случае записывается в виде:
T = -
1
FCpp+U
(GCppT(0) - UTx + RCppT* + GQ) (2З)
Тогда, на рассматриваемом режиме в реакторе существует единственное стационарное состояние.
Заключение
Таким образом, получен критерий единственности стационарного состояния для реактора идеального смешения на режиме с полным использованием исходных и промежуточных равенств в рециркуляционной системе реактор - блок разделения. Полученный критерий является достаточным, поскольку единственное стационарное состояние возможно и при невыполнении пункта 4 условия единственности, как показано в примере 2.
Литература
1. Кафаров, В.В. Принципы создания безотходных химических производств / В. В. Кафаров // М.: Химия -1982 - 288с.
2. Дуев, С.И. Исследование режима с полным использованием исходных реагентов в рециркуляционной системе реактор-блок разделения / С.И. Дуев // Вестник КГТУ, 2O1O - №1O.
3. Дуев, С.И. Расчет стационарных состояний реактора в рециркуляционной системе реактор - блок разделения / Дуев, С.И. // Вестник КГТУ, 2O12 - №16 - С.151-15З.
4. Duev, S.I. Dinamic behaviour of the recycle system reactor-distillation column / S.I. Duev, A.I. Boyarinov // Proc.Int.conf. Distillation and absorption. Baden-Baden. Germany - 2OO2.
5. Duev, S.I. Study of an influence of the parameters on multiplicity of steady stats the recycle system: reactor-
separating unit / S.I. Duev, A.I. Boyarinov // Computer Aided Chemical Engineering- 2005-V.20.-P.385-390.
6. Бояринов, А.И. Множественность стационарных состояний в системе: смеситель - реактор - узел
разделения / А.И. Бояринов, С.И. Дуев // Теоретические основы химической технологии - 1980 -№6 - Т.14 -
С.903.
© С. И. Дуев - д.т.н., проф. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, douev@mail.ru.
