Краевые задачи для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е2Л Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 125 УДК 517.983

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ АБСТРАКТНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДРОБНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 5 А.В. Глушак, И.М. Примак

Белгородский государственный университет,

ул. Студенческая, 14, Белгород, 308007, Россия, e-mail:GlushakObsu.edu.ru

Аннотация. Найдены условия однозначной разрешимости краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными.

Ключевые слова: краевая задача, дробная производная, однозначная разрешимость.

В данной работе в банаховом пространстве Е рассмотрим решение краевых задач для абстрактных дифференциальных уравнений дробного порядка а Е (0,1), содержащих либо дробную производную Герасимова-Капуто, либо дробную производную Римана-Лиувилля.

Дробная производная Герасимова-Капуто дап(Ь) определяется следующим образом:

дап(ь) = Ба(п(г) — п(0)),

а

где Оаи(1) = —11~аи(Л) - дробная производная Римана-Лиувилля [1, с. 44], аЬ

/1-"м(£) = —------- [ и^Т\ <1т

Г(1 — а) ] {г- т)а

о

- дробный интеграл Римана-Лиувилля, Г(г) - гамма-функция Эйлера.

Исследуем разрешимость краевой задачи

дап(Ь) = Ап(Ь), 0 < Ь < Т , (1)

^п(0) — п(Т) = п0 . (2)

Определение 1. Функция п(ї) Є С([0,Т],Е) такая, что 11-ап(Ь) Є С 1((0,Т),Е), называется решением задачи (1), (2), если она удовлетворяет уравнению (1) на интервале (0,Т) и краевому условию (2).

Рассмотрим вначале частный случай краевой задачи, когда в уравнении (1) А — ограниченный оператор. Пусть также в условии (2) для любого А Є о (А) (а (А) - спектр

5Работа выполнена в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009 - 2013 годы (госконтракт № 02.740.11.0613)

°° к

оператора А) число ц ф Еа(\Та) , где Еа(^) = —-------— {а > 0) - функция Миттаг-

к=о Г ( + 1

Леффлера.

По теореме об отображении спектра [2, с. 609] имеет место равенство о(Еа(ТаА)) = Еа(Та(а(А))), откуда следует существование оператора (цI — Е а(ТаА))-1, определенного на Е.

Пусть п(і) - решение уравнения (1), удовлетворяющее условию п(0) = у0. Тогда [3, с. 13] п(і) = Еа(іаА)у0 при і Є [0,Т]. Учитывая граничное условие (2), получим

уравнение цу0 — Еа(ТаА)у0 = п0. Следовательно, у0 = (цI — Еа(ТаА)) 1п0

и

п(Ь) = Еа(Ьа А)(р1 — Еа(ТаА))-1по . (3)

Таким образом, если решение краевой задачи существует, то оно единственно и имеет вид (3). С другой стороны, задаваемая равенством (3) функция п(Ь) определена при любом по Е Е и, как нетрудно проверить, является решением рассматриваемой краевой задачи (1), (2). Мы доказали следующую теорему.

Теорема 1. Пусть А - ограниченный оператор в банаховом пространстве Е и для любого X Е &(А), р = Еа(ХТа). Тогда для любого п0 Е Е решение краевой задачи (1), (2) существует, единственно и имеет вид (3).

Пример 1. Пусть Е - пространство комплексных чисел С, А - оператор умножения на А Е С и р = Еа(АТа). Тогда для любого п0 Е С решение краевой задачи (1), (2) единственно и имеет вид

/.Ч Еа (АЬа )по

и(‘> = ,-Еа(АТ•) ■

Рассмотрим далее краевую задачу, содержащую дробную производную Римана-Лиу-вилля

Бау(Ь) = Ау(Ь) , 0 <Ь<Т, (4)

р.11-ау(0) — у(Т) = по . (5)

Определение 2. Функция у (і) Є С((0,Т],Е) такая, что 11-ау(і) Є С 1((0,Т),Е), называется решением задачи (4), (5), если она удовлетворяет уравнению (4) на интервале (0,Т) и краевому условию (5).

В уравнении (4), по-прежнему, будем считать А ограниченным оператором в банаховом пространстве Е. Пусть также в условии (5) для любого А Є а (А), число

__^ 2к

/і ф Та~1Еа,а{ХТа), где Еа,а{~) = V IV ~ ,—г (а > 0) — функция типа Миттаг-

к=0т(ак + а)

Леффлера. По теореме об отображении спектра имеет место равенство о(Еа,а(ТаА)) = Еаа(Та(а(А))), откуда следует существование оператора (ці — Еа,а(ТаА))-1, определенного на Е.

Пусть у(і) - решение уравнения (4), удовлетворяющее условию 11-ау(0) = у0. Тогда

[1, с. 601] у(і) = іа-1Еаа(іаА)у0 при і Є [0, Т]. Учитывая граничное условие (5), получим

цуо - Та 1Еа,а(ТаА)уо = щ. Следовательно, = (ц1 - Та 1Еа,а(ТаА)) 1щ и

ю(1) = 1а~1Еа(ГА)(ц1 - Та~1Еа(ТаА))~1и0 . (6)

Таким образом, если решение краевой задачи существует, то оно единственно и имеет вид (6). С другой стороны, задаваемая равенством (6) функция у(Ь) определена при любом и0 £ Е и, как нетрудно проверить, является решением рассматриваемой краевой задачи (4), (5). Проведенные рассуждения доказывают следующую теорему.

Теорема 2. Пусть А - ограниченный оператор в банаховом пространстве Е и для любого X £ &(А) ц = Та~1Еаа(ХТа). Тогда для любого и0 £ Е решение краевой задачи

(4), (5) существует, единственно и имеет вид (6).

Полученные в теоремах 1 и 2 результаты при а = 1 превращаются в соответствующие результаты работы [4, с. 62]. Решение краевой задачи в этом случае имеет вид

и(1) = вгА(ц1 — е1А)~1и0 .

Пример 2. Пусть Е - пространство комплексных чисел С, А — оператор умножения на А £ С и ц = Та-1Еа,а(ХТа). Тогда для любого и0 £ С решение краевой задачи (4), (5) единственно и имеет вид

/.ч їа-1Еа ,а (АЬа )ио

и, (т.)

ц — Та-1Еаа (АТа) •

Перейдем к рассмотрению краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка с неограниченным оператором А.

В дальнейшем будем считать допустимой область О комплексной плоскости, ограниченную кусочно-гладкими кривыми и такую, что для достаточно больших по модулю

Х £ О

п п 3п

А Є [(/?!, </?2] и [<£3, , -у < <Р1 < <Р2 < ^ < <Рг < <Р4 < — ■

Оператор А и параметр ц будут удовлетворять следующему условию.

Условие 1. Область определения О (А) оператора А плотна в Е. Существуют допустимая область О, постоянная К > 0 и целое число к > — 1, такие что

УХ £О ||Я(Х,А)||< К(1 + Х)к , где Я(Х, А) = (А — XI)-1 и, кроме того, ц £ Еа(ТаО).

Пусть и(Ь) = и(Ь)и0 - решение краевой задачи с ограниченным оператором А. В силу теоремы 1 оператор и (£), являющийся функцией ограниченного оператора А и параметра ц, может быть записан в виде контурного интеграла

и(() = ЕЖЛ)(р1 - Еа(ТаА))-1 = ~1 Я<А- ■4)‘гА • <7>

до

где дС - граница области С, содержащей спектр оператора А, ц Є Еа(Та С).

Покажем, что решение краевой задачи (1), (2) с неограниченным оператором А при выполнении условия 1 может быть получено в форме контурного интеграла (7). Теорема 3. Пусть выполнено условие 1 и и0 Є О(Ак+3), тогда функция

п(і) = Щ1)ио = -±1 А)щЛХ (8)

до

определена, имеет непрерывную дробную производную порядка а и является решением краевой задачи (1), (2).

□ Покажем, что при и0 Є О(Ак+2) функция и(ї)и0 определена и непрерывна на (0,Т). Возьмем произвольное Ао Є С. Используя тождество Гильберта

Д(А, АЩц, А) = Д(Л’А)~ Я(^А) )

А — ц

для и0 Є О (А) можно записать

и({,щ=~Ъ! »-емт°)щх'а)щка){а ~ А“/)и”<гл=

до

1 ( Еа (А^) Н(А,А)(А — Ао1 )и0 , л

----СІЛ +

2пі 7 ц — Еа (АТа) А — А0

до

, 1 Г Еа(\іа) Д(Ао, А)(А — Х01)и0 _

2тгі ] Ц — Еа(\Та) А-А0 _

до

1 [ Еа(Ма) Д(А, А)(А - А0/)м0^д + /’ Еа(Ма) щ ^

2пі У ц — Еа (АТа) А — А0 2пі ] ц — Еа (АТа) А — А0

до до

Функция Миттаг-Леффлера имеет следующую асимптотику [5, с. 43]:

N

= і.-'-"'*^ +0Щ, (9)

па

где |с| —> оо, | а^(с)| < ?7, — < і] < ті її (7г, тга) и

N 1 1 1

^ 1 1 / 1 \

Е«А~) = ~ Т. Г(/3 _ ак) -к+0 [ТШ) ’ /7 < | аг§(^)| < тг. (10)

Применяя лемму Жордана и учитывая (9), (10), для 0 < Ї <Т получим

1 [ Еа (Аіа) и0

б,А = 0. (11)

ц — Е (АТ ) А — А0

до

2пі 7 ц — Еа(АТа) А — А0

Таким образом,

II (і.) щ — — — :

1 [ Еа (Аіа) Я(А,А)(А — А0І)

2пі ] ц — Еа (АТа) А — А0

до

и0йА,

і Є (0,Т). (12)

Учитывая асимптотику функции Миттаг-Леффлера (9), (10), для Ь £ [8,Т], 8 > 0

и достаточно больших |А| будем иметь оценки

\Еа(АГ)| ||Д(А,Л)|| \ц — Еа(\Та) \ ■ |А — А01

<

<

-і\1/аеіХІ/а

N

£

1

1

+ О

=1 Г(1 — ак) (Аіа)к \(Аіа)

1

іа )N+1

к

_ 1 ТА1/аеТА1/0

а

N

+£

1

1

<

Т\1/а еГ^1/а

= Г(1 — ак) (АТа)к к1

О

1

|А||А — А0|

<

|ц — Т/а А1/автх1/а | |А||А — А0І

ІЕа (Аіа )|||Я(А,А)||

(Ата ^+1

| &^(Аіа)| < п, П Є (па/2, па) , (13)

Іц — Еа(АТа^ ■ |А — А0|

<

<

1

1

+ О

1

N

Г(1 — а к) (Ма)к '

іа )N+1

к

N

ц+5^

к=1

1

1

О

Г(1 — ак) (АТа)к \(АТа^+1

1

1А11А — А0 1

<

<

1

к1

П < І &щ(Аіа)| < п .

(14)

|А||А — А0|

Очевидно, неравенства вида (13), (14) имеют место и для і Є [0,$]. Следовательно, при к = —1 интеграл в (12) равномерно сходится по і Є [0,Т] и определяет непрерывную на [0,Т] функцию.

Выполним аналогичное преобразование еще раз и получим

II (і.) щ — — ——:

1 І Еа(Аі<а) Н(А,А)(А — А0І )и0

2пі ц — Е (АТ )

до

1

А — А0

Еа(Аіа) Я(А, А)Я(А0, А)(А — А0І)2щ

dА

2пі ц — Е (АТ ) А — А0

до

1 Г Еа (Аіа) Я(А,А)(А — А0І )2и0

dА

2пі ] ц — Еа(АТа) (А — А0)2

до

dА +

1 Г Еа(Ма) Е(Хо,А)(А-Х0іу2и0

2тті ] ц-Еа{\Т<*) (А-Ао)2

до

1 Г Еа{ \іа) Д(А, А) (А — А0/)2и0 1 Г Еа{ АГ) {А-Х01)щ

2тгг У ц-Еа(\Т») (А-Ао)2 27гг У ^ - Еа(\Та) (А - А0)2 '

до до

Аналогично равенству (11) устанавливается, что

1 Г Еа{\іа) (А-ХоІ)щ

2ж%] ц.-Еа{ХГ°) (А-Ао)2 ’

до

+а\ о/л Л 7Л2,.

тти, 1 [ Еа(Аіа) Я(А,А)(А — А0І)2Щ ,Л

и(І)щ =-їй] ,.-Еа(\Т°)-------------(Л^-----------ЙЛ

до

Последний интеграл определяет непрерывно дифференцируемую на [0,Т] функцию.

При к > —1 указанные преобразования следует повторить к + 1 раз. В результате для и0 Є О (Ак+2) получим представление

„и, 1 [ Еа(ХГ) В(Х,А)(А —Хо1У'+2ио _ ,А „ ,1ГЧ

тиа = -^] ^-ЕЛХТ*)------------------(Л - Л„)^«-----(£|°-ГЬ (15)

до

Из ограниченности оператора и(Ь) на плотном в Е подмножестве О(Ак+2) следует его ограниченность на всем Е [6, с. 130], что позволяет получить непрерывную зависимость решения задачи (1), (2) от значения и0. Для построенного продолжения имеем

, ,„т _ 1 [ » Я(Л,.4)(,4-Л„/)‘'+2!1о^

(,,.£/(0) - и(Т))и0 - I ^ _ ЕЛХТа) (Л _ Ао),.+2 (IX +

до

1 Г Еа(\Та) П(\,А)(А-\01)к+2щ

2ш] ц-Еа(\Т«) (А — А0)А'+2

до

_ 1 [(л- Еа(ХТа) Д(А, А)(А - \01)к+2и0(1Х =__^_ [ ЩХ, А)(А - \01)к+2и0 ^

2пг У ц - Еа(АТа) (А - Ао)к+2 2пг У (А - Ао)к+2

дО дО

где подынтегральная функция аналптпчна поА€(7\С,А^Ао, непрерывна по А € дС и убывает на бесконечности как |А|-2. Поэтому имеем

(„.(/(0) - и(Т))щ = -^/ Л(А’(д)1'4л~)^/)"+2«о^ =

дО

1 Лк+1

-ЩХ,А)(А- Хо1)к+2щ = ио,

(к + 1)! dАk+1

и, стало быть, и(Ь)п0 удовлетворяет краевому условию (2).

Покажем, что при Ь £ (0,Т) и(Ь)п0 удовлетворяет уравнению (1). Учитывая замкнутость оператора А, Уп0 £ 0(Ак+2) и УА £ дС, получим и(Ь)п0 £ 0(Ак+2) и

,„и, 1 Г АЕ„(М°) Н(\,А)(А-\01)м „

МЩщ =-—} „ (Л_Ло)Ь+2 =

дО

1 и ЕЛХП + АЕ^)

2пг.) \ц, - Еа(АТа) ц - Еа(АТа) ' ’ ') (А - А„)к+2

дО

1 Г Еа( АГ) (А-Х01)к+2 1 Г ХЕа(Х1а) П(Х,А)(А-Х01)к+2

2т У ц - Еа(\Та) (А - А0)А'+2 ЩйА 2т У ц - Еа(ХТ«) (А - А0)к+2 Щ

дО дО

1 Г Еа(Х1а)(Х — А0) (А — Х01)к+2 1 Г ХЕа(ХП Д(А, А)(А - Х01)к+2

2т ] ц - Еа(ХТа) (А - А0)к+3 и° 2т ] ц - Еа(ХТ«) (А - А0)к+2 М° '

дО дО

Аналогично равенству (11) для Ь £ (0,Т), устанавливается равенство

1 Г АЕа(АГ) (А - Ао1 )к+2по

2т) ц - Еа(АТа) (А - Ао)к+3

дО

-<1\ = 0

поэтому

„и* 1 [ АВ„(Л(“) В(\, А)(А — Ло/)А+2 „

лиа)щ = -^ у „ _ Еа(ХТа)—(Л _ ло)1+2—“»<гл • (16)

дО

С другой стороны,

—а

даиц)и0 = £>"([/(*) - II(0))ио = Оаи{1)щ - ^0) Л

1(1 - а)

__}_па [ Еа(\Г) В(\, А)(А — А0/)к+2а.0 ^ Ц(0) ,_а

2п У ,, - В„(ЛГ«) (Л - А„)»+2 Г(1 - а)

дО

1 Г Ь-аЕал-а(Ага) Я(А, А)(А - Ао1 )к+2щ

2т) ц - Еа(АТа) (А - А0)к+2

дО

1 1 [ Га П(Х,А)(Х-Хо)к+2ио_(1Х (17)

Г(1 - а) 2пг ) ц - Еа(АТа) (А - Ао)к+2

дО

Применяя в (17) равенство Еа^з(£) — = 1Еа<а+р(£) [5, с. 45] и учитывая, что

Г(в )

1 [ Г" Д(А, А)(Х — Ао)А-+2мо^л _ 0

2т) ц - Еа(АТа) (А - Ао)к+2

дО

получим

1 Г ЬЕМП Я(Л..4)(.4-А„/)‘'+2 ^ лгил

В Щі)щ = -—] - _ ЕМТа)-----------------(д _ Ао),+2-----МЛ = АЩОио .

до

Таким образом, функция и(і)и0 удовлетворяет уравнению (1). I

Приведем далее достаточное условие единственности полученного в теореме 3 решения. Теорему единственности мы докажем путем аппроксимации задачи (1), (2) задачами

даип(і) = Апип(і) , і Є (0,Т), (18)

ци,п(0) — ип(Т) = щ . (19)

с ограниченными операторами Ап.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3 и оператор А является сильным пределом последовательности ограниченных коммутирующих друг с другом операторов Ап таких, что

IIЕа а (іаАп)ІІ< И1вші, (20)

и для ц Є Еа (Та С)

II(цІ — Еа(ТаАп))-1\\ < М2 (21)

с постоянными Ы\ > 0, М2 > 0 и ш не зависящими от п. Тогда определяемое равенством (8) решение задачи (1), (2) единственно.

□ Пусть п(Ь) - решение задачи (1), (2), а пп(Ь) - решение задачи (18), (19). Тогда функция шп(Ь) = п(Ь) - пп(Ь) удовлетворяет уравнению

даШп(г) = Ап'Шп(Ь) + (А - Ап)п(г), г £ (0, Т) и нулевому краевому условию

цш,п(0) - шп(Т) = 0 .

Поскольку оператор Ап ограничен, то подобно тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 1, запишем соотношение

Шп(г) = Еа(гаАп)(ц1 - Еа(ТаАп))-1Шп(Т) + Шп(г), (22)

где

£

№п(г) = ^'(г - 8)а 1Еа, а ((г - 8)а Ап) (А - Ап)п(з) . (23)

0

Учитывая оценку (20) и равномерное по г £ [0,Т] стремление к нулю последовательности (А - Ап)п(г), из (23) вытекает равномерное по г £ [0,Т] стремление к нулю последовательности №п(г), а из (20)-(22) - последовательности Шп(г) = п(г) - пп(г).

Итак, рассматриваемое решение u(t) задачи (1), (2) является пределом последовательности un(t) и, следовательно, определяется единственным образом. В

Другое достаточное условие единственности решения задачи (1), (2) можно пытаться найти следующими рассуждениями. Пусть u(t) — решение краевой задачи

dau(t) = Au(t) (0 < t <T), цп(0) — u(T) = 0 .

Обозначим через La (X) = Ea(\Ta) — ц и пусть X0 - ее нуль. Поскольку функция Миттаг-Леффлера при а = 1 не имеет пикаровских исключительных значений (см. [7, с. 150]), то такое X0 всегда существует.

В работе [4, с. 65] доказано, что единственность решения задачи (1), (2) при а = 1 зависит от взаимного расположения собственных значений оператора A и нулей функции L1(X) - они не должны совпадать.

Определим векторно-значную целую функцию

т fa(X) = j sa-1Eaa(Xsa)u(s) ds. 0

Если X0 не является собственным значением оператора A, то Afa(X0) = X0fa (X0) — La (X0) u(0) и, следовательно, f a (X0) = 0.

Введем в рассмотрение скалярную функцию Т0(А) = —гДе h - линейный

La (X)

непрерывный функционал на E .В работе [8] при а = 1 путем анализа нулей функции f1(X) методом частных для функции T1(X) установлено равенство u(t) = 0. Таким образом, проблема единственности решения задачи (1), (2) может быть сведена к распространению метода частных для функции Ya(X) при а = 1.

Пример 3. Пусть оператор A является генератором аналитической полугруппы Q(t). Тогда [9, с. 266]

K

||Я(А,А)||<ТТ^, Re А > ег,

а допустимая область G - область, лежащая слева от контура dG, состоящего из двух лучей X = а + pe%1 и X = а + pe-%1, где 0 < р < ж, y - любое число из промежутка (п/2,п/2 + arcsin 1/K), обход контура производится из нижней полуплоскости в верхнюю.

В силу теоремы 3 для u0 Е D (A2) и ц Е Ea (Ta G), функция

СЮ

u(t) = hj I e~XTQ(T)Uo dTdX

dG 0

является решением задачи (1), (2). Поскольку оператор А является сильным пределом последовательности ограниченных коммутирующих друг с другом операторов [10, с. 64], то, в силу теоремы 4, указанное решение является единственным.

Установим далее результаты, аналогичные теоремам 3 и 4 для краевой задачи (4),

(5), содержащей дробную производную Римана-Лиувилля.

Оператор А и параметр ц будут удовлетворять следующему условию.

Условие 2. Область определения О (А) оператора А плотна в Е. Существуют допустимая область О, постоянная К > 0 и целое число к > — 1, такие что

УА /О ||Я(А,А)||< К (1 + |А|)к ,

и, кроме того, ц Та~1Е01'01(Т0,С).

Пусть у(Ь) = V(Ь)и0 - решение краевой задачи с ограниченным оператором А. По теореме 2 оператор V (Ь), являющийся функцией ограниченного оператора А и параметра ц, может быть записан в виде контурного интеграла

(24)

да

где дС - граница области С, содержащей спектр оператора А, ц ф Еа^а(ТаС).

Покажем, что решение краевой задачи (4), (5) с неограниченным оператором А при выполнении условия 2 может быть получено в форме контурного интеграла (24).

Теорема 5. Пусть выполнено условие 2 и и0 Е О(Ак+2), тогда функция

= ти° = -Ъ! ,,-г^“£(ллг»)Д(л' Л)щс1Х ■ (25)

да

определена, имеет непрерывную дробную производную порядка а при Ь Е (0; Т) и является решением краевой задачи (4), (5).

□ Докажем, что при и0 Е О(Ак+2) функция V(Ь)и0 определена и непрерывна на (0,Т]. Возьмем произвольное Ао ф О. Используя тождество Гильберта, для щ Е О {А) можно записать

1 г ха— 1е (А+а)

^ = -2Й У АГ«)Д(Л’ А*А - А»/)“»‘гА =

да

1 С г-1 Еаа(АЬа) Я(А,А)(А — Ао1 )ио

г/Л -I-

2ттг 7 Ц-Т»-^Еа^\Т») А-А0 да

___Г ^ 1Еа^а(Ма) Д(А0, А)(А - А0/)и0

2ттг У ц-Т«-1Е0,0(\Т«) А-Ао

да

1 /■ У* 1Еа^а(Ма) Д(А, А)(А - А0/)и0

‘2тгг ] /л — Та~1Еа,а(\Та) А — Ао да

ЛА +

1

Г—1Еа,а(АГ)

ио

2п% ] Ц — Та 1Еа,а(АТа) А — Ао да

ЛА.

(26)

Применяя лемму Жордана, получим

1

Г—1Еаа(АГ)

ио

2п% } ц — Т<а 1 Еа,а(АТа) А — Ао

да

ЛА = 0 , Ь Е (0,Т].

(27)

Откуда,

У(г)щ = — -—:

Ьа—1Еа,а(АЬа) Я(А,А)(А — Ао1)

У ц — Т а 1 Еа,а(АТ а) А — Ао

да

иоЛА , Ь Е (0,Т]. (28)

Учитывая асимптотику функции Миттаг-Леффлера (9), (10), для Ь Е [0,Т] и достаточно больших |А| запишем оценки

±а— 1

-Ша)

а

а (1—а)/а

\ц — Та~1Еаа(\Т) | |А — Ао | 11

<

N

£

+ о

— Г(а — ак) (АЬа)к \ (АЬа)

1

fа)N+1

К

<

ц - Та~1 ( 1(АТ")(1-о)/"етл1/а + У - . ,. ,л .

' ™ ^ Г(а- — ак) (АТ")

N

1

1

а

'а\к

о

1

|А||А — Ао|

<

А(1—а)/а еТ Л1/о

К л

\ц — 1/а А1/а—1 етл1/а \ |А||А — Ао| ’

1Ьа—1Еа,а(АЬ)1 ||Я(А,А)||

(АТ а^+1

| &щ(АЬа)1 < п , п Е (па/2,п), (29)

±а— 1

<

N

Е

к—1

|ц — Та—1 Еа,а(АТ )||А — Ао|

+о

<

Г(а — ак) (АЬа)к \(АЬа^+1

К

N

ц

1

1

о

чк—1

Г(а — ак) (АТа)к \ (АТа^+1

1

<

К

|А||А — Ао| НШ — Ао|

(30)

где п < | а^(АЬа)| < п.

Из (29), (30) следует, что при к = —1 интеграл (28) сходится равномерно по Ь Е [0, Т] и определяет непрерывную на [0,Т] функцию.

Выполняя подобное преобразование еще раз, получим

V (£)«о — — 7:—:

1 [ Ьа 1Еа,а(АЬа) Я(А,А)(А — Ао1 )ио

2п1 ] ц — Та лЕа,а(АТа) да

А Ао

ЛА

+

1

1

1

1 [ іа-1Еа,а(Аіа) Я(Х,Л)Я(Хо,Л)(Л — Ас/)2ио

--------аХ

2пі ] ц — Та 1 Еа,а(АТа) А — Ас

да 1_ [ іа~1Еаа(Хіа) Я(Х,А)(А-Х01)2и0

' 2тгг У ^-Т“-іД0,0(АТ“) (А - А0)2

да

1 [ іа~1Еа^Хіа) Я{Х0,А)(А-Х01)2щ

2тгг У ц - Т^Еа>а(ХТа) (А - А0)2 да

(1А +

(1А +

поэтому

}_ [ іа~1Еа^Хіа) Я(Х,А)(А- Х01)2и0

2тгг ] /л — Та~1Еа^а(ХТа) (А — Ао)2 да

1 [ іа~1Еа^{Хіа) (А - А0/)и0

2тгг У ц-Т°-1Еа,а{\Та) (А - А0)2 '

да

Аналогично равенству (11), имеем

1 [ і"_1£?а,а(Аі") {А - X01)и0

2т і ц-Т^Е^ХТ”) (А-А0)2 “ ’

да

1 [ іа~1Еа^Хіа) Я{Х,А)(А-Х01)2щЛЛ

1 м“» = -м] -----(Х^----------м■

да

При к > — 1 указанные преобразования следует повторить к + 1 раз и мы получим ,„Л 1 [ (“-‘дилг) Е(Х, А){А — Ло/)к+2ио ,01Ч

1 й“» = -ш] ,-т^Еамт°)-----------------(х^у^--------------------ЙЛ' (е[о т]’ (31)

да

Из ограниченности V(£) на плотном подмножестве П(Лк+2) следует его ограниченность на Е. Для построенного продолжения имеем

(ип-«(ут У(Т)Ъ - 1 />/1'"(г'1£^«(ЛГ)) и=оЯ(Х1А)(А-Х01)к+2ио„

Ы {Ут - ¥{Т))и° -~^ь] Ц - Еа,а{ХГ°) (А - А0)А'+2 +

да

1 Г Еа,а(ХТа) Д(А, А){А - Хо1)к+2щ =

2тті ] ц — Еаа{ХТа) (А — А0)А+2

да

_ 1 [ ц{Еа{АГ)) |4=0 Д(А,А)(А - А0/)А'+2г^л

2пі } ц — Еа,а(АТа) (А — Ас)к+2

да

1 Г Еа,а(ХТа) Д(А, А){А - Хо1)к+2щ 2тті ] ц — Еаа{ХТа) (А — А0)А+2 да

= 1 /> - Еа,а(\Та) Д(А, А){А - Ао 1)к+2щ 1 [ Д(А, А)(А - А01)к+2щ

2тггУ ц- Еам(\Т°) (А — А0)к+2 2ш ] (А - А0)к+2 ’

да да

где подынтегральная функция аналитична по А Е С \ О , А = Ао, непрерывна по А Е дО и убывает на бесконечности как |А|—2 . Поэтому имеем

1 Г Я(А,А)(А — Ао1 )к+2 ,Л 1 Лк+1 .... Л г.к+2

-щ(1\ — ——, 1 м 7\ и 11 Я(\, А)(А — Ао/) щ — щ )

2п^ (А — Ао)к+2 о (к + 1)! йАк+л

да

следовательно, V(Ь)ио удовлетворяет краевому условию (5).

Покажем, что при Ь Е (0; Т) V(Ь)ио удовлетворяет уравнению (4). Учитывая замкнутость оператора А и равенство (11) для ио Е В(Ак+2) и А Е дО, получим V(Ь)ио Е

О(Ак+2). Кроме того,

1 [ Ага~1Еа,а( АГ) Я{\,А)(А-\01)к+2щ^

1,0 = У ,-Т^ЕаА\Т°)---------------(Л^Л^ТЗ--------=

да

1 [[ Ьа—1Еа>а(АЬа) , АЬа—1Еа,а(АЬа)пГЛ л,\ (А — Ао1)к+2

да

2т У - Т»-1 Да,а(АТ“) + ц - Т«-^Еа^\Т«)Л(Л’) (А - А0)к+2 Щ(*Х

1 [ ^-1Еа,а( АГ) (А-Х01)к+2 _

2т У ц — Та—1Еа,а(АТа) (А — Ао)к+2 да

1 [ Ма~1Еа,а(Ма) Я{\,А)(А-\01)к+2

2т } ц - Т«~1Еа,а(\Та) (А - А0)к+2 да

иойА

1 [ Ма~1Еа,а(Ма) Я(\,А)(А-\01)к+2

2ттг У ц-Т°>-1Еа,а(\Та) (А-А0)к+2 М° '

да

С другой стороны,

1 <2 Г «“-‘^.„(А*») Я(А,.4)(.4-Л„/)*+2 ^

С 1 М“« = -ЪГШ ] (А — Ао)А+2 МА

да

1 Г АЬа—1Еаа(АЬа) Я(А, А)(А — Ао1)к+2 1Л

- 1 ’ 1 ' 0 ' -и0йА = АУЦ)щ.

2пг] ц — Та—1Еа,а(АТа) (А — Ао)к+2

да

следовательно, функция V(Ь)ио удовлетворяет уравнению (4). ■

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и оператор А является сильным пределом последовательности ограниченных коммутирующих друг с другом операторов Ап таких, что

ЦЕа,а (ЬаАп)11< М3еш*, (32)

и для ц Е Та—1Еа, а(ТаО)

||(ц/ — Та—1Еа,а(ТаАп)) — 1\\ < М4 (33)

с постоянными М3 > 0, М4 > 0 и ш не зависящими от п. Тогда решение задачи (4),(5),

определяемое равенством (24), единственно.

□ Пусть у(Ь) - решение задачи (4), (5), а Уп(Ь) - решение задачи

Вауп (Ь) = Апуп(Ь) , 0 <Ь <Т , (34)

ц11—аУп(0) — Уп(Т) = ио , (35)

с ограниченными операторами Ап. Тогда функция /шп(Ь) = у(Ь) — Уп(Ь) удовлетворяет уравнению

Ватп(Ь) = Ап'Шп(Ь) + (А — Ап)ь(Ь) , Ь Е (0, Т) и нулевому краевому условию

ц11—а-Юп(0) — Юп(Т) = 0 .

Поскольку оператор Ап ограничен, то аналогично тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 2, запишем соотношение

'Юп(Ь) = Ьа—1Еа,а(ЬаАп)(ц11—а — Та—1 Еа,а(ТаАп)) — 1Шп(Т) + Шп(Ь) , (36)

где

I

^п(Ь) = J (Ь — в)а ^Еа, а ((Ь — 8)аАп) (А — Ап)у(з) йв . (37)

о

Учитывая оценку (32) и равномерное по Ь Е [0,Т] стремление к нулю последовательности (А — Ап)у(Ь), из (37) вытекает равномерное по Ь Е [0,Т] стремление к нулю последовательности Шп(Ь), а из (32), (33), (36) - последовательности ,юп(Ь) = у(Ь) — Уп(Ь).

Итак, рассматриваемое решение у(Ь) задачи (4), (5) является пределом последовательности уп(Ь) и, следовательно, определяется единственным образом. В

Пример 4. Пусть оператор А является генератором аналитической полугруппы (^(Ь). Тогда (см. пример 3)

К

||Я(А,А)||<ТТ^, Ие А > и ,

а допустимая область О - область, лежащая слева от контура дО, состоящего из двух лучей А = а + ре%1 и А = а + ре—%1, где 0 < р < то, 7 - любое число из промежутка (п/2,п/2 + агсвт 1/К), обход контура производится из нижней полуплоскости в верхнюю.

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ Е2Л Серия: Математика. Физика. 2011. №17(112). Вып. 24 139 В силу теоремы 5 для ио Е В (А2) и ц Е Та-1Еа а(ТаС!), функция

является решением задачи (4), (5). Так как оператор А является сильным пределом последовательности ограниченных коммутирующих друг с другом операторов, то в силу теоремы 6 указанное решение является единственным.

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко. - Минск: Наука и техника, 1987.

М.: ИЛ. - 1962.

3. Bajlekova E. Fractional Evolution Equations in Banach Spaces / Ph. D. Thesis / Eindhoven University of Technology, 2001.

4. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи / В.К. Иванов. - М.: Физматлит. - 1995.

5. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and application of fractional differential equations / A.A. Kilbas. - Math. Studies 204. - Elsevier, 2006.

6. Треногин В.А., Функциональный анализ / В.А. Треногин. - М.: Наука, 1980.

7. Гольдберг А.А., Островский И.В. Распределение значений мероморфных функций / А.А. Гольдберг. - М.: Наука, 1970.

8. Тихонов И.В., Эйдельман Ю.С. Критерий единственности в обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения с нестационарным неоднородным слагаемым // Математические заметки. - 77; 2. - С.273-290.

9. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / М.А. Красносельский. - М.: Наука, 1966.

10. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве /

Литература

2. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы (общая теория) / Н. Данфорд.

С.Г. Крейн. - М.: Наука, 1967.

BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR ABSTRACT DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH FRACTIONAL DERIVATIVES A.V. Glushak, I.M. Primak

Belgorod State University,

Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail:[email protected]

Abstract. Conditions of unique solvability of boundary value problems are found for abstract differential equations with fractional derivatives.

Key words: boundary value problem, fractional derivative, unique solvability.