Критерии оптимальности объединения машин и агрегатов в системы Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 51-73;64-83;64.069.8 ББК 31.392; 31.291; 31.261 КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ОБЪЕДИНЕНИЯ МАШИН И

АГРЕГАТОВ В СИСТЕМЫ

В-А-Богатырев1, С.В.Богатырев2, Г.В. Лепеш3

Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики,

192171, Санкт-Петербург, ул. Седова, дом 55/1

Рассматривается постановка задачи векторной оптимизации резервированных комплексов машин и агрегатов, реализующих многоэтапный процесс выполнения работ. Сформированы варианты скалярных критериев на основе мультипликативной и аддитивной свертки с учетом надежности, времени обработки запросов и стоимости реализации системы. Показана возможность применения коэффициента сохранения эффективности в качестве объективного обобщенного критерия векторной оптимальности.

Ключевые слова: надежность, машины, агрегаты, векторная оптимизация, критерий оптимальности, коэффициент сохранения эффективности.

Введение

Проектирование машин, агрегатов и их комплексирование в системы требует решение задачи структурнопараметрической оптимизации с целью максимизации надежности и производительности системы при минимизации затрат на ее построение и эксплуатацию.

Рассматриваемая задача оптимизации является векторной, сложность которой обусловлена тем, что одно решение (альтернатива) может превосходить другую по одним показателям и уступать по другим. В задачах принятия решений по векторному показателю главное внимание уделяется выработке решающего правила, основанного на компромиссе между компонентами векторного показателя. Таким образом, проблема принятия решений по векторному показателю сопряжена с поиском концептуально обоснованного критерия выбора наилучшего решения. Формальное определение обобщенного критерия в виде аддитивной или мультипликативной свертки показателей надежности, стоимости и производительности не отражает возможную потерю производительности по мере накопления отказов и дает завышенный результат, что может привести к необоснованному выбору структуры системы.

В статье рассматривается поста-

новка задачи оптимизации, в соответствии с которой сформированы варианты частных и обобщенных критериев эффективности построение резервированных комплексов машин и агрегатов, реализующих многоэтапный процесс выполнения работ.

Постановка задачи векторной

оптимизации

В качестве объекта оптимизации рассмотрим комплекс машин и агрегатов, предусматривающих многоэтапный процесс выполнения работ. Для повышения надежности и производительности системы предусматривается резервирование машин, реализующих различные этапы процесса обработки.

Требуется найти число (кратность резервирования) машин, реализующих каждый этап обработки (ш1,ш2шм), при котором обеспечивается максимум надежности системы, минимум среднего времени пребывания в ней запросов, а стоимость реализации системы не должна превышать выделенных на это средств:

Р (т1,т2,...,ти) ~1* тах

Т(т , т2,.... тм ) ~* min ,

М

приС(»?!,/»,,...,»?„) = X mici ^ С0 .

1 = 1

Возможна также другая постановка задачи. Требуется найти число машин, реализующих каждый этап обработки, при котором стоимость реализации системы минимальна и обеспечиваются требуемые технические показатели системы:

С (;;?1, т 2,..., тм ) ~* т т ,

при/,(;;?1,т2,.... тм ) - Р0 И

Т(т1, ;;?2,тм ) - Т0 .

При этом Т0 ,Р0 ,С0 - предельно допустимые значения среднего времени реализации процесса обработка, надежности и стоимости системы.

При оптимизации будем считать заданными:

• интенсивность входного потока запросов X;

• показатели надежности машин (вероятности безотказной работы)

р^РиРъ’-’Ри ;

• средние времена выполнения запросов машинами на этапах обработки V V V V '

• стоимости машин, выполняющих соответствующие этапы процесса обработки сх,сг,съ,, см .

Для систем с возможностью накопления отказов резервированных машин, выполняющих различные этапы обработки, приводящих к образованию работоспособных состояний системы с разным уровнем ее эффективности, искомый комплексный показатель будем искать в виде математического ожидания эффективности (производительности) с учетом вероятностей всех работоспособных состояний.

При построении модели оценки производительности системы будем исходить из того, что при передаче предмета обработки с этапа на этап возможна организация очереди, что позволяет воспользоваться математическим аппаратом теории массового обслуживания [1] для расчета времени

пребывания запросов в системе.

Решение задач векторной оптимизации

Известны различные подходы к решению задач векторной оптимизации, в том числе [2]:

• методы скалярной свертки на основе:

аддитивного критерия; мультипликативного критерия; отклонения от идеала; методы, основанные на ранжировании критериев в том числе: метод главного критерия; лексикографическая оптимизация;

• метод последовательной уступки;

• методы, основанные на использовании функции полезности;

• минимаксные методы.

Перечисленные методы являются эвристическими и не исключают субъективизм лица принимающего решение (ЛИР). Субъективность методов может привести к выбору не лучшего решения.

В связи с этим целесообразна разработка объективного результирующего показателя эффективности, устанавливаемого на основе анализа назначения проектируемой системы, качество которой может характеризоваться единым показателем, зависимым от частных показателей. Сложность получения такого показателя сопряжена с тем, что требуется точно представлять назначение системы, как составной части производственной системы предприятия сервиса. Как правило, результирующий показатель должен иметь некоторый физический смысл, подтверждающий соответствие системы ее функциональному назначению с позиции решаемых прикладных задач сервиса.

Частные показатели качества системы

Эффективность комплекса машин по производительности определим по среднему времени пребывания запросов в системе с учетом всех этапов реализации процесса обработки. В простейшем случае каждую машину, выполняющую некоторый этап обработки, представим в виде системы массового обслуживания типа М/М/1 [1]. Считая, что каждый запрос последовательно обслуживается, одной из исправных машин на каждом этапе процесса обработки, среднее время пребывания запросов в системе оценим как:

где (тх, т2, тз,..., тм) - число машин, задействованных на каждом этапе обработки.

Надежность системы оценим по вероятности сохранения работоспособности, которая зависит от формулировки условия отказа (сохранения функционирования У).

Если система работоспособна, когда запрос на всех этапах процесса обслуживается за время, не превосходящее заданный предельный уровень (ограничение на допустимое время выполнения запросов, которое может вводиться исходя из особенностей реализуемого технологического процесса), то надежность системы оценим как: Р(т1,т2,т3,...,тм) =

...км) .

\ т 1 -

<РГРг2Р,-РмМ^-р,Г

(1)

■

где,

С*' - т \/к !(;;? к.)!.

/и, г / г 4 г г/ '

^ (кх,к^,к3,...,км) - условие работоспособности состояний системы при ограничении на допустимое время выполнения запросов Т0, а Т(кх,к2,к3,...,км) - среднее время пребывания запросов в системе при исправности кх,к2,к3,...,км машин,

выполняющих соответствующие этапы обработки. При особых требованиях к времени реакции (реальный масштаб времени) в качестве условия работоспособности состояний д(к1,к2,к3,...,км)

может использоваться вероятность не превышения времени реакции (пребывания запросов в системе) предельное время Т0.

Сравним результаты расчета надежности с учетом ограничений на время пребывания запросов в системе. Для системы с трехэтапным процессом обработки

(М= 3) будем считать рх = р2 = ръ = 0.9 ,

тх = т2 = тъ = 4 ,

= 1 чл\ = 2 ЧЛ’ = 1 ч .

Зависимость надежности Р(Т0) от предельно допустимого среднего времени пребывания запросов в системе Т0 приведена на рис 2, на котором кривая 1 соответствует значению интенсивности входного потока Х=1.3 1/ч, а кривая 2 -Х=1.7 1/ч.

0.3

0.6

0.4

0.2

1

2

10

20

30

Т,

О

Л I >/ Т(к , кп ,к к )-Т

д{к,,кп,к.,...,к..) ~ \ 1 - - и о

1 - ■ М [о, if Т(кх,к2,к„...,км)>Т0,

Рис. 1 - Надежность системы с учетом предельного времени пребывания запросов.

V

а

Рис.2 - Потери надежности Б из-за ограничений предельно допустимого времени ожидания.

На рис 2 отражены потери надежности Б из-за ограничений предельно допустимого времени ожидания, причем кривая 1 соответствует Х=1.3 (1/ч), а кривая 2 - Х=1.7 (1/ч).

Скалярные мультипликативный и аддитивный критерии

Скалярная свертка, используемая при решении задач векторной оптимизации, составляется формально, и часто, физический смысл получаемого критерия не просматривается. В качестве скалярной свертки обычно используют мультипликативный и аддитивный критерии, определяемые для рассматриваемых систем как:

а

Р (т., 7//.,..., т..) 1

М ,т2,...,тм)= К 1 -----,

Т (?н1, 1Н 2, м ) -

Д«{’ «4...«ь)=С{Р(»{,иь...,иь)+

т

О

Цщщ......п1мУ

где коэффициенты ага2 - учитывают субъективную оценку ЛПР важности частных критериев, причем ах + а2 =1

(стоимость в представленной постановке задачи оптимизации учитывается как ограничение).

Показатели сохранения эффективности

Эффективность каждого работоспособного состояния определим вели-

чиной обратной среднему времени пребывания запросов в системе при прохождении запроса через все этапы обслуживания

?з1 яг2

Оценивая каждое работоспособное состояние отношением его эффективности относительно эффективности исходного состояния системы (когда все машины исправны) коэффициент сохранения эффективности определим как математическое ожидание:

К{тх,тг,тъ....тм) =

х С*1 С*2С*3 скм

тI Щ

хр^Рг^Рз*3--РаЛО-р,)

тм

X

т\-к\

\тм -км

(Х-р2г^(1-ръ -рм)

Коэффициент сохранения эффективности с учетом условия выполнения многоэтапного процесса обработки за время, не превышающее Т , вычислим

¿1 = 1 ^2 = 1 ^3=1

Зависимость коэффициента сохранения эффективности К(Т0) от предельно допустимого времени пребывания запросов в системе Т0 приведена на рис 3 . На рис.3 кривая 1 соответствует интенсивности входного потока Х=1,8 1/ч, а кривая 2 - Х=1,5 1/ч.. Расчет проведен

при М=3, рх - р2 - р3 - 0,9 ,

тх = т2 = т = 4 ,

A’j = 1 Ч,1’2 = 2 4,v3 = 1 ч .

1

2

0 10 20 30

т0. ч

Рис. 3 — Зависимость коэффициента сохранения эффективности Щ^) от предельно допустимого времени пребывания запросов в системе Т0.

Результаты оптимизации

Будем считать заданными: С=(450, 150, 450) у.е., С0=6000 у.е. У=(1, 4, 1) с, Т0=80 ч. При Р=(0,9, 0,95,

0,9) и Х=1,45 1/ч. Распределение числа узлов на каждом уровне, которое обеспечивает максимум коэффициента сохранения эффективности, аддитивного и мультипликативного критерия, при ограничении расходов на реализацию системы С0 найдено соответственно как (3, 19, 4) шт., (4, 19, 3) шт., (5, 13, 4) шт., а при Х=0,45 1/ч как (3, 22, 3) шт., (3, 22, 3) шт., (4, 16, 16) шт..

Таким образом, показано, что при векторной оптимизации с учетом надежности, производительности и стоимости комплекса машин и агрегатов целесообразно использование обобщенного критерия на основе коэффициента сохранения эффективности.

Из расчетов видна неточность решения на основе аддитивного и мультипликативного критериев (не учитывающих, что работоспособные состояния могут характеризоваться разным качеством функционирования). Таким образом, скалярные мультипликативный и аддитивный критерии могут использоваться при приближенном решении задачи векторной оптимизации.

Заключение

Рассмотрены варианты формирования частных и обобщенных критериев при решении задачи векторной оптимизации системы машин и агрегатов при многоэтапном процессе обработки с учетом их стоимости, надежности и времени реализации процесса.

Показана целесообразность применения при решении задач векторной оптимизации критерия на основе коэффициента сохранения эффективности, учитывающего накопление отказов машин и образование работоспособных состояний системы с разным уровнем эффективности.

Оценена разница определения оптимального числа машин (кратность резервирования), выполняющих различные этапы обработки, при использовании в качестве целевой функции критерия на основе коэффициента сохранения эффективности, мультипликативного и аддитивного критериев.

ЛИТЕРАТУРА

1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания . М.: Машиностроение , 1979 , 432 с.

2. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. СПб .: БХВ, 2005- 408 с.

1 Богатырев Владимир Анатольевич, доктор технических наук, профессор кафедры информационных технологий СПбГУСЭ, тел.: + 7 911-726-02-26, E-mail:vladimir.bogatyrev@gmail.com

2 Богатырев Станислав Владимирович, магистрант СПбГУСЭ, E-mail: realloc@gmail.com

3 Лепеш Григорий Васильевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Сервис торгового оборудования и бытовой техники» СПбГУСЭ. Тел.: (812)362-33-27; E-mail: gregoryl @yandex. ru.