CC BY
11
Прикладные задачи
нелинейной теории колебаний и волн
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022. Т. 30, № 6 Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Applied Nonlinear Dynamics. 2022;30(6)
Критерии существования внутренних неподвижных точек дискретных динамических систем Лотки-Вольтерры c однородными турнирами
Д. Б. Эшмаматова1И, М.А. Таджиева1'2, Р.Н. Ганиходжаев1'2
1Ташкентский государственный транспортный университет, Узбекистан 2 Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека, Ташкент, Узбекистан E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Поступила в редакцию 27.05.2022, принята к публикации 4.07.2022, опубликована онлайн 19.10.2022, опубликована 30.11.2022
Аннотация. Цель работы заключается в изучении динамики асимптотического поведения траекторий дискретных динамических систем Лотки-Вольтерры с однородными турнирами, действующих в произвольном (т — 1)-мерном симплексе. Известно, что динамическая система — это объект либо процесс, для которого однозначно определяется понятие состояния, как совокупность некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, описывающий эволюцию начального состояния с течением времени. В вопросах популяционной генетики, биологии, экологии, эпидемиологии и экономики, в основном, используют системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающие эволюцию исследуемого процесса. Так как при исследовании жизненных явлений часто применяют уравнения Лотки-Вольтерры, основная цель работы состоит в изучении траекторий дискретных динамических систем Лотки-Вольтерры с помощью элементов теории графов. Методы. В работе для квадратичных отображений Лотки-Вольтерры построены карты неподвижных точек, которые позволяют описать динамику рассматриваемых систем. Результаты. С помощью карт неподвижных точек дискретной динамической системы, в частном случае даны критерии существования неподвижных точек с нечетными ненулевыми координатами, и эти результаты о расположении неподвижных точек систем Лотки-Вольтерры соответственно обобщены на случай произвольного симплекса. Основными результатами являются теоремы 5-9, которые позволяют описывать динамику этих систем, возникающих в ряде генетических, эпидемиологических и экологических моделей. Заключение. Результаты, полученные в работе, дают подробное описание динамики траекторий отображений Лотки-Вольтерры с однородными турнирами. Карта неподвижных точек выделяет конкретную область в симплексе, наиболее важную и интересную для изучения динамики этих отображений. Полученные результаты применимы в задачах экологии, например, для описания и изучения круговорота биогенов.
Ключевые слова: квадратичное отображение Лотки-Вольтерры, симплекс, граф, турнир, однородный турнир, неподвижная точка, карта неподвижных точек, циклическая тройка, транзитивная тройка и кососимметрическая матрица.
Благодарности. Работа выполнена в рамках научного исследования ОТ-Ф4-31 «Некоммутативные модули, алгебры Лейбница и полиномиальные каскады на симплексах» Национального университета Узбекистана имени Мирзо Улугбека (2017-2020 гг.).
Для цитирования: Эшмаматова Д. Б., Таджиева М. А., Ганиходжаев Р. Н.Критерии существования внутренних неподвижных точек дискретных динамических систем Лотки-Вольтерры c однородными турнирами//Известия вузов. ПНД. 2022. T. 30, № 6. С. 702-716. DOI: 10.18500/0869-6632-003012. EDN: OGSBSV
Статья опубликована на условиях Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Научная статья УДК 530.182
DOI: 10.18500/0869-6632-003012 EDN: OGSBSV
© Эшмаматова Д. Б., Таджиева М. А., Ганиходжаев Р. Н., 2022
Article
DOI: 10.18500/0869-6632-003012
Criteria for internal fixed points existence of discrete dynamic Lotka-Volterra systems with homogeneous tournaments
D.B. Eshmamatova1^, M.A. Tadzhieva1'2, R.N. Ganikhodzhaev1'2
1 Tashkent State Transport University, Uzbekistan 2National University of Uzbekistan named after Mirzo Ulugbek, Tashkent, Uzbekistan E-mail: [email protected], [email protected], [email protected] Received 27.05.2022, accepted 4.07.2022, available online 19.10.2022, published 30.11.2022
Abstract. Purpose of the work is to study the dynamics of the asymptotic behavior of trajectories of discrete Lotka-Volterra dynamical systems with homogeneous tournaments operating in an arbitrary (m — 1)-dimensional simplex. It is known that a dynamic system is an object or a process for which the concept of a state is uniquely defined as a set of certain quantities at a given time, and a law describing the evolution of initial state over time is given. Mainly in questions of population genetics, biology, ecology, epidemiology and economics, systems of nonlinear differential equations describing the evolution of the process under study often arise. Since the Lotka-Volterra equations often arise in life phenomena, the main purpose of the work is to study the trajectories of discrete dynamical Lotka-Volterra systems using elements of graph theory. Methods. In the paper cards of fixed points are constructed for quadratic Lotka-Volterra mappings, that allow describing the dynamics of the systems under consideration. Results. Using cards of fixed points of a discrete dynamical system, criteria for the existence of fixed points with odd nonzero coordinates are given in a particular case, and these results on the location of fixed points of Lotka-Volterra systems are generalized accordingly in the case of an arbitrary simplex. The main results are theorems 5-9, which allow us to describe the dynamics of these systems arising in a number of genetic, epidemiological and ecological models. Conclusion. The results obtained in the paper give a detailed description of the dynamics of the trajectories of Lotka-Volterra maps with homogeneous tournaments. The map of fixed points highlights a specific area in the simplex that is most important and interesting for studying the dynamics of these maps. The results obtained are applicable in environmental problems, for example, to describe and study the cycle of biogens.
Keywords: quadratic Lotka-Volterra mapping, simplex, graph, tournament, homogeneous tournament, fixed point, fixed point map, cyclic triple, transitive triple and skew-symmetric matrix.
Acknowledgements. The work was performed in the framework of the scientific study OT-F4-31 "Noncommutative modules, Leibniz algebras and polynomial cascades on simplices" of the Mirzo Ulugbek National University of Uzbekistan (2017-2020).
For citation: Eshmamatova DB, Tadzhieva MA, Ganikhodzhaev RN. Criteria for internal fixed points existence of discrete dynamic Lotka-Volterra systems with homogeneous tournaments. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 2022;30(6): 702-716. DOI: 10.18500/0869-6632-003012
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution License (CC-BY 4.0).
Динамическая система как математический объект служит моделью для различного рода природных систем. В вопросах экономики, популяционной генетики, в частности в эпидемиологии, эволюцию описывают системы нелинейных дифференциальных уравнений. В этих разделах природных явлений часто применяют уравнения Лотки-Вольтерры.
Рассмотрим отображение V : Мт ^ Мт, заданное равенствами [1,2]
Введение
хк = хк + akixij , к =
где Ух = (ж1, ...,хт) и А = (аы) — кососимметрическая матрица. Это отображение при условии 1&ы1 ^ 1 называется отображением Лотки-Вольтерры [3,4].
1. Методика
Пусть У — конечное непустое множество, а М — некоторое множество неупорядоченных пар (х, у), где х,у е У, причем х = у. Тогда пара (У, М) называется графом.
Элементы У называются вершинами, если же (х,у) е М, то (х, у) называется ребром графа (У, М), вершины х и у в этом случае называются смежными.
Два графа (У\, М\) и (У2, М2) называются изоморфными, если существует биекция У\ на У2, сохраняющая смежность вершин.
Граф — полный, если любые две различные вершины являются смежными. Если каждое ребро снабжено направлением, то граф называется ориентированным. Турнир — это полный ориентированный граф.
Классификации турниров с заданным числом вершин с точностью до изоморфизмов посвящены работы [5,6]. Например, с точностью до изоморфизма существуют только два турнира с тремя вершинами (рис. 1).
Рис. 1. Виды турниров при гп = 3: a — циклическая тройка, b — транзитивная тройка Fig. 1. Types of tournaments at rn = 3: a — cyclic triple, b — transitive triple
Пусть x\,x2 — вершины турнира. Запись x\ ^ x2 означает, что ребро, соединяющее х\ и х2, направлено от х\ к х2. Конечная последовательность вершин х\ ^ х2 ^ ... ^ хр называется маршрутом, если Xi = Xj при г = j. Цикл — это замкнутый маршрут, то есть хр = Х\.
Турнир называется сильным, если для любых вершин х,у £ У существует маршрут с началом х и концом у.
Известно [7], что турнир — сильный тогда и только тогда, когда в нем существует цикл длины \Y| (|У| — количество элементов У).
Турнир, не имеющий циклов, называется транзитивным. Естественным образом определяется понятие подтурнира. (В определениях мы следуем терминологии, принятой в работах [3,8,9].)
Определение 1. Турнир называется однородным, если любой его подтурнир является либо сильным, либо транзитивным.
Очевидно, при |У | ^ 3 любой турнир однороден.
Известно [9], что при \Y | =4 существуют четыре попарно неизоморфных турнира, вид которых представлен на рис. 2.
Следовательно, любой турнир, содержащий изоморфный подтурнир (либо с, либо d), не может быть однородным.
Теорема 1. Пусть \У| ^ 4. Любой турнир с вершинами У, не содержащий подтурниров, изоморфных c или d, однороден.
ï VA
abc d
Рис. 2. Эта иллюстрация турниров приведена в [7]. Здесь во всех неуказанных ребрах направления идут сверху вниз: a — транзитивный турнир, b — сильный турнир, c и d являются не сильными, не транзитивными
Fig. 2. This illustration of the tournaments is given in [7]. Here, in all unspecified edges, the directions go from top to bottom: a — transitive tournament, b — strong tournament. c and d are not strong, not transitive
Доказательство. Если турнир не сильный, то в нем существует подтурнир, не являющийся ни сильным, ни транзитивным. В этом случае [6] вершины подтурнира можно разбить на два непересекающихся и непустых класса так, что все стрелки (ребра) направлены из одного класса в другой, причем хотя бы один из классов образует сильный подтурнир. Сильный подтурнир всегда содержит циклическую тройку. Тогда эта циклическая тройка вместе с любой вершиной из другого класса образует подтурнир с четырьмя вершинами, изоморфный либо с, либо d. □
Пусть I = {1, 2, ...,т} и а С I — непустое подмножество I.
Определение 2. Два подтурнира турнира с вершинами из а С I и в С I называются смежными, если |а| = |в|, причем пересечение этих подтурниров имеет количество вершин, равное |а| — 1.
Пусть ek = (ôifc, ô2fc,..., ômk), к = 1,..., m, где ô^ — символ Кронекера, есть стандартный базис в Rm. Тогда
m
Sm-1 = co{ei,..., em} = {x = (xi, ...,xm) : ^ xi = 1,xi ^ °}
i=1
называется симплексом. Ясно, что Sm-i — выпуклый компакт размерности m — 1. Для любого непустого а С I положим
Га = со{вг : i G а}.
Га называется (|а| — 1)-мерной гранью симплекса Sm-i. Очевидно, любая грань Sm-i также является симплексом.
Понятие смежности для граней Sm-i определим так же, как для подтурниров турнира. Две грани, имеющие равные размерности, считаются смежными, если их пересечение имеет размерность на 1 меньше, чем исходные. Например, два ребра смежны только лишь тогда, когда у них есть общая вершина.
Пусть А = (aij), i,j = 1,..., m — вещественная кососимметрическая матрица, действующая в Rm. Тогда Ах и х ортогональны, то есть (Ах, х) = 0 для всех x G Rm. Легко доказать, что верно и обратное утверждение. Если (Ах, х) = 0 для всех x G Km, то матрица А кососимметрична.
Для а С I положим Аа = (aij), где i,j G а. В этом случае Аа называется главной подматрицей матрицы. Ясно, что Аа также кососимметрична. Пусть |Аа| — определитель матрицы А. Очевидно, |Аа| = 0, если |а| — нечетно, и |Аа| ^ 0, если |а| — четно.
Если x = (х1, ..., хт) и у = (уi,..., ут) — точки из Rm, то x ^ у означает, что Xi ^ yi для всех г = 1, т.
Теорема 2. Если А — кососимметрическая матрица, то
Р = {х е Бт-1 : Ах ^ 0} — непустой выпуклый многогранник.
Доказательство. Сведем доказательство к лемме Шпернера [8], утверждающей, что если замкнутые множества Р\,..., Рт таковы, что
Га с и Рг
г£а
т
для всех а с I, то Р| Рг = 0.
г=1
т т
Пусть Рк = {х е Бт-1 : оыхг ^ 0}, к = 1,..., т и Д(х) = акгхг.
г=1 г=1
Ясно, что Рк — замкнутые выпуклые множества. Так как А кососимметрична, то
¡к (е-к) = акк = 0.
Следовательно, вк е Рк при к = 1,..., т.
Пусть а = {1, 2, ...,Ц и х е Га представлен в виде х = ^ Хгег, где Хг ^ 0 и ^ Хг = 1.
г=1 г=1
Тогда
/1 (х) = ^20-12 + ^3^13 + ... + Ьаи, ¡2 (х) = 1-10,21 + ^3023 + ... + ^021,
(1)
.................................................. ,
¡г(х) = Ъ.10ц + Х2Щ2 + ... + Ь-10ы-1,
V
поскольку акк = 0.
Умножив в системе (1) первое равенство на Х1, второе на Х2 и т.д., затем суммируя получившиеся равенства, в силу кососимметричности Аа, получим
Е Шх) = 0. (2)
г=1
Поскольку Хг ^ 0 и хотя бы одно Хг положительно, то из (2) следует, что по крайней мере одно из чисел ¡\(х),..., ¡'г(х) неотрицательно. Следовательно,
Га С У
а
г=1
т
Таким образом, Р = П ^ — непустое множество.
г=1
То, что Р — выпуклый многогранник, очевидным образом следует из того, что Рк — замкнутая часть полупространства, а вт-1 — выпуклый многогранник. □
Следствие 1. = {х е вт-1 : Ах ^ 0} — непустой выпуклый многогранник.
Действительно, в теореме 2 достаточно заменить матрицу А на —А.
Пример 1. Если А = ^ ^ ^ ^, тогда = (1,0) и Р = (0,1).
0 1 -1
-1 0 1 I, тогда Р
1 -1 0
0 1 1 \
-1 0 0 ), тогда Р =
-1 0 0
0 1 -1 1 \
-1 0 0.5 -1
1 0.5 0 0.5 )
-1 1 -0.5 0
(1.1.1 )■
V3' з' 3 j
тогда P = (0, X, 1 - X), где 0 < X < 1 и Q = (1, 0, 0).
Пример 2. Если А
Пример 3. Если А
Пример 4. Пусть А =
тогда Р = Q = (0.2X; 0.15X + 0.25; 0.5 - 0.1X; 0.25 - 0.25X), где 0 < X < 1.
Определение 3. А = (акг) называется кососимметрической матрицей общего положения, если |Аа| > 0 для всех а с I таких, что |а| — четное число■
Легко заметить, что в примерах 3 и 4 матрица А не является матрицей общего положения.
Теорема 3. Множество всех кососимметрических матриц общего положения открыто и всюду плотно в множестве всех кососимметрических матриц■
Доказательство. Теорема доказана в работе [1]. В частности, если |а| =2, а = [k, г}, то А0
□
Поэтому |Аа| > 0 означает,
0 акг
-акг 0
что а^ = 0 при всех к = г, что позволяет построить турнир, соответствующий матрице А.
Понятие турнира можем ввести наряду с кососимметрической матрицей, соответствующей отображению Лотки-Вольтерры [1,4]. Элементы множества I = {1,..., т} отметим в виде точек и соединим точку к с точкой г стрелкой, направленной из к в г, если акг < 0, и обратно, если акг > 0. Полученный ориентированный граф назовём турниром [3,8,9].
0
Например, кососимметрической матрице А = | —1
1
1
11 01 10
соответствует турнир
3
2
Ясно, что в этом примере А — матрица общего положения, а турнир является транзитивной тройкой.
Теорема 4. Если А — кососимметрическая матрица общего положения, то множества Р и состоят из единственной точки.
Доказательство. Пусть Р имеет более чем одну точку, следовательно, Р — бесконечное множество. Поскольку число граней Зт-1 конечно, то некоторая грань Га имеет не менее двух точек из Р, причем эти точки внутренние для Га.
а) Пусть эти точки принадлежат внутренности 5*т 1, то есть у них все координаты положительны. Так как
Ах ^ 0 и (Ах, х) = 0,
то Ах = 0, поскольку все хг > 0, г = 1, т.
Аналогично Ау = 0, где у е Р, и все координаты у положительны. Ясно, что две различные точки из симплекса линейно независимы. Поэтому ётКегА ^ 2. Так как А — матрица общего положения, то ётКегА ^ 1. Получаем противоречие.
б) Если Р содержится в некоторой грани Га, то вместо А рассмотрим Аа. Ясно, что Аа — также кососимметрическая матрица общего положения размерности |а| х |а|. Если х е Га, то ха та же точка х, но только лишь с координатами из а. Тогда из Ах ^ 0 следует Ааха ^ 0 при условии, что х е Га. Следовательно, случай б) сводится к случаю а). □
2. Результаты
Пусть А = (а^) — произвольная кососимметрическая матрица с условием ац = 0 при г = ]
Рассмотрим отображение V : Мт ^ Мт, заданное равенствами
Хь
Хк
+ Е аы, к = 1, т,
(3)
где Ух = (х\,..., х'т).
Известно [1], что для V : Бт~1 ^ Бт~1 необходимо и достаточно, чтобы |йкг| ^ 1 при всех к, г = 1, ...,т, причем V является гомеоморфизмом Бт~1 на себя. Так как из Хк = 0 следует, что х'к = 0, то любая грань Га симплекса 5т~1 инвариантна, то есть V(Га) = Га, в частности, все вершины Бт~1 — неподвижные точки.
Отображение (3) при |йкг| ^ 1 называется отображением Лотки-Вольтерры. Далее рассматриваем V : вт~1 ^ Бт~1 только лишь как отображение, переводящее распределение вероятностей системы из т видов также в распределение вероятностей. Поскольку а^ = 0 при г = ], построим турнир Т, соответствующий матрице А.
Теорема 5. Если грань Га симплекса Бт~1 имеет внутреннюю (относительно грани) неподвижную точку, то подтурнир турнира Т с вершинами из а является сильным.
Доказательство. Так как все грани Бт~1 инвариантны относительно V, то можно считать, что Га = Бт~1, то есть а = I = {1, ...,т}. Допустим, что Т — не сильный турнир. Тогда [1,3] множество I можно разбить на два непустых класса так, что ребро, соединяющее две вершины из различных классов, всегда направлено из первого класса во второй.
Пусть 11 = {1, 2, ...,1} и 12 = {£ + 1,1 + 2,..., т}, тогда а^ < 0 при всех г е 11 и ] е 12. Согласно (3) выпишем первые Ь координат:
Хл —
Х1 1 ^ Е а1гХг + Е а1гХг
\ г=1 г=+1
т
Х2 = Х2 1 ^ Е ^Хг + Е ^Хг
=1
(4)
х1 = Х1 1 ^ Е аыхг +
=1
т
У] аИхг ■ )
Суммируя эти равенства, получим
4 4 4 4 т
= Х3 + Х3Хг + ^^ а3гхгх3, (5)
3=1 3=1 3=1 г=1 3=+1
где второе слагаемое в правой части равно нулю, так как подматрица матрицы А, соответствующая /1, кососимметрична. Для всех внутренних точек XI > 0, поэтому
т
^ ^ 03^х^хз < 0. 3=+1
Следовательно, из (5) получаем
(6)
=1 =1
для всех внутренних точек симплекса вт-1. Тогда V : Бт-1 ^ Бт-1 не может иметь внутренних неподвижных точек. Получаем противоречие. □
Следствие 2. Если подтурнир Та, соответствующий грани Га, транзитивен, то V на Га не имеет неподвижных точек кроме вершин этой грани.
Теорема 6. Для существования неподвижной точки V с тремя положительными координатами, скажем Хг,Хз,хк, необходимо и достаточно, чтобы подтурнир Т с вершинами г, ] и к был изоморфен циклической тройке.
Доказательство. Необходимость следует из теоремы 5. Для доказательства достаточности возьмём сужение V на грань Га
хг = ацХ] + Хк),
х3 = Х3(1 +
0-13X3 а3к Хк), Хк = Хк(1 - Огк+ &3кХ3 ),
где а = [г,], к}, причем 0,13, а^к, а3к положительны.
Тогда отображение V на Га имеет единственную внутреннюю неподвижную точку с координатами
(0*3 к йгк Ог3 \
йу + + а3к + + ^3к + + &3к /
□
Пусть |У | = 5, тогда динамическая система выглядит следующим образом:
х'г = х\(1 — al2 х2 — ol3x3 — al4x4 + ol5x5), х2 = х2(1 + а12 х\ — а2'зх-з — 024X4 — 025X5),
Х3 = Хз(1 + Ü13 Х\ + (123X2 — 034X4 — 035X5), х4 = Х4(1 + 0'4 Х\ + 024X2 + 034X3 — 045X5), х5 = Х5{1 — Ol5 Х\ + 025X2 + 035X3 + 045X4).
Соответствующий турнир имеет вид: 1
2
3
4
5
Здесь существует три сильных подтурнира с тремя вершинами — это 125, 135 и 145. Все эти подтурниры — сильные и смежные, так как пересечение любого из двух — одномерное ребро.
Рассмотрим для граней а = {1, 2, 5} и в = {1, 3, 5}, у = a U в = {1, 2, 3, 5} сужение матрицы А:
( 0 —0'2 0\2 Ol3
— 0'5 025
Ау —
Ol5
\
-013
0 -а2з —а25 а2з 0 -0;з5 035
\
0
/
Вычисляя определитель матрицы, получим |Лу| = (а13а25 — а12а35 + а15а2з)2, выражения в скобке обозначим через Д1 = а13а25 — а12а35 + а15а23.
Отображение, соответствующее вышеприведенной матрице Ау имеет вид (сужение отображения на грань Гу):
х1 = Х1 (1 — 0,12X2 — 0,13 Х3 + 015X5), Х2 = Х2 (1 + 012X1 — 023 Х3 — 025X5), Х3 = Х3 (1 + 013X1 + 023 Х2 — 035X5), х5 = Х5 (1 — 015X1 + 025Х2 + 035X3). На этой грани Гу существуют неподвижные точки с координатами
Хп -
Хв —
025
Ol5
Ol2
Ol2 + O25 + O15 Oi2 + O25 + O15 Oi2 + Ü25 + O15 _О335__ о- __. __
, O13 + 035 + 0151 ' 013 + 035 + 0151 0,13 + O35 + 015
Для того чтобы найти множества Р и Q, находим АуХа и АуХв :
АуХа —
( 0 -012
1 012 0
012 + 025 + 015 013 023
\ -015 025
015
\
0 -035
035
/
( 025 \ 015 0
V О12 )
1
012 + 015 + 025
(0.0; Л1.0)
АуХв —
1
013 + 015 + Ü35
(0; -Л1.0.0).
Здесь Ау — матрица общего положения, так как Л1 — 0.
0
Если Д1 > 0 тогда АуХа ^ 0 и А^хр ^ 0, значит неподвижные точки ха и жр составляют пару (Р, ) на грани Гг Это означает, что направление ставится от точки Р = ха к точке = жр. Если же Д1 < 0, тогда получаем обратное.
Теперь перейдем к другим смежным граням. Пусть а = {1, 2, 5} и в = {1, 4, 5}, тогда у = а и в = {1, 2, 4, 5}. Здесь сужение матрицы А на Г имеет вид:
Ау —
/ 0 — «12 —Й14 «15 \
«12 0 —Й24 —«25
Й14 Й24 0 —Й45
V —а 15 Й25 «45 0 /
Вычислим также |Ау| = (а14а25 — а12а45 + а15а24)2 и Д2 = а14а25 — а12а45 + а15а24.
Сужение отображения на этой грани Гу = Г1245 имеет две неподвижные точки ха = Ж125 и Хв = Ж145.
Для каждой из этих точек определяем их характер, для этого находим
Ау Ха —
1
Ау хв
Й12 + ^15 + ^25 1
Й14 + Й15 + Й45
(0; 0; Д2; 0) , (0; —Д2; 0; 0) .
Если Д2 > 0, тогда Р = ха и = Жв, и, обратно, если Д2 < 0, тогда Р = Жв и = жа. Перейдем к последнему, пусть а = {1, 3, 5}, в = {1, 4, 5}, тогда у = а и в = {1, 3, 4, 5}. Сделав те же вычисления, получим
1
^у^а —
Ау хв
013 + 015 + О35 1
Й14 + Й15 + Й45
(0; 0; Дз;0)
(0; —Дз; 0; 0).
Здесь Д3 = а14а35 — а13а45 + а15а34 — определитель сужения матрицы Ау. Если Д3 > 0, тогда Р = жа, = жв и обратное, если Д3 < 0, тогда Р = жв, Я = ха.
В итоге для полного исследования картины траекторий внутренних точек симплекса мы получили подтурнир, который назовем картой неподвижных точек. Здесь карта неподвижных точек имеет вид,
125
145
135
в котором направления на ребрах определяются знаками Дг, г = 1, 2, 3.
Здесь мы получим всего 23 = 8 случаев карт неподвижных точек (рис. 3), среди которых есть изоморфные [6].
ЛАДА
АЛ
Рис. 3. Все виды карт при гп = 3 Fig. 3. All types of cards at rn = 3
Из рисунка мы видим, что первые 6 случаев изоморфны; эти тройки называются транзитивными. Для этих шести случаев остановимся на следующем виде:
125
Лемма 1. Если Дг (г = 1,2,3) имеют разные знаки, тогда в карте неподвижных точек образуется транзитивная тройка, и симплекс Б4 не имеет внутренних неподвижных точек.
Перейдем к последним двум случаям из рис. 3. Эти два случая изоморфны, поэтому мы остановимся на любом из них, например,
125
Лемма 2. Если знаки всех Дг (г = 1, 2,3) совпадают, тогда в карте образуется гамильтонов цикл (сильная тройка), и в симплексе Б4 существует внутренняя неподвижная точка.
Обобщим полученное в предыдущем разделе на |У| = т. Соответствующий турнир, согласно [7], имеет вид
1 2
3
4
т
Далее, в кососимметрической матрице А общего положения выпишем только лишь положительные а^(г = ]), а знаки перед ними расставим в соответствии с турниром Тт. Например, изучаемому турниру Тт соответствует матрица
(
А =
0
ai2 агэ
-ai2 -ai3 0 -0,23 a23 0
\ Oim 0,2m &3m
Q-lm— 1 &1m \ 0,2m— 1 02m О3т— 1 О3т
Om— 1m
0
Итак, отображение V, построенное по Tm, имеет ш неподвижных точек с одной и (ш — 2) неподвижных точек с тремя ненулевыми координатами при любых aij. Существование неподвижных точек с 5, 7, 9 и т. д. ненулевыми координатами, принадлежащими Sm~1, зависит от некоторых неравенств от коэффициентов кососимметрической матрицы.
Для выяснения рассмотрим два сильных подтурнира Tm с тремя вершинами, например, а = {1, 2, т} и в = {1, 3, т}. Как отмечено выше, они смежные.
Пусть у = а U в = {1, 2, 3, т}, тогда сужение VY на Гу имеет вид
х1 = Х1(1 — 012X2 — 013X3 + a1m Xm), х2 = Ж2(1 + 012X1 — 023X3 — a2m xm), Х3 = Х3(1 + 013X1 + 023X2 — 03m Xm), Xm = xm(1 — 01mX1 + 02m x2 + 03mX3).
Тогда на rY имеем две неподвижные точки:
02m
01m
0,
012
Хв . , ,
\013 + a3m + 01m
с носителями а и в, соответственно. Для AYxa и А^хв имеем
АуХа —
О12 + 02m + 01m ' 012 + 02m + 01m ' ' 012 + 02m + 01r, 03m 01m О13
0,
013 + 03m + 01m 013 + 03m + 01r
( 0 —012 —013 01 m \
1 012 0 —023 — 02m
012 + 02m + 01m 013 023 0 03m
\ 01m 02m 03m 0 /
01m 0
V (112 J
1
АуХв =
012 + 02m + 01m 1
(0, 0, 01302m + 02301m — a^3m, 0)
013 + 01m + 03m
(0, й1203m — 02301m — 02m0l3, 0, 0) .
Вычисляя lAyl, находим, что
1 Ay1 = (01302m + 02301m — 012d3mY Поскольку A — матрица общего положения, то
01302m + 02301m — Oy203m =
(7)
x
а
Таким образом, если a13a2m + a23a1m — a12a3m > 0, тогда АуХа ^ 0 и AyXß ^ 0. Следовательно, ха является Р точкой, а жр — Q точкой на грани Гу.
Если a13a2m + o23a1m — o12a3m < 0, то ха и жр меняются местами. Сформулируем эти рассуждения в виде теоремы.
Теорема 7. Любые две циклические тройки в Тт смежны, причем из определяемых неподвижных точек одна — Р точка, а другая — Q точка для грани, содержащей их.
Доказательство. Теорему можно доказать, основываясь на приведенных выше рассуждениях. □
На основании теоремы 7 все циклические тройки Тт представим в виде точек и соединим Um с 1jm стрелкой, идущей из Р точки в Q точку. Таким образом, получим новый турнир из т — 1 точки, который обозначим через Gm-1 и назовем картой неподвижных точек.
Как мы показали выше, карт неподвижных точек всего 23 = 8 возможных случаев, среди которых мы рассмотрели два неизоморфных [3], причем стрелки расставляются в соответствии с теоремой 7.
Теорема 8. Если Gm-1 — транзитивный турнир, то отображение V не имеет в симплексе Sm-1 неподвижных точек с пятью и более ненулевыми координатами.
Доказательство. Если Sm-1 имеет внутреннюю неподвижную точку ((т — 1) — нечетно) отображения V, скажем, ж, то непременно Ах = 0, то есть ж одновременно является и Р, и Q точкой. Пусть х — неподвижная точка с пятью ненулевыми координатами и принадлежит грани Гу, где |у| = 5. Ей соответствует сильный подтурнир Ту (теорема 5). Сильный подтурнир Tm с пятью вершинами имеет только вершины 1, г, j, к, т, то есть у = {1, г, j, к, т} где 1 < г, j,k < т и i,j,k — различны.
Следовательно, в нем имеется три подтурнира 1гт, 1jm и 1кт. Так как Gm-1 транзитивен, то именно один из них является Р точкой для грани Гу. Так как для каждой грани Р точка единственна, поскольку А — матрица общего положения, то последнее противоречит тому, что неподвижная точка с пятью ненулевыми координатами — Р точка для Гу. □
Теорема 9. Если в Gm-1 существует циклическая тройка, то существует неподвижная точка с пятью ненулевыми координатами.
Доказательство. Пусть 1гт, 1jm и 1km образуют циклическую тройку в Gm-1 и у = {1, i,j, к, т}. Тогда неподвижные точки, определяемые 1гт, 1jm и 1кт, не могут быть Р точками для Гу. Следовательно, грань Гу обязана иметь внутреннюю неподвижную точку. □
Следствие 3. Число неподвижных точек отображения V с пятью ненулевыми координатами равно числу циклических троек в карте Gm-1.
Заключение
Известно, что динамические системы берут свое начало в механике с работ Анри Пуанкаре, в которых утверждается, что некоторые системы после некоторого конечного времени вернутся в состояние, очень близкое к исходному [10]. В 1988 году А. Ляпунов разработал методы, позволяющие определить устойчивость обыкновенных дифференциальных уравнений. Во многих отраслях науки, например естественных и инженерных дисциплинах, правило эволюции динамических систем описывается либо дифференциальным, либо разностным уравнением.
В этих системах, учитывая расположение начальной точки, можно определить состояние в будущем — это и есть совокупность точек, известных как траектория или же орбита, поэтому нас и интересует нахождение равновесных состояний системы.
Квадратичные отображения симплекса можно применить для задач популяционной генетики, эпидемиологии, экологии, экономики. В работе исследовалось асимптотическое поведение траекторий квадратичных отображений Лотки-Вольтерры, действующих в (т — 1)-мерном симплексе с однородными турнирами. Эти системы с однородными турнирами описывают процесс экологического круговорота, в частности, рассматриваемая модель позволяет более адекватно описать процесс круговорота биогенов [11]. Наряду с дискретными динамическими системами в работе рассматривались элементы теории графов, то есть эти системы связались с такими понятиями, как турниры. Введено понятие карты неподвижных точек. По состоянию характера карт неподвижных точек определены критерии существования таких неподвижных точек, с помощью которых описывается течение траекторий, позволяющих описать эволюцию биосферы [11].
Список литературы
1. Ганиходжаев Р. Н. Квадратичные стохастические операторы, функции Ляпунова и турниры // Математический сборник. 1992. Т. 183, № 8. С. 119-140.
2. Шахиди Ф. А. О бистохастических операторах, определенных в конечномерном симплексе // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50, № 2. С. 463-468.
3. Ганиходжаев Р.Н., Таджиева М.А., Эшмаматова Д. Б. Динамические свойства квадратичных гомеоморфизмов конечномерного симплекса // Итоги науки и техники. Серия «Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры». 2018. Т. 144. С. 104-108.
4. Eshmamatova D., Ganikhodzhaev R. Tournaments of Volterra type transversal operators acting in a simplex Sm~1 // AIP Conference Proceedings. 2021. Vol. 2365, no. 1. P. 060009. DOI: 10.1063/ 5.0057303.
5. Harary F. Graph Theory. Boston: Addison-Wesley, 1969. 274 p.
6. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. Монография. М.: Мир, 1977. 324 с.
7. Moon J.W. Topics on Tournaments. New York: Holt, Rinehart and Winston, 1968. 112 p.
8. Ганиходжаев Р. Н.Карта неподвижных точек и функции Ляпунова для одного класса дискретных динамических систем // Математические заметки. 1994. Т. 56, № 5. С. 40-49.
9. Ганиходжаев Р. Н., Эшмаматова Д. Б. Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий // Владикавказский математический журнал. 2006. Т. 8, № 2. С. 12-28.
10. Пуанкаре А. Избранные труды в трех томах. Т. 1. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971. 745 с.
11. Небел Б. Наука об окружающей среде. Как устроен мир. В 2-х томах. М.: Мир, 1993. References
1. Ganikhodzhaev RN. Quadratic stochastic operators, Lyapunov functions, and tournaments. Sbornik: Mathematics. 1993;76(2):489-506. DOI: 10.1070/SM1993v076n02ABEH003423.
2. Shahidi FA. Doubly stochastic operators on a finite-dimensional simplex. Siberian Mathematical Journal. 2009;50(2):368-372. DOI: 10.1007/s11202-009-0042-3.
3. Ganikhodzhaev RN, Tadzhieva MA, Eshmamatova DB. Dynamical properties of quadratic homeomorphisms of a finite-dimensional simplex. Journal of Mathematical Sciences. 2020;245(3): 398-402. DOI: 10.1007/s10958-020-04702-7.
4. Eshmamatova D, Ganikhodzhaev R. Tournaments of Volterra type transversal operators acting in a simplex Sm~1. AIP Conference Proceedings. 2021;2365(1):060009. DOI: 10.1063/5.0057303.
5. Harary F. Graph Theory. Boston: Addison-Wesley; 1969. 274 p.
6. Harary F, Palmer EM. Graphical Enumeration. Amsterdam: Elsevier; 1973. 286 p.
7. Moon JW. Topics on Tournaments. New York: Holt, Rinehart and Winston; 1968. 112 p.
8. Ganikhodzaev RN. Map of fixed points and Lyapunov functions for one class of discrete dynamical systems. Mathematical Notes. 1994;56(5):1125-1131. DOI: 10.1007/BF02274660.
9. Ganikhodzhaev RN, Eshmamatova DB. Quadratic automorphisms of a simplex and the asymptotic behavior of their trajectories. Vladikavkaz Mathematical Journal. 2006;8(2):12-28 (in Russian).
10. Poincare H. New Methods of Celestial Mechanics. Berlin: Springer; 1993. 1077 p.
11. Nebel BJ. Environmental Science: The Way the World Works. Hoboken, New Jersey: Prentice Hall Professional; 1993. 630 p.
й'ш
Эшмаматова Дилфуза Бахрамовна — родилась в Самарканде (1974). Окончила с отличием механико-математический факультет Ташкентского государственного университета по направлению «Дифференциальные уравнения» (1996). Защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности «Математический анализ». С 2003 по 2020 год работала в Ташкентском институте инженеров железнодорожного транспорта старшим преподавателем, доцентом и заведующей кафедрой «Высшая математика». С 2020 года работает на кафедре «Высшая математика» Ташкентского государственного транспортного университета в должности заведующего. Научные интересы — динамические системы, теория графов, математическое моделирование, математическая биология, популяционная генетика, эпидемиология и вопросы, касающиеся экологии. Опубликовала свыше 30 научных статей по указанным направлениям.
Узбекистан, 100167 Ташкент, Мирабадский район Ташкентский государственный транспортный университет E-mail: [email protected] ORCID: 0000-0002-1096-2751
Таджиева Мохбону Акром кизи — родилась в Ташкенте (1990). Окончила с отличием факультет математики Национального университета Узбекистана (НУУз) имени Мирзо Улугбека по направлению «Математический анализ» (2013). Защитила диссертацию на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности «Математический анализ» (2022, НУУз). С 2022 года работает на кафедре «Высшая математика» Ташкентского государственного транспортного университета в должности старшего преподавателя. Научные интересы — динамические системы, теория графов, математическое моделирование, математическая биология, популяционная генетика, эпидемиология и вопросы, касающиеся экологии. Опубликовала свыше 10 научных статей по указанным направлениям.
Узбекистан, 100167 Ташкент, Мирабадский район Ташкентский государственный транспортный университет E-mail: [email protected] ORCID: 0000-0001-9232-3365
Ганиходжаев Расул Набиевич — родился в Ташкенте (1945). Окончил факультет математики Ташкентского государственного университета по направлению «Функциональный анализ» (1971). Защитил диссертацию на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по специальности «Математический анализ» (1997, ТашГУ). Профессор кафедры «Алгебра и функциональный анализ» Национального университета Узбекистана. Научные интересы — динамические системы, теория графов, математическое моделирование, математическая биология, популяционная генетика, эпидемиология и вопросы, касающиеся экологии. Опубликовал свыше 50 научных статей по указанным направлениям.
Узбекистан, 100167 Ташкент, Алмазарский район Национальный университет Узбекистана имени Мирзо Улугбека E-mail: [email protected] ORCID: 0000-0001-6551-5257
