Задание аффинной связности с помощью горизонтальных векторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Список литературы

1. Yano K., Isihara S. Tangent and Cotangent Bundles Differential Geometry. N.Y., 1973.

N. Nikitin, O. Nikitina

Infinitesimal affine transformation of the tangent bundle of space nonlinear connection

It is shown that a complete elevator Х С for infinitesimal transformation Х of differentiable manifold М leaves invariant affine connection of tangent bundle Т(М) of space with non-linear connection if and only if the vector field Х is the infinitesimal movement in space of non-linear connection.

УДК 514.75

К. В. Полякова

Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград

Задание аффинной связности с помощью горизонтальных векторов

Найдены контравариантные уравнения аффинной связности и выражения скобок Ли.

Ключевые слова: линейная связность, горизонтальные векторы, ковариантные производные.

Продолжается изучение горизонтальных векторов, начатое в работах [5], [6].

1. Пфаффовы производные и скобки Ли. Структурные уравнения расслоения L(Xm) касательных линейных реперов на гладком многообразии Xm имеют вид

da1 = a] a a j , daj = ak a a— + ak a co'jk .

(1)

причем

dvjk = v)k a v'i - vk a vJ - vji a vk + v' a vjkl ■.

(2)

где co'j-jk] = 0 (mod a1); i, j, к,... = 1,m . Выражение для дифференциала точки A е L(Xm) запишем в виде

dA = viei + vjej . (3)

Совокупность векторов 1-го порядка e = { et, e1- j образует репер касательного пространства Tm+m2 = [et, ek\ к расслоению

L(Xm) в точке A, двойственный к кореперу a = {сС, со- j, то есть [4, с. 120]

v1 (e.) = SJ, v1 (ek) = 0, vj (ek) = 0, vj (ek) = S.S]. (4)

Вполне интегрируемая система уравнений сС = 0 фиксирует точку многообразия X m и, следовательно, слой расслоения L(Xm) . Таким образом, касательное пространство Tm+m2

содержит вертикальное пространство Tm2 = [ej ], касательное к слою в точке A .

Векторы , e- удовлетворяют уравнениям [5]

dei - eJ°]i - ejCji = ej°J + eijа] , dej + e-a. = e.ak + ejjak,

(5)

(6)

причем для совокупности векторов 2-го порядка

e'={eu,eJk, ek,4} имеем

e.. = e.., ek = ek., ejj = e'j . ij ji ij ji ik ki

(7)

Они удовлетворяют сравнениям по модулю базисных и слоевых форм а', со1, расслоения Ь(Хт )

ае . = е я + ек4 + ек шкн + е[юкЫ],

ав* = е.4 + ек, (8)

к = о.

Перепишем уравнения (5), (6) следующим образом:

ав, - екаА = вЧа1 + е,У ак , (9)

ае{ = еу ®к + в№, (10)

где

в,у = еУ , ву = е,к (11)

— базисные пфаффовы производные;

еУ = еУ +8?еу , ек = ек -8^ (12)

— слоевые пфаффовы производные.

Таким образом, из векторов репера 2-го порядка

е2 = {е, е' } с условиями симметрии (7) построена новая совокупность векторов 2-го порядка ё = {г,у,е^,е., е],к | с условиями симметрии (71), которые назовем адаптированными пфаффовыми производными.

Теорема 1. Альтернации адаптированных пфаффовых производных е' являются скобками Ли векторов е .

Доказательство. Базисные и слоевые пфаффовы производные е' будем считать производными по направлению невертикальных векторов е1 и вертикальных векторов е- , то есть е.. = д е., е. = д е3,

у е, ,к ек , ' (13)

е,у =де, е3! =д1е3.

У еу ек ,

Действительно, используя обозначения (11)—(13), получим

[е,,е, ]=д ее,-д ее =е,,- е,, =

[еУ, ек ] = деуек -де= ек, - е,к = 8кеУ,

[е.,ек] = д ,ек-д ,е/ = 8\е)-8ке\

Для введенных скобок

[в',е, ] = 0, [е,,е,] = 5)е,, [е/,е[] = 3\вк] -Зк,е\ (14)

легко доказываются тождества Якоби в следующих четырех возможных случаях:

[[в',в, ], е,] + [[в,,е,], ег ] + [[е,,в' ], в, ] = 0,

[[е/, ек], ег] + [[е,,ег ], е)] + [[е1, е)], ек] = 0,

[[е,,ек], е,] + [[eгk,е,], е,] + [[е,, е,], ек] = 0,

[[е), е, ], е^ ] + [[е,, е, ], е) ] + [[<, е) ], е\ ] = 0.

Замечание 1. Рассматривая йЛ как линейное преобразование [8, с. 83] касательного пространства ТЬ(Хт), с помощью соотношений (4) получим (естественные сточки зрения аппарата исследования) равенства

йЛ(ег) = е, йЛ(е{) = е, .

Аналогично, для линейных преобразований йе пространства

ТТЬ(Хт ) = Т2Ь(Хт ) имеем

йег (е,) = е,, йе, (е*) = е,, йе, (е,) = в, , йе, (е[) = вЦ . (15) Действительно, например,

йег(е,) = е1ак (е,)+е!кс (е,) - 4 (е,) =е,.

Таким образом, векторы из е' являются:

1) адаптированными пфаффовыми производными векторов из репера е;

2) производными векторов из репера е по их направлениям, то есть дее = е';

3) образами векторов из репера е при отображениях йе, то есть йе(е) = в'.

0

0

5

2. Тождества Бианки. Зададим связность в расслоении Ь(Хт) касательных линейных реперов способом Лаптева — Лумисте с помощью форм

4) = 4 - Т'-к 4, (16)

АГ,к + о, = . 4. (17)

Внося в уравнения (1) формы (16), получим [2, с. 186; 3, с. 237]

й4 = 4) л 4 + вi, аса) = 4 л 4 + О). , (18)

где

в, = 1 т)к 41 л 41, а) = 1)4 л 4 (19)

— формы кручения и кривизны.

Дифференцируя уравнения (18) внешним образом, найдем тождества Бианки в бескоординатном представлении [2, с. 187]

Ов, = О) л 41, ОО) = 0, (20)

где О — символ внешнего ковариантного дифференциала [3, с. 211]

Ов, = ав, + в1 л 4, ОО) = сЮ1. + Ок л 4 - Ок л 4 .

1 1 1 1 к к 1

Далее, нам понадобятся тождества Бианки в координатном представлении [3, с. 257—258]

К№ - ^{1Т]к} - т^ты} = 0, (20')

КмЛ} =0,

где V — символ ковариантного дифференцирования; {...} — циклирование.

Объект {Г)к, Г)и} назовем продолжением 2-го порядка аффинной связности, причем

а1 )к1 + 1 ,каи1 -1яка,1 - 1 рак1 + а )к1 = 0

Уравнения на тензоры Tljk и Rjkl запишем в виде

T = j vl + j v., dRjkl = j vs + j v.

где

jтк+skr;s,

(21)

RjkiS = -i j + Sj Kkl + КЩ.« + tfRjks

— слоевые пфаффовы производные.

3. Горизонтальные векторы. Внося формы (16) в деривационную формулу (3), получим

где

dA - V\eJ = vk V ,A j 1 k

VkA = ek + Г>/.

Векторы Ek =V kA назовем горизонтальными.

Внося формы (16) в уравнения (6) для вертикальных векторов ej, получим Vej = cokVkej, где

Vej = dej + ek&i - ei&f, Vte> = ek - elГ + elТ'Л, (22)

причем справедливы сравнения AV kej = 0.

Дифференциалы горизонтальных векторов Ek =VkA приведем к виду

dE, = ЕМ- + eUdTi + oj'„)+ co'ie,,, + е„Г,) +

1л-

'>

(23)

Подставим в равенство (23) выражения векторов ejk = ej из обозначения (22):

dEk = EMk + < (ДГ' + оА) + со'^ке/ +со'(ек1 +е'П). (24)

Из (24) следуют уравнения (17) и

\ = Ег4 + '"./'к-,

йЕк = Е,4 + 4Еы +4^ке/, (25)

где

причем

Е = е + е1 Г, + еу Г,

к1 к1 , к1 ,1 к

Е = & еу + Г V е1

п[к1 ] /[ку 1 ¥, ■

Выражение (25) запишем в виде

аЕк = Ек14 + Е,4 , (25')

где

Ек/ = V ке, +3'кЕ) (26)

— слоевые пфаффовы производные горизонтальных векторов. Замечание 2. При отображении аЕк имеют место равенства

йЕк (е1) = Еи, аЕк (е,) = Е) .

4. Контравариантные уравнения связности. Внешние дифференциалы форм ~,/к = со)к - Ь/цЮ1 имеют вид

Й?Ю )к = ~ )к л <~1 - <~1к л ~) - <3 у л ~к +

+ а1 л (М'/к1 - Г)ю)к + Г/4к + Гк1Ю'р + Ю)к1) + +()Г) - ЬшГ/) - )Гк))4 л 4, откуда по теореме Картана — Лаптева

д/ - Г 4к + г) 4к + Г) 4, + 4И - 0. 2

Объект Г = {Г/к, Ь)к1} — объект аффинной связности 2-го порядка.

2

Внесем формы аффинной связности 2-го порядка Г в

"гт 2 1 2

уравнения (5). Получим V е, = Ю V /е,, где 106

V2ег = de, -efä -eJk(bj -e*ajJk ,

V2^е, = ep + ejrj + ejij + , (27)

причем справедливы сравнения dV 2je, = V2yej<ij.

Замечание 3. Внося формы (16) в уравнения (5), получим V1e, = <a]Vl je,, где

V4 = de, - ej( - ei(кц - e,j(l,

V>, = ej + ej rj + ej rj, (27')

причем

dV1j.ei = (V1 /к + ( + rj(j )ej .

2

Посредством формы аффинной связности 2-го порядка Г в уравнениях (17), получим V2rjj = <olV2irjj, где

V2rjk = drik + Tjjöji - I>j - I>j + &jk ,

V2irjk = j - rjГ + rikrj + TjsTS - j . (28)

Выражение

VtEj = V i (ej + ej Г^) = Vtek + Г^ V lej + ejVl rjj с учетом обозначений (27), (22), (28) принимает вид

V 2iEj = ej, + ej Г, + ^ Га + ej Гj + ej Г, rjj + (29)

+ei (rjk, - rk Г, + r; rs).

Альтернируя выражение (29), получим

V[iVj]A = VvEk] = TE + je* . (30)

Уравнения (30) называются контравариантными уравнениями связности [3, с. 243].

Утверждение. Тензоры кручения Tj, и кривизны Rj^ являются горизонтальной и вертикальной составляющими аль-

тернированных ковариантных производных горизонтальных векторов [1, с. 121].

Рассмотрим адаптированный репер {е,, Е,}, найдем таблицу умножения для вертикальных е, и горизонтальных

Е, векторов. Для векторов е, найдено соотношение (143) [3, с. 243].

Теорема 2. Ковариантные производные векторов адаптированного репера {е,, Е,} являются производными по направлению горизонтальных векторов, то есть

Чке) = дЕ/, , У1,.е< =дЕ]е,, V Е = дЕЕк . (31)

Доказательство. Для левой и правой частей равенства (311) имеем

(22)

п Г7 ) ) 1т-) . И Т^, ■

1) Vke] = e]k - е,Гш + e]S^lk ;

, . (13) . . , (11,12)

2) дЕ1е) =де, +еЦ Г'/, = де>в) + Г4д ^ = , + ^ =

) )1 "Г"1,

= e]k - е, Г& + е,, Г&

Для левой и правой частей равенства (312) имеем

1 (27') , 1 ,

1) V1 е = е, + еЦ Г,- + ек Г, ;

(13) (11,12)

2) д Ев =дej + е[ ф = еЦ =

= е, + Г, (е, +5\ек ) = е, + еЦГ, + е,Г,. Аналогично доказывается равенство (313).

Учитывая равенства (31), имеем [3, с. 243; 1, с. 131]

[ej, Ek ] = SIEJ, (32)

а контравариантные уравнения (30) принимают вид

2[Е,, Ек] = ТЕ + Щке. (33)

Теорема 3. Для операции [,], определяемой равенствами (32), (33), выполняются тождества Якоби. Доказательство. Рассмотрим 1-е тождество

[[е,, ек], Е,] + [[ек, Es], е)] + [[Es, е)], е\] = 0 . (34)

Оно доказывается легко с помощью выражений (14), (32). Докажем 2-е тождество:

[[е), Ек], Е] + [[Е, е)], Ек] + [[Ек, Е,], е)] = 0 . (35)

Преобразуем левую часть тождества (35) с помощью соотношений (32), (33)

Зк [ Е,, Е1 ] - 3, [Е,, Ек ] - [Т)ЕХ + Я?ме), е) ] =

= -3'к (Т.1 Е, + Я) е)) + $ (Т;Е) + ))) - Т^д^е) -

- Як, д ее +д .(ТЕ + Яке)) =

= (-ЗкТ/ + З'Т)) + (--Щ, + Щк )е) - Т)[Е,, е)] -

- Як, [е), е) ] + Е; д ,Т) + е) д ^ =

= (-ЗкТ) + ЗТ/к) Е + (--Щ, + щк )е) - ТЕ, -

- Як (3/ е, - Щ) + ЕТ) + е)Щ = = (Т) - з,Т; + ЗТ; + з.; Т,) +

(21)

+(Я^ - 31 Я) + Щк - 31Щк1 + 3)Я)И )е) = 0 ,

где

д е> Тк1 = Тк1) , де, Я,к1 = Я,ку

— слоевые пфаффовы производные объектов кручения и кривизны, вычисляемые по формулам (21).

Перейдем к доказательству 3-го тождества

[[Ег, E], Е-] + [[Ek, E], Е- ] + [[Е-, Е-], E.] = 0 . (36)

Левую часть тождества (36) преобразуем с помощью контра-вариантных уравнений связности (33)

- j + Rj.ej, Е-] - [Т-Е + ЩкА, Е. ] - [TjkEl + Rjkej, Е, ] =

= -TJ [Е i, Е- ] - RSj [els, Е- ] + Е1 д ЕТ. + els дЕГщ -

- Т- [Ej, Е. ] - Rjb [el, Е. ] + El дЕ11ш + ejдЕрЪ -

J J J J

- Tjk [Ej, Et ] - Rj- [els, Et ] + Et дЕТ1]к + els д^к = = Tj (TjEs + R^ej) - RlijSljEs + El V jj + els V-Rj- + + Tlu (TjEs + Rj-ej) - RI-. д-Es + Et V-Т- + els V.R- + + j (TiSEs + Rluest) - RSj-SlE, + EtV J + elsVЦк =

lis! I S S t (20')

= Ei (V {Л/} + Tj{iTjJt} - ) + ei (^-Rili/} + Щ^Л/} ) = 0.

Замечание 4. Проальтернируем ковариантные производные (28) по l

V[i Г- ] = j+Jl+rl[-rJ ] - /« ]. (37)

На поверхности Xm в проективном пространстве Pn выпол-

0 . о . о

няются соотношения T-j = 0 , L J^]= Г j[-Г j] и выражение (37) упрощается

V[i fj4=R \к1, (38)

где нулик означает, что объект является индуцированным. Аналогично для всех компонент индуцированной фундаментально-

1 0 . 10 0 . 1 групповой связности 1-го типа [7] Г = {Г д, Г.-, Г 1., Г 1, Гai}

справедливо

1 01 01

V* г ,] = Я -к1. (39)

Для индуцированной связности 2 и 3-го типа имеем

^к Г / ] = 0. (40)

Теорема 4 [4, с. 81]. Если X, У —горизонтальные векторы, то

4 ([X, У]) = -О) (X, У). (41)

Доказательство. Рассмотрим равенство (41) для базисных векторов X = Ек, У = Е[, то есть

4 ([ Ек, Е ]) = -! Я)п 4 Р л4 (Ек, Е).

Используя контравариантные уравнения связности (33), получим

4 (-2ТЕ - 2ЯХ) = = -1 Я/рц 2 ( 4 Р (Ек )4 (Е)-4 Р (Е )4 (Ек)),

откуда

-2Т14 (Е,) - 2Я;к,4 (еР) = -) (3/3/ - 3Р31). (42) Легко показать, что

4 (Е) = 0, 4 (ек) = 33. (43)

Учитывая условия (43), выражение (42) принимает вид

-2я;и 3,3у =- Я/У + Я/к,

что доказывает теорему.

Теорема 5 [4, с. 119]. Для форм связности со/, кручения

в1 и кривизны О,1/ линейной связности Г в расслоении Ь^т) имеют место структурные уравнения

(X, У) = [41 (X), 4/ (У)] + в1 (X, У), (44)

da) (X, Y) = [&Ч- (X), ml (Y)] + Q) (X, Y), (45)

где X,Y eTAL(Xm), Ae L(Xm).

Доказательство заключается в проверке формул (44), (45), если X,Y — горизонтальные и (или) вертикальные векторы. Нам понадобится известная формула

d©(X, Y) = 8Xc(Y) - 8Yc(X) - ©([X, Y])

Операция [,] определяется обычным образом [©(X), 9(Y)] = ©(X)<9(Y) - co(Y)0(X)

Список литературы

1. Бишоп Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. М., 1967.

2. Зуланке Р., Винтген П. Дифференциальная геометрия и расслоения. М., 1975.

3. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., 2003.

4. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии / пер. с англ. М., 1981. Т. 1.

5. Полякова К. В. Аналитический и геометрический способы задания аффинной связности // Диф. геом. многообр. фигур. Калининград, 2012. Вып. 43. С. 108—114.

6. Полякова К. В., Шевченко Ю. И. Способ Лаптева — Лумисте задания связности и горизонтальные векторы // Там же. С. 114—121.

7. Шевченко Ю. И. Об основной задаче проективно-дифферен-циальной геометрии поверхности // Там же. 1989. Вып. 20. С. 122—128.

8. Do Carmo M. Differential forms and applications. B. ; Heidelberg, 1994.

K. Polyakova

Giving the affine connection by means of horizontal vectors

Contravariant equations of affine connection and expressions for Lie bracket are found.