Корректность абелевых групп без кручения и их определяемость своими подгруппами Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 Математика и механика № 5(31)

УДК 512.541

С.Я. Гриншпон, А.К. Мордовской

КОРРЕКТНОСТЬ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП БЕЗ КРУЧЕНИЯ И ИХ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ СВОИМИ ПОДГРУППАМИ

Описана связь корректности и определяемости своими подгруппами (своими собственными подгруппами) для некоторых классов абелевых групп, получены критерии корректности для делимых групп без кручения и для обобщенно вполне разложимых групп в классе обобщенно вполне разложимых групп.

Ключевые слова: почти изоморфизм, з-изоморфизм, Ризоморфизм, корректность абелевой группы, определяемость группы своими подгруппами (своими собственными подгруппами).

Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна подгруппе другой группы [1]. Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [2] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение [2], однако П. Кроули привел пример неизоморфных /»-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы [3]. В ряде работ исследуются, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (например, [4-8]).

Известная теоретико-множественная теорема Кантора - Шредера - Бернштей-на являлась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [9] изучается теоретико-кольцевой, а в [10] - теоретико-кате-горный аналоги теоремы Кантора - Шредера - Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (например, [11-13]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности в топологии [14, с. 20, 21].

Существует также логический аспект задачи о почти изоморфизме, основанный на том, что если модули почти изоморфны по чистым подмодулям, то они элементарно эквивалентны [15].

Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение.

Абелева группа А называется корректной, если для любой абелевой группы В из того, что А = В' и В = А', где А', В' - подгруппы групп А и В соответственно, следует изоморфизм А = В [7].

Для абелевой группы А обозначим соответственно через 8(А) и 5ий(А) множества ее подгрупп и ее собственных подгрупп.

Определение 1 [16]. Будем говорить, что группы А и В /-изоморфны (обозна-

/

чение А = В), если существует биективное отображение множества £(А) на множество S(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны.

Определение 2 [16]. Будем говорить, что группы А и В 5-изоморфны (обозначение А = В), если существует биективное отображение множества Sub(A) на множество Sub(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны.

Естественно возникает вопрос: как связаны между собой /-изоморфизм, 5-изо-морфизм и почти изоморфизм.

Приведем результаты о такой связи, полученные ранее.

Теорема 3 [17]. Если абелевы группы А и В почти изоморфны, то они /-изоморфны.

Так как любые две /-изоморфные группы почти изоморфны, получаем

Следствие 4 [17]. Абелевы группы А и В /-изоморфны тогда и только тогда, когда они почти изоморфны.

Связь между /-изоморфизмом и 5-изоморфизмом устанавливают следующие результаты.

Теорема 5 [17]. Если абелевы группы А и В /-изоморфны, то они 5-изоморфны.

Теорема 6 [17]. Абелевы группы А и В, содержащие собственные подгруппы, изоморфные самим группам, /-изоморфны тогда и только тогда, когда они 5-изо-морфны.

Естественно возникает вопрос: в каких случаях /-изоморфные (5-изоморфные) группы изоморфны.

Определение 7. Если абелева группа А такова, что для любой абелевой группы

/ 5

В из А = В (А = В ) вытекает А = В , то будем говорить, что группа А определяется своими подгруппами (своими собственными подгруппами).

Вопрос об определяемости группы своими подгруппами (своими собственными подгруппами) представляет самостоятельный интерес, и как оказалось, этот вопрос тесно связан с исследованием корректных абелевых групп.

Из приведенных выше теорем вытекают следующие результаты:

Следствие 8 [17]. Абелева группа А определяется своими подгруппами тогда и только тогда, когда А - корректная группа.

Следствие 9 [17]. Абелева группа определяется своими подгруппами, если она определяется своими собственными подгруппами.

Следствие 10 [17]. Если абелева группа определяется своими собственными подгруппами, то она корректна.

Заметим, что определения почти изоморфизма, /-изоморфизма, 5-изоморфизма можно дать аналогичным образом для двух универсальных алгебр А и В одной и той же сигнатуры. Также аналогично могут быть определены понятия корректной универсальной алгебры и алгебры, определяющейся своими подалгебрами (своими собственными подалгебрами). В приведенных выше результатах никак не учитывается специфика абелевых групп, и поэтому эти результаты с соответствующей переформулировкой справедливы для произвольных универсальных алгебр.

Для прямых сумм циклических групп критерии определяемости своими подгруппами и своими собственными подгруппами были получены в [17].

В настоящей работе исследуются корректность абелевых групп из некоторых классов и их определяемость своими подгруппами. Для полноты изложения рассмотрим сначала результаты из [17], относящиеся к группам без кручения (теоремы 11, 13, 14 и следствие 12).

Теорема 11. Пусть А - абелева группа без кручения, не являющаяся делимой. Группа А определяется своими собственными подгруппами тогда и только тогда, когда А - корректная группа.

Доказательство. Необходимость вытекает из следствия 10. Докажем достаточность. Пусть А - корректная абелева группа без кручения, не являющаяся делимой, и В - такая абелева группа, что А = В . Существует такое натуральное число п, что пА Ф А , и, так как А - группа без кручения, то пА = А . В - также группа без кручения. Действительно, если предположить, что в группе В существует ненулевой элемент Ь конечного порядка, то <Ь> - конечная подгруппа группы В, а тогда во множестве подгрупп группы А была бы конечная подгруппа А 1, такая, что |А11 = |< Ь >| = о(Ь), чего быть не может. Если В не является делимой группой, то существует такое натуральное число т, что тВ Ф В , и, так как В - группа без

í

кручения, то тВ = В . Применяя теорему 6, получаем, что А = В , а значит, по следствию 4 группы А и В почти изоморфны. Учитывая корректность группы А, имеем А = В .

Покажем, что группа В не может быть делимой группой. Пусть В - делимая группа конечного ранга и ее ранг г(В) = п, где п е N, п >1. Запишем группу А в виде А = Б © Я, где Б - делимая часть группы А, а Я - редуцированная часть этой группы, причем Я Ф 0 . Пусть г(Б) = т. Наибольший ранг собственных делимых подгрупп группы В равен п - 1. Наибольшая собственная делимая подгруппа группы А совпадает с Б и ее ранг равен т. Из 5-изоморфизма групп А и В следует, что п - 1 = т. Так как в группе А есть единственная собственная делимая подгруппа ранга т, а в группе В есть по крайней мере две собственных делимых подгруппы ранга п -1, то это противоречит 5-изоморфизму групп А и В. Если же г(В) = 1, т.е. В = Q, то всякая собственная подгруппа группы В имеет ранг 1 и типы собственных подгрупп группы В пробегают множество всевозможных типов, отличных от типа, представленного характеристикой (да, да, ..., да, ...). Ясно, что тогда из 5-изоморфизма групп А и В вытекает г(А)=1 и А = В = 2 , чего быть не может, так как редуцированная часть группы А отлична от нуля.

Пусть теперь В - делимая группа без кручения, имеющая бесконечный ранг. В = © В{, где В{ = 2 для всякого I е I, |/| >К0 . Пусть /0 е I и В1 = © В{. В! -

1е1 1е1 \{г'о}

собственная подгруппа группы В, изоморфная самой группе В. Тогда, применяя теорему 6 и следствие 4, получаем А = В, чего быть не может, так как группа А не является делимой. ■

Следствие 12. Пусть А - абелева группа без кручения, не являющаяся делимой. Следующие условия эквивалентны:

1) А - корректная группа;

2) А определяется своими собственными подгруппами;

3) А определяется своими подгруппами.

Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) вытекает из теоремы 11. Эквивалентность условий 1) и 3) - из следствия 8. ■

Перейдем теперь к рассмотрению делимых групп без кручения. Теорема 13. Пусть А - делимая группа без кручения. Следующие условия эквивалентны:

1) А - корректная группа;

2) А определяется своими собственными подгруппами;

3) А определяется своими подгруппами;

4) А имеет конечный ранг.

Доказательство. Покажем эквивалентность условий 1) и 4).

а) 1) ^ 4). Пусть А - делимая группа без кручения, имеющая бесконечный ранг. А = © А , где А = Q для всякого /' е I, |/| >К0. Зафиксируем индекс /0 е I

ге1

и выберем в группе А^ бесконечную циклическую подгруппу С^ (Сг- = Z). Пусть А1 = С^ © С, где С = © Д . А1 - подгруппа группы А, и, так как А = С,

0 'е1 \{г'о}

то группы А и А1 почти изоморфны, однако А не изоморфна А 1. Значит, группа А не является корректной.

б) 4) ^ 1). Покажем, что делимая группа без кручения А конечного ранга корректна. Пусть В - абелева группа и группы А и В почти изоморфны, то есть А = В' и В = А', где А', В' - подгруппы групп А и В соответственно. Так как В' - делимая группа, то имеем В = В '© В". Из почти изоморфизма групп А и В вытекает г (А) = г (В') < г (В) и г (В) = г (А') < г (А). Значит, г (А) = г (В) = г (В'), отсюда В" = 0 . Итак, В = В', и поэтому А = В .

Эквивалентность условий 1) и 3) дает следствие 8. Покажем эквивалентность условий 2) и 4).

а) 2) ^ 4). Пусть делимая группа без кручения А определяется своими собственными подгруппами. Тогда по следствию 10 группа А корректна и, значит, в силу уже доказанной эквивалентности условий 1) и 4), группа А имеет конечный ранг.

б) 4) ^ 2). Пусть делимая группа без кручения А имеет конечный ранг п, где

п > 1, В - абелева группа и А = В . Понятно, что группа В также имеет конечный ранг т и т > 1. В группе А максимальный ранг собственных подгрупп равен п, а в группе В такой ранг равен т. Из 5-изоморфизма групп А и В вытекает п = т. Пусть А1 - делимая подгруппа ранга п - 1 группы А. Тогда в группе В есть подгруппа В1, изоморфная подгруппе Аь Имеем В = В1 © В2, где г(В{) = п - 1, г(В2) = 1. Если

группа В2 не является делимой, то в группе В есть единственная собственная делимая подгруппа ранга п - 1, а именно, подгруппа В1, а в группе А есть по крайней мере две собственные делимые подгруппы ранга п - 1. Это противоречит 5-изо-морфизму групп А и В. Значит, В2 - делимая группа, а тогда и В - делимая группа, причем г(В) = г(А). Следовательно, А = В .

Если же г(А) = 1, то г(В) = 1 и, так как А и В - 5-изоморфны, то А = В = Q . ■

Теорема 13 и следствие 12 показывают, что для абелевых групп без кручения справедлив такой результат.

Теорема 14. Пусть А - абелева группа без кручения. Следующие условия эквивалентны:

1) А - корректная группа;

2) А определяется своими собственными подгруппами;

3) А определяется своими подгруппами.

Перейдем к исследованию корректности обобщенно вполне разложимых групп и их определяемости своими подгруппами.

Абелева группа А называется обобщенно вполне разложимой, если она разлагается в прямую сумму групп ранга 1 (не обязательно без кручения).

Понятие вполне разложимости было распространено с групп без кручения на произвольные группы С. Меджиббеном [18].

С.Я. Гриншпон доказал, что если О - обобщенно вполне разложимая группа, то любые два разложения группы О в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны и всякое прямое слагаемое группы О - обобщенно вполне разложимая группа. Он также получил полное описание вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой, для обобщенно вполне разложимых групп [19].

Выберем в каждом классе изоморфных абелевых групп ранга 1 по одному представителю и пусть 3 = {Оа }ае5 - множество этих представителей. 3 является максимальным множеством попарно неизоморфных абелевых групп ранга 1. Зададим отношение частичного порядка на множестве следующим образом: а1 < а2, если группа Оа1 изоморфна подгруппе группы Оа2 .

Пусть А - обобщенно вполне разложимая группа. Собирая для всякого ае 5 в ее разложение в прямую сумму групп ранга 1 прямые слагаемые, изоморфные Оа, получим разложение А = © А(а), где А(а) = © Оа (некоторые из групп

ае5 3а

А (а) могут быть нулевыми).

Определение 15. Будем говорить, что для группы А = © А(а), где

ае5

А(а) = © Оа, выполняется условие 5-максимальности, если любая цепь а: < а2 <

3а

.. .<аи < ..., где аi е 5 , A(аj) Ф 0 , обрывается.

Определение 16. Группу А назовем 5-ступенчатой, если для любого ае 5, такого, что 3а > Х0, и для любого Ре5, такого, что Р<а, выполняется

3Р > 3а .

Пусть О - некоторый класс абелевых групп. Напомним, что группа А из класса О называется корректной в классе О, если для любой группы В из класса О из того, что группы А и В почти изоморфны, следует изоморфизм А = В . Если группа А из класса О такова, что для любой группы В из класса О из /-изоморфизма групп А и В следует А = В, то будем говорить, что группа А определяется своими подгруппами в классе О.

Теорема 17. Обобщенно вполне разложимая группа А корректна в классе обобщенно вполне разложимых групп тогда и только тогда, когда А 5-ступенчатая группа и для нее выполняется условие 5-максимальности.

Доказательство. Необходимость. Пусть А = © А(а), где А (а) = © Оа

ае5 3а

обобщенно вполне разложимая группа и А - корректная группа в классе обоб-

щенно вполне разложимых групп. Допустим, что А не является Б-ступенчатой группой, то есть существуют такие в < а из Б, что За > Х0 и Зр < За . Рассмотрим два случая: а) Зр = 0 , б) Зр Ф 0 .

а) Представим группу А(а) в виде А(а) = А * (а) © А * *(а), где А*(а) - группа, изоморфная Оа, А**(а) - прямая сумма За групп, изоморфных Оа. Рассмотрим подгруппу В группы А: В = А * (Р) © А (у) © А * *(а), где А*(Р) - подгруппа груп-

уфа

пы А*(а), изоморфная Ор. Так как А **(а) = А (а), то группа А изоморфна подгруппе группы В, а именно А = © А (у) © А **(а). Значит, группа А и В почти

уфа

изоморфны. Однако группы А и В не изоморфны, так как в группе А нет прямого слагаемого, изоморфного Ор, а в группе В есть.

б) Пусть А = А(а) © А(Р) © А(у). Рассмотрим следующую подгруппу В

уфа,р

группы А: В = А(а) © А (у). Группы А и В не изоморфны, так как в группе В нет

уфа,р

прямых слагаемых, изоморфных Ор. Однако группы А и В почти изоморфны. Покажем это. Так как За > Х0 и Зр < За, то За +Зр = За и группу А(а) можно записать в виде А(а) = А *(а) © А **(а), где А*(а) - прямая сумма Зр групп, изоморфных Оа, А**(а) - прямая сумма За групп, изоморфных Оа. Имеем В = А *(а) © А **(а) © А(у) и А = А *(Р)© А **(а) © А (у), где А *(Р) = © Ор

уфа,р уфа,р Зр

- подгруппа группы А * (а) = © Оа. Значит, группы А и В почти изоморфны.

Итак, получили, что всякая обобщенно вполне разложимая корректная группа является Б-ступенчатой.

Пусть А = © А(а) - корректная в классе обобщенно вполне разложимых

аеБ

групп и Б-ступенчатая группа, но для группы А не выполняется условие Б-мак-симальности, то есть существует такое подмножество Б1 = {а; элементов

множества Б, что А(аг-) Ф 0 и цепь а1 < а2 < ...<аи < ... не обрывается. Пусть

Б2 = Б \ Б1. Тогда А = А1 © А2, где А1 = © А(а), А2 = © А (а). Предположим,

аеБ1 аеБ2

что За >К0 для всякого аг- еБ1. Так как во всяком множестве кардинальных чисел есть наименьшее, то существует такое а . е Б1, что За < За для каждого аг- е Б1 такого, что а ^ < аг-, а это противоречит Б-ступенчатости группы А.

Пусть а наименьшее из таких ак е Б1, что 0 < За < К0. Так как А - Б-сту-пенчатая группа, то для всякого ат е Б1, ат > ат, имеем За < К0. Тогда А1 = А(ат) © А*, где А* = © А (а). Рассмотрим следующую подгруппу В

аеБ^{ат}

группы А: В = А* © А2. Так как ^ За = К0, а при т > г все кардинальные числа

т >г

За конечны, то в группе А* есть подгруппа, изоморфная группе Аь Итак, полу-

чили, что группы А и В почти изоморфны. Однако группы А и В не изоморфны, так как в группе В нет прямого слагаемого, изоморфного Оа , а в группе А есть.

Достаточность. Пусть А - Б-ступенчатая обобщенно вполне разложимая

группа и для нее выполняется условие ^-максимальности. А = © Ар ®А0, где

р

Ар = ©А(а) = ©©Оа, Оа - коциклические р-группы и А0 =©А(а) = ©©Оа,

а а 3а а а 3а

Оа - группы без кручения. Пусть группа В почти изоморфна группе А.

Среди подгрупп группы А, изоморфных группе В, выберем такую (обозначим

ее через В), что В = © Вр ©В0 и В0 < А0, Вр < Ар для каждого простого числа р.

р

Среди подгрупп группы В, изоморфных группе А, выберем такую (обозначим ее

через С), что С = ©Ср ©С0 и С0 < В0, Ср < Вр для каждого простого числа р.

р

Тогда из почти изоморфизма групп А и В следует почти изоморфизм А0 и В0, Ар и Вр для каждого простого числа р.

а) Ар и Вр почти изоморфны. Покажем, что Ар = Вр . Так как для группы Ар и,

следовательно, Вр выполняется условие максимальности на множестве Б, получа-

п т

ем Ар = © О , Вр = © © Оа .

3а,- ' у 1 =13'а. 1

В силу почти изоморфизма групп Ар и Вр, получаем такие системы неравенств:

т < п

3 'т <£ 3,г =т

3 'т-1 + 3 'т < £ 3,- и

г =т-1

т п

£3',, <£3,

г =1 г=1

п < т

т

3п <£3

г=п

т

3п-1 +3п < £ 3',

г=п-1 п т

£3, <£3',

г =1 г=1

Так как т < п и п < т , то т = п. Системы неравенств перепишутся так:

3' <3

3' + 3' <3 +3 ° п-1 + ° п - Л-Г °п

3 < 3'

°п - ° п

3 +3 < 3' + 3' °п-1 + °п - ° п-1 + ° п

£3'г <£3, £3,- < £3'г

г =1 г=1 I г =1 г=1

Проведя «индукцию вниз», покажем, что для всякого г (г = 1, ..., п) = 3\. Сравнивая первые неравенства в системах, получаем 3п =3 'п. Пусть 3г = 3 \ для всякого г, удовлетворяющего неравенству к < г < п (Л е N, к > 1). Из

п п

(п + 2 - к)-х неравенств системы получаем £ 3г = £ 3 \ . Если 3г < К0 для

г =к-1 г=к-1

всякого г = к,к +1,...,п, то 3к-1 =3'к-1. Если существует такое з > к - 1, что

п

3 >К0, то, учитывая Б-ступенчатость группы А, получаем 3к-1 > £3, >К0.

г=к

и

Имеем VI = Е 3,. = £ з \ = 3 + £ 3 \ , и так как > £ 3 \ = £ Зг , то

I=к-1 I=к_1 I=к I=к I=к

3 = 3'

°к_1 _ ° к-1 •

Итак, для всякого I (I = 1, ..., п) 3, = 3• Следовательно, группы Ар и Вр изоморфны.

б) Пусть А - обобщенно вполне разложимая группа без кручения и А = © А(а), где А(а) = © Оа. Каждая Оа - группа без кручения ранга 1 и А -

ае5 ~

а

вполне разложимая группа без кручения. Множество S можно считать совпадающим с множеством T всех типов групп без кручения ранга 1. Введем следующие обозначения: A = © At, где At = © Gt, Gt - группа без кручения ранга 1 типа t,

ШТА 3,

TA = {t e Sir(At) Ф 0}. Если F = © Ft - вполне разложимая группа, то через

teTF

F' обозначается прямая сумма подгрупп Ft, имеющих бесконечный ранг, а через F" - прямая сумма подгрупп Ft, имеющих конечный ранг. Через F(t) будем обозначать подгруппу © Ft,, через F*(t) - подгруппу © Ft,.

t'eTF, t'>t t'eTF, t'>t

Пусть A0 = © At - вполне разложимая S-ступенчатая группа и для нее вы-

teTA

полняется условие S-максимальности. Вполне разложимая группа B0 = © Bt

teTB

почти изоморфна группе A0, то есть A0 = B' и B0 = A', где A' и B' - подгруппы соответственно групп A0 и B0. Пусть у: B0 ^ A' - указанный изоморфизм. Для

упрощения записи введем следующие обозначения: A = A0 = © At,

teTA

B = A' = © Bt, C = y(B') = © Ct.

teTB teTc

Следуя подходу, примененному в [20] при исследовании почти изоморфных абелевых групп без кручения, покажем, что для любого типа t e TA верны следующие утверждения:

а) если t' > t, t' g TA , то t' г TB ;

б) r (At) = r (Bt);

в) если a e At, где r(At) конечен, то существует такое натуральное число m, что ma e B(t); если b e Bt, где r (Bt) конечен, то существует такое натуральное число m, что mb e C(t).

I. Пусть t - максимальный тип в множестве TA.

а) Допустим, существует тип t' > t, такой, что t' г TA , t' e TB . Тогда существует элемент b e B, такой, что tB (b) = t'. Имеем tA (b) > t', но это противоречит тому, что t - максимальный тип в множестве TA. Здесь tB (b) и tA (b) - типы элемента b в группах B и A соответственно.

б) Так как t - максимальный тип в множестве TA, имеем Bt с At, следовательно, r(Bt) < r(At). Так как в множестве TB не существует типа t' > t, имеем

С( с В(, следовательно, г (С,) < г (В (). Таким образом, г (С,) < г (В() < г (А(). Но

г (А,) = г (С(), так как А = С. Получаем, что г (А) = г (В().

в) В силу максимальности типа / имеем А(/)=А, В(/)=В, С(/)=С. Так как С ( с В( с А( и г (С) = г (В,) = г (А) является конечным, то утверждение в) имеет

место.

II. Пусть / е ТА и допустим, что утверждение а), б), в) верны для любого типа

> Покажем, что эти утверждения верны также и для типа

а) Пусть тип /' > / такой, что /' г ТА , /' е ТВ . Тогда существует ненулевой

элемент Ь е Вг . В группе А элемент Ь имеет тип, больший или равный /', то есть Ь = а1 + ... + % , где а1 е А ,..., ак е А^ , причем > /',..., > /'. Группы А,..., А имеют конечный ранг, так как в противном случае в силу строения группы А имеем /' е ТА .Тогда, согласно индуктивному предположению, существуют такие натуральные числа шь ..., шк, что ш1а1 е В(/1), ..., ткак е В(/к). Следовательно, тЬ е В * (/'), где ш = ш1 •... • шк. Но также имеем, что шЬ е Вг . Получили противоречие.

б) Покажем, что г (А) = г (В(). Рассмотрим два случая отдельно: 1) г (АО конечен для любого типа /' > /; 2) существует тип /' > /, такой, что г (А,) - бесконечный кардинал.

1) Пусть г (АО конечен для любого типа /' > /. Тогда, согласно индуктивному предположению, г (Вг) также конечен для любого типа /' > /.

Покажем, что г (С () < г (В {). Рассмотрим ненулевой элемент с е С (. Так как С с В , то с = Ь1 +... + Ьк , где Ь1 е В^ , ..., Ьк е В ^ . Допустим, что II Ф / для всякого 1 < i < к , то есть /1 > /, ..., ¡к > Для любого 1 < i < к г (В^) конечен, тогда,

согласно индуктивному предположению, существуют такие натуральные числа ш1, ..., шк, что ш1Ь1 е С(/1), ..., шкЬк е С(/к). Следовательно, шс е С*(/), где

ш = ш1 •... • шк . Но также имеем, что шс е С (. Получили противоречие. Таким образом, элемент с имеет ненулевую координату в компоненте В ь то есть с = с'+ с * ,

где с' е В1, с* е В *(/), с' Ф 0.

Пусть с1, ..., сг - линейно независимая система элементов группы С. Тогда элементы с1, ..., сг имеют ненулевые координаты в компоненте В, то есть с; = с 1 + с*, ..., сг = с \ + с*, где с..., с \ е В,, с*, ..., с* е В *(/), с\Ф 0, ..., с'г Ф 0 . Допустим, что система элементов с 1,...,с'г является линейно зависимой. Тогда существуют такие целые числа ш1, ...,шг не все равные нулю, что ш1с 1 +... + шгс 'г = 0. Следовательно, ш1с1 +... + шгсг = ш1с1* +... + шгс*. Так как ш1с1 +... + шгсг Ф 0 , то получим противоречие с тем, что любой ненулевой элемент с е С имеет ненулевую координату в компоненте ВР Таким образом, с 1,..., с 'г - линейно независимая система элементов группы В. Отсюда следует, что г (С,) < г (В,).

Так как согласно индуктивному предположению для любого типа t' > t г(Аг) = г(Вг) = г(Сг ), то аналогично доказанному показывается, что любой ненулевой элемент Ь е В{ имеет ненулевую координату в компоненте А, то есть Ь = Ь'+ Ь * , где Ь' е А(, Ь* е А * ^), Ь' Ф 0 , и что для любой линейно независимой системы элементов Ь1 = Ь '1 + Ь*, ..., Ьг = Ь 'г + Ь*, система элементов Ь1,..., Ь 'г также является линейно независимой. Следовательно, г(Bt) < г(At).

Имеем А = С, следовательно, г (At) = г (С(). Так как г (С() < г (В() < г (А), получаем, что г (А) = г (В{).

2) Пусть существует тип t' > t, такой, что г(Аг) - бесконечный кардинал. Тогда в силу строения группы А г (А) - бесконечный кардинал и, согласно индуктивному предположению, г (Вг) - также бесконечный кардинал.

Покажем, что г (С() < г (В{). Рассмотрим ненулевой элемент с е С(. Так как С с В , то с = с'+ с", где с' е В( © (В 'п В )), с" е В "п В *(0 . Допустим, с' = 0, тогда с е В "п В * ^), то есть с = Ь1 +... + Ьк , где Ь1 е В^ , ..., Ьк е В^ , причем для любого 1 < / < к и > t и г(В() конечен. Тогда, согласно индуктивному предположению, существуют такие натуральные числа ть ..., тк, что т1Ь1 е C(t1), ..., ткЬк е С(tk). Следовательно, тс е С ), где т = т1 •... • тк. Но также имеем, что тс е С(. Получили противоречие. Таким образом, элемент с имеет ненулевую координату в компоненте В( © (В 'п В * ^)), то есть с = с'+ с", где с' е В( © (В 'п В *(0), с" е В "п В *(t), с' Ф 0.

Пусть с1, ..., сг - линейно независимая система элементов группы СР Тогда элементы с1, ..., сг имеют ненулевые координаты в компоненте В( © (В 'п В *(t)),

то есть с1 = с 1 + с"1, ..., сг = с\ + с"г, где с...,с\ е В{ © (В'п В*(0), с'1, ...,с"г е В"пВ), с 1 Ф 0, ..., с\ Ф 0. Допустим, что система элементов с 1,..., с 'г является линейно зависимой. Тогда существуют такие целые числа т1, ..., тг не все равные нулю, что т1с'1 +... + тгс'г = 0. Следовательно, т1с1 + ... + тгсг = т1с "1 + ... + тгс "г. Так как т1с1 + ... + тгсг Ф 0 , то получим противоречие с тем, что любой ненулевой элемент с е С( имеет ненулевую координату в компоненте В( © (В 'п В * ^)). Таким образом, с 1,..., с 'г - линейно независимая система элементов группы В( © (В 'п В * ^)). Отсюда следует, что г (С,) < г В © (В 'п В * ^))) = г В) + г (В 'п В * ^)).

В силу строения группы А имеем г (А) > г (А») для всякого ^Ы. Так как множество типов ^ е ТА таких, что г (а,*) - бесконечный кардинал, - не более чем счетно, то г (А) > г (А 'п А * ()) = г (В 'п В * ()) согласно индуктивному предположению. Следовательно, г(С() > г(В 'п В )). Тогда, так как г(С() - бесконечный кардинал, получаем г (С() < г (В() + г(В 'п В * ^)) = г(В(), то есть г (С() < г (В().

Так как г (С,) < г (В,) и, согласно индуктивному предположению, для любого типа /' > / г(Аг ) = г(Вг) = г(Сг), то аналогично доказанному показывается, что г (В,) < г (А{) + г (А 'п А * )). Но г (А,) - бесконечный кардинал и г (А,) > г (А 'п А * (/)). Следовательно, г( В() < г (А,) + г (А 'п А * (/)) = г (А,), то есть г (В,) < г (Л).

Так как г (С,) < г (В,) < г (А() и г (А,) = г (С,), получаем, что г (А,) = г (В().

в) Рассмотрим ненулевой элемент а е А,, где г (А,) = г конечен. Так как

г (А,) = г (В,), в группе В( можно выбрать максимальную линейно независимую

систему элементов Ьь ..., Ьг. При доказательстве утверждения б) в пункте 1) было показано, что элементы Ь1, ..., Ьг имеют ненулевые координаты в компоненте А,

то есть Ь1 = Ь1 + Ь* , ..., Ьг = Ь \ + Ь* , где Ь ...,Ь \ е А, Ь*,...,Ь** е А *(,), Ь \ Ф 0,

..., Ь 'г Ф 0, причем Ь1,..., Ь 'г является линейно независимой системой элементов

группы А,. Так как г (А,) = г , Ь1,..., Ь 'г - максимальная линейно независимая

система элементов группы А,. Тогда существуют такие целые числа т Ф 0 , ть ...,

тг, что та = т1Ь 1 + ... + тгЬ 'г. Тогда та = т1(Ь1 - Ь*) + ... + тг (Ьг - Ь*) = Ь + а*, где

Ь = т1Ь1 +... + тгЬг е В(, а* = -(т1Ь1* +... + тгЬ*г) е А *(,).

Покажем, что существует такое натуральное число п, что па* е В *(/). Элемент а* е А *(), следовательно, а = а1 + ... + ак , где а1 е А ,ак е А^ , причем

> /,..., >/. Так как г (А,) конечен, то в силу строения группы А ранги подгрупп А,. • •, А также конечны. Тогда, согласно индуктивному предположению, существуют такие натуральные числа п1, ..., пк, что п1а1 е В(,1), ..., пкак е В(,к). Следовательно, па* е В *(), где п = п1 •... • пк .

Обозначим через т* = пт. Тогда т*а = п(Ь + а ) = пЬ + па*. Так как пЬ е В(,

* *

па е В *(/), имеем та е В(/). Первая часть утверждения в) доказана.

Так как г (А,,) = г (Вг) = г (С,,) для любого типа /' > /, то вторая часть утверждения в) доказывается аналогично.

Итак, утверждения а), б), в) верны для любого типа / е ТА. Так как г (А,) = г (В,) для любого типа , е ТА (утверждение б)), то для доказательства изоморфизма вполне разложимых групп А и В осталось показать, что ТА = ТВ .

Пусть / е ТА , то есть г (А,) Ф 0. Тогда в силу утверждения б) имеем г (В,) Ф 0, то есть / е ТВ . Таким образом, ТА с ТВ.

Покажем, что ТВ с ТА .

Пусть /' е ТВ и тип /' больше некоторого типа из множества ТА. Тогда в силу утверждения а) имеем /' е ТА .

Пусть /' е ТВ и тип /' меньше некоторого типа из множества ТА. Допустим /' г ТА . Рассмотрим ненулевой элемент Ь е Вг . Так как Ь е А, то Ь = а1 + ... + ак , где а1 е А(,..., ак е А . Имеем >/',..., >/'. Так как /' г ТА , то в силу строе-

ния группы A r(At) конечен для всех 1 < i < k . Тогда, согласно утверждению в), существуют такие натуральные числа m1, ..., mk, что m1a1 eB(t1), ..., mkak e B(tk). Следовательно, mb e B*(t'), где m = m1 •...• mk . Но также имеем, что mb e Bt,. Получили противоречие.

Пусть t' e TB и тип t' не сравним с любым типом из множества TA. Рассмотрим ненулевой элемент b e Bv . Так как b e A, то b имеет ненулевую координату в некоторой компоненте At группы A. Тогда t' < t. Получили противоречие с тем, что тип t' не сравним с любым типом из множества TA. Таким образом, TB с TA . Получаем, что TA = TB . Следовательно, группы A0 и B0 изоморфны.

Итак, получили A0 = B0 и Ap = Bp для каждого простого числа р. Значит,

группы A и B изоморфны и, следовательно, A - корректная группа в классе обобщенно вполне разложимых групп. ■

Используя теорему 17 и следствие 8, получаем такой результат. Следствие 18. Обобщенно вполне разложимая группа A определяется своими подгруппами в классе обобщенно вполне разложимых групп тогда и только тогда, когда A - Б-ступенчатая группа и для нее выполняется условие S-максимальности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Jonson B. On direct decomposition of torsion free abelian groups // Math. Scand. 1959. No. 2. P. 361-371.

2. Kaplansky I. Infinite Abelian Groups. Ann Arbor: Univ. of Michigan Press, 1954.

3. Crawly P. Solution of Kaplansky's test problem for primary abelian groups // J. Algebra. 1965. No. 4. P. 413-431.

4. de Groot J. Equivalent abelian groups // Canad. J. Math. 1957. No. 9. P. 291-297.

5. Росошек С.К. Строго чисто корректные абелевы группы без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1979. С. 143-150.

6. Шерстнева А.И. ^-последовательности и почти изоморфизм абелевых р-групп по вполне характеристическим подгруппам // Изв. вузов. Математика. 2001. № 5. С. 72-80.

7. Гриншпон С.Я. f.i.-корректность абелевых групп без кручения // Абелевы группы и модули. Томск, 1989. Вып. 8. С. 65-79.

8. Гриншпон С.Я. f.i.-корректные абелевые группы // Успехи матем. наук. 1999. № 6. С. 155-156.

9. Cornel I. Some ring theoretic Schroder-Bernstein theorems // Trans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 132. P. 335-351.

10. Trnkova V., Koubek V. The Cantor-Bernstein theorem for fuctors // Comment. Math. Univ. Carol. 1973. V. 14. P. 197-204.

11. Bumby R. Modules which isomorphic to submodules each other // Arch. Math. 1965. V. 16. P. 184-185.

12. HolzsagerR.,Hallahan C. Mutual direct summands // Arch. Math. 1974. V. 25. P. 591-592.

13. Росошек С.К. Чисто корректные модули // Изв. вузов. Математика. 1978. № 10. С. 143-150.

14. Борсук К Теория ретрактов. М.: Мир, 1971.

15. Eklof P., Sabbagh G. Model-completions and modules // Ann. Math. Log. 1971. V. 2. P. 251-299.

16. Мордовской А.К. Изоморфизм подгрупп абелевых групп // Абелевы группы и модули. Томск, 2000. Вып. 15. С. 38-45.

17. Гриншпон С.Я., Мордовской А.К. Определяемость абелевых групп своими подгруппами и почти изоморфизм // Исследования по математическому анализу и алгебре. Томск, 2001. Вып. 3. С. 72-80.

18. Megibben Ch. Separable mixed group // Comment. Math. Univ. Carolin. 1980. № 4. P. 755-768.

19. Гриншпон С.Я. Вполне характеристические подгруппы вполне разложимых абелевых групп // Изв. вузов. Математика. 2004. № 9. С. 18-23.

20. Grinshpon S.Ya., Grinshpon I.E., Sherstneva A.I. Almost isomorphic torsion free abelian groups and similarity of homogeneously decomposable groups // Acta Appl. Math. 2005. V. 85. P. 147-156.

Статья поступила 21.05.2014 г.

Grinshpon S.Ya., Mordovskoi A.K. CORRECTNESS OF ABELIAN TORSION-FREE GROUPS AND DETERMINABILITY OF ABELIAN GROUPS BY THEIR SUBGROUPS

An Abelian group A is called correct if for any Abelian group B isomorphisms A = B' and B = A', where A' and B' are subgroups of the groups A and B, respectively, imply the isomorphism A = B . We say that a group A is determined by its subgroups (its proper subgroups) if for any group B the existence of a bijection between the sets of all subgroups (all proper subgroups) of groups A and B such that corresponding subgroups are isomorphic implies A = B .

In this paper, connections between the correctness of Abelian groups and their determinability by their subgroups (their proper subgroups) are established. Certain criteria of determinability of divisible torsion-free groups and completely decomposable groups by their subgroups and their proper subgroups, as well as a criterion of correctness of such groups, are obtained.

Keywords: almost isomorphism, s-isomorphism, t-isomorphism, correctness of abelian groups, determinability of abelian groups by their subgroups (their proper subgroups).

GRINSHPONSamuil Yakovlevich (Doctor of Physics and Mathematics, Prof., Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation) E-mail: grinshpon@math.tsu.ru

MORDOVSKOI Andrei Konstantinovich (Candidate of Physics and Mathematics, Buryat State University, Ulan-Ude, Russian Federation) E-mail: mak13@mail.ru

REFERENCES

1. Jonson B. On direct decomposition of torsion free abelian groups. Math. Scand., 1959, no. 2, pp. 361-371.

2. Kaplansky I. Infinite Abelian Groups. Ann Arbor, Univ. of Michigan Press, 1954.

3. Crawly P. Solution of Kaplansky's test problem for primary abelian groups. J. Algebra, 1965, no. 4, pp. 413-431.

4. de Groot J. Equivalent abelian groups. Canad. J. Math., 1957, no. 9, pp. 291-297.

5. Rososhek S.K. Strogo chisto korrektnye abelevy gruppy bez krucheniya. Abelevy gruppy i moduli. Tomsk, 1979, pp. 143-150. (in Russian)

6. Sherstneva A.I. U-posledovatel'nosti i pochti izomorfizm abelevykh p-grupp po vpolne kharakteristicheskim podgruppam. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika, 2001, no. 5, pp. 72-80. (in Russian)

7. Grinshpon S.Ya. f.i.-korrektnost' abelevykh grupp bez krucheniya. Abelevy gruppy i moduli. Tomsk, 1989, vol. 8, pp. 65-79. (in Russian)

8. Grinshpon S.Ya. f.i.-korrektnye abelevye gruppy. Uspekhi matem. nauk, 1999, no. 6, pp. 155-156. (in Russian)

9. Cornel I. Some ring theoretic Schroder-Bernstein theorems. Trans. Amer. Math. Soc., 1968, vol. 132, pp. 335-351.

10. Trnkova V., Koubek V. The Cantor-Bernstein theorem for fuctors. Comment. Math. Univ. Carol., 1973, vol. 14, pp. 197-204.

11. Bumby R. Modules which isomorphic to submodules each other. Arch. Math., 1965, vol. 16, pp. 184-185.

12. Holzsager R., Hallahan C. Mutual direct summands. Arch. Math, 1974, vol. 25, pp. 591-592.

13. Rososhek S.K. Chisto korrektnye moduli. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika, 1978, no. 10, pp. 143-150. (in Russian)

14. Borsuk K. Teoriya retraktov. Moskow, Mir Publ., 1971. (in Russian)

15. Eklof P., Sabbagh G. Model-completions and modules. Ann. Math. Log., 1971, vol. 2, pp. 251-299.

16. Mordovskoy A.K. Izomorfizm podgrupp abelevykh grupp. Abelevy gruppy i moduli. Tomsk, 2000, vol. 15, pp. 38-45. (in Russian)

17. Grinshpon S.Ya., Mordovskoy A.K. Opredelyaemost' abelevykh grupp svoimi podgruppami i pochti izomorfizm. Issledovaniya po matematicheskomu analizu i algebre. Tomsk, 2001, vol. 3, pp. 72-80. (in Russian)

18. Megibben Ch. Separable mixed group. Comment. Math. Univ. Carolin., 1980, no. 4, pp. 755-768.

19. Grinshpon S.Ya. Vpolne kharakteristicheskie podgruppy vpolne razlozhimykh abelevykh grupp. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika, 2004, no. 9, pp. 18-23. (in Russian)

20. Grinshpon S.Ya., Grinshpon I.E., Sherstneva A.I. Almost isomorphic torsion free abelian groups and similarity of homogeneously decomposable groups. Acta Appl. Math., 2005, vol. 85, pp. 147-156.