CC BY
19
А.И. Жорник, В.А. Киричек
КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ МИКРООБЪЕКТОВ. УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА - ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Аннотация. Рассматривается корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов, в связи, с чем анализируются одномерные движения корпускулы и волны с получением для неё волнового уравнения. Показывается, что в механике микрообъектов (в волновой квантовой механике) связь между операторами динамических переменных имеет такой же вид, как и между соответствующими динамическими переменными в механике макрообъектов (в классической механике корпускул). На основании этого получено нестационарное уравнение Шрёдингера.
Ключевые слова, корпускула, волна, корпускулярно-волновой дуализм, уравнение Шрёдингера, скорость, импульс.
A. I. Zhornik, V.A. Kirichek
WAVE-PARTICLE MICROOBJECTS' DUALITY. SCHRODINGER EQUATION - THE BASIC NON-RELATIVISTIC QUANTUM MECHANICS' EQUATION
Abstract. The particle-wave dualism of microobjects is considered, in connection with which the one-dimensional motions of a corpuscle and a wave are analyzed to obtain a wave equation for it. It is shown that in the mechanics of microobjects (in wave quantum mechanics), the relationship between the operators of dynamic variables has the same form as between the corresponding dynamic variables in the mechanics of macroobjects (in classical mechanics of corpuscles). Based on this, the nonstationary Schrodinger equation is obtained.
Keywords: corpuscle, wave, wave-particle duality, Schrodinger equation, velocity, impact.
В физике существует два вида процессов передачи энергии на большие расстояния, а, следовательно, и две модели для их описания.
Первый вид движения связан с тем, что вместе с движением (с энергией) передаётся и масса. Это полёт камня, движение Луны вокруг Земли и т.д. Такой вид движения называется корпускулярный. Такое название связано с тем, что если поперечные размеры тела значительно меньше размера области пространства, в которой исследуется движение этого тела, то оно (тело) представляется в виде геометрической точки (размер - нуль) и ей приписывается масса этого тела. В классической механике это понятие называется материальной точкой, а в физике - частицей (корпускулой). Если эта частица имеет заряд, то она называется точечным зарядом. Нужно отметить, что понятие геометрической точки взято из геометрии, которой в физике приписали ещё массу и заряд. Если размер тела соизмерим с размером области пространства, в которой исследуется движение тела, то берётся набор материальных точек, дискретных, как атомы в кристаллическом теле, или непрерывных, если тело рассматривается сплошным. Чем больше размер тела, тем требуется брать большее число материальных точек. Однако одно и то же тело может моделироваться как одной материальной точкой, так и набором материальных точек, поскольку это моделирование связано ещё и с размером области пространства, в котором исследуется движение этого тела. Так, автомобиль, движение которого исследуется при рассмотрении его движения, например, от одного населенного пункта до другого, моделируется материальной
45
точкой. Но в том же автомобиле, буксующем в грязи, даже вращающееся колесо, нужно моделировать набором материальных точек, распределённых по радиусу колеса, ибо в центре колеса точка покоится, а в области шины она вращается с большой скоростью. При корпускулярном движении вводятся свои понятия: координата материальной точки, характеризующая её положение, траектория, след, который оставляется материальная точка при своём движении, скорость её, ускорение, импульс, момент импульса, энергия.
Однако существует и другой вид движения - передача энергии на большие расстояния. В этом виде движения масса перемещается на малые расстояния. Более того, она может перемещаться совершенно в другом направлении в отличие от перемещения энергии. Примером такого движения передачи энергии является движение волн на поверхности моря, когда энергия передаётся на большие расстояния вдоль поверхности, в то время как частицы воды перемещаются приблизительно перпендикулярно поверхности. Об этом можно судить по движению поплавка. Такой вид движения называется волновым. В этом виде движения имеются свои понятия с основным понятием волны. Это не ограниченный в пространстве и во времени процесс. Если он периодический, то называется гармонической волной. Источником гармонической волны является колебание хотя бы одной точки, которая совершает периодические движения во времени. Для характеристики колебаний существуют свои понятия: период колебания - время, в течение которого совершается одно полное колебание, которое обозначается Т и измеряется в секундах в системе СИ, частота колебаний - число полных колебаний за одну секунду, измеряемое в системе СИ в герцах и обозначается буквой V . Между ними существует зависимость Т = 1/V; амплитуда -наибольшее изменение колеблющейся величины. Поскольку источник совершает колебание, то колеблющаяся величина изменяется со временем. Любое фиксированное значение колеблющейся величины (отклонение струны от положения равновесия, изменение во времени давления воздуха, напряжённость электрического поля) определяется фазой. Если около источника существуют частицы для механических волн или элементы поля для электромагнитных волн, то эти частицы и элементы поля начинают тоже совершать колебания, но запаздывающие во времени, т.е. в пространстве пошла волна. Это тоже набор колебаний, но они несколько запаздывают во времени. Запаздывание колебаний связано со степенью взаимодействия этих элементов между собой и от массы для частиц и индуктивности для элементов поля. Причём, чем дальше эти частицы или элементы поля от источника, тем более они запаздывают. При этом важно отметить, что любое фиксированное значение колеблющейся величины источника, характеризующегося фазой колебания, начинает перемещаться в пространстве с какой-то скоростью V,!, , которая называется
фазовой. Помимо введённых ранее понятий для колебаний источника для волны введено дополнительное понятие фазовая скорость. Расстояние, которое проходит фаза в волне за время, равное одному периоду колебания источника, называется длиной волны. В системе СИ длина волны измеряется в метрах и обозначается - X .Отсюда X = у,Т.
Как было сказано выше, волновой процесс происходит в пространстве и во времени. Одна чистая волна, характеризующаяся понятиями, введенными ранее, не ограничена в пространстве и во времени. Однако реальный волновой процесс ограничен в пространстве источником и приёмником, а также ограничен во времени. Поэтому исследование реального волнового процесса связано с набором волн (с суперпозицией волн), с различными длинами волн X, частотами V, фазовыми скоростями, причем связано так, что вне пространства между приёмником и источником волновой процесс отсутствовал бы. Причём, чем короче промежуток времени, в течение которого происходит волновой процесс и меньше расстояние между источником и приёмником, тем большее число волн требуется брать в наборе. Набор этих волн в общем случае имеет разные фазовые скорости. Зависимость фазовой скорости от частоты называется дисперсией. Дисперсией объясняется возможное изменение формы волнового пакета. Для нормальной дисперсии света чем больше частота, тем меньше фазовая скорость. В вакууме свет дисперсией не обладает. Однако в стекле она наблюдается. Фазовая скорость в стекле уменьшается, причём, чем больше частота, тем быстрее уменьшается фазовая скорость. Поэтому если луч света падает на стеклянную пластину под углом, то, проходя стеклянную пластину, красный луч преломляется меньше, а фиолетовый,
обладающий большей частотой, преломляется больше. В результате наблюдается пространственная картина расщепления солнечного света как следствие дисперсии.
Рассмотрим, прежде всего, некоторые сведения о движении корпускул со скоростями, значительно меньшими скорости света, поскольку это необходимо для дальнейшего изложения.
Основной закон для описания движения корпускул в инерциальной системе отсчёта установлен И. Ньютоном (второй закон динамики) как обобщение экспериментальных данных. Пусть корпускула массой т0 движется вдоль оси х под действием силы Fx, направленной вдоль этой оси (одномерное движение). Тогда следствие закона Ньютона запишем в виде
Fx
А^
' лГ
(1),
где А^- приращение скорости корпускулы за промежуток времени А^ от ^ до ^ + АЦ. Заметим, что выражение (1) записано в конечных малых разностях, т.к. приведённый в дальнейшем метод для определения кинетической энергии, накопленной корпускулой по достижении ею скорости V , можно применить при изучении в курсе физики средней школы не только для данного процесса. Он может быть использован также при определении потенциальной энергии растянутой пружины, электрической энергии заряженного плоского конденсатора, магнитной энергии катушки индуктивности, по которой течёт электрический ток. Применим выражение (1) для определения кинетической энергии корпускулы Ек, которую корпускула будет иметь, обладая скоростью V. Поскольку кинетическая энергия корпускулы АБ;,, накопленная на участке Ах1 = ^А^, который корпускула проходит за время А^, численно равна работе АА^илы Fx
Лv■
на участке Ах1 = viлti, то АЕ1 = АА1 = FxАх1 = т0 —L v1 А^ ,
или
АЕ-
= m0vАv,
(2)
Построим график зависимости импульса р = т0 полупрямую, исходящую из начала координат р^ (рис.1).
от V, который представляет собой
Рис.1. Зависимость импульса корпускулы от её скорости
Из рис. 1 видно, что АЕ1 в выражении (2) геометрически представляет собой площадь под прямой в интервале v1 +Лv1) (заштрихованная часть плоскости на рисунке) и поэтому, когда
корпускула будет иметь скорость v, то площадь треугольника с основанием v и высотой равна
будет
т
т^
0
^АЕ, = вк = :2л
Ек = = ^ (3)
или
л2
2 2ш0
Поэтому, если в момент времени 1, когда корпускула достигнет скорости V, перестанет действовать сила (частица станет свободной), то корпускула будет двигаться с постоянной скоростью V, имея импульс ш0л.
Рассмотрим теперь элементы волновой классической механики на примере одномерного волнового процесса вдоль оси х, вызванного гармоническим колебанием источника вдоль оси у(хд) в точке х=0
У(х,1)|х=0 = А^ ю1, (4),
где А - амплитуда колебания, ю1 - фаза колебаний, ю - циклическая частота, у(хД)|х 0 -
колеблющаяся величина. Об амплитуде А и фазе ю1 было сказано выше. Из (4), кстати, видно, что если зафиксировать фазу ю1 = сом^ то зафиксируется и колеблющаяся величина у(х,-1)|х=0.
Однако необходимо пояснить появление циклической частоты. Во-первых, поскольку под знаком косинуса стоит фаза ю1, имеющая угловую размерность - радиан. Поэтому ю , имеет размерность рад/с. Появление этой величины объясняется следующим образом. Изобразим векторную диаграмму, в которой вектор, по величине равный амплитуде А, вращается вокруг некоторой точки О против часовой стрелки с угловой скоростью ю (рис 2). Если отсчет вращения этого вектора вести от вертикали, то проекция этого вектора на вертикаль дает согласно (4) у(х,-1)|х0,
т.е. описывает колебательный процесс источника. За один оборот, т.е. поворот на угол 2л радиан вектора А, конец проекций вектора на вертикаль совершает полное колебание. Если конец проекции совершает V полных колебаний в секунду, то вектор совершает V оборотов и вектор поворачивается за 1 секунду на 2™ радиан, т.е. угловая скорость ю = , где V, , как было сказано выше, - частота колебаний.
0
Рис.2. Векторная диаграмма, моделирующая колебание
Если источник колебаний окружен средой (вещество или поле) и элементы окружающей среды взаимодействуют между собой, а близлежайшие к источнику взаимодействуют с источником, то колебания источника будут передаваться среде и её элементы начнут совершать колебания, но с запаздыванием, которое зависит от силы взаимодействия и свойств среды. Если не учитывать поглощение, то эти колебания элементов, находящихся на расстоянии х > 0 от источника, запишутся в виде
y(x,t) = A cos —(t - At) = Acos ю
t--
= Acos
( \ ю
rot--x
(5)
где At - время запаздывания колебаний в точке x по сравнению с колебанием источника, rot —— x - фаза волны, v. - скорость распространения постоянной фазы.
Графическое изображение бегущей волны показано на рис.3, где в начале координат источник совершает колебания у(хД)| .
x
v
v
ф
ф
ф
Рис.3 Бегущая волна
Скорость распространения фазы волны у, (фазовая скорость) определяется, как было
сказано выше, из условия
Поэтому
t —
= C
1- •
x(t) = v | t--1
dx
dT
(6)
(7)
Если зафиксировать фазу волны, то согласно (5), Acos(—tx) = AcosCj = C2 = y(x,t)
и,
следовательно, зафиксированная колеблющаяся величина С2 будет перемещаться с фазовой скоростью Уф. В частности, если с1 = 0, то С2, , равная А ( амплитуда волны), перемещается со скоростью Уф вдоль оси х с течением времени, что хорошо видно из рис.3.
С фазовой скоростью связана длина волны - это расстояние, которое проходит фаза за время, равное периоду Т колебаний источника, т.е.
X = ^Т.
(8)
Используя (8), можно выражение (5) связать с длиной волны X.
_ го ,
Для этого в (5) преобразуем — =-=-= — = к - волновое число.
уф уф уфт х
Тогда
y(x,t) = Acos(—t - kx).
(9)
x
ю
v
ф
ф
Учитывая формулу Эйлера е±1ф = cosф± isinф в дальнейшем гармоническую одномерную прямую волну, распространяющуюся вдоль x>0, запишем в виде
y(x,t)|x=0 = Ae-l(rat-kx), (10)
которая удовлетворяет одномерному волновому уравнению
v,
2 a2^(x,t) a2^(x,t)
Ф ax2 at2 ■
(11)
До конца XIX века физика развивалась совершенно независимо: как корпускулярная со своим основным понятием корпускулой (размер равен нулю) и как волновая с понятием волны (со своим размером, бесконечным во времени и пространстве). Более противоречивых понятий не существовало. Но это была макрофизика, которая исследовала явления природы почти безо всяких приборов, т.е. с помощью только в основном органов чувств. В конце XIX века, когда появились приборы для изучения микромира (атомов и молекул), то физика столкнулась с таким явлением, что микрообъекты проявляли в одних экспериментах волновые свойства, а в других - корпускулярные, т.е. проявляли корпускулярно-волновой дуализм.
Однако, решая проблему теплового излучения [1; 4; 6], М. Планку пришлось предположить, что свет излучается и поглощается порциями (квантами). Энергия одной порции Е = йю, где й -постоянная Планка - равна й = 1,05 1023Дж • с.
При объяснении явления внешнего фотоэффекта А. Эйнштейн воспользовался этой идеей, дополнив её тем, что свет не только излучается и поглощается порциями, но и распространяется порциями (квантами). Другими словами, порционность (корпускулярность) присуща свету, как и волновые свойства. Кванты света были названы фотонами. При изложении этой двойственности (дуализма) света нужно учесть, что свет в вакууме распространяется со скоростью с 3 -108м/с и поэтому при рассмотрении его корпускулярных свойств необходимо применить релятивистскую механику корпускул.
А. Эйнштейн приписал фотону импульс р.
Из специальной теории относительности Эйнштейна следует, что энергия (в отсутствии силового поля) свободной частицы (корпускулы)
Е = шс2, (12)
где ш - релятивистская масса равна
(13)
ш0 - масса покоя, V - скорость корпускулы, с - скорость света в вакууме - предельная скорость передачи энергии.
Импульс р корпускулы определяется как
р - шЛ. (14)
Поскольку фотон распространяется со скоростью с, то тогда согласно (10) масса ш0 фотона
равна нулю, т.е. покоящегося фотона не существует, а импульс фотона
Е йю
p = mc :
= йк, (15)
2л
где, как указывалось выше, k = — - волновое число.
X
Две формулы (е - йю, введенную М. Планком для решения проблемы теплового излучения и использованную Эйнштейном для объяснения явления фотоэффекта, и р = йк найденную Эйнштейном и подтвержденную А. Комптоном при объяснении эффекта Комптона) отражают корпускулярно-волновой дуализм (двойственность) фотонов. В одних условиях эксперимента
c
c
проявляются волновые свойства фотонов (интерференция, дифракция и т.д.) в других -корпускулярные (фотоэффект, эффект Комптона и т.д.)
Дуализм «волна-частицы», как указывалось выше, был установлен при изучении природы света. В начале 20-х годов XX века Л. де Бройль [2], используя двойственность света, выдвинул гипотезу о том, что этот дуализм не является особенностью только света, а имеет универсальный характер. «В оптике, - написал учёный, - в течение столетия слишком пренебрегали корпускулярным способом рассмотрения по сравнению с волновым; не делалась ли в теории материи обратная ошибка? Не думали ли мы слишком много о картине «частиц» и не пренебрегали ли чрезмерно картиной волн?». К наличию волновых свойств у корпускул его привела также оптико-механическая аналогия, которую отметил ещё в 20-х годах XIX века У.Р. Гамильтон, которой в дальнейшем воспользовался Э. Шрёдингер при получении основного уравнения нерелятивистской квантовой механики [7]. Идея де Бройля состояла в том, что необходимо расширить аналогию между механикой корпускул и геометрической оптикой, отмеченную Гамильтоном, и волновой оптике более общей, нежели геометрическая оптика, сопоставить волновую механику, более общую, нежели механика корпускул (классическая) и применимую к внутриатомным движениям. Поэтому, если имеется корпускула, движущаяся в отсутствии силового поля (о чём говорилось выше при описании корпускулярного движения), то в корпускулярной картине она обладает энергией Е и импульсом р, которые характеризуют движение корпускулы и называются динамическими переменными. В волновой же картине она обладает циклической (круговой) частотой ю и длиной волны X. Поэтому связь между величинами, характеризующими эти картины, определяется соотношениями Е = йю и р = 2лй/ X = йк. Из последних выражений также чисто формально виден корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов, т.к. слева в них стоят физические величины Е и р, характеризующие движение микрообъекта как корпускулы, а справа ю и X как волны.
Позже, в 1927 году, эта идея была подтверждена впервые Дэвиссоном и Джермером, наблюдавшими дифракцию электронов на кристаллах. В настоящее время эти две формулы надежно подтверждены экспериментально и, более того, нашли практическое применение. Используя идею о корпускулярно-волновом дуализме микрообъектов, попытаемся получить основное уравнение нерелятивистской волновой квантовой механики - уравнение Шрёдингера несколько другим путем, чем это изложено в [1; 3; 4; 5; 6; 7].
Для этого уравнение для энергии Е = шс2 запишется в другой форме:
Е-^/р2с2 + ш2с4, (16)
которую, преобразуя с использованием (14) и (13), можно получить (12).
В частности, для фотона (ш0 = 0) эта формула преобразуется к виду
Е2 = с2р2 (17)
В случае малых скоростей движения корпускул (ш0 ф 0) при л<<с выражение (16) можно преобразовать к виду
р2
Е = ш0с2 (18)
2ш0
Без учета энергии покоя ш0с2это выражение получено в (3).
Для этого необходимо (13) записать в виде Е = ш0с2^1 + V2/с2, обозначая в последнем
V2
выражении —- = и разлагая это выражение в степенной ряд по , ограничиваясь двумя членами с2
ряда, т.к. - малая величина ^ — << . Причем полагается р = ш^.. В (18) первое слагаемое - энергия
покоя корпускулы, второе слагаемое - кинетическая энергия (энергия движения) её.
Рассмотрим теперь волновую механику применительно к фотонам. Как было сказано выше, основным уравнением волновой механики является волновое уравнение (11), которое для фотона в одномерном случае (вдоль оси х) имеет вид:
2 9У(х,1) С>У(хД) 2( ь2Л 9У(х,1) , 2%2Л 9У(х) ПОч
с -2-=-2- или с )-2-= (_с " )-2— (19)
ах2 912 а2 ах2
Умножение на -й связано с формулами де Бройля, о чем будет сказано в конце работы. Введем операции (операторы), которые действуют на функцию у(х,1).
Е = -—— - оператор полной энергии (20)
i 91
рх = —— - оператор проекции импульса на ось х (21)
1 9х
Тогда квадраты этих операторов имеют вид:
(Е)2 = ЕЕ = -—АГ-—= 2 4, (Рх )2 = -—2^_ (22)
1 91Г 1 91) 91 '' 9х2
Второе выражение для волнового уравнения (19) через последние операторы запишем в
виде:
(Е) у(х,1) = с2 (Рх) у(х,1) (23)
В символическом виде связь между операторами (Е) и (рх) можно записать в виде
(Е )2 = с2 (Рх )2 (24)
Если сравнить выражения (17) и (24), то видно, что связь между энергией и импульсом в механике корпускул (классическая механика, или механика макрочастиц) (выражение (17)) такая же, как между операторами энергии и импульса (выражение (24)) в волновой квантовой механике (механика микрочастиц), дающей волновое уравнение. Постулируется, что в механике микрообъектов (волновой квантовой механике) связь между операторами динамических переменных имеет такой же вид, как и между соответствующими динамическими переменными в механике макрообъектов (в классической механике корпускул). В частности, в [1; 5] оператор
момента импульса М получается из момента импульса механики корпускул М = радиус вектор корпускулы, т.е.
г,Р
, где г -
М =
г,Р
(25)
где в декартовой системе координат
г = гх + jy + кЁ = к + jy + к^ (26)
Р = — |Т—+1 9 | г 9 | (27)
1 ^ 9х 9у 9ё )
Здесь действие операторов х, у, г есть операция умножения соответствующих координат
й_9_ = й 9
г 9у РЁ г 9ё
й 9
х,у,Ё на волновую функцию Т(х,у,Ё), а операторы Ру = -— рё = --9 получены как обобщение
оператора Рх =--.
г 9х
Пользуясь сказанным выше по поводу связи между динамическими переменными в классической механике и операторами динамических переменных в квантовой механике, получим одномерное нестационарное уравнение волновой квантовой механики для микрообъектов, перемещающихся с малыми скоростями и поэтому имеющими массу покоя т0. Поскольку в механике корпускул для одномерного движения свободной корпускулы вдоль оси х выполняется равенство (18)
,2
Е = т0с2 +-^4 (28)
2т0
то для операторов волновой квантовой механики будет выполняться символическое равенство
Е = ш0е2 + (р^, (29)
2шп
'о
которым подействуем на волновую функцию у(х,1)
Еу(х,1) = ш0с2у(х,1)+ -^(Рх)2У(х,1), (30)
2шп
или с учётом вида операторов Е и (рх)2 по (20) второго выражения (22)
Й 5ш(х,1) 2 , ^ Й2 52ш(х,1) -- 5 = ш0с2у(х,1) ----(31)
i 51 2ш0 5х2
Выражение (31) есть одномерное нестационарное уравнение Шрёдингера для описания поведения свободного микрообъекта, движущегося с малой скоростью.
Уравнение (31) получено для свободной микрочастицы, поэтому данное уравнение необходимо обобщить на случай частицы, движущейся в силовом поле, характеризующемся потенциальной энергией и(х). Полная энергия микрочастицы в таком поле равна сумме Ек + и(х) = Е.
Поскольку кинетическая энергия Ек = рх , то оператор кинетической энергии
2ш0
Ек = ~ (Рх)2.
2ш0
Тогда согласно (29) Е = ш0с2 + Ек. Но в последнем выражении слева стоит оператор полной энергии, что справедливо и для свободной частицы, т.к. для неё и(х) = 0. Однако если микрочастица находится в силовом поле, то для выполнения (29) необходимо, чтобы не только слева стоял оператор полной энергии, но и справа. Поэтому для выполнения последнего выражения с учётом потенциальной энергии к нему справа необходимо прибавить оператор потенциальной энергии и(х)
Е = Ек + и(х) + ш0с2 (32)
Поскольку, как было сказано, оператор потенциальной энергии зависит только от координаты х, то действие оператора и(х) на функцию у (х,1) связано с произведением и(х) на функцию у(х,1), т.е. и(х) -у(х,1)
й2 5 2
Е = -—--+ и(х) + ш0с2. (33)
2ш0 5х2
Учитывая, что потенциальная энергия определяется с точностью до константы, ш0с2, можно
включить в и(х), и тогда, для оператора полной энергии получаем следующее выражение
Й2 52
Е = - 2-+ и(х). (34)
2ш0 5х2
Действуя оператором полной энергии (34) на функцию у(х,1), имеем одномерное (в декартовой системе координат) нестационарное уравнение Шрёдингера для микрочастицы, движущейся в силовом поле с потенциальной энергией и(х)
22
й5^(хД) = + ЩхЖхД) (35)
i 51 2ш0 5х2 Это уравнение можно обобщить на трёхмерный случай
- й 5^(х5У,^,1)= # А^(х,у,/,1) + и(х,у,7Жх,у,М), (36)
i 51 2ш0
где А = -5— + -5у+—2 - оператор Лапласа, записанный в декартовой системе координат.
5х 5у 5/
Это уравнение можно записать в инвариантной форме.
й 9у(М,1) г 91
2т,
-А + и(М)
у(М,1),
(37)
где А = divgгad .
Формула (37) позволяет записать уравнение Шрёдингера в любой ортогональной системе координат.
Рассмотрим решение уравнения Шрёдингера, соответствующее стоячим волнам.
Наглядным примером стоячих механических волн может служить колебания струн музыкальных инструментов, концы которых жестко закреплены. На рис.4. изображено несколько положений колеблющейся струны (пунктирные линии). Одно из положений (верхнее) струны, выведенной из положения равновесия и занимающей в начальный момент времени положение, соответствующее 10 = 0, изображено сплошной линией.
и=т
Ч=о
Рис.4. Стоячая волна
В начальный момент времени 10 = 0 струна покоится (скорость любого элемента струны у0 = 0). Потенциальная энергия элемента струны максимальна и равна полной энергии (кинетическая энергия равна нулю). С течением времени потенциальная энергия убывает, т.к. убывает натяжение струны, а кинетическая появляется (11 > 0,^ > 0). Происходит переход части потенциальной энергии в кинетическую. Однако полная энергия Е = Ек + и сохраняется, т.к. предполагается отсутствие трения на концах струны в закреплении и отсутствие сопротивления воздуха. Несмотря на то, что полная энергия в разных точках струны разная, она, тем не менее, не передается от точки к точке струны в отличие от бегущей волны. Аналогичная картина наблюдается и для стоячих электромагнитных волн, в которых энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Для стоячих волн координаты и время независимы.
Поэтому для стоячих волн решение (37) может быть представлено в виде произведения двух функций, из которых одна есть функция Т(М) только координат точки М, а другая - Т(1) - только времени 1
у(М,1) = Т(М)Т(1) (38)
Подставляя (38) в (37)
— 9Т(М)Т(1) г 91
й2
2т,
-А + и(М)
Т(М)Т(1),
(39)
делением (39) на Т (М)Т(1) получим
й ат(1) г а1Т(1)
2т,
-А + и(М) Т(М)
Т(М)
2
й
2
й
Здесь справа оператор в квадратных скобках действует на функцию Т(М) и дает некоторую
функцию
2то
А + и(М)
Т (М).
Левая часть выражения (40) зависит только от времени 1, а правая часть - только от координат. Однако, поскольку переменные М и 1 независимы, равенство (40) будет соблюдаться только в том случае, если оно равно некоторой постоянной, причём размерности энергии. Поскольку в стоячей волне полная энергия в каждой точке постоянна, то полагаем эту постоянную равной полной энергии
й2
--А + и(М)
2т п
й dT(t) 1 _
i dt Т(Г) " Т(М)
Т(М)
-= Е (41)
или
й ат© 1
а т©
=Е (42)
_й!. 2т0
А + и(М)
Т(М) = ЕТ(М) (43)
Выражение (35) преобразуем к виду
— = --Е^, (44)
Т й
интегрируя которое
1Т = - И ^ ^ = - ^ (45)
получаем решение для временной составляющей Т(1) волновой функции у(Мд)
Т(1) = е й . (46)
Координатная составляющая Т(М) волновой функции у(МД) определяется стационарным уравнением Шрёдингера (43), которое записывается в виде
АТ(М) + [Е - и(М)]Т(М) = 0, (47)
где Е - неизвестная постоянная полная энергия (стационарное состояние). Эта важнейшая постоянная определяется из решения уравнения (47) с учётом, так называемых естественных условий, налагаемых на волновую функцию Т(М) (непрерывность, гладкость, ограниченность и однозначность). Кроме того, волновая функция должна удовлетворять условиям нормировки, связанным со статистическим толкованием волновой функции, т.е. вероятностью с^(М) = Т(М)Т*(М)аУ = |Т(М)|2аУ нахождения микрообъекта в элементе объема СУ, охватывающим точку М, и поэтому
(М)Т*(М)аУ = 1. (48)
При этом потенциальная энергия и(М) должна быть задана.
В частном случае свободного одномерного движения микрочастицы вдоль оси х (47) принимает вид
+ ^2°ЕТ(х) = 0, Е > 0, х > 0, (49)
ах2 й2
или
^Т?2 + 4Т(х) = 0, х > 0. (50)
ах й
Решение этого уравнения для прямой волны имеет вид:
55
Т(х) = Ае й , х > 0. (51)
Тогда, подставляя (46) и (51) в (38) для одномерного случая вдоль оси х, имеем решение для волновой функции у(х,1)в виде
—а+^х
у(х,1) = Ае й й , (52)
Учитывая формулы де Бройля, отражающие корпускулярно-волновой дуализм микрообъектов, указанных выше, получим (52) в виде
у(х,1) = АеЧ(шИ1х) (53)
Это выражение совпадает с (10) для обычной классической плоской волны, распространяющейся вдоль оси х.
ЛИТЕРАТУРА
1. Борн, М. Атомная физика. М.: Мир, 1970. 477 с.
2. Де Бройль Л. Попытка построения теории световых квантов // Успехи физических наук 1977. Т. 122. Вып. IV. C. 562-571.
3. Ландау, Л. Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. T.IV. Издание четвертое, исправленное. М.: Наука, 1989. 617 с
4. Матвеев, А.Н. Квантовая механика и строение атома. М.: Высшая школа, 1965. 350 с.
5. Соколов, А.А., Тернов, И.М., Жуковский В.Ч. Квантовая механика. М.: Наука, 1979. 528 с.
6. Шпольский, Э.В. Атомная физика. T..I. М.: Наука, 1974. 575 с.
7. Шрёдингер, Э. Квантование как задача о собственных значениях // Успехи физических наук. 1977. Т. 122. Вып. IV. C. 621 - 632. '
И.В. Заика
СОЗДАНИЕ ОКОННЫХ ПРИЛОЖЕНИЙ СРЕДСТВАМИ VISUAL STUDIO С++
Аннотация. В статье представлены разработки оконных приложений в MS Visual Studio С++ 2019. MS Visual Studio С++ позволяет создавать законченные приложения для Windows различной направленности, в частности, оконный интерфейс для приложений браузер и калькулятор. Ключевые слова: C++, разработка оконных приложений в MS Visual studio С++.
I.V. Zaika
CREATING WINDOW APPLICATIONS USING VISUAL STUDIO C++
Abstract. The article presents the development of window applications in MS Visual Studio C++ 2019. MS Visual Studio C++ allows you to create complete applications for Windows of various directions, in particular, a window interface for browser and calculator applications.
Keywords: C++, development of window applications in MS Visual studio C++.
Разработка программного обеспечения сочетает инженерные технологии с практикой разработки программного обеспечения. Большинство современных языков программирования, таких как C ++, ObjectPascal, Java, Python, используют комбинацию объектно-ориентированного программирования (ООП), а также процедурное программирование, что означает, что ООП стало очень важной эволюцией в мире развития. С++ позволяет создавать законченные приложения для
