Ковариантные дифференциалыи ковариантные производные, ассоциированныес поверхностью проективного пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

60

УДК 514.75

К. В. Полякова

КОВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ И КОВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ПРОЕКТИВНОГО ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрена m-мерная поверхность в n-мерном проективном пространстве; найдены тождества Бианки при изучении фундаментальногрупповой связности. Доказано, что альтернированные ковариантные производные компонент объекта связности 1-го типа равны соответствующим компонентам тензора кривизны, а 3-го типа — нулю.

The paper is concerned with m-dimensional surface in n-dimensional projective space. In studying fundamental-group connection Bianchi identities are found. It is proved that alternated covariant derivatives for the components of the first type connection object are equal to the corresponding components of the curvature tensor, and the ones of the third type vanish.

Ключевые слова: связность, кривизна, ковариантный дифференциал, ковариантные производные, тождества Бианки.

Key words: connection, curvature, covariant differential, covariant derivatives, Bianchi identities.

В проективном пространстве Pn рассмотрим m-поверхность Xm (1 $ m < n) с уравнениями

raa = 0, = льгаj (i,... = 1,..., m; a,... = m+1,..., n),

где Ль — фундаментальный тензор поверхности, симметрический по

нижним индексам. С учетом уравнений поверхности деривационные формулы подвижного репера R = {A, A, Aa} принимают вид

dA = 0A+ га1 Ai, dAi = 0A'+ rai A+ га' Aj+ Л“ юj Aa, dAa = 0Aa+ raa A+ га1а Ai+ raba Ab,

причем уравнения [1]

dro‘ = raj л raj, dra j = гак лгак + гак л га jk, dro; = га i л гаj + гаj л ю;;,

j j j k jk 1 ' J 1j

da^b = гаЬ л га^. + га' л га^, d«>ia = rab л га j + л гаЬ + гаj л га^, drab = ra'b л rai + raa л гаь (1)

/ 1 л ь 1 o' o' \ ь ь л ь j оЬ 1 o' \

( гаjk = Лjk^a — ^jrak — ^кга j , га' Лij rab , гаЬ' = — ^j гаЬ — ®b га1, гаaj =—°j ®ь )

являются уравнениями главного расслоения G( Xm), ассоциированного с поверхностью.

Связность в главном расслоении G(Xm) задается способом Лаптева — Лумисте с помощью формы ~ = га-Г'га1, где га= {oj, га', оЬ, га\, rab} — слоевая форма. Компоненты объекта фундаментально-групповой связности Г = {Г'к, Г/, Г*, Г a, Гь1 } удовлетворяют уравнениям [1] с тензорным оператором Д:

© Полякова К. В., 2013

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2013. Вып. 10. С. 60-63.

А Г/к + ю'к - / Ю, А Г/ + Гк'Юк + о - Гщ юк, ДГ^і + ю| - ю/,

А П/ + - Гк/юк + ю| - Г!і/к Ю, АГаі + Г>/ + Г1іюЬ — Г/іЮІ - Гяіщ ю’ . (2)

Структурные уравнения на компоненты формы связности Ю имеют вид

йЮ/ - Юк л Юк + яЩкі юк л юі , ІЮі - со ■ л со/ + Я/ ющ л юк,

йЮ а - со Ь л со а + Яі/ 6і л ю /, (3)

йЮ а - Ю а л Ю / + Ю а л Ю Ь + Я/ Ю/ л юк, йЮ а - со а л со і + со а л со ь + Яа/ об л ю/ .

Компоненты тензора кривизны Я - {Я/кі, Я/, ЯЬ/, Я/, Яаі/} связности Г выражаются по формулам [1, 2] с альтернированиями

/ - Г/[И] - ГДкГ|8|і], Ящ - Гі[/к] - Г'[/Г|;|к], ЯЩ - Га[і/] - ГЬ[іГ|с|/],

Яа/к - Га[/к] - Га[/^Цк] - Га[/ГЬ|к], Яаі/ - Га[і/] - Га[іГ|к/] - Га[іГ|Ь|/]

и удовлетворяют уравнениям

А / = Щкк66, А Яі/к + Яі}кЮ1 = Яі}кІ°Ю, А Яа/ = ЯЬ/кюк,

А ЯаЩк + ЯщкЮЬ — ЯЩЮа - Я]кіЮ , А Яаі/ + Яаі]Юк + Яаі]ЮЬ — Які]Юа - Яаі]кЮ .

Внося в уравнения (4) компоненты формы связности Ю, получим

V Я/кі = вЯ/кі, V Я/к = °УіЯі/к, V Ка/ - юкУкЯЬі/,

V К/к - ЮЧя/ , V Яаі/ - Ю^кЯаі] .

где

V Яук - йящ + Я;1;1»8 - Як/Йу - К/з/С0к - Я^Й; ,

^ Яа/к — ^Яа/к — Я//кЙа — Яа/кЙ/ — Яг//(Й £ + Я/]кЙ/ >

V ЯЩ — йЯЫ] + Як;/Й? - Я^'С0Ь - к - ЯЬкЙк,

V Яа/к — ^Яа/к + Яа/кЙ/ - ЯЪ/кЙа - Яа/кЙ/ - Яя//Йк + Яа/кЙЪ - Я//кЙя '

V Яяа/ — ^Яяу - ЯЫ/Йа - Яяк/Йк - Яягк(°] + Яйг/,(°к + Яйг/,(°Ъ - Яка]Йа

ковариантные дифференциал^!, а

^Б^к/ - Я/к/з - Щы^Ьб + Я1к/^}8 + Я//^^кё + Я)к(Г;й,

^/Я1]к — Я1/И + ЯБ}к^й + ЯаБк^5]/ + Яа}Б^к/ - Щк^б/ ,

^кЯЫ] — Яы/к - Яы/^ск + Ка^Ък + Яя//Гй + ЯЬЯг:аГаk,

^7/ЯЯ/к — ЯЫк - ЯЫкГБ/ + ЯЪ/кГЫ/ + ЯЯэкГу/ + Яа]в^к - ЯЪ/'кГЬ/ + ЯБ/кГЫ/ ,

VkЯяij — Яя/к + ЯЫ)ГЯк + Яя/)Г\к + Яя/г1)к - ЯЫ)Г/к - Ку^Ък + ЯН)ГЯк —

ковариантн^1е производные компонент тензора кривизны Я.

Замечание. Найденн^1е ковариантные дифференциалы и ковариантные производные включают в себя тензорную и нетензорную (подчеркнутую) части.

67

62

Дифференцируя уравнения (11) внешним образом, найдем соотношение Яа/а/Й 1 ЛЙк лй/ — 0, откуда Яу/щ — 0, или, учитывая кососимметричность тензора Ящ по индексам к, /, получим

Я{/к/} — 0 , (5)

где фигурные скобки обозначают циклирование. Соотношение (5) называется первым тождеством Бианки (тождеством Риччи) в координатном представлении.

Дифференцируя структурные уравнения (3), найдем вторые тождества Бианки в координатном представлении

^Я1|к/} — 0 , Ми — 0, V{kЯ\Ъ\ij} — 0 , ''^{/Я1я|7,к} — 0, V{kя\a\ij} — 0 .

Введем в рассмотрение форму кривизны О — {Оа, Оа, Ос, Оая, Оя} с

компонентами

Qj = Rjklгак л ral, Q' = R/кгаj л гак , Q** = Rbbijra' л raj, к

Qb RbjkraJ л га , Qb Rbijra л га^ .

Тогда структурные уравнения (3) можно записать в виде

dra j = га к л га k + Qj, dra' = га 'л га j + Q', dco b = га ь л га ь + q* , (3,)

dco * = со * л га j + га * л га b + Q'b, dco b = со b л га' + га b л га b + Qb . Дифференцируя уравнения (3') внешним образом, получим тождества dQ1 = —гак л Qk + сок л Qk, dQ' = гаj л Qj — со/ л Qj, dQ* = —га** л Qb + соb л Q*,

do* = _ (5 j л Q* + со * л Qb + (5 ** л Qj — га b л Q* , (6)

dQb = гаь л Qb + га* л Q1 +ra' л Qb — rab л Qb .

Тождество (61) — второе тождество Бианки для касательной линейной кривизны; его можно записать в виде DQj = 0, где D — символ внешнего ковариантного дифференциала. Аналогично тождество (63) для нормальной линейной кривизны примет вид DQb = 0.

Остальные тождества (62, 64, 65) являются аналогами тождеств Бианки, содержат как тензорные слагаемые так и нетензорные (подчеркнутые) и записываются в виде DQ' = 0, DQ'b = 0, DQb = 0.

Из уравнений (2) найдем выражения для ковариантных производных компонент объекта связности Г, альтернируя которые, получим

¥[1Г№] = 1 — Глk^ll] — ЛЛкГ№ + 8'кГ|j|l], V[кГ||j] = R'jk — Г'[/Г|/|к] — Л*[/Г|я|к],

V[ jГ b'] = Rbij — rb[1Г bc\ J] — Л к[ 1 Г/ (7)

[/Г b'] Rb'J ib[1 Г И/] лк[ 1Г bbJ]

I — Г4jT\b\k] + 5'jГ|я|к], V[/Г|*'] = R Используя выражения (7), можно доказать следующие теоремы

V[кГ/ RbJk Гь[jГЦк] Гь[jr|b|k] + 5ijГ|фр V[/Г|b'] Rb'j Гя['Г|k|j] Гь['Г|bj].

Теорема 1. Альтернированные ковариантные производные компонент объ-

01 0 \ 10

екта индуцированной связности 1-го типа [2, с. 86—90] Г = {Г jk, Г/, Г *,,

1 \ 1

Г bj, Гь' 7 равны соответствующим компонентам индуцированного тензора

01 01 01

кривизны, то есть справедливы равенства V[/ Г ,]= R /, или в подробной записи

01 0 \ 0 \ 01 1 1 01 0 0 V[l Г '/к]= R ljkl, V[k Г|'|j] = R'Jk , V[J Г \b\']= R b'j ,

01 1 \ 1 \ 01 1 1

V[k Г \b\j]= R bjk , V[j Г|\'] = Ra1j .

Теорема 2. В индуцированной связности 2-го типа [2, с. 95 - 98]

02 0 \ 2 0 2 \ 2 02 02

Г = { Г jk, Г ij, Г *', Г a, Г а'7 справедливы равенства V [ / Г ']= 0, или подробно:

02 0 \ 02 2 23 02 0

V[l Г '/к]= 0, V[k Гjlj] = —ЛЬ[j DHk], V[j Г \b\']= 0 ,

02 2 \ \ 23 02 2 0 23

V[k Г bj]= 5'j Dl\k] , V[J Г1 4] = —Г a['D\b\j] .

23 2 3

Равенство 0 тензора деформации Dai =Гai — Гai — аналитическое условие совпадения индуцированных связностей 2-го и 3-го типов [3]. Теорема 3. Альтернированные ковариантные производные компонент

03 0 \

объекта индуцированной связности 3-го типа [2, с. 95-98] Г = {Г jk,

2 0 2 \ 3 03 03

Гij, Г *', Г а, Г ai 7 равны нулю, то есть справедливы равенства V[/ Г ']= 0, или в

подробной записи

02 0 03 0 03 2 02 0 03 0 03 2 0 3 3

V[l Г jjk]= V[l г jjk]= 0, V[k rijj] = a V[j Г b,, = V[j Г bi] = 0, V[kГia/.]= 0, V[j Г|aj] = 0.

Список литературы

1. Шевченко Ю. И. Об основной задаче проективно-дифференциальной геометрии поверхности / / Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 1989. Вып.20. С.122—128.

2. Шевченко Ю. И. Оснащения центропроективных многообразий. Калининград, 2000.

3. Polyakova K. V. Parallel displacements on the surface of a projective space // Journal of Mathematical Sciences. 2009. Vol. 162, No. 5. P. 675 — 709.

Об авторе

Катерина Валентиновна Полякова — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: polyakova_@mail.ru

About the author

63

Dr Katerina Polyakova — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad.

E-mail: polyakova_@mail.ru