CC BY
28Алгоритмическая проблема финитарного семантического следования пропозициональных формул I: контекст и постановка задачи1 A.B. Чагров
abstract. Different (nonequivalent) notions of the semantic consequence of propositional formulas, among which the notion of fmitary semanic consequence is selected, are described. Some statements which are based on certain folklore proofs have been given. The example is Kuznetsov's observation which allows to prove the following unexpected statement: there is not an algorithm which, given a recursive (that is, decidable) set of propositional formulas, recognizes the presence at least of one invalid formula. But the aim of discussion in this paper is the setting of an algorithmic problem of fmitary semantic consequence for various nonclassical propositional logics, such as modal, intuitionistic ones, Visser's logics. Solutions of these problems will be given in the following papers of series.
Эта статья — первая из статей, целыо которых является доказательство того, что тте существует алгоритма, который по двум произвольным пропозициональным формулам <р и ф выяснял бы, истинна ли формула ф в тех конечных шкалах Крипке, в которых истинна формула <р-, другими словами, наша цель — доказательство неразрешимости финитарного семантического следования. При этом пропозициональные формулы мы понимаем достаточно широко — это, например, pi модальные формулы, и интуиционистские формулы; кроме того, пас интересуют не столько формулы сами по себе, сколько их подразумеваемая интерпретация. Скажем, интуиционистские формулы, то есть формулы, построенные из пропозициональных переменных и константы ± («ложь») с помощью пропозициональных связок
'Работа по,одержана РФФИ. Гранты .V® 06-()6-8()380-а и .V® 06-06-80292-а.
Л (конъюнкция), V (дизъюнкция), ^ (импликация) и обычных сокращений вроде отрицания —р = р ^ могут пониматься как и в самом деле интуиционистскими с обычной семантикой Крипке, в которой отношение достижимости является частичным порядком (то есть транзитивным, рефлексивным, антисимметричным отношением), так и формулами языка базисной и пропозициональной логик А. Виссера [34], когда требования па шкалы Крипке иные: для базисной логики пткалы трапзитивтты, для формальной логики — трапзитивтты и тте содержат бесконечных возрастающих цепей".
Для случая, когда р и ф — модальные формулы, соответствующее доказательство приводилось в [9] и в [12], однако в этих источниках доказательство упомянутого результата либо было технической деталью при решении иттых задач (в [9] это неразрешимость первопорядковой определимости модальных формул тта конечных шкалах), либо предварялось технически довольно насыщенным текстом доказательств иттых результатов, что тте может тте затруднять переттос идеи этого доказательства тта интуиционистский, базисный и формальный (по А. Виссеру) случаи. Кроме того, в последние годы возрос интерес к упомянутым логикам, близким по семантическому описанию к интуиционистской, например — к базисной и формальной логикам А. Виссера [34], для которых вопрос финитарного семантического следования представляет естественный интерес, поскольку, например, семантика формальной логики в [34] задавалась именно конечными шкалами, а потому в качестве первого шага рассмотрения этой ттовой проблематики разумно разобрать интуиционистский случай, детали которого до сих пор тте были опубликованы.
В соответствии со сказанным одна из целей данной статьи — вводная.
Что значит «Из совокупности формул Г семантически следует формула р» (Г = р, символически)?
Ответ тта обозначенный вопрос существенно зависит от выбора языка3, в котором заданы формулы, вида рассматриваемых семантических конструкций и т.д.
2В случае конечных шкал вместо отсутствия бесконечных возрастающих цепей можно использовать требование иррефлексивности.
3Подчеркнем, что нас будут интересовать только пропозициональные языки, хотя рассматриваемая проблематика представляет интерес и
В частности, если формулы из Г и формула ф являются формулами классической пропозициональной логики, то одно из возможных уточнений понятия семантического следования со-
Г
дует формула ф, если при любой классической4 истинностной оценке в соответствии с классическими таблицами истинности
Г
значение принимает и формула ф. Хорошо известна довольно простая теорема компактности для классической пропозициональной логики, в соответствии с которой согласно приведенному определению справедливо следующее утверждение (обратное ему утверждение тривиально): если для всякого конечного подмножества А множества формул Г и формулы ф существует оценка, при которой все формулы из А истинны, а ф ложна, то существует и такая оценка, при которой все формулы из Гф
формул эквивалентно (во всех смыслах) конъюнкции формул
А
ментным. Ясно, что в этом случае утверждение А |= ф равносильно тому, что формула5 А ^ ф является тождественно истинной ( |= А ^ ф, символически), и тому, что формула А ^ ф выводима в классическом исчислении высказываний (подходящего вида). Таким образом, в случае классической пропозициональной логики семантическое следование в сформулированном выше смысле «вырождается» в выводимость некоторой формулы в классическом исчислении высказываний.
Второй возможный ответ связан с пониманием формул как схем суждений (рассуждений, высказываний). В этом случае ттапт вопрос может быть переформулирован так: «В каком случае можно утверждать, что из справедливости схемы суждений ф следует справедливость схемы суждений Надо иметь в
языков более высокого уровня, однако ,%ля них имеются некоторые ответы на этот вопрос, см. обсуждение далее.
4То есть на множестве {И, Л} с обычными классическими условиями распространения оценки с подформул не всю формулу, выраженными в табли!щх истинности.
8 В этой формуле для множества формул Д = {6} традиционно опущены множественные фигурные скобки, то есть запись Д ^ р означает 6 ^ р. Этой традиции мы придерживаемся и в дальнейшем, не оговаривая особо.
виду, что в классической логике высказываний все высказывания разделены на два вида — истинные и ложные, не взирая на какие-либо сопутствующие высказываниям обстоятельства и/или содержательные свойства самих высказываний, а потому в этом случае мы можем получать из схемы суждений конкретное высказывание (по существу истину или ложь), подставляя вместо переменных в качестве значений только элементы множества {истина, ломеь}. В классической логике мы принимаем схему высказываний (формулу), если при любой такой подстановке в результате вычислений по таблицам истинности мы получаем истину (то есть формула тождественно истинна). В итоге вместо вопроса «В каком случае можно утверждать, что из справедливости схемы суждений р следует справедливость схемы суждений ф?» мы получаем вопрос «следует ли из тождественной истинности формулы р тождественная истинность формулы ф?». А вот этот вопрос решается совсем тривиально: ответ па пего положителен ровно в том случае, когда формула р не тождественно истинна или же формула ф тождественно истинна.
Ситуация меняется, оказываясь не столь простой, когда мы переход»™ от классической логики к пеклассическим, скажем, модальным, интуиционистской и т.п. Теперь у пас пет таблиц истинности, однако имеются, как правило, совокупности семантических конструкций, в определенном смысле их заменяющие. В этой статье мы рассматриваем только один вид таких семантических конструкций — шкалы Крипке (будем часто говорить просто шкалы, поскольку другие виды пткал мы здесь не обсуждаем). Факт истинности формулы р на шкале Е обозначаем Е = р; контекстность использования значка = позволяет легко отличить в обозначениях семантическое следование формул и истинность формулы
Пусть С — некоторый класс6 шкал, р и ф — формулы языка, соответствующего этому классу: модальные формулы — модальные шкалы, интуиционистские формулы — интуиционистские
ф
рС
6Мы не будем делать различий между понятиями множества и класса, считая эти термины синонимами.
вами, формула ф (семантически) влечет формулу ф на классе шкал C; символически, ф =с ф), если для каждой шкалы F из C справедливо, что если ф истинна на шкале F, то и ф истинна
FC ной интуиционистской шкалы, то семантическое следование на C
том» для классической логики высказываний. Рассмотрим другие примеры.
Как известно, интуиционистская логика Int может быть задана как множество формул истинных па всех шкалах из:
• класса Ci всех конечных интуиционистских шкал,
• класса C2 всех счетных интуиционистских шкал,
• класса C3 всех континуальных интуиционистских шкал,
• класса C4 всех интуиционистских шкал, имеющих мощность' больше континуума.
То есть справедливо, что
Int = {ф : VF е Ci F = ф}
при 1 < i < 4. Здесь классы Ci приведены лишь для примера. Разумных классов пткал, семантически определяющих интуиционистскую логику, довольно много. Однако в данной статье
Ci
факт, что VF е Ci F = ф, в уже введенных обозначениях можно изобразить символически через 0 =ci ф, то есть это по существу семантическое следование из пустого множества формул. Нас же интересует общий случай, то есть ситуации следования Г =ci ф при произвольпых Г и ф.
Отметим, что все отношения =ci при 1 < i < 4 не обладают компактностью, то есть аналогами свойства, указанного выше для классического случая. В качестве примеров укажем [27] рт [5], где это доказано по существу для модальных аналогов отношений =ci при 1 < i < 4 ([27] — для временной и модальной
'Мощностью шкалы называется мощность множества миров этой шка-
логик; [5] — для модальной логики S4, точнее, класса модальных транзитивных и рефлексивных пткал); для интуиционистских случаев, насколько мне известно, соответствующие доказательства не публиковались. Кроме того, легко заметать, что отношения Г =ci р при рассмотрении непустых множеств Г уже оказываются различными при разных г. Приведем сначала некоторые примеры таких различий для г = 1 (повторюсь, случай г = 1 нас будет интересовать особо).
Хотя целью исследования, как уже сказано, являются интуиционистские8 формулы PI Pix семантика Крипке, относящаяся к iiPiM проблематика близка и к иным пеклассическим формулам PI Pix семантике Крипке; более того, близкими оказываются порой не только проблемы, по и идеи Pix решения. Поэтому мы приведем некоторые уместные здесь факты в хронологическом порядке, а не упорядочивая Pix по типам языков и/или семаптик пекласср1ческр1х логик.
В обзоре [22] в спртске проблем оказалась следующая9: всякая ли суперр1птурщргопр1стская10 логика аппроксимируема счетными шкалами Крипке? Для переформулировки этой проблемы в случае временных логик11 расширенный отрицательный ответ был получен в [28]. Для уточнения этого ответа нам понадобятся некоторые определения, связанные с мощностями множеств (кардиналами или кардинальными числами). Обозначим к0 = ^о, ка+\ = 2Ка, ка = | ß < а} для предельного
ординала а. Так вот, в соответствии с [28] для всякого ордина-
®Еще раз оговорим, что мы называем интуиционистскими формулы из определенного множества, но семантика их может быть и не интуиционистской, как в случае логик А. Виссера.
9Отметим, что во время написания [22] примеры неполных по Крипке пропозициональных суперинтуиционистских логик не были известны. Их существование — также вопрос, сформулированный в [22], хотя его в то время уже можно было отнести к фольклорным, поскольку он (скажем, случая модальных логик) интересовал многих логиков. Первая неполная по Крипке суперинтуиционистская (конечно-аксиоматизируемая!) логика была построена в [13].
I "Добавим в соответствии с примечанием 9: полная по Крипке.
II Более точно, многомодальных логик, в которых каждая модальность имеет сопряженную. В частном случае получается и обычная временная логика, которая является бимодальной логикой с сопряженными модальности ми.
л а а, такого что а < 2и, существует непротиворечивая полная по Крипке временная логика, все пткалы Крипке которой имеют мощность не менее ка.
Отрицательный ответ па вопрос [22] в его изначальной формулировке был получен в [15], где построены континуальная шкала Е (то есть мощность Е теть к\ = 2^°) и формулы ф, ф со свойствами: ф |=с2 ^о ф |=с3 ф, причем последнее условие обосновывается с помощью шкалы Е, то есть выполняются условия Е |= рЕ = ф. Таким образом, подходящим контпри-мером к отмеченному вопросу [22] является множество формул, истинных в этой шкале, то есть супериптуициоттистская логика Ь(Е). Кроме этого, результат [15] показывает различие отношений |=с2 и |=с3, причем это различие получено уже для случая одноэлементных (или, что то же самое, конечных) левых частей отношений семантического следования.
Упомянутый результат [28] невозможно перенести с временных логик па нормальные модальные логики, поскольку по теореме Макиттсопа [26] (теорема 8.67 в [12]) всякая непротиворечивая нормальная модальная логика имеет по крайней мере одну из двух возможных пткал с одним лить миром — рефлексивным или иррефлексивпым. Однако, если спять требование нормальности, то есть замкнутости логики относительно правила Геде-ля ф/Пф, то ограничение в виде теоремы Макинсона перестает действовать. Это обстоятельство удалось использовать в [10], где построено непротиворечивое расширение модальной логики К4 (не замкнутое по правилу Геделя, естественно), обладающее свойствами: оно полно по Крипке (по существу просто-напросто задается некоторой шкалой Крипке с выделенными мирами1"), всякая шкала имеет мощность не менее кш. Естественными изменениями приведенной в [10] конструкции для всякого щи < и, легко получается модальная логика, которая задается шкалой
,2Это не слишком обременительное расширение класса шкал Крипке: нормальных модальных логик и, скажем, суперинтуиционистских логик можно всегда считать, что множество выделенных миров совпадает со множеством всех миров. Отметим, что и сам С. Крипке в своей основополагающей статье [15] (см. перевод этой статьи в [2]) рассматривал только (!) шкалы с множествами выделенных миров, причем всегда множество выделенных миров было одноэлементно и выделенный мир назывался действительным.
мощности кп и не аппроксимируется шкалами меньших мощностей; для случая n = и соответствующее доказательство приведено в [12] (см. теорему 6.30 [12]). Стоит отметить, что для упомянутых построений в [10] совершенно неслучайно рассматривались расширения K4, попытки перенести результат этих построений, скажем, па случай (всех, не обязательно замкнутых
S4
дут, поскольку для них справедлив следующий аналог теоремы Макинсона: всякое непротиворечивое расширение S4 и даже D среди своих пткал имеет одноэлементную рефлексивную шкалу; аналогична ситуация и с временными логиками, содержащими формулы PТ и FТ (то есть «что-то было» и «что-то будет» соответственно).
Основная идея упомянутой конструкции [10] перенесена па суперитттуициоттистский случай в [11] для усиления результата [15]. А именно в [11] приведен пример супериптуициоттистской логики, которая задается шкалой мощности кш, но не аппроксимируется шкалами меньших мощностей. Таким образом, различия отношений вида =Оц 1 < г < 4, (эти отношения, напомню, связаны со счетпостыо, континуальностью и гиперкоптиттуаль-ттостыо используемых в определениях семантического следования пткал) можно в интуиционистском случае распространять и па отношения, получающиеся при рассмотрении классов пткал мощностей кп n < и. Вообще же результаты и [15], и [11] связаны с опубликованным в [15] следующим вопросом А. В. Кузнецова: «Для каких кардиналов к к-аппрокспмпруемость суперинту-
S4
носильна к+-аппроксимируемости? В частности, какова верхняя
к
существует, простое наблюдение самого A.B. Кузнецова: требуемый факт следует из того, что логик «всего» континуум, а формул, проверяемых тта принадлежность полной по Крипке логике, «совсем мало» — мттожество формул счеттто, так что достаточно взять мощность объединения всех пткал (мттожеств их миров) Fl, ф, где fl,v — какая-нибудь шкала, отделяющая формулу р от логики L, если р от логики L действительно какой-нибудь шкалой отделяется.
Последнее известное мне существенное продвижение па пути расширения ответов па рассматриваемый вопрос [22] получено в [24]. Однако в [24] рассматриваются произвольные нормальные модальные логики и тте видно, как можно было бы перенести полученные там результаты па случай логик с транзитивными шкалами, скажем — супериптуициоттистские, нормальные К4
Наконец, обратимся к отношению |=с^- Напомню, что С\ — класс конечных пткал Крипке. Семантически, точнее — по способности опровергать формулы, конечные шкалы Крипке и конечные псевдобулевы алгебры эффективно семантически эквивалентны для интуиционистских формул: по всякой конечной Е
гебру Е такую что
[ф\Е\= ф} = [ф\ Е + |= ф},
и наоборот, по всякой конечной псевдобулевой алгебре А можно построить конечную шкалу Крипке А+, такую что
{ф \ А |= ф} = {ф\ А+ |= ф}.
(Этот и даже более сильные хорошо известные факты, в частности — конкретизация построений (операторов), выраженных здесь индексами + и могут быть найдены, например, в монографии [12] и отчасти в [4]1'.) Таким образом, в определении отношения |=сх мы можем заменить класс С1 классом конечных псевдобулевых алгебр, причем эта замена эффективна в указанном выше смысле. Нам эта замена здесь важна, поскольку
,3Этимология слова «построить» подразумевает наличие некоторого способа построения, то есть в рассматриваемом контексте алгоритма построения.
14Здесь приведены лишь широко доступные российскому читателю источники: книга [4] в русском переводе издана достаточно большим тиражом, чтобы до сих пор быть в наличии в большинстве научных библиотек, а [12], хотя и не может считаться финансово доступной, без какого-либо участия авторов и издателей в электронном виде довольно свободно распространяется в Интернете. Заметим только, что монография [4] писалась до широкого распространения семантики Крипке, в частности, там полностью отсутствует реляционная семантика неклассических логик, хотя имеются необходимый аппарат в виде теорем о представлении.
первое отличие отношения l=c1 °т остальных отношений =cil 1<г<4
добулевых алгебр: в [17J было показано, что не все суперитт-туициоттистские логики являются финитно аппроксимируемыми, причем в соответствующем доказательстве использовались псевдобулевы алгебры конечной ширины (ширины 3, если быть точными), а супериптуициоттистские логики, задаваемые псевдобулевыми алгебрами конечной ширины, полны по Крипке, см. [6]'°. Другими словами, существуют такие множество формул Г и формула р, что Г =c1 Р (в терминологии A.B. Кузнецова формулу р невозможно отделить от Г конечными сред-
Г =ci р г = 1 алгебрами Литтдепбаума и/или каноническими шкалами (в последнем случае используется конечность ширины). В статье [17] логика, не обладающая свойством финитной аппроксимируемости, оказалась побочным продуктом решения совершенно другой задачи — обоснования континуальности семейства суперитт-туициоттистских логик, поэтому оставался открытым вопрос о существовании супериптуициоттистских исчислений, то есть логик с конечными аксиоматизациями, без финитной аппроксимируемости. Примеры таких исчислений были обнаружены в [2], причем вновь были использованы алгебры конечной ширины. Таким образом, отличие отношения Г ==c1 р от других справед-
Г
Обратимся теперь к алгоритмической проблематике семантического следования, то есть вопросу эффективного выяснения
Г р Г
р
матттического следования это свой отдельный вопрос, причем в случае, если вопрос решается положительно, то есть имеется алгоритм соответствующего «выяснения», то следует ожидать, что сами решения проблемы должны быть разными из-за различий отношений семантического следования.
'°В [6J использован термин «конечномерные» по отношению к рассматриваемым там суперинтуиционистским логикам. В настоящее время термин «многомерная логика» (причем здесь «много» означает «конечно много») в теории неклассических логик широко используется в ином значении, поэтому в связи с [6J предпочтительнее говорить о суперинтуиционистских логиках конечной ширины, тем более что нужный нам результат о полноте следует уже из [21J. где говорится о логиках конечной ширины.
Прежде всего, поскольку пас интересует вопрос существования алгоритмов, нам нужно условиться, что должно подаваться па вход этих алгоритмов. Естественным требованием представляется эффективность описания Г и ф. Для ф это требование выполнено автоматически, поскольку формула является коттеч-
Г
тотся три варианта ответа па этот вопрос:
ГГ
же существует всюду определенный алгоритм А (а тем самым и его эффективное (конечное!) описание в виде программы, его реализующей), действующий из множества натуральных чисел во множество формул, который после-
Г
Г = {А(0),А(1),А(2),...,А(и),... }; Г
А
эффективное описание в виде реализующей программы), который по произвольной формуле распознает ее принадлежность множеству Г, то есть по всякому слову X в алфавите, в котором задаются интуиционистские формулы, дает ответ па вопрос «Верно ли, что X припадлежит Г?»:
I Да, если X е Г
А(Х) = 1
( Нет в противном случае;
Г
Эти варианты не являются взаимоисключающими, более того, очевидно, что справедливы импликативттые соотношения
в) ^ б) ^ а).
С обратными импликациями, точнее — с импликацией а) ^ б), ситуация не столь проста.
В теории алгоритмов приводятся примеры множеств конструктивных объектов16, которые рекурсивно перечислимы, по не
'^Типичным и наиболее простым примером конструктивных объектов являются записи натуральных чисел в алфавите {|}: |, ||, |||. .... Интуиционистские, скажем, пропозициональные формулы также являются конструктивными объектами.
рекурсивны. Однако нас интересуют не просто множества, а множества формул, описывающих множества пткал: рассматривая, к примеру, соотношение вида Г |=сх ф, мы по существу
ф
из множества {Е \ Е |=сх Г}. Будем для краткости говорить о
С1
аксиоматизированное (аксиоматизируемое) множеством фор-Г
Г
С1
С1
Хоропто известно, см. [20] или теорему 16.10 в [12], что всякая рекурсивно перечислимо аксиоматизируемая логика является рекурсивно аксиоматизируемой (обратное практически очевидно). Аналогом этого наблюдения [20] является
ТЕОРЕМА 1. Для всяких классов шкал С и V следующие условия, эквивалентны:
• класс шкал V аксиоматизируем над классом С некоторым
Г1
• класс шкал V аксиоматизируем над классом С некоторым рекурсивно перечислимым множеством формул Г2,
причем здесь переходы от Г1 к Г2 и от Г2 к Г1 можно осуществлять эффективно.
Доказательство этого утверждения практически не отличается от доказательства [20]. Приведем его для полноты изложения, тем более что оно довольно коротко. Кроме того, доказательство покажет границы его применимости.
Ясно, что доказательства требует только случай, когда Г1 = 0 и/или Г2 = 0. Г1
сиоматизирующее V над С. В частности, существует некоторый А1
Г1 = {А1(0), А1(1), А1 (2),..., А1(и),... }.
Введем обозначение уп:
1п = А^п) Л А^п) А--- А А^п)
\__✓
V
п+1 раз А^п)
(единица добавлена, чтобы учесть случай п = 0). Теперь определяем множество формул Г2:
Г2 = п > 0}.
Нам надо показать, что: 1) Г2 аксиоматизирует тот же класс шкал, что и Г1, и) множество Г2 разрешимо.
Пункт 1) очевиден. В самом деле, формула Х1 Л Х2 истинна в какой-либо шкале в точности тогда, когда в этой шкале истинны обе формулы Х1 и Х2- Таким образом, формула А1(п) истинна в шкале тогда и только тогда, когда в этой шкале истинна формула 7п, а потому формулы из Г1 и Г2 истинны в одних и тех же шкалах.
Для обоснования пункта 11) опишем соответствующий алго-А2
Нам нужно по произвольному слову X в алфавите интуиционистских пропозициональных формул выяснить, верно ли, что X е Г2.
По слову X выясняем, прежде всего, является ли оно формулой. Если не является, даем ответ Нет. Если же X — формула, то всеми возможными способами представляем ее в виде У Л У Л ■■■ Л У (здесь, в частности, используется ассоциативность конъюнкции). Таких представлений лить конечное число ввиду конечности всякой формулы; отметим попутно, что одним из таких представлений является сама формула X как кратная
0
юнкцию, то есть константу Т, в расчет не берем. По каждому из полученных представлений У Л У Л ■ ■ ■ Л У проделываем слеп
дующее: вычисляем А1(п — 1) и сравниваем результат с У. Если оказалось, что А1(п — 1) = У, а тем самым X = 7п-1, говорим Да и работу прекращаем. Если же пи для одного из полученных представлений ответа Да не получилось, то говорртм Нет и прекращаем работу.
Г2
тизирующее V над С, а А2 — соответствующий разрешающий алгоритм, то есть
для всякого слова X в алфавите интуиционистских пропозицио-н альн ых формул.
А1
ство Г^, считая Г1 = Г2. Фактически нам достаточно эффективно описать начальные отрезки последовательности 70, 71, 72, ... такой, что Г2 = {70,71,72,... }, а затем положить, что А1(п) = 7П. Напомним, что множество Г2 непусто, то есть 5 Е Г2 для некоторой формулы 5; формула 5 будет использоваться.
Выписываем последовательно все непустые слова Xo, Xl, X2, ... , Xn, ... в алфавите интуиционистских пропозициональных формул (он конечен1'!), например, сначала выписав все одно-буквенные слова, затем все двухбуквепттые, затем все трехбуквенные и т.д.18 По ходу выписывания с каждым из получающихся слов Xn проделываем следующее.
Проверяем, является ли Xn формулой. Если Xn формулой не является, то полагаем, что 7п = 5. Если же Xn — форму-
А2
множеству Г2. Если принадлежит, то пола гаем, что 7п = Xn, в противном случае полагаем, что 7п = 5.
Теорема 1 доказана.
Сделаем несколько замечаний о границах применимости доказательства теоремы 1.
Прежде всего, та часть доказательства, где переделывался ал-
А2 А1
1 'Не будем забывать, что хотя пропозициональных переменных бесконечно много, они являются словами вида буква ■ индекс, где буквы достаточно и одной, а ;у1я индексов (записей натуральных чисел) используются символы из конечного алфавита, например — привычного {0,1,..., 9}.
,8Конечно. нужно определиться, в каком порядке выписывать слова с одинаковым количеством букв. Можно такой определенности воспользоваться лексикографическим методом, то есть фактически тем, который используется в словарях.
А2^ )
Да, если X Е Г2
Нет в противном случае
никакого отношения к логикам не имеет; по существу доказывался простой факт из теории алгоритмов: всякое рекурсивное множество (конструктивных объектов) является рекурсивно перечислимым. А вот переделка алгоритма Ai в алгоритм A2 существенно использовала «логическую» специфику. Здесь кавычки использованы потому что существуют логические (или «логи-кообразпые») системы, не обладающие нужными свойствами.
Главное использованное свойство заключается в том, что у пас есть возможность, не меняя свойств формулы по существу, изменить ее так, что в результате в эту формулу окажется встроенной числовая информация: мы переделывали формулу Ai(n), в которой a priori никакой информации про число n нет19, в формулу Ai(n) Л Ai(n) А ••• A Ai(n), которая уже содержит число-
ч_^_✓
n+i раз Ai(n)
вуто информацию (в виде количества одинаковых конъюнктивных членов).
Отметим, что ассоциативность конъюнкции была использована «не по делу»; чтобы ее не использовать, можно было положить, что
Yn = Ai(n) A (Ai(n) А (•••Л (Ai(n) A Ai(n))...)),
ч_^_✓
n+i pa3 Ai(n)
A2
точно, мы использовали па самом деле не конъюнкцию, а кратную конъюнкцию, что соответствует установившейся традиции; использование обычной, то есть не более чем двучленной, конъюнкции даже упрощает ситуацию, позволяя обойтись без поиска для испытуемой формулы представлений вида Y Л Y Л^ • • Л Y.
Использование именно конъюнкции для внесения в формулу числовой информации также не является обязательным — дизъюнкция (с тем же замечанием про ассоциативность) справляется с этой задачей не хуже: можно положить, например, что
Yn = Ai(n) V Ai(n) V • • • V Ai(n)
ч__✓
V
n+i раз Ai(n)
,9To, что она получена в результате работы какого-то алгоритма над каким-то числом, к самой формуле отношение имеет такое же, какое имеет пекарь к буханке хлеба — обычному едоку важны свойства хлеба, а не то, кто его испек.
Yn = Ai(n) V ±V±V^-V± .
n+i раз ±
Да pi импликация может быть использована: можно положить, что
Yn = Т ^ (Т ^ (----► (Т ^ Ai(n))...)).
ч_^_✓
n+1 раз Т
Наконец, можно для внесения числовой информации вообще не использовать свойства логических связок и/или констант, обойдясь переменными. (Ведь при оценке в пткалах Крипке переменные важны не сами по себе, а важно Pix различие nppi опре-делепрш конкретной оценки; так, с семантической точкрт зрения формулы Р2 ^ (рз V (рз ^ ±)) Л Р2 ш Р20062006 ^ (P2006 V (Р2006 ^ ЛР20062006 ничем не отличаются. Поэтому, в частно-ctpi, переменные всегда можно переименовывать (лить бы разные переменные были переименованы в разные) и всегда можно считать, что все входящие в какую-либо формулу переменные образуют начальный отрезок последовательности р0, pi, ... , pm, ...) Пусть, например, формула Ai(n) содержит в точности переменные из списка р0, Pi, ■ ■ ■ ; Pm и первым по ходу (скажем, слева направо) вхождением переменной является вхождение pm (если это не так, то можно опять-таки переменные переименовать подходящим образом). Теперь в качестве аналога формулы Yn можно взять результат замены в формуле Ai(n) (с учетом предыдущих манипуляций) всех вхождений переменной pm на
pm+n-
Конечно, есть и масса иных вариантов внесения числовой информации. Зачем нам такая вариативность конструкции? Дело в том, что теорема 1 (или ее аналог) справедлива для очень пшрокого класса логических систем, например — не использующих те или иные логические связкрт (по использующие, быть может, какие-то иные, то есть отличающиеся языком — (по-ли)модальные, релевантные и т.д.), задаваемые не семантически, а синтаксически, то есть аксиомами и правилами вывода, PI т.п. Для подавляющего большинства разумных видов логических систем удается подобрать подходящую модификацию доказательства утверждения типа теоремы 1.
Вернемся к импликациям между пунктами а), б) и в) со страницы 225. Как следует из теоремы 1, пункты а) и б) эффективно эквивалентны, а потому алгоритмическую проблему семантического следования р из Г ( в рэзных вариантах) можно одновременно рассматривать и для случая рекурсивно перечислимых
ГГ ски не различая эти случаи. Однако пункт в) (нефиксированное Г
эффективно эквивалентен) пи пункту а), пи пункту б), поскольку существуют полные по Крипке рекурсивно аксиоматизируемые логики без конечной аксиоматизации. Это следует уже из доказательства континуальности семейства суперитттуициоттист-ских логик, данного в [17].
Значит, при алгоритмическом рассмотрении семантического следования мы обязаны рассматривать случаи из пунктов а), б) рт пункта в) отдельно.
Рассматриваем пункты а) и б). Здесь ситуация оказывается алгоритмически «безнадежной» ввиду наблюдения, сделанного (по им самим не опубликованного) A.B. Кузнецовым. Впервые, насколько мне известно, это наблюдение (будем далее в этой статье называть его и близкие теоремы теоремой Кузнецова20) было опубликовано в приложении к статье [12] со ссылкой па информацию, полученную от Л.Л. Максимовой. Кроме того, теорема Кузнецова опубликована в [12]. В исходной формулировке (так, как в [2] и в [12]) речь в пей идет о свойствах алгоритмически задаваемых логик (то есть рекурсивно аксиоматизируемых, или рекурсивно перечислимо аксиоматизируемых, или просто-напросто рекурсивно перечислимых): всякое такое нетривиальное свойство рекурсивно перечислимых логик алгоритмически неразрешимо.
" Идейно, дэ> и по формулировке, теорема Кузнецова близка к теореме Райса—Успенского (часто говорят «теорема Райса») из теории алгоритмов: всякое нетривиальное инвариантное свойство программ алгоритмически неразрешимо. Здесь: нетривиальность — это программы как с этим свойством, так и без него; инвариантность — программы, вычисляющие одну и ту же функцию, либо одновременно обладают, либо одновременно не обладают этим свойством. Примером нетривиального инвариантного свойства является свойство «срабатывать хотя бы на одном входе», см. с. 233.
Приведем вариант теоремы Кузнецова для отношений семантического следования. При этом в формулировке мы не будем стремиться к самой большой общности, поскольку идея доказательства настолько проста, что любой заинтересованный исследователь легко модифицирует ее для интересующего его случая.
ТЕОРЕМА 2 (теорема Кузнецова). Пусть |= означает, любое из семантических следований \=с^ 1 < i < 4. Тогда не существует алгоритма, который по произвольным рекурсивно перечислимому множеству формул Г и формуле ф выяснял бы, верно ли, что Г |= ф.
Для доказательства этой теоремы нам понадобятся три общеизвестных факта из теории алгоритмов. Отметим, что второй pi третий факты связаны с тезисом Черча, без которого, собственно, pi теоррш алгоритмов пет.
Первый факт — довольно простой. Он coctopit в том, что можно алгоритмически перенумеровать пары натуральных чисел натуральными числами, так что каждая пара чисел {s,t) получит ровно один натуральный номер N(s,t) и каждое натуральное число n окажется номером ровно одной пары чисел {s,t) = {L(n), R(n)), причем функции N, L, R эффективно вычислимы (то есть задаются алгоритмами) pi являются всюду определенными'1. Из огромного множества возможностей опре-деленрш такого рода нумераций выберем наиболее часто используемый вариант. В [1] получающиеся в этом варианте функции записаны в явном виде, по нам этот вид не понадобится, поэтому просто опишем, как вычислять нужные нам функции. Читатель может проверить, что описываемые далее функции можно определить как суперпозиции элементарных функций (детальное решение этого упражнения см. в [1]), па-
дг/ ,ч (s+i)(s+i+1) .
пример: N (s,t) = --^- + s-
Прежде всего, расположим все пары натуральных чисел в эффективную последовательность так: сначала выписываем все пары чисел, у которых сумма первой pi второй компонент равна О (такая пара од на — {0, 0)), затем — все пары чисел, у которых
21 Таким образом, всегда L(N(s,t)) = s при любом t, R(N(s,t)) = t при любом s, N(L(n), R(n)) = n. Обозначения функций в общем-то традици-
NL
R
сумма первой и второй компонент равна 1 (таких пар две — (0,1) и (1, 0)), затем — все пары чисел, у которых сумма первой и второй компонент равна 2 (вновь таких пар столько же, какова зафиксированная сумма компонент), и т.д.; для упорядочивания пар с одинаковыми суммами компонент придерживаемся правила — выписывать пару с меньшей первой компонентой рапытте. Начало этой последовательности будет таким:
(0, 0), (0,1), (1, 0), (0, 2), (1,1) , (2, 0), (0, 3), (1, 2), (2,1), (3, 0), (0, 4) ,....
Теперь в качестве номера N(в, ¿) пары (в, ^ возьмем номер этой пары в этой последовательности, то есть, в частности, получаем N(0, 0) = 0 N(0,1) = 1 N(1, 0) = 2 N(0, 2) = 3, N(1, 2) = 4, N(2,1) = 5 N(3, 0) = 6, N(0, 4) = 7 и т.д.
Функция N определена. Как теперь вычислять Ь(п) и К(п)1 Естественным образом: выписываем ттапту последовательность
п
вая компонента этой пары и есть Ь(п), а вторая компонента — Е(п).
Второй факт посложттей, а потому мы не будем его здесь обосновывать, а отошлем читателя к любой книге по теории алгоритмов": не существует алгоритма, который по произвольной программе давал бы ответ на вопрос: существует ли хотя бы один вход (натуральное число), на котором программа сработает, то есть выдаст какой-нибудь результат, а не зациклится или «зависнет»? Будем ссылаться па этот факт как па неразре-шимостъ проблемы непустоты (имеется в виду пепустота множества результатов вычислений).
Наконец, третий факт — все программы можно записывать в эффективную последовательность, то есть алгоритмически строимую последовательность, элементами которой являются программы, причем всякая программа в пей обязательно встретится. Считаем, что язык программирования фиксирован и достаточно выразителен, чтобы па нем можно было запрограммировать любую вычислимую функцию. Детали нам здесь не важны;
22 Несмотря на относительную сложность этого факта отметим, что он является непосредственным следствием теоремы Райса—Успенского, см. сноску 20.
главное, что все разумные языки программирования имеют четко очерченный синтаксис, точнее, программа — это некоторое слово в фиксированном конечном алфавите, причем по произвольному слову в этом алфавите можно эффективно выяснить, является ли это слово программой.
Теперь мы готовы приступить к доказательству теоремы Кузнецова.
Напомним, что |= обозначает любое из рассматриваемых семантических следований.
Проводя дальнейшее доказательство методом «от противного», допустим, что проблема Г |= < разрешима, то есть существует алгоритм, который по алгоритмически заданным Г и < отвечает па вопрос: «Верно ли, что Г |= <?» Покажем, что в этом случае можно было бы решать и проблему ттепустоты, что противоречило бы ее неразрешимости.
Пусть дана произвольная программа Р. Определяем по пей следующую эффективную последовательность (рекурсивно перечислимое множество, другими словами) формул Г(Р) = {уп | п > 0}:
В качестве формулы < возьмем константу
Р
эквивалентность:
Р
Утверждение почти очевидно, однако выпишем детали. Направление Пусть справедливо
программа Р не срабатывает ни на одном входе.
Это означает, что какое бы число £ ни было подано па вход программе Р и какое бы число шагов в программа Р после этого ни
р V —р,если Р не срабатывает за, Ь(п) шагов,
начав работать на аргументе Е(п) ± в противном случае.
г
Г(Р) = ±
сделала, это вычисление не было бы результативным. Здесь пара чисел {в, ^ оказывается произвольной и мы с учетом свойств
п
подразумевая, что в = Ь(п), t = К(п). Значит, мы можем утверждать, что
пР
начав работать на числе Е(п), не срабатывает за, Ь(п) шагов.
Теперь, в соответствии с определением формул уп мы имеем
уп = р V —р для любого числа п.
Другими словами, по существу Г(Р) = {р V —р}. Взяв одноэлементную шкалу Р, мы получаем тогда Р == Г(Р), хотя, конечно, Р = то есть для любого отношения23 == справедливо, что
Г(Р) =
Направление Допустим, что
Г(Р) =
Это значит, в частности, что есть некоторая шкала Р такая, что Р == Г(Р). Из этого следует, что во множестве Г(Р) нет формулы ± или, иначе,
уп = р V —р для любого числа п.
По определению формул уп получаем тогда, что
пР
начав работать на числе Е(п), не срабатывает за, Ь(п) шаг ов,
23Хотя взята одноэлементная шкала, ее мощность можно сделать любой, положив, что шкала состоит из множества миров нужной мощности, которые рефлексивны, но не связаны. Такая шкала семантически эквивалентна, разумеется, одноэлементной рефлексивной шкале. Для случая, когда класс шкал не содержит рефлексивных шкал, как класс, например, шкал формальной логики А. Виссера, вместо одноэлементной шкалы можно взять двухэлементную 1 гь.
а это означает, что
программа Р не срабатывает ни на одном входе.
Лемма доказана.
Для завершения доказательства теоремы (получения нужного в соответствии с используемым методом «от противного» противоречия) нам остается заметить, что множество Г(Р) стро-Р
ответ па вопрос «Пусто ли множество результатов работы программы Р?», мы можем перейти к множеству формул Г(Р), заменив в соответствии с леммой этот вопрос вопросом «Верно ли, что Г(Р) |= ±?», а на этот вопрос мы можем ответить с помощью нашего гипотетического алгоритма. Таким образом, проблема ттепустоты оказывается разрешимой, что противоречит, конечно же, ее неразрешимости.
Доказательство теоремы 2 закопчено.
Извлечем из предъявленного доказательства мораль.
Помимо непосредственного подтверждения теоремы мы получаем неожиданный факт: если взять в качестве класса шкал С класс, состоящий из одной одноэлементной рефлексивной шкалы, а вместо интуиционистской пропозициональной логики — классическую пропозициональную логику, во всем доказательстве не произойдет пи одного сбоя, а значит, и утверждение теоремы 2 можно переформулировать в виде «Пусть |= означает классическое семантическое следование, то есть Г |= р означает, что среди формул из множества есть не тождественно истинная или формула р тождественно истинна. Тогда не существует алгоритма, который по произвольным рекурсивно перечислимому множеству формул Г и формуле р выяснял бы, верно ли, что Г |= р». Более того, здесь в качестве р достаточно взять одну фиксированную формулу — константу которая заведомо не является тождественно истинной. Тогда мы получаем два еще более удручающих утверждения: «Не существует алгоритма, который по произвольному рекурсивно перечислимому множеству формул определял бы наличие в этом множестве хотя бы одной не тождественно истинной формулы» и «Не существует алгоритма, который по произвольному рекурсивному множеству формул определял бы наличие в этом
множестве хотя бы одной не тождественно истинной формулы».
Таким образом, алгоритмическое рассмотрение семантических отношений вида Г |= р при бесконечных множествах Г оказывается бессмысленным, поскольку в этом случае все зависит
ГГ Г
в) со страницы 225. При этом, конечно же, мы можем полагать, Г
конечное множество формул эквивалентно (во всех смыслах!) конъюнкции его элементов).
Сразу отметим, что отношение р |=с ф может быть очень сложным. Так, в [28] доказано, что для случая временных пропозициональных логик это отношение крайне сложно алгоритмически, даже если подходящим образом зафиксировать формулу р. Для точности изложения процитируем формулировку теоремы 1 [28]: "There is a categorical form,ula у such that {a | y |= a} is a complete П] set." Поясню, что категоричность формулы означает, что все шкалы с корнем , в которых она истинна, изоморфны, то есть по существу такая шкала одна.
Характеризация множества {a | у |= а} в утверждении процитированной теоремы как полного П]-множества показывает его огромную алгоритмическую сложность: не вдаваясь в подробности и существенно ослабляя комментируемое утверждение, скажем, что это означает, в частности, что это множество не только не разрешимо, по pi не является даже рекурсивно перечислимым или дополнением рекурсивно перечислимого множества. Уместно заметать, что при всех естественных определениях отношения выводимости — (то есть в эффективно задаваемых аксиомах pi правилах вывода, когда по произвольной записи можно алгоритмически судить, является ли эта запись выводом) и любой формуле 7 множество {а I у — а} рекурсивно перечислимо.
24То есть миром, из которого все остальные миры шкалы достижимы за конечное число шагов по отношениям достижимости (их объединению, если говорить точно); во временном случае, напомню, каждого отношения достижимости имеется ему обратное.
Естественно задаться вопросом, а нельзя ли распространить утверждение теоремы 1 [28] па иные классы логик. Автор [28] в кратком добавлении к этой работе со ссылкой па возможность использования формульных переводов из [29] и [31] говорит о том, что результаты его статьи — теорема 1 и теорема 2, которую мы обсуждали па странице 220, — справедливы и для модального случая. Учитывая теорему Макиттсопа (см. обсуждение па странице 221), можно высказать сомнения в точности сказанного. Однако является правдоподобным случай такого распространения теоремы 1 па модальные логики при снятии условия категоричности формул. Аналогичное предположение можно сделать и для случая интуиционистских формул, однако конструкции [28] на интуиционистский случай не переносятся (для конструкции [28] весьма важно отсутствие требования транзитивности пткал). Автор данных строк склонен считать это предположение весьма правдоподобным, по технически обоснование этой гипотезы может оказаться существенно более громоздким, нежели и так довольно изощренные доказательства [28]; впрочем, часто бывает, что пионерские работы в какой-либо области значительно технически упрощаются последующими исследователями.
Обратимся к доказанным (точнее — имеющим опубликованное доказательство) алгоритмическим результатам об отношениях = для модального и интуиционистского случая. При этом оговоримся, что под опубликованпостыо мы понимаем то, что опубликовано доказательство какого-либо утверждения, такого, что из этого доказательства извлекается и утверждение о =, хотя, быть может, явно это и не отмечается.
Так, в [23] было построено неразрешимое нормальное модальное исчисление'0, а в [14] (детальное доказательство см. в [16]) — неразрешимое супериптуициоттистское исчисление высказываний. Идея доказательства в самых общих чертах состояла в сле-
Р
в [14] и [16] — подходящей модификации машины Тьторипга),
2°Справе,;у1и:вости ради отметим, что еще раньше неразрешимое нормальное модальное исчисление было построено в [30], но построение производилось не непосредственно, а с помощью нескольких синтаксических переводов, что наших целей не очень подходит.
по которой невозможно алгоритмически ответить па вопрос о ее работе над некоторыми входными данными (можно считать, что над некоторым входным словом а, например — изображением натурального числа), скажем — сработает когда-нибудь или
а
P и входным данным вида а строились (алгоритмически!) формула AxP и формулы d(a), обладающие нужными свойствами. А именно оказывались эквивалентными условия (обозначение пунктов отчасти отражает Pix суть — вычисление, выводимость, семантика):
программа P срабатывает та входных данных а;
(Ded) AxP b d(a);
(Sem) AxP = d(a).
Эквивалентность пунктов (Com) pi (Ded) pi показывает, что исчисление с дополнительной (к базовой логике — модальной ло-
AxP
ittpimo. В самом деле, если бы оно было разрешимым, что мы могли бы выяснять справедливость условия (Ded), что в свою очередь позволило бы решать неразрешимую проблему (Com). Условие (Sem) здесь оказывается лить технической деталью (по очень важной деталью и в [23J, и в [14, 16J). Однако
для нас
эта деталь становится главной, поскольку попутно дает неразрешимость условия (Sem), а тем самым pi самого семантического следования |=.
Отметим, что в этом доказательстве неразрешимости отношения |= не конкретизировался класс шкал, на котором оно определялось, точнее — для модального случая рассматривались все модальные пткалы, для интуиционистского — все интуиционистские шкалы. Однако в случаях, когда нас интересуют классы Ci, 1 < i < 4, все рассуждения [23, 14, 16] сохранят свою силу: хотя там реально участвовали лить счетные пткалы, Pix легко увеличивать до нужной мощности, вводя «двойники» некоторых миров в нужном количестве. То есть в [23, 14, 16] попутно доказана.
ТЕОРЕМА 4. Справедливы следующие утверждения.
1. Отношения р \=с1 ф при 1 < г < 4 неразрешимы, то есть не существует алгоритмов, которые по произвольным формулам р и ф выясняли бы, верно ли что р \=с1 ф.
Для всякого г, 1 < г < 4, существует формула р, такая, что множество формул {ф | р \=с1 ф} неразрешимо.
Для всякого г, 1 < г < 4, существует формула ф, такая, что множество формул {р | р ф} неразрешимо.
О доказательстве пункта 2 мы уже по существу говорили. В самом деле, в качестве формулы р достаточно взять АхР для
Р
жество {ф I р =с{ ф} оказалось разрешимым, то разрешимым оказалось бы и множество {а | АхР \=а а)}, что дало бы раз-
Р
аР
Путткт 1 непосредственно следует из пункта 2: если бы была разрешима проблема семантического следования то есть по
существу разрешимо множество пар {(р,ф) | р \=а ф} за~
р
сматриваемых пар, мы получили бы разрешимость всех множеств вида {ф | р ф}, а это противоречит пункту 2.
Наконец, пункт 3. Воспользуемся теоремой Раиса—Успеттско-
а
а
а
тот — достаточно взять программу, которая ничего не делает,
а
срабатывают — такова, например, программа, которая не срабатывает пи па каком входе) и инвариантно (эквивалентные про-
а
а потому по теореме Райса—Успенского множество программ Ра
обоснования пункта 3 взять формулу ^(а) (подчеркнем, что а произвольно, то есть для паптих целей годится любая формула вида ^(а)!): если бы множество {р | р \=с{ ^а)} оказалось
26Мы ее формулировали в сноске 20.
разрешимым, то и множество {P | P =с d(a)} было бы разрешимым, что в силу указанной выше эквивалентности дало бы разрешимость неразрешимого множества программ
{P I P срабатывает на a}.
Итак, с разрешимостью отношений семантического следования =с при 1 < i < 4 «разобрались»: все они неразрешимы.
Какова ситуация с отношением \=Ci, то есть семантическим следованием па конечных шкалах? Поскольку далее мы будем интересоваться только отношением такого вида, изменим символику и будем писать |=fin вместо \=с1, класс шкал (модальные ли, интуиционистские ли шкалы, pi т.п.), из которого выбираются конечные шкалы, всегда будет ясен из контекста.
Заметам, что для доказательства неразрешимости отношения =fin общая идея, использованная выше для обоснования неразрешимости иных отношений семантического следования, связанная с обоснованием неразрешимости специально построенных исчислений (сртречь конечно-аксиоматизируемых логик), вряд л pi подойдет в силу известной теоремы Харропа (см. [12], теорема 16.13): если логика имеет конечную аксиоматизацию и финитно аппроксимируема2', то она разрешима. Доказательство этой теоремы несложно, хотя именно простота этого доказательства приводила »тогда к заблуждениям'8. Кратко паме-
2| Финитная аппроксимируемость в модальном и суперинтуиционистском случаях, как известно, эквивалентна аппроксимируемости конечными шкалами Кринке.
28Так, некоторые весьма уважаемые авторы явно по недосмотру формулировали теорему Харропа (часто ее называют «критерий Харропа») в чрезмерно общем виде (ставшим, к сожалению, фольклорным): если логика рекурсивно аксиоматизируема (рекурсивно-пере'ч.ислимо аксиоматизируема) и финитно аппроксимируема, то она разрешили,. Контрпримеры к такому утверждению с начала 80-х годов прошлого века приводились неоднократно. Так, в [32J построен такой контрпример в виде довольно абстрактной модальной логики и задан вопрос о существовании контрпримеров среди нормальных расширений S4; в [9| дан расширенный ответ на этот вопрос, точнее — там замечено, что существование таких контрпримеров следует из результатов A.B. Кузнецова, см. его ванкуверский доклад [1J: все суперинтуиционистские логики конечных слоев финитно аппроксимируемы и логик каждого слоя, начиная с третьего, — континуум, причем континуальность обосновывается приведением примера рекурсивной последовательности ин-
тим доказательство теоремы Харропа для случая суперитттуи-циоттистских логик; для иттых логик изменения незначительны.
Конечная аксиоматизируемость логики позволяет утверждать
90
ее рекурсивную перечислимость , то есть мы можем строить алгоритмически, например — с помощью некоторого алгоритма А, последовательность Д(0), А(1), А(2), ... , А(п), ..., элементами которой являются в точности выводимые формулы. Кроме того, можно алгоритмически, скажем — с помощью некоторого алгоритма В, строить последовательность В(0), В(1), В(2), ... , В(т), ..., элементами которой являются в точности невыводи-
В
щим образом. Поскольку совокупность формул рекурсивно перечислима (она даже разрешима, по нам нужна имеппо перечислимость), мы можем считать, что имеется некий всюду определенный алгоритм С, который и осуществляет это перечисление, то есть множество формул предстает в виде последовательности
С(0), С(1), С(2), ... , С(т), ....
Кроме того, у нас есть возможность перечислять все конечные шкалы рассматриваемой логики. В самом деле, шкала представляет собой непустое конечное множество (можно считать, что это множество {1,..., п} при некотором натуральном п > 0) с бинарным отношением па нем, то есть некоторым подмножеством множества пар {(в,ф | 1 < < п}. Все такие множества с бинарными отношениями можно алгоритмически выпи-п
итттуициопистские шкалы: совершенно ясно, что проверка транзитивности и рефлексивности (и, если таково определение, антисимметричности) бинарного отношения па конечном множестве не составляет труда*0. Однако среди них нужно выбрать
туиционистских формул, ни одна из которых не следует из остальных на шкалах высоты 3, то есть можно взять рекурсивно перечислимую, но не рекурсивную подпоследовательность, а затем применить наблюдение [20], см. страницу 226. Переход от суперинтуиционистского контрпримера к контрпримеру в области нормальных расширений Б4 не составляет труда.
29Мы уже отмечали сей факт на странице 237.
30То есть труд-то конечно довольно кропотливый и громоздкий, но рутинный, нетворческий, который можно «поручить» компьютеру. Именно в этом смысле мы здесь и далее употребляем оборот «не составляет труда».
именно пткалы нашей логики. Вот здесь полезной оказывается конечная аксиоматизируемость нашей логики: нам для принятия к рассмотрению конечной пткалы достаточно (и необходимо, конечно) убедиться в том, что на этой шкале истинна аксиома, дополнительная к Int (то есть конъюнкция таких аксиом). Проверка истинности формулы па конечной шкале алгоритмичпа, то есть может производиться некоторым алгоритмом, поскольку, несмотря па то, что задавая оценку, мы должны оцепить каждую (!) переменную из бесконечного множества, а значит, даже па конечной шкале мы имеем бесконечную совокупность возможных оценок, пас не интересует полное описание той или рпгой оценки — достаточно знать, как оценены переменные, входящие в тестируемую формулу (аксиому) <р, а потому мы можем не различать оценки, совпадающие на переменных формулы <р, точттее — задавая оценку лить для этртх переменных. Сколько таких оценок, несложно оценить. Если миров в шкале n, переменных в формуле < — m, то различаемых нами оценок не более 2m'n\ задавая оценку, мы для каждого из n миров должны для m
истинной в этом мире или нет, то есть ответить на m • n вопросов, требующих одрттт ртз двух ответов — «Да» или «Нет». Конечно, не все из 2m'n возможностей обязаны реализоваться в интуиционистском случае, поскольку интуиционистская оценка должна удовлетворять условию наследственности, которое не составляет труда проверить. Как только мы взяли конкретную оценку тта интересующей нас пткале, то есть задали тта этой пткале модель, дальнейшие действия состоят в том, что мы по построению подформул формулы <р в соответствии с определе-ттртем ртстртттттострт формулы в точке модели выясняем истинность
этртх подформул до тех пор, пока тте дойдем до самой формулы
<<
ттом мртре пткалы, мы отбрасываем эту пткалу ртз рассмотрения,
<
дующей нерассмотренной оценке, а если все оценки исчерпаны, то заносим пткалу в последовательность пткал нашей логики в качестве очередного члетта. Так у пас возникает эффективная последовательность всех конечных пткал нашей логики
D(0), D(1), D(2), ... , D(m),
Ясно, что последовательность шкал 0(ш) можно строить одновременно с последовательностью формул С(ш), например: начинаем одну последовательность, потом начинаем другую, затем удлипттяем па единицу первую последовательность, потом — вторую, затем вновь удлипттяем тта единицу первую последовательность, потом — вторую, и т.д. На каждом из этапов такого построения у ттас оказываются две конечные последовательности —
С(0), С(1), С(2), ... , С(т)
0(0), 0(1), 0(2), ... , 0(ш).
Так вот, тта каждом из этих этапов мы проверяем истинность всех формул С(7) (0 < ] < ш) па всех шкалах 0(7) (0 < ] < ш)
аналогично тому, как мы выше проверяли истинность формулы р
мул С(^1) опровергается па какой-либо из шкал 0(^2), мы заносим С (71) в строимую последовательность так опровергаемых формул. В силу финитной аппроксимируемости логики каждая из ттеприттадлежащих ей формул когда-нибудь так опровергттет-ся, а тем самым и будет занесена нами в строимую последовательность.
В результате мы получили для логики две эффективные последовательности:
А(0), А(1), А(2), ... , А(ш), ....
В(0), В(1), В(2), ... , В(ш), ....
Первая последовательность состоит в точности из формул, принадлежащих логике, а вторая — из ттеприттадлежащих.
Теперь для выяснения принадлежности формулы логике ттам достаточно использовать следующий алгоритм. Выписываем од-
А(ш) В(ш)
С(ш)
0(ш)
обязательтто появится в одной из последовательностей и тте может оказаться в обеих.) Если формула появилась в первой последовательности, то отта принадлежит нашей логике, а если во второй — то тте принадлежит.
Теорема Харропа докззешэ.. Отметим, что попутно мы доказали такой факт.
ТЕОРЕМА о. Если логика задается разрешимой совокупностью конечных шкал (моделей), то множество не принадлежащих ей формул рекурсивно перечислимо.
Доказательство — см. построение последовательности формул B(m) в доказательстве теоремы Харропа. Внимательное прослеживание этого доказательства дает и следующий результат.
ТЕОРЕМА 6. Дополнение отношения финитарного семантического следования \=fin, то есть множество пар формул {{ф,ф) | ф \fin ф}, рекурсивно перечислимо.
В результате, теорема Харропа если и не запрещает использовать конструкции построения неразрешимых исчислений для обоснования неразрешимости отношений семантического следования па конечных шкалах, то во всяком случае является серьезным предупреждением об опасностях такого использования.
Итак, мы стоим перед вопросом выяснения разрешимости проблемы семантического следования па конечных шкалах. Этот вопрос был известен довольно давно, по в опубликованном виде мне встретился впервые только в [33] (точнее, еще в препринте этой статьи). Приведем соответствующую цитату (см. [33, с. 28]; указанный в цитате источник [27] в списке литературы данной статьи является [31]): «... valid frame consequence is highly complex in general (cf. [27]), but on the finite structure; as general types its complexity goes down to at most П°. An open question is if it even becomes decidable». Отметим, что упоминание П здесь есть не что иное, как ссылка па утверждение теоремы 6.
Как было сказано в начале статьи, папти дальнейшие цели — приведение детальных доказательств неразрешимости финитарного семантического следования для различных случаев пропозициональных формул и их семантик. Уместно заметить, что сами эти факты близки по своей сути теореме Трахтепброта [7] о неразрешимости множества формул первого порядка, истинных во всех конечных моделях.
Литература
[1] Kuzuetsov A.V. On superintuitionistic logics // Proc. Internat. Congr. of
Mathematicians. Vancouver, 1971. Montreal, 1975. P. 213-219. (Русский перевод:
Кузнецов A.B. О суперинтуиционистских логиках // Математические исследования (Кишинёв). 1975. Т. 10. N 2. С. 150-158.)
[2] Кузнецов A.B., Герчиу В.Я. О суперинтуиционистских логиках и финитной аппроксимируемости // Доклады АТТ СССР. 1970. Т. 195. N 5. С. 1029-1032. (Исправление опечаток: там же. 1971. Т. 199. N 6. С. 1222.)
[3] Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука, 1986.
[1] Раеёва Е. и Сикорекий Р. Математика метаматематики. М.: Наука, 1972.
[5] Рыбаков В.В. Некомпактные расширения логики S4 // Алгебра и логика. 1977. Т. 16. N 1. С. 172-190.
[6] Соболев С. К. О конечномерных суперинтуиционистских логиках // Известия АТТ СССР, Сер. матем. 1977. Т. И. N 5. С. 963-986.
[7] Трахтепброт В. А. ТТевозможность алгорифма для проблемы разрешимости на конечных классах // Доклады АТТ СССР. 1950. Т. 70. С. 569-572.
[8] Фейе Р. Модальная логика. М.: Паука, 1971.
[9] Чагров A.B. Простые примеры неразрешимых рекурсивно аксиоматизируемых финитно аппроксимируемых эквационалъных логик // Восьмая Всесоюзная конференция по математической логике. М., 1986. С. 206.
[10] Чагров A.B. Многообразия логических матриц // Алгебра и логика. 1985. Т. 21. N 1. С. 126-189. (Англ. перев.: Algebra and Logic, Т. 21. С. 278-325.)
[11] Чагров A.B. ТТижняя оценка мощности аппроксимирующих шкал Крипке // Логические методы построения эффективных алгоритмов. Калинин: КГУ, 1986. С. 96-125.
[12] Чагров A.B. Неразрешимые свойства суперинтуиционистских логик // Математические вопросы кибернетики. Вып. 5: Сб. статей под ред. С.В. Яблонского. М.: Физматлит, 1991. С. 62-108.
[13] Шехтмап В.В. О неполных логиках высказываний // Доклады АТТ СССР. 1977. Т. 235. N 3. С. 512-515.
[11] Шехтмап В. В. Неразрешимое суперинтуиционистское исчисление // Доклады АТТ СССР. 1978. Т. 210. N 3. С. 519-553.
[15] Шехтмап В.В. О счётной аппроксимируемости суперинтуиционистских и модальных логик // Исследования по неклассическим логикам и формальным системам. М.: ВИНИТИ, 1983. С. 287-299.
[16] Шехтмап В.В. Неразрешимые исчисления высказываний // ТТеклассические логики и их применение. Вопросы кибернетики. М.: Наука, 1982. С. 71-115.
[17] Янков В.А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских исчислений // Доклады АТТ СССР. 1968. Т. 181. N 1. С. 33-31.
[18] Chagrov A.V., Chagrova L.A. Algorithmic problems concerning first-order definability of modal formulas on the class of all finite frames // Studia Logica. 1995. V. 55. No. 3. P. 121-1 18.
[19] Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.
[20] Craig W. On axiomatizability within a system // The Journal of Symbolic Logic. V. 18. P. 30-32.
Fine K. Logics containing K4, Part I. // The Journal of Symbolic Logic. 1974. V. 39. No 1. P. 31-12. [22] Ilosoi T. and Ono II. Intermediate prepositional logics (A survey) // J. Tsuda College. 1973. V. 5. P. 67-82.
K
V. 13. P. 195-202.
[21] Kracht M. Modal Logics that Need Very Large Frames // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1999. V. 10. No. 2. P. 1 11-173.
[25] Kripke S. Semantical analysis of modal logic, Part T // Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1963. Bd. 9. S. 67-96.
[26] Makinson D. Some embedding theorems for modal logic // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1971. V. 12. P. 252-251.
[27] Thomason S.K. Noncompactness in prepositional modal logic // The Journal of Symbolic Logic. 1972. V. 37. P. 716-720.
[28] Thomason S.K. The logical consequence relation of propositional tense logic // Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1975. Bd. 21. S. 29-10.
[29] Thomason S.K. Reduction of tense logic to modal logic, T // The Journal of Symbolic Logic. 1971. V. 39. P. 519-551.
[30] Thomason S.K. Reduction of tense logic to modal logic IT // Theoria. 1975. V. 11. P. 151-169.
[31] Thomason S.K. Reduction of second-order logic to modal logic // Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1975. Bd. 21. S. 107-11 1.
[32] Urquhart A. Decidability and the finite model property // J. Phil. Log. 1981. V. 10. No. 3. P. 367-370.
[33] J.A.F.K, van Benthem. Notes on modal definability // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1989. V. 39. P. 20-39.
[31] Visser A. A propositional logic with explicit fixed points // Studia Logica. 1981. V. 10. P. 155-175.
