Крах алгоритмической проблематики теории соответствия? Текст научной статьи по специальности «Математика»

Крах алгоритмической проблематики теории соответствия?1

A.B. Чагров, Л.А. Чагрова

abstract. Three key problems of the Correspondence Theory are considered: given a modal prepositional formula and a first-order formula, to recognize, whether they are equivalent in Kripke frames (the correspondence problem); given a modal prepositional formula, to recognize, whether there is a first-order formula which is equivalent to it in Kripke frames (the problem of first-order definability of modal prepositional formulas), given a first-order formula, to recognize, whether there is a modal prepositional formula which is equivalent to it in Kripke frames (the problem of modal definability of first-order formulas). For all of these problems concise proofs of algorithmic undecidability have been given.

1 Постановка проблем

Нижеследующий текст является изложением материала устного выступления авторов на конференции «Успехи модальной логики», которая в очередной, точнее — шестой, раз проводилась в 2006 году Волею обстоятельств сам доклад был сделан не нами, а паптим близким другом Михаилом Викторовичем Захарьяще-вым. Таким образом, в природе имеются три текста матер налов этого доклада: предлагаемый ниже; устный2 текст выступления М.В. Захарьящева па рабочем (английском) языке конференции, которое липть основывалось па варианте предлагаемого здесь текста, по несомненно не совпадало с ним по многим причинам; текст [10], опубликованный в материалах упомянутой конференции, имеющий непустое, конечно, пересечение с предыдущими двумя, по не содержащий по причине жестких редакторских требований па объем многих моментов, фольклорных

'Работы по,одержана РФФИ. Грант Л® 06-()6-8()380-а.

2Мы предполагаем, что он не материализован ни в каком более-менее полном виде — слайды не в счет.

утверждений и доказательств. Кроме того, мы учитывали и состав участников конференции, так что все три текста между собой существенно различны, хотя во всех них рассматривается алгоритмическая проблематика теории соответствия, теории, в которой сравниваются возможности описания свойств реляционных структур средствами разных языков. Имеется в виду, что вполне удовлетвлорителытый для большинства (хотя и не всех!) практических потребностей такого описания язык первого порядка не является удовлетворительным именно из-за своей большой выразительности, делающей даже очень простые вопросы «риторическими», точнее — оставляющей Pix без эффективного ответа в силу теоремы Чёрча, которую можно понимать как отсутствие эффективного ответа па вопрос «Верно ли, что данная формула описывает тривиальное свойство (не выделяет никаких моделей, истинна во всех)?» Модальные пропозициональные формулы в этом отношении более просты. Многие проблемы, с ними связанные, алгоритмически разрешимы; такова, к примеру, проблема истинности формулы во всех моделях.

Конечно, трудно себе представить, как бы среагировал Гот-фрид Вильгельм Лейбниц с его идеей использования возможных миров для истолкования модальностей па современное состояние исследований по модальной логике, не говоря уж об Аристотеле, чья не очень точно сформулированная модальная силлогистика явилась отправной точкой многовекового изучения модальностей, по в последние два-три десятилетия важнейшей составной частью этого направления логики стало изучение возможностей модальных и близких к ним языков для описания свойств реляционных структур.

Мы выражаем надежду, что через какое-то время исследователи обратятся к модальным истокам и вспомнят, что семантика возможных миров (реляционная семантика, окрестпост-ттая семантика и Pix варианты) для модальных операторов была предложена в качестве рабочего инструмента, позволяющего перевести некоторые содержательные обсуждения модальных операторов — Pix свойств, взаимозависимостей и т.д. — па более точный язык. Этот «более точный» язык не претендует и не может претендовать па абсолютную адекватность предмету обсуждения, по во многих случаях

позволяет обойтись без длинных малопродуктивных дискуссий. Однако здесь мы будем следовать нынешнему основному направлению.

С технической стороны язык пропозициональной модальной логики при описании реляционных структур предоставляет довольно существенные преимущества по сравнению, скажем, с классическим языком первого порядка. Он может быть эффективнее в двух, по крайней мере, аспектах. Модальные пропозициональные формулы могут быть более выразительными, чем формулы первого порядка, — то есть они имеют определенные второпорядковые черты (нюансы). С другой стороны, модальные пропозициональные формулы более доступны алгоритмическому изучению (освоению): для них многие проблемы разрешимы, причем либо соответствующие алгоритмы имеют вполне допустимую сложность, либо для снижения сложности этих алгоритмов более-менее ясны необходимые ограничения.

Здесь представлены хорошо известные хрестоматийные примеры описаний и отсутствия описаний свойств реляционных структур:

формула первого порядка модальная формула

Ух хКх ар ^ р

Ух У у У г (хЕу & у Кг ^ хКг) ар ^ аар

Ух Зу уКх нет

Ух УухКу нет

нет аОр ^ Оар

нет а(ар ^ р) ^ ар.

Эти и другие примеры можно с подробным обсуждением найти в [7, 8, 12]. Попутно отметим, что упомянутый в названии данной статьи раздел современной модальной логики3 является просто дословным переводом названия обзорной статьи [8].

Поскольку переход от первопорядковых (или других мощных классических) описаний свойств реляционных структур к мо-

3Среди исследователей довольно распространено мнение, что современная модальная логика «покоится на трех китах», вот их английские «имена»: completeness theory, correspondence theory, duality theory.

дальттым описаниям преследует повышение эффективности, разумно его (переход) ставить (или хотя бы пытаться ставить) в алгоритмические рамки.

К сожалению, как было обнаружено в коттде 80-х годов (XX-го, разумеется, века), алгоритмическая часть теории соответствия в основном отрицательна. То есть практически все алгоритмические проблемы теории соответствия оказываются неразрешимыми. Это является определенной платой за стремление к выразительности используемых языков.

Однако среди исследователей в связи с указанным «отрицательным» обстоятельством распространены различные мифы. Например, считается, что доказательство неразрешимости пер-вопорядковой определимости модальных формул либо очень трудно технически, либо малопонятно. Кроме того, при изложении алгоритмической часта теории соответствия1 практически всегда0 ограничиваются неразрешимостью модальной определимости формул первого порядка, считая, по-видимому, что модальная определимость формул первого порядка имеет больше отношение к модальной логике, чем, скажем, первопорядко-вая определимость модальных формул. Здесь мы ставим целыо опровержение некоторых из таких мифов.

Для начала скажем, что в упомянутом «мифотворчестве» во многом «виноваты» докладчики, особенно Л.А. Чагрова. А именно результаты о неразрешимости ключевых алгоритмических проблем в теории соответствия были получены в ее диссертации [6] 1989 года, текст которой по российской «традиции» практически недоступен, а Pix доказательства доступны лить в виде депонированных в ВИНИТИ статей па русском языке, которые не находятся в свободном обороте. Кроме того, в указанной диссертации рассматривалась технически более сложная теория соответствия — ее вариант для интуиционистских пропозициональных формул. Не ВДШЗеШСЬ в подробности, скажем, что там приводится фактически одно длинное (более 100 с липшим страниц плотного текста!) доказательство,

4Нам неизвестны монографические изложения; речь идет о лекционных курсах, о программе которых мы можем судить по выложенной в интернете информации и ее обсуждению в интернете же.

^Собственно, мы иного не встречали.

которое при небольших вариациях дает следующие результаты:

1) проблема первопорядковой определимости интуиционистских формул неразрешима;

2) проблема первопорядковой определимости интуиционистских формул па счетных шкалах неразрешима;

3) множество интуиционистских формул, которые тте являются первопорядково определимыми, по первопорядково определимы па счетных шкалах, неразрешимо;

4) проблема интуиционистской пропозициональной определимости первопорядковых формул неразрешима;

5) проблема соответствия интуиционистских пропозициональных формул рт формул первого порядка неразрешима.

Конечно, параллельно доказательствам этих фактов легко получить PI Pix аналоги для модального случая, хотя модальный случай PI предоставляет некоторые технические преимущества по сравнению с интуиционистским.

Схема доказательств из диссертации Чагровой принципиально громоздка. В частности, там строрттся неразрешимое суперип-турщргопртстское исчисление с первопорядково определимой аксиоматикой. Представление об этой схеме можно получить из статьи авторов [9], где она (схема) применяется для доказательства неразрешимости первопорядковой определимости модальных формул па классе конечных пткал. Ctopit заметить, что кроме этого применения неизбежным представляется и использование этой схемы для третьего факта (пункта 1) о неразрешимости PI3 перечисленных выше пята.

Несколько упрощенное доказательство неразрешимости первопорядковой определимости интуиционистских формул было опубликовано Л.А. Чагровой в Журнале символической логики в 1991 году, то есть в [13]. Использованная здесь схема доказательства была несколько ранее разработана для модального случая в [3, 4|.

Но PI в этом случае не было дано прямого (и более простого!) доказательства неразрешимости первопорядковой определимости для модального случая. Добавим, что один из анонимных

рецензентов счел приведенный в статье Л.А. Чагровой текст доказательства «non-friendly».

Обсуждая в последнее время с нашими коллегами алгоритмическую проблематику теории соответствия, мы поняли, что необходимость предоставления прозрачных доказательств па-зрела. Кроме того, надежда па то, что вслед за пионерскими доказательствами Л.А. Чагровой последуют более простые (как это часто бывает в математике), не оправдывается; создается даже впечатление о неизбежной громоздкости доказательств даже тех фактов, которые па самом деле получаются «почти бесплатно».

Наведением порядка в этой области мы pi займемся.

Сначала дадим несколько необходимых определений. В соот-ветстврш с нашими пропедевтическими целями мы не будем рассматривать проблематику во всей возможной общности. Например, мы не будем использовать локальный вариант определимости, не будем считать класс рассматриваемых пткал параметром (то есть для пас определимость будет определимостью над классом всех пткал), не будем всерьез рассматривать иные про-позрщргопальпые языки, кроме одпомодалыгого, pi т.д.

Итак.

Структура вида F = (W, R) (F — от английского термина Frame с установившимся сейчас переводом шкала) может пониматься как:

mf модельная структура (терминология С. Крипке [15], см. перевод этой статьи в [2]) для модальных пропозрпцгопаль-ных. формул;

cm модель для формул первого порядка в смысле классической теоррш моделей, сигнатура формул coctopit из бипар-

R

• модель для формул второго порядка в смысле классической теоррш моделей, сигнатура формул coctopit из бипар-

R

трфоваппых одноместных предикатов.

Конечно, здесь можно добавить pi другие пункты. Например:

• модельная структура для временных пропозициональных формул: R — для разговоров о «будущем», R-1 — о «прошлом».

Нас будут интересовать только пункты (mf) (modal frame) pi (cm) (classical model), поскольку в кратком изложении невозможно охватить всю сопутствующую проблематику, а кроме того, значительная часть используемого нами технического аппарата без особого труда может быть приспособлена pi в других ситуациях. Ограничимся лить самыми общими замечаниями об описании классов структур (реляционных структур, более точно) формулами различных языков.

Пусть С\ж L2 — два языка, для которых структуры вида F = {W, R) являются модельными или просто являются моделями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Формулы ф из языка L1 и Ф из языка С2 называем эквивалентными (семантически эквивалентными), ес-

F = ф F = Ф (для люб ой F).

Собственно, эквивалентность в этом определении pi есть то самое соответствие, теорртя которого пас здесь интересует. Первая естественная проблема:

Алгоритмическая проблема соответствия для языков Li vi L2. Существует ли алгоритм, который по произвольным формулам ф из язы ка Li и Ф из язы ка, L2 выяснял бы, являются ли они эквивалентными.

Li = L2

то есть когда рассматривается один язык. Чуть позже разовьем эту тему, а сейчас дадим определение, которое оказывается

Li L2

ф Li L2 Ф L2

ф

Ф L2 Li ф Li

Ф

Li L2

определения ничем не отличаются (поэтому о них можно было

говорить в единственном числе). Однако отличия появятся, если мы будем иметь в виду конкретные языки Li и L2. Далее полагаем:

• Li = MPL — модальный пропозициональный язык;

• L2 = FOL — первопорядковый язык (классически понимаемый) .

Формулы языка MPL будем для краткости называть модальными, а языка FOL — первопорядковыми.

В этом случае приведенные выше определения обретают следующий вид.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Модальная формула р называется перво-порядково определимой, если существует первопорядковая формула, которая эквивалентна р.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Первопорядковая формула Ф называется модально определимой, если существует модальная формула,

Ф

Конкретизацией интересующих пас далее алгоритмических проблем являются следующие пять проблем.

Алгоритмическая проблема первопорядковой определимости. Существует ли алгоритм, который по произвольной модальной формуле р выяснял бы, является ли р первопоряд-ково определимой.

Алгоритмическая проблема модальной определимости. Существует ли алгоритм, который по произвольной пер-

ФФ

определимой.

Кроме того, уместно сформулировать и следующие алгоритмические проблемы соответствия.

Алгоритмическая проблема соответствия МОДАЛЬНЫХ формул. Существует ли алгоритм, который по произвольным модальным формулам выяснял, бы, являются ли они эквивалентными.

Алгоритмическая проблема соответствия МОДАЛЬНЫХ и ПЕРВОПОРЯДКОВЫХ формул. Существует ли

(

первопорядковой формуле Ф выяснял бы, являются ли они эквивалентными.

Алгоритмическая проблема соответствия ПЕРВОПО-РЯДКОВЫХ формул. Существует ли алгоритм, который по произвольным первопорядковым формулам выяснял бы, являются ли они эквивалентными.

Конечно, две из проблем — алгоритмическая проблема соответствия МОДАЛЬНЫХ формул и алгоритмическая проблема соответствия ПЕРВОПОРЯДКОВЫХ формул — не имеют прямого отношения к теории соответствия. Мы Pix прртводрш потому, что oiiPi укладываются в контекст обсуждетшя pi много места не потребуют.

Теперь мы готовы к тому, чтобы прртступртть к ртзложетшто нашего основного матерртала. Мы по существу будем демопстрртро-вать, что все указанные проблемы решаются отррщательпо. Однако пас будут ртптересовать не только (pi даже не столько!) самрт отррщательпые ответы, сколько доступность получетшя этртх ответов. Более того, мы намеренно не будем акцептртровать втш-матше па некоторых фактах неразрешимости, которые можно найти в [10].

Теперь будем рассматривать сформулированные проблемы в порядке усложнения Pix решений; этот порядок случайно оказался обратным порядку предыдущих формулировок. Формулировки проблем соответственно будут повторены. Эпрттет «алгоритмическая» будет часто опускаться. Будем для легкости чтения делать pi другие сокращения, легко восстановимые по контексту, например: формулировка теоремы проблема модальной определимости неразрешима восстанавливается до проблема модальной определимости первопорядковых формул алгоритмически неразрешима или, совсем уже точно, — до алгоритмическая, проблема модальной определимости первопорядковых формул имеет отрицательное решение, то есть требуемый алгоритм не существует.

2 Алгоритмическая проблема соответствия первопорядковых формул

Проблема: Существует ли алгоритм, который по произвольным первопорядковым формулам Ф и Ф выяснял бы, являются ли они эквивалентными.

Неразрешимость этой проблемы — это по существу теорема Чёрча о неразрешимости логики первого порядка: положим Ф = Т, то есть Ф — константа «истина» (или любая формула, ее «изображающая», если язык не содержит этой коттстаты, па-пример, формула р ^ р). Мы опускаем стандартные ссылки па источники, где теорема Чёрча доказывается для случая сигнатуры из одного бинарного отношения (двуместной предикатной буквы).

ТЕОРЕМА 6 (Теорема Чёрча). Проблема соответствия первопорядковых формул неразрешима.

3 Алгоритмическая проблема соответствия модальных и первопорядковых формул

Проблема: существует ли алгоритм, который по произвольным модальной формуле р и первопорядковой формуле Ф выяснял бы, являются ли они эквивалентными.

Доказательство неразрешимости в этом случае мало чем отличается от предыдущего. Положим, что р = Т, и получаем

Т

Т

Т

ШК&Л &Х •

ТЕОРЕМА 7 (Теорема Чёрча). Проблема соответствия модальных и первопорядковых формул неразрешима.

4 Алгоритмическая проблема соответствия модальных формул

Проблема: Существует ли алгоритм, который по произвольным модальным формулам р\ и р2 выяснял бы, являются ли они эквивалентными.

В этом случае, конечно, теорема Чёрча (точнее — ее доказательство) нам помочь не может, поскольку относится не к мо-

далытому языку Однако pi для модального пропозрщргопальпого языка есть хоропто ртзвестпые результаты, которые способны па такую помощь. Одним из них является построение неразрешимого модального исчисления в работе [14]. Там была предложена формула (конъюнкция аксиом, дополнительных к аксиоматике логики К) а, такая что проблема "K ф а Ь ß?" неразрешима, причем в доказательстве в качестве формул ß брались формулы из некоторого разрешимого множества {ßi : i Е w}hb том случае, когда K ф а Ь ßi, этот факт устанавливался с помощью подходящей шкалы. Такрш образом, мы имеем

K ф а Ь ßi t

формулы а и а Л ßi эквивалентны. Значит, справедлива

ТЕОРЕМА 8 (Изард, 1977). Проблема соответствия модальных формул неразрешима.

5 Алгоритмическая проблема модальной определимости

Проблема: существует ли алгоритм, который по произвольной первопорядковой формуле Ф выяснял бы, является ли Ф модально определимой.

Для этой проблемы нам понадобится вариант теоремы Чёрча. Более точно, мы будем использовать в качестве исходной неразрешимой проблемы неразрешимость теоррш строгого частичного порядка "без первого элемента".

ЛЕММА 9. Теория первого порядка с аксиомами

• TRANS = Ух, y, z (xRy & yRz ^ xRz),

• IRR = Ух—xRx,

• yx3yyRx

неразрешима.

Доказательство этой леммы является стандартной учебной задачей па доказательство теоремы Чёрча.

Рассмотрим теперь формулу

TRANS & IRR & VxByyRx & -.6,

где 6 — произвольная замкнутая формула первого порядка.

Несложно попять, что справедлива следующая эквивалентность:

TRANS & IRR & VxByyRx b 6 t

формула TRANS & IRR & "ix3yyRx & -6 модально определима.

Направление ^ вполне очевидно: если

TRANS & IRR & VxByyRx b 6,

то формула TRANS & IRR & "ix3yyRx & -6 эквивалентна модальной формуле то есть модально определима ею. Обоснуем направление •ft рассуждением «от противного». Предположим, что

TRANS & IRR & VxByyRx b 6,

но формула TRANS & IRR & "ix3y yRx & -6 определима неко-

(

Из того, что TRANS & IRR & "ix3yyRx b 6, по теореме Геделя о полноте следует, что существует модель (отта. же шкала) F, такая, что

F = TRANS & IRR & Vx3yyRx & -6.

Поскольку формулы р и TRANS & IRR & "ix3yyRx & -6

эквивалентны, мы получаем тогда

F = р.

Теперь воспользуемся «модальной спецификой» формулы р, более точно — тем, что истинность модальных формул сохраняется при взятии порожденных подпткал. Этот «модальный»

факт совершенно тривиален: для истинности (да pi пеиститшо-ctpi) модальной формулы в точке шкалы важны лить те точки, которые pi3 данной точкрт достижимы за какое-нибудь число тагов6, а потому если мы с каждой точкой в подпткалу заносим pi все достижимые из нее (это pi есть порождение), то формула в подпткале окажется вновь истинной, если была таковой в точках (точке) исходной пткалы.

Возьмем в качестве шкалы F' произвольную подшкалу шкалы F, порожденную какой-либо ее точкой w, то есть множеством точек F' будет

W' = {w} U {w' : wRnw' для некоторого n Е и},

где xRny, как обычно, означает, что в шкале есть точки zi, ...,

zn-i также, что xRziRz2R ... Rzn-iRy, а отношение достижи-R' F' R

пткалы F

R' = R П (W' х W'),

то есть для точек множества W' соотношение xR'y выполняется в точности тогда, когда xRy.

Поскольку p — модальная формула, мы имеем F' = p, то есть по ее выбору, в частности,

F' = TRANS & IRR & yx3yyRx.

В силу того, что F = TRANS & IRR ^отка w не достижима

F'

имеет предшественников, то есть нет ни одной такой точки и, что uR'w, а это противоречит тому, что F' = yxByyRx.

Полученное протртворечрге показывает, что допущенное нами верным быть не может, а тем самым справедливость доказываемого нами утверждения ft установлена.

В результате мы свели неразрешимую по лемме проблему к проблеме модальной определимости, то есть доказана

6Количество этих шагов можно даже ограничить модальной глубиной испытуемой формулы, но тогда нужный нам факт останется справедливым, но его обоснование уже потребует некоторых, хоть и несложных, вспомога-те: I ьны х расту ж; ^ни й.

ТЕОРЕМА 10. Проблема модальной определимости неразрешима.

В приведенном доказательстве «модальная специфика» использована в двух обстоятельствах: одна конкретная модальная формула, а именно 1, и сохранение истинности модальных формул при взятии порожденных подпткал. Поэтому попутно с доказательством интересующего пас утверждения были получены доказательства и многого другого, в частности: доказательства неразрешимости свойств формул первого порядка «сохранять свою истинность при взятии порожденных подпткал», «быть определимой модальной формулой 1». Сформулируем эти и другие утверждения, поскольку они оказались доказанными, в виде теорем.

ТЕОРЕМА 11. Проблема определимости первопорядковых формул модальной формулой 1 неразрешима.

Формула 1 константна, а потому в эквивалентности ф обоснование направления ^ можно было бы закончить словами эквивалентна константной модальной формуле 1 вместо эквивалентна модальной формуле 1, а в обосновании направления ^ от противного заметать, что раз формула не является модально определимой, то она не является определимой константными модальными формулами. Тем самым получена

ТЕОРЕМА 12. Проблема определимости первопорядковых формул константными модальными формулами неразрешима.

Заметав, что мы отметили лить одно свойство модальной формулы 1, а их много, получаем следующую схему теорем.

МУЛЬТИТЕОРЕМА 13. Проблема определимости модальными формулами, обладающими свойством ..., неразрешима.

Здесь вместо многоточия можно поставить, например, «быть позитивной формулой», «быть салквистовой формулой», «иметь длину 1». Конечно, при получении утверждения для конкретного свойства формулировка должна быть «причесана». Так, вместо Проблема определимости модальными формулами, обладающими свойством «быть позитивной формулой», неразрешима следует писать Проблема определимости позитивными модальными формулами неразрешима.

Конечно, свойствами формулы ± исчерпываются, мягко говоря, далеко не все интересные свойства модальных формул. Однако приведенное доказательство легко модифицируется, хотя вдаваться здесь в подробности в ншни планы Н6 входит. Некоторые факты читатель может найти в [10].

Теперь обратимся к операции взятия порожденной подпткалы. Как уже отмечено, нами доказана

ТЕОРЕМА 14. Не существует алгоритма, который по произвольной формуле первого порядка давал бы ответ на вопрос, верно ли, что истинность этой формулы сохраняется при взятии порожденных подшкал.

Имеются и другие операции над шкалами, сохраняющие истинность модальных формул. Таковы, например, р-морфпзмы, дизъюнктные объединения. Походящими модификациями нашего доказательства (по сути, нужно лить подходящ»™ образом изменить первопорядковуто теорию в формулировке леммы) несложно' установить справедливость аналогов только что сформулированной теоремы, получающихся заменой слов взятии порожденных подшкал на р-морфизм и т.п.

Заверит»™ этот раздел замечанием, что, хотя здесь и были слова «модальная формула» и им сопутствующие, мы занимались свойствами формул первого порядка (!), то есть рассмотренные задачи относились скорее к алгоритмической проблематике классической логики первого порядка.

6 Алгоритмическая проблема первопорядковой определимости

Как видно из предыдущих разделов, неразрешимость почти всех алгоритмических проблем теории соответствия обосновывается довольно просто, да и имеет мало отношения к теории соответствия. Исключением является следующая проблема: существует ли алгоритм, который по произвольной модальной формуле выяснял бы, является ли она первопорядково определимой.

Основным результатом по этой проблеме является

'Однако не будем рисковать называть это упражнение тривиальным.

ТЕОРЕМА 15. Проблема первопорядковой определимости модальных формул неразрешима.

Подробное рт вполне обозримое (менее восьми страниц) доказательство этой теоремы содержится в [10]. Использованная нами схема доказательства та же, что и в [3, 4, 13, 12, 16]. В явной форме эта схема лаконично описана в [11]. Для читателей «Логических исследований» отметим, что по сути она была использована в [5].

Здесь мы ограничимся лить общим описанием доказательства, хотя не пропустим пи одного важного, ключевого момента, так что заинтересованный читатель сможет восстановить опущенные рутинные подробности.

Для доказательства нам понадобятся следующие ингредиенты:

1) P — некоторая машина Минского с неразрешимой проблемой остановки (см., например, [1] или [5]);

2) модальная формула

-H = -O(u2± л o-p л Op) (= □(□2± ^ Up v u-p)),

имеющая в качестве эквивалента первопорядковуто формулу

-3x 3y (xRy Л -3zyR2z Л 3u3v(yRu Л yRv Л u = v));

3) модальная формула (формула Лёба)

la = U(Uq ^ q) ^ Uq,

не имеющая первопорядкового эквивалента.

Конечно, обе модальные формулы были выбраны авторами по Pix собственному вкусу, имеются и другие подходящие формулы. В частности, авторам оказалось удобным использовать то

la

ных шкалах, не имеющих бесконечных возрастающих цепей, то есть цепей вида ZqRz\R ... Rzn-\RznR ....

Поясним, почему указанные в пункте 6 формулы эквивалентны.

В самом деле, попытка опровергнуть формулу —Н приводит пас к шкале, изображенной па рисунке

причем должно быть справедливо, что У г —дК2 г. Рядом с точками шкалы написаны некоторые формулы (точнее, подформулы формулы —Н), которые в этих точках являются истинными.

Таким образом, для опровержения этой формулы должны выполняться следующие условия (прослеживаем птаг за птагом):

дКа Л дКЬ Л а = Ь д = О—р Л Ор;

ЗиЗу(дКи Л дКу Л и = у) д = О—р Л Ор;

—Зг дК2г Л ЗиЗу(дКи Л дКу Л и = у) д = П2± Л О—р Л Ор;

НКд Л —Зг дК2г Л ЗиЗу(дКи Л дКу Л и = у) Н = О(а2±Л О—р Л Ор);

ЗхЗу (хКу Л —ЗгуК2г Л ЗиЗу(уКи Л уКу Л и = у))

= —О(а2±Л О—р Л Ор).

Подчеркнем, что мы только что приводили не доказательство, а пояснения, которые легко восполттимы до доказательства.

С помощью указанных ингредиентов так определяем теперь модальные формулы АхР и вг (г — входные данные машины V), что

1. АхР Ь вг в точности тогда, когда V завершает свою рабо-

г

• Н

О(а2±Л О—р Л Ор)

Н = —О(а2±Л О—р л Ор)

и

условие АхР Ь вг может быть установлено с помощью некоторой транзитивной шкалы, не содержащей возрастающих цепей;

2. —Н Ь АхР.

Далее. Определяем формулу

АхР Л в — —Н) Л (—Н V 1а).

Главным нужным нам свойством этой формулы является следующая эквивалентность:

АхР Л (@г — —Н) Л (—Н V 1а) первоиорядково определима

г

Р завершает свою работу, начав ее на входе г.

Для обоснования стрелки ^ замечаем, что если Р завершает

г

формуле —Н, которая первопорядково определима.

Чтобы обосновать стрелку ^ (точнее, ее контрапозицию), воспользуемся свойствами формулы Лёба 1а.

Нам понадобятся некоторые детали, относящиеся к моделированию работы маптитт Минского средствами модальных формул.

Чтобы не вводить новых алфавитов, будем использовать старые символы — в, г и др. — в новом смысле. Контекстность использования символов позволяет избежать какой-либо путаницы.

г

натуральных чисел {а, т, п), {в, к, I) («нам нужно перейти с помощью машины Р от тройки {а, т, п) к тройке {в,к,1)»).

Р

ся конечное множество инструкций для преобразования троек; каждая инструкция имеет один из четырех видов (в книге [1] обсуждается чуть иное, но эквивалентное определение):

• в — 1, 0) (если первой компонентой тройки является в, мы должны заменить ее на добавить 1 ко второй компоненте, а третью компоненту не менять);

• в — (Ь, 0,1) (если первой компонентой тройки является в, мы должны заменить ее на Ь, добавить 1 к третьей компоненте, а вторую компоненту не менять);

• в — (Ь, -1, 0) ((Ь', 0, 0)) (если первой компонентой тройки

в

менить первую компоненту на Ь, вычесть 1 из второй компоненты, а третью компоненту не менять, а если первой

в

на 0, то нужно заменить первую компоненту на Ь', не меняя ничего во второй и третьей компонентах);

• в — (Ь, 0, —1) ((Ь', 0, 0)) (если первой компонентой тройки

в

заменить первую компоненту на Ь, вычесть 1 из третьей компоненты, а вторую компоненту не менять, а если пер-

в

равна 0, то нужно заменить первую компоненту на Ь', не меняя ничего во второй и третьей компонентах).

Компоненты троек можно понимать так: первая компонента — помер инструкции, а вторая и третья — информация в двух (соответственно, первом и втором) счетчиках. Иногда описанные машины Минского называют регистровыми машинами с двумя регистрами.

ПРИМЕР 16. Если у пас в программе V имеется инструкция

в — (Ь, 0, —1) ((*', 0, 0», то за один птаг с ее помощью производятся такие вычисления: V : (в, 5, 3) — (Ь, 5, 2)

и

V : (в, 5, 0) — (Ь', 5, 0) .

Тот факт, что по программе V из тройки (а, т, п) за некоторое конечное число шагов получается тройка (@,к,1), будем записывать аналогично:

V : (а, т, п) — (в, к, I)

Договоримся, что все программы детерминированные, то есть в программе не может быть двух разных инструкций с одинаковыми левыми частями. (Эта договоренность несущественна.)

Основная неразрешимая проблема: не существует алгоритма, который по данной программе V и тройкам {а,ш,и), {в, к, I) мог бы выяснить, верно ли, что справедливо V : {а,т,п) — {@,к,1).

Неразрешимость проблемы второй тройки: существуют такие программа V и тройка {а,ш,и), что не существует алгоритма, способного выяснить по произвольной тройке {в, к, I), верно ли, что V : {а, т, п) — {в, к, I).

Фиксируем такие программу V и тройку {а,т,п). На следующей иррефлексивной транзитивной шкале Е (см. рис. 1) мы представляем множество

{{в,к,1) : V : {а, т, п) — {в,к,1)}.

Здесь три последовательности точек

я>о, а-, ... , а в,...

а-, а-, а--,... , а^,...

2 2 2 2 ао, а-, а>2,... , а^,...

изображают возможные компоненты троек.

Полагаем по определению, что в шкале Ег точки вида в(в, к, I) образуют множество

{в(в, к, I) : V : {а, т, п) — {в, к, I)}.

Точки а, Ь, д, Н позволяют получить опровержение формулы —И: достаточно (впрочем, и необходимо) положить

а |= Р, Ь = р или а = р, Ь\= р.

Точки шкш1ы Е могут быть описаны формулами от одной р

а | р Ь | р

а | р Ь | р

b

B

При выбранной оценке на рис. 2 происходит упомянутое описание: каждая формула находится около той единственной точки, в которой истинна. Сами формулы таковы:

А = п±л р, В = а±л-р, С = О А Л -ООА Л -ОВ, Б = ОВ Л -ООВ Л -ОА,

а = п2± л о-р л Ор, н = ос,

Е0 = ОБ Л -ООБ, Ег = ОЕ0 Л -ООЕ0 Л -ОС,

Е2 = ОЕг Л -ООЕг Л -ОС, Е0 = ОС Л -ООС,

Ег = ОЕ0 Л -ООЕ0 Л -ОБ, Е2 = ОЕг Л -ООЕг Л -ОБ,

АО = ОЕо Л ОЕо Л -ООЕо Л -ООЕо,

АО = ОЕг Л ОЕг Л -ООЕг Л -ООЕг,

АО = ОЕ2 Л ОЕ2 Л -ООЕ2 Л -ООЕ2,

2

А)+1 = О А) Л -О2 А) Л Д -ОАк,

г=к=0

где г £ {0,1, 2}, ] > 0, и

5(в, А\, А2) = ОАв Л -ОА°в+1 Л ОАгк Л -ООА\ Л ОА2 Л -ООА2

для произвольных в, к и I. Легко видеть, что

• Ег |= Н Л 5(а,А1т,А2п) — Н Л 5(в,А\,А2) ^ V : (а, т, п) — (в, к, I).

По данной программе машины Минского V можно построить (стандартное упражнение, см. указанные выше источники) формулу AxV со свойствами:

• Ег \= АхГ] -Н Ь АхР:

• справедлива эквивалентность:

AxV Ь И Л 5(а, А-т, А2п) — И Л 5(в, А1к, А2)

г

V : {а, т, п) — {в, к, I).

Упоминавшаяся выше формула AxV Л (вг — —И) Л (—И V 1а) принимает следующий конкретный вид

AxVЛ ((И Л 5(а,Ат,АП) — И Л 5(в,А\,А2)) — —И) Л (—И V 1а) и мы имеем по построению Ег = AxV Л ((И Л 5(а, А-т, А2п) — И Л 5(в, А\, А2)) — —И)Л

(—И V 1а).

В самом деле,

• Ег = AxV как было отмечено выше;

• Ег = (ИЛ5(а, А1т, АПп) — ИЛ5(в, А\, А2)) — —И, поскольку если Ег —И (V — некоторая оценка переменных), то Н является единственной точкой со свойством Н \=у И, а кроме того, выполняется Н \=у И Л 5(а, Ат, А'П), но Н = И Л 5(в,Ак,А2);

• Ег = —И V 1а поскольку шкала Ег транзитивна и не содержит бесконечных возрастающих цепей.

Допустим теперь, что формула Ф является первопорядковым эквивалентом формулы

AxVЛ ((И Л5(а,Ат,АП) — И Л5(в,А\,А2)) — —И) Л (—И V 1а). Ег = Ф

Пусть Е' — произвольное ультрапроизведение всех шкал Ег по какому-нибудь неглавному ультрафильтру над и — {0}. Легко попять (то есть показать с помощью формул первого порядка,

Ег

го порядка сохраняется при ультрапроизведеттиях), что шкала устроена так, как показано па рис. 3.

Но теперь в шкале (по-прежнему транзитивной, иррефлек-сивпой) появилась бесконечная возрастающая цепь. Значит, мы имеем

Крах алгоритмической проблематики теории соответствия? 217

ь

• Е' = Ф, поскольку Ф является формулой первого порядка;

• Е' = —Н V 1а поскольку при всякой оценке V, такой что

х = р в точности тогда, когда х = а, и

х = ^ в точности тогда, когда х £ {Н, 0\,02, ■ ■ ■ } (с помощью свойств ультрапроизведеттий легко показать, что цепь С1ЕС2ЕС3Е. ■ ■ в Е' бесконечна),

мы имеем

— Н = —Ни Н = 1а.

Таким образом, Е' = Ф и Е' = 1а, что противоречит тому, что отит эквртвалептпы.

Полученное противоречие показывает, что допущенное нами неверно, то есть формула не имеет первопорядкового эквивалента.

Доказательство теоремы этого раздела закопчено.

7 Заключительные замечания

Ну, что же. Мы показали, что вроде бы знак вопроса в названии статьи можно убрать. Однако нам этого делать не хотелось бы. Необходимо, на наш взгляд, просто отдавать себе отчет, что при рассмотрении алгоритмической проблематики в теории соответствия необходимы изначальные разумные ограничения при постановке задач. Надеемся, что приведенные доказательства помогут исследователям находить эти ограничения.

Литература

[1] Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Паука, 1986.

[2] Фейс Р. Модальная логика. М.: Паука, 1971.

[3] Чагров A.B. Неразрешимые свойства расширений логики доказуемости // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. N 3. С. 350-367.

[1] Чагров A.B. Неразрешимые свойства расширений логики доказуемости. TT // Алгебра и логика. 1990. Т. 29. N 5. С. 613-623.

[5] Чагров A.B. Алгоритмическая проблема аксиоматизации табличной нормальной модальной логики // Логические исследования. Вып 9. М.: Паука, 2002.

C. 251-263.

[6] Чагрова Л. А. О проблеме определимости пропозициональных формул интуиционистской логики формулами классической логики первого порядка. Калинин: КГУ, 1989. (Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, защищенная в Институте математики с вычислительным центром ATT МССР, Кишинев.)

[7] van Benthem J.A.F.К. Modal Logic and Classical Logic. Bibliopolis, Napoli, 1983.

[8] van Benthem J.A.F.K. Correspondence Theory // D.M.Cabbay, F.Guenthner (eds.). Handbook of Philosophical Logic. 2nd Edition, Vol. 3. Kluwer Academic Publishers, 2001. P. 325-108.

[9] Chagrov A.V., Chagrova L.A. Algorithmic problems concerning first-order definability of modal formulas on the class of all finite frames // Studia Logica. 1995. Vol. 55. No. 3. P. 121-118.

[10] Chagrov A.V., Chagrova L.A. The Truth About Algorithmic Problems in Correspondence Theory // Advances in Modal Logic. Vol. 6. College Publications, 2006. P. 121-138.

[11] Chagrov A., Zakharyashchev M. The undecidability of the disjunction property of propositional logics and other related problems // Journal of Symbolic Logic. 1993. Vol. 58. P. 967-1002.

[12] Chagrov A., Zakharyashchev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.

[13] Chagrova L.A. An undecidable problem in correspondence theory // Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56. P. 1261-1272.

Isard S. A finitely axiomatizable undecidable extension of K jj Theoria. 1977. Vol. 13. P. 195-202.

[15] Kripke S. Semantical analysis of modal logic, Part T // Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1963. Bd. 9. S. 67-96.

[16] Zakharyaschev M., Wolter F. and Chagrov A. Advanced Modal Logic //

D.M.Gabbay, F.Guenthner (eds.). Handbook of Philosophical Logic. 2nd Edition. Vol. 3. Kluwer Academic Publishers, 2001. P. 83-266.