CC BY
17
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
При моделировании использованы данные крупного сельскохозяйственного предприятия СХОАО «Белореченское». По результатам решения задач линейного программирования затраты по растениеводческой отрасли составили 154197 тыс. руб., на производство продукции скотоводческой отрасли - 81552 тыс. руб., для сочетания отраслей - 203676 тыс. руб.
В таблице приведены верхние у и нижние у оценки затрат на производство продукции отраслей и их сочетания для задач линейного (ЗЛП) и параметрического (ЗЛПП) программирования.
Полученные результаты показывают возможности вариации параметров моделей для управления реальными производственными процессами. Обращает на себя внимание тот факт, что разности верхних и нижних оценок в задаче параметрического программирования менее значительны. Это объясняется учетом в модели с параметром развития производства.
Конечно, хозяйству в своей деятельности не следует ориентироваться на экстремальные реализации случайных и неопределенных факторов, однако такие постановки не только возможны, но и необходимы для прогнозирования и оценки критических ситуаций.
Таким образом, для определения оптимального варианта развития устойчивого сельскохозяйственного предприятия прием-
лемы модели задачи линейного параметрического программирования, позволяющие прогнозировать искомые значения с упреждением 1 год. При этом в качестве параметров могут использоваться время и предшествующие значения характеристик модели.
Детерминированные модели предлагается дополнять оценками неопределенных параметров, что расширяет возможности моделирования различных ситуаций, включая экстремальные, при оптимизации структуры производства отраслей сельского хозяйства и их сочетания.
Библиографический список
1. Барсукова, М.Н. Об оптимизационных моделях
сельскохозяйственного производства: классификация и применение / М.Н. Барсукова, А.Ю. Белякова, Я.М. Иваньо // Информационные и математические технологии в научных исследованиях: тр. XI междунар. конф.: Ин-т систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН. - Иркутск, 2005. - Ч. 1.
- С. 49-57.
2. Блюмин, С.Л. Модели и методы принятия реше-
ний в условиях неопределенности / С.А. Блюмин, И.А. Шуйкова. - Липецк: ЛЭГИ, 2001. - 138 с.
3. Булатов, В.П. Об одном эффективном методе выпук-
лого программирования / В.П. Булатов, Н.И. Фе-дурина // Дискретный анализ и исследование операций. Сер. 2. - 2004. - Т. 11. - № 1. - С. 1-5.
4. Нечеткие множества и теория возможностей. Пос-
ледние достижения / Под ред. Р.Р. Ягера. - М.: Радио и связь, 1986. - 406 с.
5. Орлов, А.И. Менеджмент: учеб. / А.И. Орлов.
- М.: Знание, 1999. - 79 с.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ПРИ АНАЛИЗЕ И СИНТЕЗЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ДОЗИРОВАНИЯ В ПРОИЗВОДСТВЕ ДРЕВЕСНЫХ ПЛИТ
В.М. РЯБКОВ, доц. каф. управления автоматизиров. производствамиМГУЛ, канд. техн. наук, Д.С. СМИРНОВ, асп. каф. управления автоматизиров. производствами МГУЛ
Автоматическое дозирование является одной из важнейших операций при производстве композиционных древесных материалов. К ним относятся операции дозирования щепы при подаче в стружечные станки, дозирование стружки при приготовлении связующего и приготовлении клее-стружечных смесей, дозирование клее-стружечной смеси при формировании ковра. От выбора систе-
мы дозирования и точности дозатора зависят в значительной степени качество и техникоэкономические показатели готовой продукции. Нами проведен анализ существующих систем автоматического дозирования компонентов при производстве древесных композиционных материалов. На основе произведенного анализа составлена классификация систем дозирования (рис. 1).
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 6/2007
161
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рис. 1. Классификация схем дозирования в производстве композиционных древесных материалов
Если дозирование сырых сыпучих и жидких материалов (цемент, магнезит, смолы и т.д.) не представляет особых трудностей, то дозирование древесных стружек и древесного волокна связано с известными проблемами. При дозировке связующих в производстве композиционных древесных материалов необходимо учитывать породный, фракционный и другие показатели измельченной древесины [1, 2].
Проблемы выбора оптимальной системы и критериев дозирования при производстве композиционных материалов до настоящего времени не теряют своей актуальности [1-6].
При решении задач оптимизации систем дозирования применяют различные технологические и экономические критерии, характеризующие те или иные стороны процесса управления и качества функционирования производства в целом.
Технологические критерии требуют достижения экстремальных значений отдельных технологических параметров: максимума прочности изделий, минимума перерасхода материала, минимума времени, затрачиваемого на отдельные операции и др. Экономические критерии предполагают наибольшую экономическую эффективность производства, прибыль, производительность, наименьшие затраты и т.п.
Для оценки показателей качества технологического процесса или отдельных фаз обычно используют несколько частных критериев. Правильный их выбор определяет весь дальнейший ход синтеза и оптимизации.
Частные критерии могут быть в некоторых случаях объединены в единый комплексный критерий, однако в общем случае получить аналитические выражения довольно трудно. В ряде случаев оказывается, что выбрать один критерий практически невозможно, потому что эффективность процесса характеризуется одновременно несколькими равнозначными критериями, во многих случаях противоречивыми. Классическим примером такого противоречия критериев является случай, когда необходимо оптимизировать точность измерения нестационарного случайного процесса. С одной стороны, как известно, при увеличении числа измерений среднеквадратическая погрешность уменьшается по закону аЦп; с другой стороны, при увеличении числа измерений, ввиду изменения регулярной составляющей процесса во времени, увеличивается погрешность определения среднего значения.
Аналогичные противоречия возникают между быстродействием и точностью порционного дозирования. Например, применение методов импульсной дозировки позволяет повысить точность - уменьшить случайную составляющую погрешности, но в то же время требует большой затраты времени на дозирование компонентов.
Методы поиска компромиссных решений заключаются в выборе головного критерия, в то время как остальные критерии рассматриваются как ограничения. В этом отношении показательными являются задачи управления, в которых критерий формулируется в виде функции риска. Ввиду важности критериев, заданных в форме риска, рассмотрим пример оптимизации настройки уставки задатчика дозаторов порционного действия [3].
Как известно, условный закон распределения дозированных масс компонентов смеси X. (i = 1, 2,..., п) при некотором положении уставки задатчика U дозатора можно представить в виде нормального закона с плотностью
fXt / U) = (1 / а.)exp{-(X - m.)2 / 2а*г2, (1)
где mx. - математическое ожидание дозированной массы при некотором заданном значении уставки задатчика дозатора i-го компонента;
162
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
а 2 - дисперсия погрешностей дозирования /-го компонента.
При настройке задатчика дозатора обычно стремятся найти такое значение уставки U, при котором заданная по технологическим нормам масса -го компонента Х совпадает с математическим ожиданием X = т. закона fX. / U). В действительности, если известны верхний и нижний допустимые пределы изменения массы дозируемого компонента Х. и Х то стоимости передозировки и недовеса компонента в денежном выражении в пределах допуска неравноценны.
Разобьем область возможных значений изменения массы дозируемого компонента на дискретные полосы. С каждой полосой сопоставим стоимость С, равную прибыли в зависимости от израсходованной массы дозированного компонента (например связующее), которая так или иначе фигурирует при подсчете отпускной цены готового изделия. Естественно, за областью допустимых значений Х. и Х.н стоимость готового изделия будет иметь отрицательную величину, ввиду того что она не будет соответствовать технологическим нормам, например по такому показателю, как прочность.
Каждой дискретной полосе стоимостей С. соответствует вероятность P.(U), зависящая от положения уставки задатчика дозатора U. Таким образом, зная С. и Р, можно записать функцию риска в виде
m XiJ+1
I(U)=ТС} j f (XU)dXj. (2)
J=1 Xij
Минимум функции риска (2) получим при некотором значении уставки задатчика дозатора /-го компонента U. опт, которое можно определить из уравнений оптимизации
m Xj+1
dI(U )/dUt = d[£CJ j f (X /Uj )dXj ]/dUt = 0. (3)
J=1 Xij
В общем случае условное математическое ожидание m | u. закона распределения (1) не равно заданной по технологическим нормам массе -го компонента X 0.
В ряде случаев при выборе структуры и алгоритмов управления применяют вероятностный критерий оценки эффективности систем дозирования [2]. Вероятностный критерий обладает свойством вне зависимости от
технических особенностей систем управления устанавливать объективную сравнительную оценку эффективности предложенных вариантов. Помимо этого, на основе вероятностного критерия путем статистических натурных или модельных испытаний можно установить преимущества той или иной системы управления с эксплуатационной точки зрения.
Вероятностный критерий оценки эффективности можно определить как вероятность точного выполнения предписаний алгоритма управления тем или иным техническим устройством или общем случае - вероятность того, что технологический критерий будет развиваться (протекать) в соответствии с заданным алгоритмом функционирования.
Множество технических решений А и значений критерия В - эквивалентные множества. Между множествами А и В взаимно однозначное соответствие, так как каждому техническому решению из множества А соответствует только одно значение вероятностного критерия (один элемент) из В.
Для того чтобы выбрать оптимальное решение по вероятностному критерию, необходимо найти максимум вероятности P множества В
max P., P. е B. (4)
Тогда наилучшей, оптимальной будет та система автоматизации, для которой имеем максимум из (4). Это задача оптимизации по структуре.
В действительности при проектировании имеется ограниченное число вариантов принципиальных решений по автоматизации, каждый из которых имеет то или иное преимущество перед другими по чисто техническим критериям, таким как быстродействие, время установления стационарного режима, точность и т. п. Помимо этого, одни и те же технические решения могут отличаться типом используемых элементов (компонентов схемы). Поэтому в общем случае выбор варианта может основываться на сравнении надежностей предложенных решений по каждому из разработанных технических вариантов и не требует специальных методов поиска оптимальных вариантов.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий возможность синтеза конечного мно-
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
163
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
жества А алгоритмов управления процессом дозирования клее-стружечных смесей с последующим анализом этого множества вариантов на основе вероятностного критерия (4).
Для реализации процесса дозирования п компонентов смеси можно синтезировать конечное множество А систем управления процессом связанного дозирования - в дальнейшем алгоритмов управления, отличающихся между собой последовательностью дозирования: отдельных компонентов, способом корректировки установок дозаторов, количеством компонентов, дозируемых на каждом этапе.
Осуществить связанное дозирование, например четырех компонентов Х Х Х Х можно многими способами. В отличие от независимого при связанном дозировании компоненты отмеряются в некоторой установленной очередности. Например, четыре компонента можно дозировать в два, три и четыре этапа. Если принята схема двухэтапного дозирования, то на первом этапе можно дозировать три компонента, а на втором - один, и наоборот, на первом этапе - один, на втором - три компонента. Для каждого варианта поэтапного дозирования будем иметь вполне определенный алгоритм управления.
В общем случае предполагаем, что дозирование п компонентов Х Х2,...,Хп смеси производится в т этапов (т = 1, 2,..., п). Алгоритм управления процессом дозирования в этом случае будем называть п-этапным алгоритмом управления.
Алгоритмы управления изображаем следующим образом. Компоненты, дозируемые на различных этапах, располагаем вертикально, показывая их кружочками (вершинами). Наличие корректирующих связей между отдельными компонентами указываем стрелкой, выходящей из i-й вершины и входящей в j-ю вершину. Направление стрелки указывает на то, что j-й компонент корректируется по массам тех компонентов, из которых исходят стрелки.
В качестве примера рассмотрим множество алгоритмов управления дозированием четырехкомпонентной клеевой смеси, состоящей из Х1 (смолы), Х2 (воды), Х3 (отвердите-ля), Х4 (добавок). При этом предположим, что вода Х2 дозируется во всех случаях на последнем этапе. Множество алгоритмов управле-
ния А (4) разобьем вначале на подмножество алгоритмов, отличающихся количеством этапов дозирования. Подмножество алгоритмов одноэтапного дозирования будет представлено всего одним алгоритмом независимого (несвязанного) дозирования компонентов.
Рассмотрим подмножество алгоритмов двухэтапного дозирования А 2. Нетрудно убедиться, что оно будет представлено двумя подмножествами - А21, А22, (подмножество алгоритмов А 21, при котором на первом этапе дозируется один компонент, а на втором - два; подмножество алгоритмов А22, при котором на первом этапе дозируются два компонента, а на втором - один). Подмножество А3 будет представлено алгоритмами, осуществляющими на каждом из трех этапов дозирование по одному компоненту.
Вернемся вновь к подмножеству двухэтапных алгоритмов. Рассмотрим подмножество А22, в котором на первом этапе дозируется один компонент, а на втором - два компонента (рис. 2). В зависимости от количества связей оно будет представлено двумя подмножествами А22 (1) и А21 (2) (рис. 2 б, в). Таким образом, имеем
А2 = А21(2) + АД1) + А22. (2)
Если корректирующие связи ориентированы, то тот или иной алгоритм является представителем подмножеств подобных алгоритмов, различающихся только типом компонентов, дозируемых на каждом этапе. Подмножества подобных алгоритмов, имеющих структуру, показанную на рис. 2, а, б, в, будут представлены тремя алгоритмами (рис. 2), отличающимися только порядком дозирования компонентов Х1, Х2, Х3.
Рассмотрим теперь подмножество трехэтапных алгоритмов А3. В зависимости от количества связей это подмножество можно разделить на два подмножества А3(2) и А3(3) подобных алгоритмов.
Л1 = А21(2) А22(2) А22(1)
а б в
Рис. 2. Подмножества двухэтапных алгоритмов дозирования трех компонентов
164
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
—*~СХ3)
()
—*^х2)
(а^—
а б
Рис. 3. Подмножества подобных трехэтапных алгоритмов управления (а - с минимальным числом корректирующих связей; б - с максимальным числом корректирующих связей)
Таким образом, имеем два подмножества подобных алгоритмов с двумя и тремя корректирующими связями.
На рис. 3 а, б показаны подмножества алгоритмов A3(2) и A3(3), отличающиеся типом компонентов, дозируемых на последовательных этапах. Подмножества трехэтапных алгоритмов представлены двенадцатью алгоритмами. Общее количество N(A4) алгоритмов на множестве алгоритмов управления следовательно, будет равно 25 алгоритмам. Множество алгоритмов управления в этом случае будет содержать 5 подмножеств подобных алгоритмов.
Количественно технологическим показателем качества многокомпонентной смеси может служить величина у. - отношение массы /-го компонента Xk(u) к результирующей массе смеси V k в k-м цикле дозирования
Yk = Xk(u) / [W + X2k(u2) + ... + X„k(u„) L где Vpk - результирующая масса смеси в k-м цикле дозирования:
Vpk =ixik (u),
/=1
x k(ui) - дозированная (измеренная) масса /-го компонента при значении уставки задатчика дозатора, равном ui.
Если известны допустимые пределы отклонения у то вероятность того, что все у. будут находиться в заданных пределах, представляет собой вероятностный критерий оценки качества системы управления многокомпонентным дозированием
Р. = МУш < Yik < УlB, Y2h < Y2k <
< у у < у< у }
где у в, Yih - соответственно верхний и нижний пределы отклонения у. (/ = 1, 2,..., n). Эти пределы обычно задаются на основе технологических требований. Для каждого из 25 алгоритмов управления можно рассчитать вероятность по (2). Таким образом, множество значений критерия (2) N(B) также равно 25.
Оптимальным алгоритмом в соответствии с (4) будем называть такой, для которого вероятность Р максимальна
РопТ = max{PP p2,..., р PJ. (6)
Библиографический список
1. Карпин, Е.Б. Средства автоматизации для измерения и дозирования массы. Расчет и конструирование / Е.Б. Карпин // Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Машиностроение, 1971.
2. Объемное и весовое дозирование измельченной древесины и связующего в производстве древесностружечных плит. Пер. с немецкого. Деревообрабатывающая промышленность. - 1965. - № 4.
- С. 33-34.
3. Рябков, В.М. Анализ методов автоматического дозирования компонентов плиты и ее дозировки в формы в производстве фибролитовых плит / В.М. Рябков: сб. науч. тр. МЛТИ. - Вып. 62. -1975. - С. 33-47.
4. Шварцман, Г.М. Производство древесно-стружечных плит / Г.М. Шварцман, Д.А. Щедро. - М.: Лесная пром-сть, 1987.
5. Волынский, В.М. Технология стружечных и волокнистых древесных плит. Учебное пособие для ВУЗов / В.М. Волынский. - Таллин, DESIDERATA,
2004. - С. 192.
6. Поляков, С.И. Проблема достижения точности дозирования материалов. Актуальные проблемы лесного комплекса / С.И. Поляков. - Брянск, БГТИ,
2005. - С. 145.
7. Скотников, С.И. Современные системы дозирования и смешивания в производстве древесно-стружечных плит / С.И. Скотников: сб. науч. тр. МГУЛ.
- Вып. 335. - С. 179-182.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2007
165
