Перечислимость модальных предикатных логик и условия обрыва возрастающих цепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

М.Н.Рыбаков

ПЕРЕЧИСЛИМОСТЬ МОДАЛЬНЫХ ПРЕДИКАТНЫХ ЛОГИК И УСЛОВИЯ ОБРЫВА ВОЗРАСТАЮЩИХ ЦЕПЕЙ*

Abstract. The question about recursive enumerability of modal predicate logics defined by non first-order definable classes of Kripke frames is considered. It is proved that logics of classes of frames without infinite ascending chains are not recursively enumerable.

Известно, что большинство стандартных пропозициональных логик разрешимы [3], т.е. для каждой такой логики существует эффективная процедура, которая по всякой формуле дает ответ на вопрос о том, верно ли, что эта формула принадлежит данной логике. Неразрешимых пропозициональных логик, возникших по некоторым естественным причинам, известно не так уж и много; к таковым относятся, например, релевантные логики [5]. В предикатном случае ситуация резко меняется - даже классическая логика предикатов неразрешима, хотя и является перечислимой, т.е. существует эффективное перечисление всех ее теорем. Как следствие, неразрешимы и все модальные предикатные логики, содержащие классическую логику предикатов в качестве своего безмодального фрагмента. Более того, из результатов С. Крипке [1] следует, что в большинстве случаев для неразрешимости модальной предикатной логики достаточно, чтобы ее язык содержал всего лишь две одноместные предикатные буквы, в то время как классическая логика одноместных предикатов разрешима. Логика одноместных предикатов тесно связана с силлогистикой Аристотеля, и упомянутое наблюдение С. Крипке отчасти оправдывает трудности, возникающие при введении в силлогистику модальностей.

Заметим, что все логики, которые могут быть заданы в виде исчислений (т.е. в виде дедуктивной системы с рекурсивно перечислимым, например, конечным, набором аксиом и правил вывода), являются перечислимыми, т.е. для каждой такой логики существует эффективная процедура, выписывающая последовательно все ее теоремы. Действительно, имея конечную (или даже рекурсивно перечислимую) аксиоматику, мы можем последова-

* Работа выполнена при поддержке Фонда Минобразования РФ, грант № Е00-1.0-175.

тельно перебирать все выводы, в результате чего рано или поздно доберемся до всякой формулы, которая выводима в данном исчислении.

Вполне естественным представляется определять логики не синтаксически - в виде исчислений, а семантически, т.е. как множества формул, верных с точки зрения некоторой семантики. Так, например, классическую логику предикатов QCl можно определить как множество тождественно истинных формул, минимальную нормальную модальную предикатную логику QK - как множество формул, верных во всех шкалах Крипке, интуиционистскую пропозициональную логику - как множество формул, верных во всех интуиционистских моделях Крипке, и т.д. Нас будут интересовать логики (в первую очередь, модальные предикатные), которые определяются именно семантически.

В [2] показано, что если модальная предикатная логика задается как множество формул, значимых в классе шкал Крипке, отношение достижимости в которых описывается первопорядко-вой формулой, то она погружается в классическую логику предикатов. Это, в частности, влечет, что такая логика является перечислимой.

Сохранится ли перечислимость, если рассматривать модальные предикатные логики, определенные классами шкал Крипке, отношение достижимости в которых не описывается ни одной формулой первого порядка? В пропозициональном случае к логикам, классы шкал которых не описываются первопорядковыми формулами, относятся, например, логика Геделя-Леба СЬ, логика Гжегорчика Сгг, логика Маккинси КМ и другие. Все эти логики конечно аксиоматизируемы, финитно аппроксимируемы и разрешимы [3]. Закономерен вопрос о том, какова алгоритмическая сложность модальных предикатных логик классов шкал СЬ, Сгг, КМ и других подобных логик.

Вопрос о перечислимости логик классов шкал, не определимых первопорядково, мотивирован отчасти еще и тем, что в математике довольно часто приходится говорить о вполне естественных свойствах, которые невозможно описать средствами языка первого порядка.

Так, например, одним из свойств, которым обладают стандартные модальные пропозициональные логики, является финитная аппроксимируемость: логика Ь называется финитно аппроксимируемой, если она полна относительно некоторого класса конечных шкал Крипке. Заметим, что свойство конечности не описывается никакой формулой первого порядка. Тем не менее, финитная аппроксимируемость играет важную роль в модальных

и других неклассических логиках. Так, например, известно [3], что если пропозициональная логика L финитно аппроксимируема и конечно аксиоматизируема, то она разрешима.

При переходе от пропозиционального языка к предикатному свойство конечности моделей даже в классическом случае приводит к «отрицательным» результатам, связанным с возможностью эффективного описания логик таких моделей. Сначала заметим, что требование конечности моделей предикатного языка возникает вполне естественно: поскольку в жизни мы сталкиваемся лишь с конечным числом предметов, то разумно рассматривать логики моделей с конечными предметными областями. Оказывается, что классическая предикатная логика конечных областей QClfin в силу известной теоремы Трахтенброта не только не разрешима, но даже не является перечислимой (правда, теорема Трахтенброта не распространяется на логику одноместных предикатов). Соответственно, неперечислимы и модальные логики конечных областей.

Помимо конечности есть и другие естественные условия, которые нельзя записать с помощью первопорядковых формул. К ним относится, например, часто используемая в различных областях математики операция транзитивного (иногда рефлексивно-транзитивного) замыкания бинарных отношений. Так, в теории графов эта операция используется при описании путей из одних вершин графа в другие, в computer science она связана с зацикливанием программ и т.д. В [6] показано, что модальная предикатная логика шкал Крипке, язык которой содержит две модальности -соответствующую отношению достижимости между мирами и соответствующую рефлексивно-транзитивному замыканию этого отношения - является неперечислимой. Опять вполне естественное, но не определимое первопорядково условие, накладываемое на семантику, приводит к неперечислимости множества верных с точки зрения этой семантики формул.

Мы рассмотрим еще одно условие - условие обрыва возрастающих цепей. В шкалах Крипке оно возникает, когда речь идет о реляционной семантике логик доказуемости, например, таких, как пропозициональные логики GL или Grz. Напомним определения этих логик. Пусть Cl - классическая логика высказываний. Для множеств модальных пропозициональных формул 21 и 22 через 21 © 22 обозначим наименьшее множество, содержащее 21 u 22 и замкнутое относительно правила modus ponens, правила подстановки и правила Геделя. Вместо 2© {р} будем писать 2© р. Тогда

сь = С1 е п(р — д) — (Пр — пд) е а(Пр — р) — Пр; Сгг = С1 е П(р — д) — (Пр — Од) е П(П(р — Пр) — р) — р,

где р и д — пропозициональные переменные. Каждую из этих логик можно определить как множество формул, значимых в некотором классе шкал Крипке, для которых помимо прочих (пер-вопорядково определимых) условий выполнено и условие обрыва возрастающих цепей (см. [3]). Мы рассмотрим предикатные варианты этих логик, т.е. когда модальный язык обогащен предикатными буквами и кванторами по предметным переменным.

Перейдем к точным определениям. Обозначим через ро модальный предикатный язык, содержащий счетное число индивидных переменных, счетное число «-местных предикатных букв для всякого натурального п, логические связки л, V, —, □, кванторы всеобщности по индивидным переменным, скобки и запятую. Формулы в этом языке строятся обычным образом. В дальнейшем при записи ро-формул мы будем использовать и другие связки и кванторы, определяя их как обычные сокращения основных, а именно: — р = р— р-о- у= (р — у) л (у— р), Зх р = —Ух —р, (р = —□—р, П+р= рл Пр.

Шкалой Крипке будем называть пару ^ = {Ж, Я), где Ж -непустое множество, а Я - бинарное отношение на Ж. Элементы множества Ж будем называть мирами, а отношение Я - отношением достижимости. Модель Крипке представляет собой четверку М = {Ж, Я, В, I), где {Ж, Я) - шкала, В - функция, сопоставляющая каждому миру w е Ж непустое множество В(м>), называемое предметной областью этого мира, причем если WlЯw2, то В^ 1) с В^2), I - интерпретация предикатных букв в мирах множества Ж, т.е. функция, сопоставляющая каждой «-местной предикатной букве Р и каждому миру w некоторое «-местное отношение I(P,w) на множестве В^).

Пусть а - интерпретация предметных переменных в модели М, т.е. функция, сопоставляющая каждой предметной переменной х языка ро некоторый элемент а(х) е и [В^) : w е Ж}. Определим отношение значимости ро-формул в мирах модели М при интерпретации а, при этом если формула р значима в мире w модели М при интерпретации а, то будем писать (M,w) ё ра]:

(М^ О ^[а] всегда;

(M,w) ёР(х 1, ... , х«)[а] к если

а(х 1) е В^), ... , а(хп) е В^), то {а(х 1), ... , а(х«)) е I(P,w);

(М^) ёрл ^[а] к (М^) ёр[а] и (М^) ё ц\а];

(M,w) ëрv ^[а] к (М^) ёр[а] или (М^) ё ^[а];

(М^) ёр^- ^[а] к (М^) О р[а] или (М^) ё ^[а];

(M,w) ё Ух р[а] к (M,w) ёр[Р] для всякой интерпретации р, совпадающей с а на всех переменных, кроме, быть может, х;

(М^) ё Пр[а] к (M,w') ёр[а] для всякого мира w' такого, что wRw'.

Если х 1, ... , хп - список всех свободных переменных формулы р, а(х 1) = a 1, ... , а(хп) = an и а1, ... , an е D(w), то вместо обозначения (М^) ё р[а] будем использовать обозначение (М^) ёр[а1, ... , ап]. Формулу р считаем значимой в мире w модели М, если она значима в этом мире при всякой интерпретации а такой, что а(х) е D(w) для всякой свободной переменной х формулы р. Говорим, что формула р значима в модели М, если она значима в каждом мире этой модели; говорим, что р значима в шкале Е, если р значима во всякой модели, определенной на этой шкале.

Пусть С - класс шкал Крипке, отношение достижимости в которых иррефлексивно, транзитивно и удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, т.е. никакая шкала Е = (Ж, R) класса С не содержит бесконечных цепей вида w1 R W2 R w3 R ... . Обозначим через QСL'теm логику класса С, т.е. множество ро-формул, значимых во всех шкалах из С. В пропозициональном случае логикой класса С является логика Геделя-Леба СЬ. Сразу отметим, что в приведенных ниже рассуждениях вместо класса С можно рассматривать некоторые естественные его подклассы; так, например, можно ограничивать ширину шкал и рассматривать подклассы С, состоящие из шкал ширины 1, ширины 2, ширины 3 и т.д. В этом смысле наименьшим естественным подклассом класса С является класс шкал ширины 1, состоящий из всех линейных шкал класса С. В пропозициональном случае этот класс определяет логику СЬЫп, которая дедуктивно может быть задана добавлением к аксиоматике СЬ аксиомы линейности:

СЬЫп = СЬ © □(□> ^ «?) V □(□^ ^ р).

Модальную предикатную логику линейных шкал класса С обозначим через QСLLiпж,я.

Рассмотрим класс С*, состоящий из шкал Крипке, отношение достижимости в которых рефлексивно, транзитивно, антисимметрично и удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей:

шкалы не должны содержать бесконечно возрастающих цепей, состоящих из различных точек. Модальную предикатную логику класса С* обозначим через QCrzsem. В пропозициональном случае класс С* определяет логику Гжегорчика Сгг. Через QS4.3Crzsem обозначим модальную предикатную логику класса всех линейных шкал из С*. В пропозициональном случае класс линейных шкал С* определяет логику

S4.3Grz = С™ е П(Пр — Пд) V П(Пд — Пр).

Наша цель состоит в том, чтобы доказать справедливость следующего утверждения.

Теорема 1. Логики QGLsem QGLLinsem QCrzsem QS4.3Gzrsem

неперечислимы.

Для доказательства неперечислимости этих логик достаточно погрузить в каждую из них некоторое неперечислимое множество. В качестве такого множества возьмем классическую логику конечных областей QC1/;n. Будем считать, что формулы этой логики строятся в языке о, который отличается от определенного выше языка ро лишь тем, что не содержит символа □, т.е. о - это обычный язык логики предикатов.

Мы построим погружение логики QC1/;n в логику QCLsem, т.е. опишем эффективно вычислимую функцию / сопоставляющую каждой о-формуле р некоторую ро-формулу /(р) и удовлетворяющую следующему условию:

ре QC1Гт » /р) е QCLsem.

Эта же функция будет заодно погружением QC1/¡n и в логику QCLLinsem. Небольшая модификация функции / позволяет обосновать справедливость теоремы 1 и для других двух логик, но эту часть доказательства мы опускаем, поскольку оно не содержит принципиально новой идеи, но требует некоторых дополнительных технических выкладок.

Для дальнейших рассуждений зафиксируем некоторую произвольную замкнутую о-формулу р.

Первое, что нам нужно сделать, - это научиться описывать условие конечности предметных областей. Как отмечалось выше, условие конечности не является первопорядково определимым. Но в логике QGL имеется в некотором виде и непервопорядковое условие - условие обрыва возрастающих цепей, которому удовлетворяют все шкалы этой логики. Воспользуемся этим условием, чтобы описать подходящим образом конечность предметных областей.

Пусть Е - некоторая бинарная предикатная буква языка ро, не входящая в р. Обозначим

Ед = П+[Ух Е(х,х) л УхУу (Е(х,у) ^ Е(у,х)) л л УхУуУ2 (Е(ху) л Е(у,2) ^ Е(х,г))]

и ниже вместо Е(х,у) будем писать х «у. Выполнимость в некотором мире w формулы Ед означает, что предметные области мира w и достижимых из w миров разбиваются на классы эквивалентности по отношению «. Запишем некоторые условия, выполнение которых будет означать, что эти классы упорядочены так же, как упорядочены натуральные числа с помощью отношения «меньше». Пусть Q - унарная, а О и - бинарные предикатные буквы, не входящие в формулу р. Смысл, который мы хотим вложить в буквы О и 5, следующий:

О(х,у) ^ «х меньше у»; 5(х,у) ^ «у следует за х».

Буква Q понадобится нам для того, чтобы «помечать» миры индивидами; считаем, что мир w модели М = (Ж, R, D, I) «помечен» индивидом а е Ж, если (М^) ёQ[a]. То, какую роль будут играть эти «метки», станет ясно чуть ниже.

Опишем условие бесконечности предметной области:

УхЗу О(ху) л УхУyУz (О(х,у) л О(у,г) ^ О(х,г)) л (1)

л УхУу (О(х,у) ^ —О(у,х)).

Запишем условие линейной упорядоченности классов эквивалентности по О:

□+УхУу [—(х « у) ^ (О(х,у) V О(у,х))]. (2)

Выполнение следующего условия будет гарантировать, что отношение О между всякими двумя индивидами сохраняется в последующих мирах:

□+УхУу [(О(ху) ^ ПО(х,у)) л (—О(ху) ^ О(х,у))]. (3)

Опишем 5:

□+УхУу [5(х,у) ^ (О(ху) л Уz —(О(х^) л О^,у))]. (4)

Следующая формула означает существование «нуля», который будет определять наименьший по О класс эквивалентности:

Зх П+Уу —5(у,х). (5)

Очередное условие, которое нам понадобится, состоит в том, что для всякого элемента существует непосредственно следующий за ним по О и для всякого элемента, отличного от наименьшего по О, существует его непосредственный предшественник по О:

□+'УхЗу ад л Ух (Зу О(у,х) — Зу £(у,х)). (6)

Выполнение формул (1)-(6) означает, что классы эквивалентности по отношению * оказываются линейно упорядоченными с помощью О, причем это упорядочение очень похоже на упорядочение натуральных чисел по отношению «меньше» с той лишь разницей, что получившееся упорядочение пока может содержать бесконечно убывающие цепочки. Этот недостаток можно исправить с помощью Q и того факта, что шкалы класса С не содержат бесконечно возрастающих цепей.

Запишем условие, состоящее в том, каждый мир, достижимый из данного, оказался «помечен» некоторым индивидом:

□Зх Q(x). (7)

Пусть, кроме того, «метка» для каждого мира единственна с точностью до эквивалентности; соответствующее условие выглядит так:

□УхУу Ш(х) л Q(y) — х * у) л (х * у л Q(x) — Q(y))]. (8)

Следующее условие будет гарантировать, что «метки» не повторяются два раза в одной цепочке миров:

□Ух ^(х) — □—Q(x)). (9)

Теперь согласуем порядок следования «меток» с порядком О. Для этого запишем такое условие:

□УхУу ^(х) — т(у) ^ О(у,х))]. (10)

Наконец, потребуем, чтобы каждый индивид данного мира являлся «меткой» для некоторого мира, достижимого из данного. Этого можно достичь с помощью следующей формулы:

Ух Шх). (11)

Обозначим через А конъюнкцию формул (1)—(11). Нетрудно видеть, что конъюнктивные члены (7)-(11) этой формулы обеспечивают отсутствие бесконечно убывающих по О цепей в линейном упорядочении классов эквивалентности по *, полученном благодаря конъюнктивным членам (1)-(6). Действительно, пусть {Ж, Я) е С. Тогда наличие бесконечно убывающей по О цепочки индивидов ... О а3 О а2 О а\ в предметной области мира w модели М = {Ж, Я, В, I), в котором выполняется А, означало бы достижи-

мость из w бесконечно возрастающей цепочки миров w R w 1 R w2 R w3 R ... , где wk ёQ[ak]. А последнего не может быть в силу определения класса С.

Итак, справедливо следующее утверждение. Предложение 1. Если формула Ед л А выполнима в мире w модели М = (Ж R, D, I), определенной на шкале класса С, то множ ест во D(w) разбивается с помощью « на линейно упорядоченное с помощью О семейство классов эквивалентности, изоморфное множ ест ву натуральных чисел с от ношением «меньше».

Нам важно то, что множество получающихся за счет выполнения формулы А классов эквивалентности обладает следующим свойством: число классов эквивалентности, предшествующее по О некоторому фиксированному классу, конечно. Вот, по сути, и конечные области.

Пусть х - индивидная переменная, не встречающаяся в р. Заменим в р каждую подформулу вида У у у на подформулу вида У у (О(у,х) V у « х ^ у) и получившуюся формулу обозначим через р*(х). Рассмотрим формулу Ух р*(х). Легко понять, что если предметная область некоторого мира разбита на одноэлемент ные классы эквивалентности так, как того требует выполнение формулы А, то справедливость в этом мире условия, записанного в виде формулы Ух р*(х) означает, что формула р верна во всякой конечной классической модели.

Осталось добавить условие, выполнение которого позволяло бы считать указанные классы одноэлементными. Пусть элементы каждого из таких классов будут неразличимы для формулы Ух р*(х). Для этого достаточно описать тот факт, что каждая предикатная буква, входящая в р, удовлетворяет аксиомам равенства, где вместо равенства используется символ «. Обозначим через Ах(р) универсальное замыкание конъюнкции всех таких аксиом и положим

Др) = Ед л А л Ах(р) ^ Ух р*(х).

Предложение 2. Для всякой о-формулы р справедлива следующая эквивалент ност ь:

ре QClПп » Др) е QGLж;и.

Доказательство. Пусть рё QCly¡n. Тогда р опровергается в некоторой классической модели с конечной предметной областью. Можем считать, что предметная область этой модели состоит из натуральных чисел от 0 до п. Рассмотрим шкалу Е = (ЖR), где Ж = А и {ю}, а R - отношение «больше» на А, доопределенное на Ж следующим образом: юRn для всякого п е А. Заметим, что в Е

нет бесконечно возрастающих цепей, поэтому F е C. Определим на F модель M = (W, R, D, I) следующим образом. Для всякого w е W положим D(w) = А, а интерпретацию I зададим так, чтобы для всяких m, n е А и w е W были выполнены следующие условия:

(M,w) ёm « n ^ m = n;

(M,w) ёR[m,n] m < n;

(M,w) ёS[m,n] n = m + 1;

(M,w) ёQ[n] w = n,

кроме того, предикатные буквы, входящие в р, в мире ю на элементах 0, ... , n проинтерпретируем точно так же, как они были проинтерпретированы в модели, опровергающей формулу р. В остальном модель M произвольна. Не составляет труда проверить, что (M,ra) ёEq л А л Ах(р) и (M,ra) О p*[n]. Следовательно, (M,<a) Оfp), т.е.fp) Й QGLxem.

Пусть теперь формула Eq л А л Ах(р) ^ Ух р*(х) опровергается в мире w некоторой модели M = (W, R, D, I), определенной на шкале класса C. Покажем, что в этом случае формула р опровергается в некоторой классической модели с конечной предметной областью.

Так как в w справедливы формулы Eq и А, то в силу сформулированного выше предложения множество D(w) разбивается с помощью « на линейно упорядоченное с помощью G семейство классов эквивалентности, изоморфное множеству натуральных чисел с отношением «меньше». Выберем из каждого класса по одному элементу, получим последовательность a0, a1, a2, ... такую, что для всякого натурального числа k выполняется отношение (M,w) ё S[ak, ak+1]. Пусть P — m-местная предикатная буква, входящая в р. Поскольку (M,w) ё Ах(р), то

(M,w) ёP[ai 1, ... , aim] ^ P[bl 1, ... , bim],

где (M,w) ё an « bn для всякого n е А.

Поскольку в мире w модели M опровергается формула Ух р*(х), то (M,w) О р*[с] для некоторого с е D(w). Ясно, что (M,w) ёс «an для некоторого n е А и что в этом случае (M,w) О p*[an]. Пусть U = {a0, ... , an} и пусть Iv — ограничение интерпретации I на область U. Пара (U, IU) в этом случае является классической моделью безмодального фрагмента языка po. Индукцией по построению подформулы yAy 1, ... ,yk) формулы р несложно доказать, что для любых b0, ... , bn таких, что для вся-

кого i е {0, ... , n} справедливо отношение (M,w) ëa, « Ъь имеет место эквивалентность

(M,w) ë i//*[an, bii, . , Ъ,к] ^ <U, Iu> ë y[ai1, . , a^],

где y*(x) получается из ус помощью того же преобразования, с помощью которого (p*(x) получается из р. В частности, получаем, что (U, If > О р, а в силу конечности множества U заключаем, что ре QCl^. □

Из предложения 2 теоремы Трахтенброта о неперечислимости логики QClfin вытекает следующее утверждение. Следствие 1. Логика QGLsem неперечислима.

Если проанализировать доказательство предложения 2, то можно сделать вывод о том, что аналогичное утверждение будет справедливо, если вместо логики всего класса C рассматривать логику некоторого его подкласса C , содержащего хотя бы одну шкалу с бесконечно убывающей цепочкой миров, достижимой из некоторого мира, или шкалу со сколь угодно длинными конечными цепями миров, достижимыми из некоторого мира. То же касается и логик аналогично устроенных подклассов класса C*.

Зафиксируем произвольный класс C такого вида. Обозначим через L(C ' ) логику класса C ' , т.е. множество ро-формул, значимых во всех шкалах этого класса. Замечание 1. Логика L(C ' ) неперечислима.

Теперь обратимся к утверждению теоремы 1. Принимая во внимание тот факт, что логика QCl является перечислимой, заключаем, что справедливо следующее утверждение. Следствие 2. Логики QGLsem, QGLLinsem QGrzsem QS4.3Gzrsem не сводят сярекурсивно к QCl.

Отметим, что справедливо также и следующее обобщение следствия 2.

Замечание 2. Логика L(C ' ) не сводит ся рекурсивно к QCl.

Рассмотрим модальные предикатные логики, которые являются предикатными вариантами логик GL, GLLin, Grz, S4.3Grz, но определяются не семантически, а аксиоматически. Введем следующее обозначение: для множеств ро-формул Е1 и S2 через Е1 © S2 обозначим наименьшее множество формул, содержащее E1 u Е2 и замкнутое относительно правила modus ponens, правила подстановки, правила обобщения и правила Геделя. Будем считать, что язык логик GL, GLLin, Grz, S4.3Grz является пропозициональным фрагментом языка ро. Пусть

QGL = QC1 е CL; QCLLin = QC1 е CLLin;

QGrz = QC1 е Crz; QS4.3Grz = QC1 е S4.3Crz.

Заметим, что если все теоремы логики QGL значимы в некоторой шкале Крипке то отношение достижимости в этой шкале иррефлексивно, транзитивно и удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, т.е. ^ е С. С другой стороны, ясно, что если ^ е С, то в ^ значимы все формулы логики QGL. Таким образом, класс шкал логики QGL совпадает с С. Рассуждая аналогичным образом, нетрудно понять, что класс шкал логики QGLLin совпадает со множеством всех линейных шкал класса С, класс шкал логики QGrz — с классом С*, а класс шкал логики QS4.3Grz — со множеством всех линейных шкал класса С*. Поскольку логики QGL, QGLLin, QGrz, QS4.3Grz перечислимы, то в силу сделанного наблюдения, касающегося классов шкал этих логик, а также в силу теоремы 1, получаем, что эти логики не полны по Крипке.

Следствие 3. ЛогикиQGL, QGLLin, QGrz, QS4.3Grz не полны по Крипке.

Вообще говоря, справедливо и следующее, более общее, утверждение, касающееся неполноты по Крипке целых классов модальных предикатных логик.

Замечание 3. Пусть рекурсивно аксиоматизируемая логика Ь т акова, чт о QGL с Ь с QGLLin или QGrz с Ь с QS4.3Grz.

Тогда Ь не полна по Крипке.

Неполнота по Крипке предикатного варианта логики Геделя-Леба ранее была доказана в [4], где подробно обсуждаются это и некоторые другие свойства логики QGL.

Отметим, что в некоторых случаях рассматривают шкалы Крипке с постоянными областями, т.е. при определении семантики Крипке ограничиваются такими моделями на шкалах, в которых индивидные области всех миров модели совпадают. В этом случае теорема 1 все равно останется справедливой - логики соответствующих классов шкал опять оказываются неперечислимыми. Условие постоянства предметных областей описывается формулой BF = Ух ОР(х) — ПУх Р(х) : при фиксированной функции В эта формула справедлива в каждой модели Крипке М = {Ж, Я, В, I), определенной на шкале ^ = {Ж, Я), ровно в том случае, когда для всяких миров Wl и w2 таких, что WlЯw2, выполняется условие В^1) = В^2). Принимая во внимание сказанное, можно, в частности, обосновать следующее утверждение: логики QGL е BF, QсLLin е BF, QCrz е BF, QS4.3Crz е BF не полны по Крипке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Крипке С. Неразрешимость одноместного модального исчисления предикатов // Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. С. 247-253.

2. РыбаковМ.Н., ЧагровАВ. Стандартные переводы неклассических формул и относительная разрешимость логик // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. М., 2000. Вып. XIV. С. 81-98.

3. ChagrovA., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.

4. Montagna F. The Predicate Modal Logic of Provability // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1984. Vol. 25. N 2. P. 179-189.

5. UrquhartA. The Undecidability of Entailment and Relevant Implication // The Journal of Symbolic Logic. 1984. Vol. 49. N 4. P. 1059-1073.

6. Wolter F., Zakharyaschev M. Decidable Fragments of First-Order Modal Logics // The Journal of Symbolic Logic. To appear.