Критерии оптимальности многоустойчивых отказоустойчивых компьютерных систем Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

КОМПЬЮТЕРНЫЕ СИСТЕМЫ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 681.3

КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ МНОГОУРОВНЕВЫХ ОТКАЗОУСТОЙЧИВЫХ КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ

В.А. Богатырев, С.В. Богатырев

Рассмотрены варианты формирования частных и обобщенных критериев при решении задачи векторной оптимизации многоуровневых компьютерных систем с учетом надежности, времени обработки запросов и стоимости реализации системы. Показана возможность применения коэффициента сохранения эффективности в качестве объективного обобщенного критерия векторной оптимальности. Ключевые слова: надежность, отказоустойчивость, векторная оптимизация, критерий оптимальности, коэффициент сохранения эффективности.

Введение

Проектирование отказоустойчивых компьютерных систем связано с решением задачи оптимального резервирования. При многоуровневой структуре компьютерных систем задача оптимизации сводится к определению кратности резервирования узлов каждого уровня, при котором эффективность системы максимальна, а затраты на ее реализацию не превышают допустимого предела. Результат оптимизации во многом зависит от выбора критерия эффективности, формируемого с учетом требований по надежности, производительности (времени ожидания) и стоимости системы. В связи с этим рассматриваются варианты формирования частных и обобщенных критериев эффективности многоуровневых компьютерных систем. Актуальность выбора объекта оптимизации обусловливается тем, что в настоящее время многоуровневая организация широко используется в компьютерных системах, в том числе кластерной архитектуры (рис. 1).

Внутренняя юмцм*»»"*" ерем хдосте«»*.

Рис. 1. Многоуровневая компьютерная система

7

Постановка задачи оптимизации

В качестве объекта оптимизации рассмотрим вычислительную систему, в которой выделены М уровней. Требуется найти число (кратность резервирования) узлов на каждом уровне (m1,m2,...,mM), при котором обеспечивается максимум надежности системы, минимум среднего времени пребывания запросов в системе, а стоимость реализации системы не превышает выделенных средств:

M

P(mx, m2,..., тм ) ^ max при T(mx, m2,..., тм ) ^ min, C (mx, m2,..., тм ) = S mt < C0.

i=1

Возможна также другая постановка задачи. Требуется найти число узлов на каждом уровне, при котором обеспечивается минимум стоимости реализации:

C(mx, m2,..., mM ) ^ min при P(mx, m2,..., mM ) > P0, T(mx, m2,..., mM ) < T0.

При этом Т0, Po, Co - предельно допустимые значения среднего времени ожидания, надежности и стоимости системы. При оптимизации будем считать заданными интенсивность входного потока запросов X, показатели надежности узлов p1, p2, p3,..., pM и средние времена выполнения запросов узлами каждого уровня v1, v2, v3,..., vM .

Рассматриваемая задача оптимизации является векторной, и ее сложность обусловлена тем, что одно решение (альтернатива) может превосходить другую по одним показателям и уступать по другим. В задачах принятия решений по векторному показателю главное внимание уделяется выработке решающего правила, основанного на компромиссе между значениями компонент векторного показателя. Таким образом, проблема принятия решений по векторному показателю сопряжена с поиском концептуально обоснованного критерия выбора наилучшего решения, который для отказоустойчивых систем должен характеризовать эффективность процесса деградации системы при накоплении отказов. Формальное определение обобщенного критерия в виде аддитивной или мультипликативной свертки показателей надежности и производительности не отражает возможную потерю производительности по мере накопления отказов и дает завышенный результат, что может привести к необоснованному выбору структуры системы.

Для многоуровневых отказоустойчивых систем с возможностью накопления отказов узлов различных уровней и с образованием работоспособных состояний системы с разным уровнем ее эффективности искомый комплексный показатель будем искать в виде математического ожидания эффективности (производительности) с учетом вероятностей всех работоспособных состояний в форме

mi m2 m3 mM

к ^ m3^ mM ,5) = £££... S E (k^ ^ kM) P(k^ к к..^ kM, s^

k =1 k2=1 кз =1 kM=1

где 5 - условие работоспособности состояний системы, которое может зависеть от предельно допустимого среднего времени пребывания запросов в системе S(T0); E(k1,к2,к3,...,kM) = 1/T(k1,к2,к3,...,kM) характеризует эффективность состояния при исправности к1,к2,к3,...,kM узлов на соответствующих уровнях системы. Для систем с деградацией потерю эффективности относительно исходного состояния (при исправности всех m1, m2, m3,..., mM узлов системы) можно охарактеризовать выражением

E (К К К..^ kM ) = T m ^ Щ^.^ mM )/T (К К К..^ kM ).

Решение задач векторной оптимизации

Известны различные подходы к решению задач векторной оптимизации [1]: - методы скалярной свертки на основе аддитивного критерия, мультипликативного

критерия, отклонения от идеала;

методы, основанные на ранжировании критериев, в том числе метод главного критерия, лексикографическая оптимизация, метод последовательной уступки;

- методы, основанные на использовании функции полезности;

- минимаксные методы.

Перечисленные методы являются эвристическими и не исключают субъективизм лица принимающего решение (ЛПР). Субъективность методов может привести к выбору не лучшего решения. В связи с этим целесообразна разработка объективного результирующего показателя эффективности, устанавливаемого на основе анализа назначения проектируемой системы, качество которой может характеризоваться единым показателем, зависимым от частных показателей. Сложность получения такого показателя сопряжена с тем, что требуется точно представлять назначение системы как составной части надсистемы и необходимы знания зависимости обобщенного показателя от частных. Как правило, результирующий показатель должен иметь некоторый физический смысл, подтверждающий соответствие системы ее функциональному назначению с позиции надсистемы [2].

Частные показатели качества системы

Возможности системы по обработке запросов определим по среднему времени пребывания запросов в системе. В простейшем случае каждый узел представим системой массового обслуживания типа м/м/1. Считая, что каждый запрос последовательно

обслуживается одним из исправных узлов на каждом уровне системы, среднее время

м у.

пребывания запросов в системе оценим как Т(т1,т2,т3,...тм) = £-—, где

.=1 1 - У Чтг

(т1, т2, т3,..., тм ) - число узлов на каждом уровне.

Надежность системы оценим по вероятности сохранения работоспособности, которая зависит от формулировки условия отказа (сохранения функционирования У).

Если система работоспособна, когда исправен хотя бы один узел на каждом уровне, то вероятность работоспособности системы определяется по формуле

м

Р(т 1, т2,т3,...,тм ) = П (1 - (1 - Р1)т'), где pi - вероятность работоспособности

г=1

узла, находящегося на г-м уровне системы.

Если система работоспособна, когда запрос обслуживается за время, не превосходящее заданный предельный уровень (ограничение на допустимое время выполнения запросов), то надежность системы оценим как

т1 т2 тз тм

Ртт2,тз,...,тм) = £££...£ к2,км)С£С£С£...0% *

к =1 к2 =1 кз =1 км =1

* Рк Р2к2 Рзк3... Рмкм (1 - Р1 )т1 -к1 (1 - Р2 Г - к2 (1 - Рз Г -к3...(1 - Рм ) "" ,

к [1, г/ Т(к,к2,к3,...,км) < Т0,

где = тг !/кг!(тг-к.)! , а б(кхк2,къ,..,км) = ]' / ¿к 2 3 к) Т

У 1 (к1, к2 , к3 , ..., км ) > Т0.

Здесь б(к1,к2,к3,...,км) - условие работоспособности состояний системы при ограничении на допустимое время выполнения запросов Т0, а Т(кх,к2,къ,...,км) - среднее время пребывания запросов в системе при исправности к1,к2,к3,...,км узлов соответствующих уровней. При особых требованиях к времени реакции (реальный масштаб вре-

мени) в качестве условия работоспособности состояний 5(А:1,к2,к3,...,км) может использоваться вероятность непревышения времени реакции (пребывания запросов в системе) за предельное время Т0.

Сравним результаты расчета надежности с учетом ограничений на время пребывания запросов в системе. Для трехуровневой системы (М=3) будем считать р1 = р2 = р3 = 0,9, т1 = ш2 = т3 = 4 шт., у1 = 1 с,у2 = 2 с, у3 = 1 с. Зависимость надежности Р(То) от предельно допустимого среднего времени пребывания запросов в системе То приведена на рис. 2, на котором кривая 1 соответствует значению интенсивности

входного потока А=1,3 1/с, а кривая 2 - А=1,7 1/с.

р 1

0,8

0,6

0,4

0,2 0

V

2

(

1

!

0 10 20 30

Т0,с

Рис. 2. Надежность системы с учетом предельного времени пребывания запросов

Формирование скалярного критерия

Скалярная свертка, используемая при решении задач векторной оптимизации, составляется формально на основе субъективных предпочтений ЛПР, и часто ее физический смысл не просматривается. В качестве скалярной свертки обычно используют мультипликативный и аддитивный критерии, определяемые для рассматриваемых систем как

ч Р(т1, т2,..., тм )а

М (Щ, т2,..., тм ) = Т; ^ 2-М)0Т,

Т(т1,т2,...,тм) 2

Т

Д^ Щ,..., тм ) =aP(Щ, m2,..., тМ ) +а2~,—0-^

Т(m1, m2,..., тм )

где коэффициенты а1, а2 учитывают субъективную оценку ЛПР важности частных критериев, причем а1 + а2 = 1 (стоимость учитывается как ограничение).

Показатели сохранения эффективности

Эффективность каждого работоспособного состояния оценим величиной, обратной среднему времени пребывания запросов в системе при прохождении запроса через узлы каждого уровня:

т1 т2 т3

К *(т„ т2, т3г.., тм) = £££... Е [Т (к„ к 2, к3,..., км)] С* С^С

к =1 кл =1 к3 =1 км =1

х рк Р2к2 Р3 к3...Рмкм (1 - Р1) т1 - к1 (1 - Р2) т - к2 (1 - Р3 Г" к3...(1 - Рм )

- к

т2 - к2

3 - к3

\тм -км

Оценивая каждое работоспособное состояние отношением его эффективности относительно эффективности исходного состояния системы (когда все узлы исправны), коэффициент сохранения эффективности определим как математическое ожидание:

Т (ш^ т^ тм)

m, m- тз

K К, m2. mз,■■■, тм) = £££■■■ E

T(kl3 k2> k3 kM )

Qk3 CkM X

m, m2 m

X pk p-k2 Рз\„ Pm (1 - Pi)mi -kl (1 - Р-Г - k2 (1 - Рз )m3 - k3-(1 - Рм )тм - kM ■

Коэффициент сохранения эффективности с учетом условия выполнения запроса за время, не превышающее Т0, вычислим как

т т2 шз тм

к(т т m3,..., тм)Е 5(к1 k2,■■■, км)

хр* ^2к2 рзкз...рмкм (1-рг-* (1-р2)т^-к2 (1-Рз г^.-.а - Рм )т Зависимость коэффициента сохранения эффективности К(Т0) от предельно допустимого времени пребывания запросов в системе Т0 приведена на рис з, где кривая 1 соответствует интенсивности входного потока X = 1,8 1/с, а кривая 2 - X = 1,5 1/с.. Расчет проведен приМ=3, р1 = р2 = р3 = 0,9 , т1 = т2 = т3 = 4 шт., у1 = 1 с, у2 = 2 с, у3 = 1 с .

ki =1 k- =1 kj =1 kM =1

\ш\ -,\ /л \m- -k-

t (m mM)

Tft, k2,-? kM)

ck1 ck2 ckm x

m m- щ"' Шм

\m3 -A3

\mM -kM

0,8 0,6 0,4 0.2

20

T0,c

Рис. 3. Зависимость коэффициента сохранения эффективности K(T0) от предельно допустимого времени пребывания запросов в системе T0

Результаты оптимизации

Проведем оптимизацию трехуровневой компьютерной системы по критерию максимума коэффициента сохранения эффективности, а также по максимуму аддитивного и мультипликативного критериев. Будем считать заданными С = (450, 150, 450) у.е., С0 = 6000 у.е., V = (1, 4, 1) с, Т0 = 80 с. Результаты оптимизации сведены в таблицу. Для каждого варианта исходных данных определено распределение числа узлов на каждом уровне, которое обеспечивает соответственно максимум коэффициента сохранения эффективности, аддитивного и мультипликативного критерия при ограничении расходов на реализацию системы С0. Оценены потенциальные потери Б значения коэффициента сохранения эффективности при нахождении оптимального числа узлов на каждом уровне т1, т2, т3 по максимуму аддитивного и мультипликативного критериев.

Анализ полученных данных позволяет сделать вывод о влиянии выбора критерия на результат принятия решения по построению многоуровневых компьютерных систем. При этом предпочтительно использование коэффициента сохранения эффективности, объективно отражающего требования системы по обеспечению производительности системы даже в условиях деградации производительности вследствие отказов.

К, 1/с Критерий Р=(0,9; 0,95; 0,9) Р=(0,8; 0,95; 0,9)

т1, т2, т3, шт. К(т1,т2,т3) ,£ т1, т2, т3, шт. К(т1,т2,т3) , £

1,45 Аддитивный 3,19,4 К=0,89928 £=0,0365 4,19,3 К=0,85679811 £=0,059073881

Мультипликативный 4,19,3 К=0,89928 £=0,0365 4,19,3 К=0,856798 £=0,0590738

Сохранения эффективности 5,13,4 К=0,93578 £=0 5,13,4 К=0,91587199 £=0

0,45 Аддитивный 3,22,3 К=0,9821 £=0,0057 3,22,3 К=0,96700 £=0,016971

Мультипликативный 3,22,3 К=0,9821 £=0,0057 4,19,3 К=0,978363 £=0,00561

Сохранения эффективности 4,16,16 К=0,9879 £=0 5,13,4 К=0,983976 £=0

Таблица. Результаты оптимизации

Таким образом, показано, что при векторной оптимизации с учетом надежности, производительности и стоимости целесообразно использование обобщенного критерия на основе коэффициента сохранения эффективности. Из таблицы видна неточность решения на основе аддитивного и мультипликативного критериев (не учитывающих, что работоспособные состояния могут характеризоваться разным качеством функционирования). Следовательно, скалярные критерии мультипликативного и аддитивного типа могут использоваться при приближенном решении задачи оптимизации.

Заключение

Рассмотрены варианты формирования частных и обобщенных критериев при решении задачи векторной оптимизации многоуровневых компьютерных систем с учетом их стоимости, надежности и времени обработки запросов. Показана целесообразность применения при решении задач векторной оптимизации многоуровневых компьютерных систем критерия на основе коэффициента сохранения эффективности, учитывающего накопление отказов узлов различных уровней и наличие работоспособных состояний системы с разным уровнем эффективности (с разным средним временем пребывания запросов в системе). Оценена разница определения оптимального числа узлов на каждом уровне (кратность резервирования) при использовании в качестве целевой функции рассматриваемого критерия на основе коэффициента сохранения эффективности, а также на основе мультипликативного и аддитивного критериев.

Результаты исследований могут использоваться при проектировании и обосновании выбора многоуровневых высоконадежных компьютерных систем, в том числе кластерной архитектуры.

Литература

1. Черноруцкий И.Г. Методы принятия решений. - СПб: БХВ, 2005. - 408 с.

2. Гуткин Л.С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. - М.: Сов. радио, 1975. - 368 с.

Богатырев Владимир Анатольевич

Богатырев Станислав Владимирович

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, доктор технических наук, профессор, bva@tinuviel.ru

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, realloc@gmail.com