КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НАКЛОННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.95 MSC2010: 35K10, 35K55

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА С НАКЛОННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ С ИНВОЛЮЦИЕЙ НА ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ

© А. А. Корнута

КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: [email protected]

Boundary value problem with an inclined derivative for a nonlinear equation with an involution on a rectangle.

Kornuta A. A.

Abstract. One of the important areas of research in applied nonlinear dynamics is the study of mathematical models of processes and phenomena of nonlinear optics that exhibit various modes of self-organization of the light field. It is the models of nonlinear optics by controlling the internal parameters of the system that make it possible to implement a wide range of changes in the light field in experiments. One of such systems is an optical device, which is a specially arranged external contour, called a "two-dimensional feedback loop" consisting of various optical devices (lenses, prisms, etc.) and a thin layer of a nonlinear medium. As models describing the dynamics of nonlinear optical systems with feedback, ordinary differential equations, partial differential equations, functional differential equations with the transformation of spatial variables can be used, the type of which is determined by the device of the feedback loop, the choice of parameters, conditions at the boundary. The configuration of the area in which the corresponding model is considered is determined by the transverse aperture of the system.

In the articles by A. V. Razgulin, E. P. Belan, one-dimensional problems on a circle with rotation transformation, problems on a segment with reflection transformation were considered, a two-dimensional problem in a circle with rotation transformation, as well as with a combination of rotation and radial compression, was investigated. The problem for the ring was considered in the works of A. A. Kornuta, V. A. Lukianenko [23]. Non-classical problems for partial differential equations close to the considered ones are investigated in the works of A. L. Skubachevsky and his students.

The dynamics of solutions to the problems under consideration largely depends on the boundary conditions. As a rule, boundary value problems with Neumann conditions are investigated. However, it is known that boundary conditions with an oblique (oblique) derivative make it possible to model spiral waves that occur in nonlinear optical systems.

The issues of the existence and stability of spiral waves in a model functional differential equation of diffusion with a delay describing the dynamics of a nonlinear optical system with a feedback loop in a thin ring space with boundary conditions with an oblique derivative are investigated in the works of A. V. Razgulin and S. S. Budzinsky.

This paper discusses the existence and stability of solutions of a functional differential equation of parabolic type in a rectangle with a reflection transformation of a spatial variable and boundary conditions with an oblique derivative.

Keywords: functional differential equation, bifurcation, spectral problem,, central manifold, boundary conditions with an oblique derivative

Введение

Одним из важных направлений исследований прикладной нелинейной динамики является изучение математических моделей процессов и явлений нелинейной оптики, проявляющих различные режимы самоорганизации светового поля. Именно модели нелинейной оптики посредством управления внутренними параметрами системы позволяют реализовать в экспериментах широкий спектр изменений светового поля. Одной из таких систем является оптическое устройство, которое представляет собой специально устроенный внешний контур, называемый "контуром обратной двумерной связи" [1] состоящий из различных оптических устройств (линз, призм и др.) и тонкого слоя нелинейной среды. В качестве моделей, описывающих динамику нелинейных оптических систем с обратной связью, могут быть использованы обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, функционально-дифференциальные уравнения с преобразованием пространственных переменных, вид которых определяется устройством контура обратной связи, выбором параметров, условиями на границе. Конфигурация области, в которой рассматриваются соответствующая модель, определяется поперечной апертурой системы.

В работах [2], [3] рассматривались одномерные задачи на окружности с преобразованием поворота, задачи на отрезке с преобразованием отражений изучалась в [4]. В работе [5] исследована двумерная задача в круге с преобразованием поворота, в [6] в качестве преобразования была выбрана комбинация поворота и радиального сжатия. Близкие к рассматриваемым неклассические задачи для уравнений в частных производных исследуются в работах А. Л. Скубачевского [8], [9].

Динамика решений, рассматриваемых задач, зависит от краевых условий. Как правило, исследуются только краевые краевые задачи с условиями Неймана. В работах [10], [11] показано, что краевые условия с косой (наклонной) производной позволяют моделировать спиральные волны, которые возникают в процессах различной природы, в частности, в нелинейных оптических системах [12], [13].

Краевая задача с косой производной в общем случае не является Фред-гольмовской. В частном случае, задача для круга ^ = {(хх, х2)|х2 + х2 < 1},

где хх + гх2 = г = рехр[г0], сой(Л,Х!) = а(в), сов(Л,х2) = Ь(в) — направляющие косинусы, сводится к краевой задаче теории аналитических функций [7].

В работах [14], [15] приводится решение краевой задачи с косой производной для уравнения эллиптико-гиперболического типа Лаврентьева - Бицадзе в полуплоскости, состоящей из верхней полуплоскости (где уравнение эллиптическое) и прилегающей полосы (где уравнение гиперболическое). На прямой, ограничивающей полосу, задана наклонная производная, а на границе раздела полосы и полуплоскости решения сопрягаются краевыми условиями четверного рода. В результате получено сингулярное интегральное уравнение, которое сводится к краевой задаче Римана со сдвигом [16].

Вопросам существования и стабильности спиральных волн в модельном функционально-дифференциальном уравнении диффузии с запаздыванием, описывающем динамику нелинейно-оптической системы с контуром обратной связи в тонком кольцевом пространстве с граничными условиями с косой производной посвящены работы [17], [18].

Задача нахождения гармонической функции в области, являющейся четвертью круга, с наклонной производной на части границы рассматривалась в [20], [21]. Показано существование и единственность линейно независимого нетривиального решения и получено его представление.

В данной работе рассматривается вопросы существование и устойчивости решений функционально-дифференциального уравнения параболического типа в прямоугольнике с преобразованием отражения пространственной переменной с граничными условиями с косой производной.

Г = {(xi, x2)Ixi + x:

.2 2

1}}:

△u = 0,

а2(в) + Ь2(в) = 1,

д u

= tg a д-

±i dx

„ du = tg втг ±d dx

, (2)

±i

, (3)

d

1. Постановка задачи

В прямоугольнике S = {(x,y)| |x| < d, |y| < 1} рассматривается уравнение д u

— - DAu + u - ЛО« = f (u) = K(1 + y cos Qu) - Л^и = g(x,y,t), (1) д t

где (x, y) G S, t > 0, u = u (x, y, t) [22], [1] с инволюцией (преобразованием отражения) Qu = u(-x,y,t), краевыми условиями с косой производной на границах y = ±1

du dy

с краевыми условиями на границах x = ±d либо с косой производной

d u d y

либо с условием 2п-периодичности (d = п)

u (x + 2п, y,t) = u (x, y,t) (4)

и начальным условием

u(x,y, 0) = uo(x,y). (5)

Здесь Au — двумерный оператор Лапласа в декартовой системе координат (x,y), D > 0, K > 0, y (0 < y < 1).

Обозначим H = L2(S) гильбертово пространство измеримых на S функций, H2 — функциональное пространство Соболева комплекснозначных функций вещественной переменной со стандартным скалярным произведением и соответствующей евклидовой нормой.

Пусть w = w(x,y,t) — одно из решений задачи (1)-(5), выполним замену u = w + v, где v = v(x, y, t) — новая неизвестная функция. Тогда задача (1)-(5) относительно v примет вид д v

— + v = DAv - KysinQw ■ Qv + f (Qv,Qw), (x,y) G S, t > 0, (6)

д t

с соответствующими краевыми условиями для функции v, где f (Qw, Qv) = Ky (cos Qw(cos Qv - 1) - sinQw(sinQv - Qv)) [23].

Будем рассматривать пространственно-неоднородные решения, которые бифурцируют из пространственно-однородного стационарного решения u(x, y,t) = w = const, определяемого уравнением

w = K(1 + y cos w). (7)

Фиксируем одну из гладких ветвей, соответствующих одному из решений уравнения (7)

w = w (K, 7) , 1 + Ky sin w(K, y) = 0.

Выполняя на выделенном стационарном пространственно-однородном решении w(K, y) замену u = v + w, приходим к уравнению (6), в котором Qw = w. Рассмотрим одно из модельных уравнений задачи (6) [24]

dv Л

— + v = DAv + ЛQv + SQv2--Qv3, t > 0,

дt 6

* ^ • ^ Ky cos w где Л = — Ky sin w, Si =--—- и две линеаризованные задачи с краевыми условиям с косой производной по переменным x и y

д v dt

= DAv — v + ЛQv, t > 0, |x| < d, |y| < l,

v(x,y, 0) = vo(x,y),

(8)

dv(x, y, t)

д y

= tg a

dv(x, y, t)

y=±1

д x

dv(x, y, t)

y=±1

dy

= tg в

dv(x, y, t)

x=± d

д x

x=± d

и с косой производной по переменной y и условием периодичности по переменной x дv

— = DAv — v + ЛQv, t > 0, |x| < n, |y| < l, д t

дv(x, y, t)

дy

= tg a

v(x, y, 0) = vo(x,y), дv(x, y, t)

(9)

y=±1

дx

, v (x + 2n, y, t) = v (x, y, t).

y=±1

Линеаризованное уравнение задач (8), (9) представим в операторной форме дь

—--Ьь = 0, где Ьь = Ь0ь + Ьпь, Ь0ь = —ВДь, Ьпь = ь — Л^ь. Обозначим фпт —

собственные функции операторов Ь0 и Ь:

Ь0 фп , т Дфп, т Лп , тФп, m,

Ьфп, т ^п , тфп, т.

Линейный оператор Ь с областью определения Н2, рассматриваемый как неограниченный оператор в пространстве Н, является самосопряженным оператором. Найдем собственные функции и собственные значения оператора Ь.

2. Спектральная задача

Лемма 1. Оператор Ь0, определенный краевой задачей (13) с условиями с косой производной на границе, имеет в пространстве Н = Ь2($) полную ортонормированную систему собственных функций

фп,т

ПП ПП

сое —-х ± i Бт —- х 2^ 2^

пт пт

ат соБ —— у ± Ни Бт —— у 21 21 У

(10)

Соответствующие собственные значения определяются равенством

/ тп\2 /ип\2

т = \И) +1 2а) •

Доказательство. Воспользуемся методом разделения переменных для уравнения Ьь = 0. Представим ь(х, у, ¿) = Z(х,у) ■ Т(¿). Получим

(11)

Z(х, у)Т'(£) - DДZ(х,у)Т(¿) + Z(х,у)Т(¿) - ЛQZ(х,у)Т(¿) = 0.

(12)

Разделим (12) на Z(г)Т(¿) :

Т'ф _ " ДZ(х, у) - Z(х, у) + ЛQZ(х, у)

= ^(х;^)

В результате приходим к уравнению относительно Z(х, у):

= Л.

Д2'(х,у) - " Z(х,у) + "^(х,у) = "Z(х,у)

с условиями первого типа ( д Z (х, у) д Z (х, у)

Нг - * а

д х

)

у=±1

= 0, - tgвдZ(х,у)

д х

ду

)

=0

ж=± d

или второго типа

(

д Z (х, у) д Z (х, у)

ду

дх

)

= 0, Z(х + 2п,у) = Z(х, у)

(13)

(14)

у=±1

и уравнению для функции Т(¿) : Т'(£) — ЛТ(¿) = 0. Следовательно, Т(¿) = Сехр[А£].

Предварительно в пространстве Н рассмотрим спектральную задачу для дискретного самосопряженного оператора Ь0 : Ь0ф = — Дф

Ьоф = Лф

(15)

с краевыми условиями с косой производной на горизонтальных и вертикальных границах области или с косой производной на горизонтальных и условием периодичности на вертикальных границах области.

Разделяя переменные Z (x,y) = X (x) ■ Y (y) в уравнении задачи (15), получим — (X ''(x) ■ Y (y) + X (x) ■ Y ''(y)) = AX (x) ■ Y (y).

Отсюда X''(x) + (A — v) X(x) = 0 и Y''(y) + vY(y) = 0. Рассмотрим краевую задачу для уравнения

Y ''(y) + vY (y) = 0 (16)

с косой производной на границе

(X «Y'(.)—tg aX '(.,Y ы

Тогда

= 0.

y=±l

Используя (17), запишем граничные условия для уравнения (16)

Y' (±l) — ^ tg aY (±l) = 0. (18)

Пусть v = к2 > 0. Следовательно,

Y (y) = A cos Ky + B sin Ky. (19)

Потребуем выполнение условия (18). Тогда

A(—к sin к1 — ^ tg a cos к1) + B(k cos к1 — ^ tg a sin kI) = 0, A(k sin kI — ^ tg a cos kI) + B(к cos kI + ^ tg a sin kI) = 0.

Система (20) имеет ненулевое решение при условии, что

—к sin к1 — ^ tg a cos к1 к cos к1 — ^ tg a sin к1 к sin к1 — ^ tg a cos к1 к cos к1 + ^ tg a sin к1

= —2 sin к1 cos к1 tg2 a + к2) = 0.

!

Д =

Отсюда, к = -^j- или tg2 а + к2 = 0.

^ 2 / mn \2 mn . mn

При vm = к2 = J получаем Ym(y) = Am cos —y + Bm sin —y.

Рассмотрим уравнение относительно X (x):

X''(x) + (А - vm) X (x) = 0

с условиями

X '(±d)Y (y) - tg в X (±d)Y '(y) = 0, X '(x) = ^X (x).

(20)

(21)

Представим (21) в виде

У(»)= ,У (y), где n ^tg^XSd). (22>

Получаем задачу

X''(x) + (Л - vjX(x) = 0,

' (23)

X'(±d) - n tgвX(±d) = 0.

(nm \ 2

-^-J = 0. Тогда X''(x) = 0, X(x) = Ax + В. Система для

определения A и B

A(1 - n tg ed) - П tg вВ = 0 A(1 + n tged) - П tgвВ = 0.

имеет ненулевое решение в случае если n = 0. Следовательно, A = 0, В = 0.

(П*т \ 2

—J = С2. Тогда

X (x) = a cos £x + b sin £x. (24)

Потребуем выполнение условия (23)

!

!

a(—£ sin £d — n tg в cos £d) + b(£ cos £d — n tg в sin £d) = 0, a(£ sin £d — n tg в cos £d) + b(£ cos £d + n tg в sin £d) = 0.

Однородная система (25) имеет ненулевое решение при условии, что Д=

—£ sin £d — n tg в cos £d £ cos £d — n tg в sin £d £ sin £d — n tg в cos £d £ cos £d + n tg в sin £d

= —2 sin £d cos £d (n2 tg2 в + £2) =0.

Отсюда, £ = — или n2 tg2 в + £2 = 0.

(nn \ 2

—J . Решение (24), получаем в виде

nn . nn

Xn(x) = a cos —-x + b sin —-x, n v ; 2d 2d '

/mn\ 2 /nn\2

An'm = IITJ + Ш/ .

Учитывая ХП(х) = uXn(x), приходим к равенству

nn nn :-- sin --

2d 2d

Следовательно, b—— = ua, u = ±i——.

2d 2d

nn nn / nn nn \

a—7 sin —7x + b—- cos —- x = u a cos —- x + b sin —-x

2d 2d p V 2d 2d /

(25)

Отсюда, учитывая (24), с точностью до постоянного множителя находим

Xn(x) = cos — x ± i sin — x. K ' 2d 2d

nn

С другой стороны, Y '(l) = ^ tg a Y (l) = tg aY (l).

Тогда

nn nn

A(—к sin k/ ^ i— tg a cos k/) + B(к cos к/ ^ i— tg a sin k/) = 0, 2d 2d ni nn

A( к sin k/ =f i— tg a cos к/) + B( к cos к/ ± i— tg a sin k/) = 0. V ^ 2d 2d ;

nm

(26)

Определитель системы (26) для случая к =

Д = — sin mW 1

О- (i )2 'g2 a)=°-

Решение системы (26)

п , • nn . ln

B = ±i—— tg aA = ±i-— tg aA. 2dK dm

Следовательно, с точностью до постоянного множителя решение (16) имеет вид

^П,ГП(У) = А

nm nm '

dm cos-y ± iln sin-y

. 2l 2l

Таким образом, с точностью до постоянного множителя собственные функции оператора Ь0 имеют вид (10). Соответствующие собственные значения

/ тп\2 / пп\2 Ап'т = .

□

Отметим, что при доказательстве леммы 1 также были получены значе-

пп

ния к = ±ш tg а и 4 = ±—7. Исследования соответствующей спектральной задачи

2d

будет рассмотрено позже.

Далее, в пространстве Н рассмотрим спектральную задачу для дискретного самосопряженного оператора Ь0 : = — Д0 и краевыми условиями (14). Доказано следующее утверждение.

Лемма 2. Оператор Ь0, определенный краевой задачей (14), (15), имеет в пространстве Н = ) полную ортонормированную систему собственных функций

Фи,2з =

cos nx ± i sin nx

ns ns

ns cos — y ± iln tg a sin — y

Í>n,2s-1 =

cos nx ± i sin nx

n(2s - 1) . n(2s - 1) 2ln tg a cos-—-y ± in(2s — 1) sin-—-y

2l

2l

(27)

Соответствующие собственные значения определяются равенством

^ _ /тп\2 2

^n,m \2f) + n '

Доказательство. Как в лемме 1 находим функцию Ym(y). Для определения функции Xn(x) вместо условия с косой производной по переменной x используем условие 2п-периодичности, тогда

X(x + 2п) — X(x) = 2 sin £n(b cos £(x + п) — a sin £(x + п)) = 0.

Отсюда £ = n. Учитывая (24),

Xn(x) = a cos nx + b sin nx, ^ = /mi\ 2 2

Xi,m ^ 2l J + П '

Так как X'(x) = ^X(x), то Xn(x) = —an sin nx + bn cos nx = ^ (a cos nx + b sin nx). Следовательно, b = — a—, ^ = ±in.

С другой стороны, Y'(±l) = ^tgaY(±l) = ±intgaY(±l). Учитывая (19), приходим к системе

A(—к sin к/ ^ in tg a cos к1) + B(к cos к/ ^ in tg a sin kI) = 0,

(28)

A(k sin к1 ^ in tg a cos kI) + B(k cos к1 ± in tg a sin kI) = 0.

Определитель системы (28) A = — sin2K (к2 — n 2 tg2 a).

nm (/nm\2 2 2 \

Рассмотрим случай к = ——: A = — sin mn I —— I — n2 tg2 a = 0. Тогда ре-

21 21 '

, ч iln tg a , . . in(2s — 1) , .

шение системы (28) B = ±-— A (m = 2s), B = -- A (m = 2s - 1).

v ; ns v 21n tg a V ;

С точностью до постоянного множителя решение (19) имеет вид

ns ns

Yn,2s (y) = ns cos ± iln tg a sin —y,

n(2s - 1) . n(2s - 1) Yn,2s-i(y) = 21n tg a cos-2]-У ± m(2s - 1)sin-^-y.

Решение системы (28)

B = ±iA.

Таким образом, в случае условия 2п-периодичности функция фп,т имеет вид, определяемый равенством (27). Соответствующие собственные значения

^ = /тп\2 2

^n,m ^ 21 J + n '

□

Далее, в пространстве Н рассмотрим спектральную задачу для оператора Ь = Ь0 + Ьд : Ьфд = Афд и краевыми условиями (14) 2п-периодичности для переменной х и условием с косой производной на границе у = ±1. Справедливо следующее утверждение.

Лемма 3. Оператор Lq, определяемый краевой задачей

Ьф® = \QфQ,

/d^Q(x,y) ^ d^Q(x,y)'

tg \ ^ dy dx J

= 0,

y=±l

ф®(х + 2п, y) = ф®(х, y),

a cos nx+b sin nx

Yn,m (y),

где L = Lo+Lq = -Д^+^-Лф^, ф®(х,у) = Xn(x)Yn,m(y) = имеет в пространстве H = L2(S) ортонормированную систему собственных функций

фп,т = sin nxYn,m, фП,т = cos nxYn,m, которым соответствуют собственные значения

Xs = - D

((¥ )2+-2)

- 1 - Л, АП,т = -D

'n,m

С "((¥ Г + "2)

+ n2 - 1 + Л. (29)

Доказательство. Для собственных функций оператора Ьд, определяемого краевой задачей (14), (15), полученных в лемме 3, рассматриваем спектральную задачу

ф - Лдф - А®ф = 0.

Получаем систему

(30)

a (1 — Л — Aq) cos nx + b (1 + Л — AQ) sin nx = 0, a (1 — Л — Aq) cos nx + b (—1 — Л + AQ) sin nx = 0.

Система (30) совместна, если AQ = 1 + Л, a = 0, b - любое или если AQ = 1 — Л, b = 0, a - любое.

Таким образом, если AQ = 1 + Л, то фПт = sin nxYn m,

X S _ _n\

An,m = DAn

A® = -D ((^)2 + n2)

1 Л.

Если AQ = 1 — Л, то ф<®1П = cos nxYn,m,

Xе - _n\

An,m = DAn

A® = -D ((f)2 + «2)

1 + Л.

(31)

(32) □

Учитывая результат леммы 3, получаем

оо оо

^(х> у) ^ ^ ^ ^ Ап,тХп (х) (у)

п=1 т=1 п,т=1

п=1 в=1

бш их

п(2в - 1) . п(2в - 1) 21и tg а соб-—-у ± ¿п(2й — 1) бш-—-у+

21

пв пв

+пв соб — у ± Ни tg а бш — у

21

+

+ соб кх

к=1 в=1

п(2в — 1) . п(2в — 1) 21к tg а соб-—-у ± гп(2в — 1) бш-—-у+

21

пв пв

+пв соб — у ± Нк tg а бш — у

21

Тогда, в соответствии с (33) получаем два выражения для V у(х, у, Г) =

+21и tg а соб

(те £

п=1,к=1

п(2к — 1)

Ап,к б1П их

пк пк

пк соб — у ± Ни tg а бш — у+

21

, , , п(2к — 1) у ± гп(2к — 1) бш-—-у

21

ехр[—Лп,к ^

(те

У, Вп,к соб их п=1,к=1

п(2к — 1)

пк пк

пк соб — у ± Ни tg а бш — у+

+21и tg а соб

21

/ , , п(2к — 1) у ± гп(2к — 1) бш-—-у

ехР[—Л п,к Г].

(33)

(34)

(35)

3. Метод центральных многообразий

Рассмотрим одну из модельных задач дУ Л

— + V = вду + лдЛу — -V3, |х| < п, |у| < 1, г > о, дг 6

дг>(ж, у, Г)

ду

= tg а

ду(х, у, Г)

у=±1

дх

у=±1

у (х + 2п, у, Г) = у (х, у, Г),

у(х,у, 0) = Уо(х,у).

(36)

Для получения асимптотической формы пространственно-неоднородных стационарных решений задачи (36), бифурцирующих из пространственно-однородного решения ад, воспользуемся методом центральных многообразий.

Устойчивость решения определяется знаком Ле(АСт) и Ле(АС т). При Л > —1 Яе(АС т) < 0, Яв(\сп т) < 0 и решение устойчивое. При Л < —1 существуют значения

1 + Л + АС т

п, т, при которых Ле(АС т) = 0. Обозначим Dс,т = —---■—^ бифуркацион-

)2 + "2)

ные значения параметра D. Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. При Л < —1. Существует ^ > 0, такое что для значений параметра

D, удовлетворяющих неравенству Dx, i — ^ < D < Dx , х, где Dx , х =

1 + Л + А'

i,i

©2 + 1

в окрестности нулевого решения начально-краевой задачи (36) существует непрерывная ветвь стационарных точек г = > 0 уравнения

3Л

¿ = A1,i(D)z — K-4 z3+

+

Л2К

i,4

1024K

i,20

Ki,4Ki,20

3

(

3i — A? o 3i — A

vi,i /v1,3

i,i /v3,3

)

+

K3,20 Ki,i2

3 Ai,i — A3,i

z5 +

(37)

где = n2n2±£212 tg2 а, которой соответствуют пространственно-неоднородные решения

(П П \

21 tg а cos —- y + in sin —- y I z(t) + 21 2i /

(П П \

61 tg а cos 21 y + in sin — yj +

3П 3П

x, DW 61 tg а cos — y + 3i1 sin — y j

P5,i(x,D) (l0Ztg«

3П 3П

+P5,3 (x, D) í 101 tg а cos —y + 3in sin —y J +

z(t)3+

ПП

;а cos 21 y + in sin —y) +

(38)

1

5n

+P5,5 (x, D) ( 101 tg а cos — y + 5in sin — y

5П

2lyJ

z5(t) + e(z, x, y, D) |z=z(D),

9

1

где

ЛК1"4К1"12 р3 1(х, В) =----' _ ' -б1пэж,

32 (ЗА! ,1 — А3 ' 1) К-36

Рз ' 3 =

ЛК+4

-Г—8-—б1п х — -Г—8-А^-

_ (ч3А1 ' 1 — А1 ' 3) (ч3А1 ' 1 — А3' 3)

бш Зх

Л2К

Р5 ' 1 =

1 ' 4

1024

(5А1 ' 1 — А3 ' 1)

3 ' 1 I К-100

К + К+

К1 ' 4К1 ' 20

3А1 ' 1 — А1 ' 3

+

3А1 ' 1 — А3 ' 3

+

(39)

3

1

3

2

3

К-12 (К3-20К1136 — 192п212 tg2 а)

3А1 ' 1 — А3 ' 1

+

Л2К

1 4

3072 5Л?

1 1

А5 ' 1)

К

1 100

К

1 ' 36

Бт3ж+

(

3К3,20К1,12

3А1 ' 1 — А3 ' 1

+

К+ К+ К1 ' 4К1 ' 20

3А1 ' 1 — А 3 ' 3

БШ 5х,

Л2К

Р5 ' 3 =

1 4

1024

(5А1 Д — А1 ' 3)

1 ' 3 1 К9,100

(К1,12) К3,20

(3А1 ' 1 — А3 д) К-36

+

К+ К1 К1 ' 4 К3 ' 20

(

2

3А1 ' 1 — А1 '3

БШ Ж+

л2 К-4

3072 ' 1

+К+4К3,20

Л2К-4

(

А3 К9,100 6

3А1 ' 1 — А3' 3 /

6(К-12)2К3+20

(3А1 ' 1 — А3 ' 1) К1-36

3А1 ' 1 — А1 '3

3А

1 1

3 3

)

бш 3х+

3072 ' 1 — А5' 3) К-100

К+ К1 К1 ' 4К3 ' 20

3А1 ' 1 — А3 '3

3(К1,12) К3,20

(3А1 ' 1 — А3 ' 1)

А3 ' 1) К136

(40)

бш5ж,

9

3

+

5

+

Р5,5 =

Л2(К+4)2 15360

s s s -— + —-—

5 А 1,1 — Al,5 V3 А 1,1 — А1,3 3А1,1 — А3,3

)

sin х

+

5 А 1,1 — А3,5 V3 А 1,1 — А1,3 3А1,1 — А3,3,

~r~i-т—г ~r~i-z—ñ" sin 5x

А1,1— (3-Мд— A3,3j

sin3x+

(41)

Решение <£>(x,y, D) — устойчивое.

Доказательство. В окрестности пространственно-однородного решения v = 0 задачи (36) для D, удовлетворяющих неравенству — ^ < D < D^i существует центральное многообразие [25], представимое в виде

( пу пух

ф(х, у, D) = sin x I 21 tg a cos —- + in sin —- ) z(t) + \ 21 21 /

+

D) (б/ tg

пп a cos —- y + in sin —- y ) + 2l 2Г'

3п 3п

+ p3,3(x,DH 6n cos — y + 3il tg a sin— y

z(t)3+

+

пп p5,1 (x, D) I 10l tg a cos — y + in sin — y) +

,1(x

3п 3п

+ P5,3 (x, DM 10n cos —y + 3il tg a sin — y I +

2Г

2V

(42)

1

5п 5п

+ p5,5 (x, D) ( 10l tg a cos — y + 5in sin —y

z(t)5 + £(z, x, y, D) |z=z(D),

или

p(x,y,D) = X1(x)Y1,1(y)z (t) +

P3,1(x, D)Y3,1(y) + P3,3(x, D)Y3,3(y)

z(t)3+

+

P5,1(x,D)Y5,1(y) + P5,4(x,D)Y5,3(y) + p5,5(x,D)Y5,5(y)

z(t)5 + £(z, x, y, D) |z=z(D),

где Р3'1(х,в), Р3'3(х,в), Р5'1(х,в), р5'3(х,В), ^(ж,^) функции из пространства Ь2($). На многообразии (42) уравнение (36) принимает вид

¿ = А1'1р).г + С3.23 + + ... (43)

1

3

2

Найдём коэффициенты разложений (42) и (43), ограничиваясь рассмотрением трёх слагаемых. Подставим (42) и (43) в уравнение (36). Приравняем коэффициенты при степенях функции ¿(¿). При

Л?,1Х1(х)Г1,1(у) = ^—1 — ХОг^дЫ — Х1(х)У1,1(у) — ЛХ1(х)У1,1(у).

Учитывая (31), приходим к тождеству Л^д = -D 1 + коэффициенты при z3(t), получаем

,= -D(1 + ¿) -1 -

1 - Л. Приравнивая

- Dp3',1(x) + 1 + — D + 3Л1д I рз,1(х) - Лрз,1(-х) Узд (y) +

4/2

9п2

412

+ ( - Dp3,3(x) + ( 1 + 772D + 3Л1д ) Рз,з(х) - Лрз,з(-х) )Уз,з(у) +

Л

+Сз sin хУи (y) - - sin3 хУ^у) = 0. 6

Из условия ортогональности собственных функций, получаем 3Л

C3 = (п2 - 412 tg2 а) и уравнения для определения функций р3д(х) и p3,3(x):

К

1,36

Dp3',1(x) - ( 1 + D4i2 + 3Л1д ] рз,1 + Лрз,1(-х)

,1

+32ЛК-4К-,12 sin3x = 0,

+

•ж + 3Л1.)

Л

Так как D3,1 =

Л3,1 + 1 + Л

1 + (3п

3п\ 2Í;

2, D3,3 =

72

Л3,3 + 1 + Л

—,-^, то из (44), (45) находим

9+(^

'3ПУ .24

Рзд(х, D) =

ЛКмК112

32 3Л1,1 - Л3,1 K1,36

sin3x,

(44)

Dp3',3 - 1 + D — + 3Л1Д рз,з(х) + Лрз,з(-х) + -К- sin3 x = 0. (45)

Рз,з

ЛК+4

u

3Л

1,1

Л1,з)

sin x

3Л

1,1

Л3,з)

sin 3x

3

1

Приравнивая коэффициенты при г5(£), получаем уравнение для определения

Р5,1(х), Р5,з(х), Р5,5(х):

( - ЭДдИ + (1 + П + 5А?д) Р5,1(х) - ЛР5,5(-*)) Пд (у) +

+ ( - ЭД,з(ж) + + О + 5 А1,^ Р5,з(х) - ЛР5,з(-х^ >5,з(у) + + ( - Ор5,5(х) + + 25П2О + 5 А1,^ Р5,5(Х) - ЛР5,5(-Х^ ^5,5(у)+ (46) +С5Х1(х)Уз,1(у) + (зСзРздИ^дЫ + ^здМХ^ДУзд) +

+ (зСзРз,з(х)Гз,зЫ + Лрз,з(-х)Х2(х)Г1^1Гз,^ = 0.

Учитывая ортогональность собственных функций, найденные ранее Сз, рз,1 (ж), Рз,з(ж) и условие разрешимости уравнения (46), находим С5

с = ^

1024K1-2O

9___1 \ + K^oKl^

. 3 V3 4i -^i,3 3% -W (3 а1д -А3д)

Следовательно р5,1(ж), р5,з(ж), р5,5(ж) определяются равенствами (39), (40), (41) соответственно.

Используя описанный алгоритм, процесс может быть продолжен.

Исходя из условия Л < -1 и равенства (37), имеет место суперкритическая бифуркация типа «вилка» (см. [27], гл. 6. 3) и от тривиального решения ответвляются два устойчивых решения ±<£>(ж, у, О).

□

Теорема носит локальный характер. Используя приближенное равенство

ф(ж,у,О) « Х1(ж)У1,1(у)г(*) +

■Ф)2 +

+P3,i(x,D)

Y3,i(y)+ P3,3(x,D)Y3,3(y)

+P5,3(x, D)Y5,3 (y) + P5,5(x, D)Y5,5(y)

P5,i(x,D)Y5,i(y) +

z5(t)+ £(z,X,y,D) |z=z(D),

в пакете "Wolfram Mathematica 11.3" были проведены численные эксперименты по построению приближенных пространственно-неоднородных стационарных решений задачи (36) с различными значениями параметров. Результаты приведены на рисунках 1, 2.

с)

в)

-3 -2 -10 1 2

Ь)

ЩГ ¡л

т Л

-3 -2 -1

1 2

-3 -2 -1

И

0 X

Г)

Рис. 1. Приближенное решение задачи (36) при а = п/4, Б = 0.3, Л = —3/2: а) действительная часть решения; Ь) линии уровня действительной части решения; с) мнимая часть решения; ^ линии уровня мнимой части решения; в) абсолютная величина решения; Г) линии уровня абсолютной величины решения.

3

> 0

-1

-3

3

X

3

> 0

-1

-2

-3

3

3

> о

-2

-3

12

3

с)

e)

b)

-3 -2

f)

-2 -10 1 2

Щ Ш

(iSm1 lid:

-3 -2 -10 1 2

1 2

Рис. 2. Приближенное решение задачи (36) при а = п/12, Б = 0.3, Л = -3/2: а) действительная часть решения; Ь) линии уровня действительной части решения; с) мнимая часть решения; ^ линии уровня мнимой части решения; е) абсолютная величина решения; £) линии уровня абсолютной величины решения.

-1

-2

x

-2

-3

x

-1

-2

-1

Полученные результаты при а = 0 согласуются с результатами, полученными в [26].

Заключение

Задача с косой производной обобщает задачу с условиями Неймана. В соответствующей спектральной задаче краевые условия не разделяются, явное построение собственных функций усложняется. Выделены два основных случая. Решена спектральная задача для функционально-дифференциального уравнения параболического типа с преобразованием отражения пространственной переменной на прямоугольнике и двумя разными краевыми условиями: с косой производной на вертикальных и на горизонтальных границах, и с косой производной на горизонтальных границах и с условием периодичности на вертикальных границах.

С помощью метода центральных многообразий получено асимптотическое представление пространственно-неоднородного стационарного решения нелинейного параболического функционально-дифференциального уравнения с отражением пространственной переменной с краевыми условиями с косой производной и условием периодичности, бифурцирующего от пространственно-однородного решения при уменьшении бифуркационного параметра.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю В.А.Лукьяненко за постановку задачи, ценные советы при планировании исследования.

список литературы

1. Разгулин, А. В. Нелинейные модели оптической синергетики / А. В. Разгулин. — М.: МАКС Пресс, 2008. — 201 с.

RAZGULIN, A. V. (2008) Nonlinear models of optical synergetics. Moscow: MAXPress.

2. Разгулин, А. В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Матем. моделирование. — 1993. — 5:4. — C. 105-119.

RAZGULIN, A. V. (1993) Rotational waves in optical system with 2-d feedback. Matem. Mod. 5:4. p. 105-119.

3. Белан, Е. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. — 2004. — 40:5. — C. 645-654.

BELAN, E. (2004) On the interaction of traveling waves in a parabolic functional-differential equation. Differential Equations. 40:5. p. 692-702.

4. Чушкин, В. А., Разгулин, А. Б. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отражением пространственного аргумента / / Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2003. — 2. — C. 13-20.

CHUSHKIN, V. A.& RAZGULIN, A. V. (2003) Steady-state patterns in functional-differential diffusion equation with reflection of spatial argument. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Ser. 15 Vychislitel'naya Matematika i Kibernetika. 2. p. 13-20.

5. Разгулин, А. В., Романенко, Т. Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Журн. вычислит. матем. и мат. Физики. — 2013. — 53:11. — C. 1804-1821.

RAZGULIN, A. & ROMANENKO, T. E. (2013) Rotating waves in parabolic functional differential equations with rotation of spatial argument and time delay. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 53:11. p. 1626-1643.

6. Белан, Е. П., Лыкова, О. Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. — 2004. — Т. 40, № 10. — C. 1348-1357.

BELAN, E. & LYKOVA, O. (2004) Rotating structures in a parabolic functional-differential equation. Differential Equations. 40:10. p. 1419-1430.

7. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. — M.: Наука, 1977. — 640 c. GAKHOV, F. (1966) Boundary value problems. Oxford, New York: Pergamon Press.

8. Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. I // СМФН. — 2007. — 26. — C. 3-132.

SKUBACHEVSKII, A. (2007) Nonclassical boundary value problems. I. Journal of Mathematical Sciences. 155:2. p. 199-334.

9. Скубачевский, А. Л. Неклассические краевые задачи. II // СМФН. — 2009. — 33. — C. 3-179.

SKUBACHEVSKII, A. (2009) Nonclassical boundary value problems. II. Journal of Mathematical Sciences. 166:4. p. 377-561.

10. RAUGEL, G. (1995) Dynamics of partial differential equations on thin domains. Dynamical Systems. 2. p. 208-315.

11. DELLNITZ,M. et al. (1995) Spirals in scalar reaction-diffusion equations. International Journal of Bifurcation and Chaos. 5:6. p. 1487-1501.

12. ADACHIHARA, H. & FAID, H. (1993) Two-dimensional nonlinear-interferometer pattern analysis and decay of spirals. JOSA B. 10:7. p. 1242-1253.

13. ZHELEZNYKH, N. I. (1994) Rotating spiral waves in a nonlinear optical system with spatial interactions / N. I. Zheleznykh [et al.] . Chaos, Solitons & Fractals. 4:8. p. 1717-1728.

14. Копаев, А. В. Решение задач о наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуплоскости // Математика и математическое моделирование. — 2018. — 6. — C. 1-10.

KOPAEV, A. (2018) Oblique derivative problem solution for the lavrentyev-bitsadze equation in a half-plane. Mathematics and Mathematical Modeling. 6. p. 1-10.

15. Алгазин, О. Д., Копаев, А. В. К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в полуплоскости // Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана.Электрон. журн.. — 2016. — 02. — C. 1-8.

ALGAZIN, O. &KOPAEV, A. (2016) Oblique derivative problem solution for the lavrentyev-bitsadze equation in a half-plane. Mathematics and Mathematical Madelling of the Bauman MSTU. 6. p. 1-8.

16. KARAPETIANTS, N. & SAMKO, S. (2001) Equations with Involutive Operators. Boston: Birkhauser.

17. BUDZINSKIY, S. S. & RAZGULIN, A. V. (2017) Rotating and standing waves in a diffractive nonlinear optical system with delayed feedback under O(2) hopf bifurcation. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 49. p. 17-29.

18. BUDZINSKIY, S. S. & RAZGULIN, A. V. (2021) Pulsating and Rotating Spirals in a Delayed Feedback Diffractive Nonlinear Optical System. International Journal of Bifurcation and Chaos. 31:1. p. 2130002.

19. Алимов, Ш. А. Об одной задаче с наклонной производной // Дифференц. уравнения. — 1981. — 17:10. — C. 1738-1751.

ALIMOV, SH. (1981) On a problem with an inclined derivative. Differential. equations. 17:10. p. 1738-1751.

20. Моисеев, Т. Е. Об одном варианте задачи с наклонной производной // Дифференц. уравнения. — 2006. — 42:10. — C. 1434-1436.

MOISEEV, T. (2006) On a version of the directional derivative problem. Diff Equat. 42. p. 1511-1513.

21. Моисеев, Т. Е. Разрешимость краевых задач с косой производной // Дифференц. уравнения. — 2007. — 43:7. — C. 995-997.

MOISEEV, T. (2007) On a version of the directional derivative problem. Diff Equat. 43:7. p. 995-997.

22. Ахманов, С. А. Генерация структур в оптических системах с двумерной обратной связью: на пути к созданию нелинейно-оптических аналогов нейронных сетей / С. А. Ахманов, М. А. Воронцов, В. Ю. Иванов // в кн. Новые физические принципы оптической обработки информации. — М.: Наука, 1990. — 263-325 c. AKHMANOV, S., VORONTSOV, M., IVANOV, V. (1990) Generation of structures in optical systems with two-dimensional feedback. In New Physical Principles of Optical Information Processing. Moscow: Nauka.

23. KORNUTA, A. & LUKIANENKO, V. (2021) Stable structures of nonlinear parabolic equations with transformation of spatial variables. Lobachevskii J Math. 42:5. p. 911-930.

24. Корнута, А. А., Лукьяненко, В. А. Динамика решений нелинейных функционально-дифференциальных уравнений параболического типа / / Известия вузов. ПНД. — 2022. — 30:2. — C. 132-151.

KORNUTA, A. & LUKIANENKO, V. (2022) Dynamics of solutions of nonlinear functional differential equation of parabolic type. Izvestiya VUZ. Applied Nonlinear Dynamics. 30:2. p. 132-151.

25. HENRY, D. (1981) Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations, Lecture Notes in Mathematics. New York: Springer-Verlag.

26. Корнута, А. А. Динамика стационарных структур в параболической задаче с преобразованием отражения // Таврический вестник информатики и математики. — 2015. — 3:28. — C. 49-62.

KORNUTA, A. (2015) Dynamics of stationary structures in a parabolic problem with transformation of reflection. Taurida Journal of Computer Science Theory and Mathematics. 3:28. p. 49-62.

27. Хенри, Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений / Д. Хенти. — M.: Наука, 1985. — 376 c.

HENRY, D. (1981) Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations. Berlin, Heidelberg: Springer.