ИЗУЧАЕМ МАТЕМАТИКУ УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

открытый урок

В. И. ДЕМИДЧЕНКО, И.П. РЯБЧУН

V.I. DEMIDCHENKO, I.P. RYABCHUN

ИЗУЧАЕМ МАТЕМАТИКУ

WE STUDY MATHEMATICS УРАВНЕНИЕ ШРЁДИНГЕРА. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ SCHROEDINGER EQUATION. WAVE FUNCTION

Сведения об авторах: Демидченко Владимир Иванович - профессор кафедры физики и электротехники Краснодарского высшего военного авиационного училища летчиков имени Героя Советского Союза А.К. Серова, кандидат технических наук, доцент (г. Краснодар. E-mail: 9298265500@ mail.ru);

Рябчун Илья Петрович - доцент кафедры физики и электротехники Краснодарского высшего военного авиационного училища летчиков имени Героя Советского Союза А.К. Серова, кандидат технических наук, доцент (г. Краснодар. E-mail: [email protected]).

Аннотация. Корпускулярно-волновой дуализм, принцип неопределенности, стационарная и нестационарная трехмерная волновая функция говорят о сложности рассматриваемого вопроса квантовой механики. Таинственность и загадочность квантовой теории состоят в том, что в классической физике можно получить ясное представление о движении электрона; в квантовой же физике - нет, в ней следует говорить, что электрон находится в определенном состоянии, которое характеризируется волновой функцией и вероятностью пребывания его в этом состоянии. Значение же волновой функции можно определить из решения уравнения Шрёдингера. А вероятность нахождения электрона в конкретной точке пространства и времени определяется квадратом абсолютного значения волновой функции. Уравнение Шрёдингера не учитывает релятивистских эффектов, то есть относительности пространства и времени. Релятивистскую теорию квантовых частиц описал П. Дирак. Авторы попытались популярно изложить непростое понятие волновой функции и постулировано записать уравнение Шрёдингера.

Ключевые слова: принцип Гейзенберга, квантовая механика, волновая функция, вероятность, плотность вероятности, корпускулярно-волновой дуализм.

Information about the authors: Vladimir Demidchenko - Professor of the Subdepartment of Physics and Electrical Engineering, Krasnodar Higher Military Aviation School of Pilots named after Hero of the Soviet Union A.K. Serov, Cand. Sc. (Tech.), Associate Professor (city of Krasnodar, E-mail: 9298265500@ mail.ru);

Ilya Ryabchun - Associate Professor of the Subdepartment of Physics and Electrical Engineering of the Krasnodar Higher Military Aviation School of Pilots named after Hero of the Soviet Union A.K. Serov, Cand. Sc. (Tech.), Associate Professor (city of Krasnodar, E-mail: [email protected]).

Summary. The corpuscular-wave dualism, uncertainty principle, stationary and non-stationary three-dimensional wave function are for the complexity of the quantum mechanics in question. The mystery of the quantum theory is that in classical physics one can get a clear idea of the motion of an electron; in quantum physics, no, it should be said in it that the electron is in a certain state, which is characterised by the wave function and the probability of its stay in this state. The value of the wave function can be determined from the solution of the Schroedinger equation. And the probability of finding an electron at a particular point in space and time is determined by the square of the absolute value of the wave function. The Schroedinger equation does not take into account relativistic effects, that is, the relativity of space and time. P. Dirac described the relativistic theory of quantum particles. The authors attempted to popularise the difficult concept of the wave function and to write down the Schroedinger equation as a postulate.

Keywords: heisenbergprinciple, quantum mechanics, wave function, probability, probability density, corpuscular-wave dualism.

ОТКРЫТЫЙ УРОК

Принцип Гейзенберга ограничивает применение классической механики к микрообъектам, которые, помимо дискретных, обладают еще и волновыми свойствами. Открытие волновых свойств у движущихся микрочастиц вещества послужило фундаментом для создания квантовой механики - раздела теоретической физики, изучающего законы движения микрообъектов с линейными размерами 10-10... 10-15 м, а также их взаимодействие между собой и структурными элементами вещества. Квантовая механика, изучающая движение микрочастиц со скоростями и«с, называется нерелятивистской, а при и < с - релятивистской квантовой механикой. Рождение ее относится к 1900 г., когда М. Планк сформулировал квантовую гипотезу. Выдающаяся роль в развитии квантовой механики принадлежит трудам В. Гейзенберга, Э. Шрё-дингера и П. Дирака.

В квантовой механике принципиальный интерес представляет физическая природа волн де Бройля. Чтобы разобраться в этом, следует сравнить дифракцию световых волн и микрочастиц.

Отдельная волна, падающая на дифракционную решетку, порождает множество вторичных волн, усиливающих или ослабляющих друг друга. Дифракционная картина от световых волн, как известно, характеризуется тем, что вследствие наложения дифрагирующих волн в различных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды колебаний. А интенсивность дифракционной картины согласно волновым представлениям о природе света пропорциональна квадрату амплитуд световых волн. Если же рассматривать дифракцию света с позиции его дискретных свойств, то

интенсивность света в конкретной точке дифракционной картины определяется числом фотонов, попадающих в эту точку. Таким образом, число фотонов в конкретной точке дифракционной картины задается квадратом амплитуды световой волны. Квадрат же амплитуды определяет вероятность попадания одного фотона в конкретную точку.

Дифракционная картина, например, от электронов в результате их рассеяния и отражения также характеризуется неодинаковым распределением потока микрочастиц по различным направлениям. Каждый электрон за решеткой летит в определенном направлении. При этом оказывается, что вероятность его движения в том или ином направлении изменяется также, как и интенсивность волн де Бройля за решеткой. Это значит, что большую интенсивность волн следует ожидать там, где будет большее число электронов. Из изложенного следует вывод о том, что интенсивность волн де Бройля в конкретной точке определяет число электронов в этой точке. Следовательно, дифракционная картина от электронов есть проявление статистической, вероятностной закономерности попадания микрочастиц в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Именно необходимость вероятностного подхода к изучению микрочастиц является важнейшим положением квантовой теории. Однако следует заметить при этом, что волны де Бройля нельзя рассматривать как волны вероятности. Это значит, что нельзя через вероятность проследить перемещение микрочастиц в пространстве. В противном случае вероятность стала бы «волновой» и могла бы принимать отрицательные значения, что, конечно же, не имеет смысла. М. Борн из Гер-

мании предположил, «что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности Т (х, у, ъ, 1)». Эту величину называют еще волновой функцией и пси-функцией. Представляет собой она нестационарное трехмерное «волновое» поле. Волновая функция может быть комплексной и поэтому приходится оперировать ее квадратом - |Ч"|2. Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность dW нахождения микрочастицы в фиксированный момент времени в малой области пространства с объемом ёУ и координатами х и х+ёх, у и у+ёу, ъ и ъ+ёъ:

dW = (х, у, ъ, г)|2 ёУ = |¥|2 ёУ.

Можно к сказанному также добавить, что квадрат модуля пси-функции выражает плотность вероятности |¥|2 = ёМ^/ёУ нахождения микрочастицы в конкретном элементарном объеме ёУ. И еще повторимся, что квадрат модуля волновой функции определяет вероятность пребывания микрочастицы в объеме ёУ.

Вероятность нахождения микрочастицы в момент времени 1 в объеме У равна: М = 1 ёМ = 1 ^ ёУ. Чтобы исследуемое событие было достоверно, необходимо волновую функцию нормировать. Условие нормировки вероятностей

да

1 ёУ = 1

-да1 1

утверждает пребывание микрочастицы во времени и пространстве. Добавим, что волновая функция, характеризуя вероятность присутствия микрочастицы в объеме ёУ, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной) и непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет принципу супер-

позиции: если микросистема может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Т1, Т2, ... Тп, то она может находиться в состоянии, определяемом линейной! комбинацией функций Ч^ЯЧП, где Сп (п = 1, 2, ... ) - произвольные числа.

Подведем итог изложенному: движение микрочастиц осуществляется по своим особым законам и характеризуется при помощи волновой функции. Волновая функция входит в уравнение Шрёдинге-ра, которое является одним из основных уравнений математики микромира и характеризует состояние индивидуальной частицы. Индивидуальная микрочастица может обладать спектром значений импульсов и координат. В макромире аналогий этому нет. Поэтому на языке классических понятий микроявления могут быть описаны только статистически. Волновая функция - это основной носитель корпуску-лярно-волновой информации. Из корпускулярно-волнового дуализма следует разделение материи на вещество и поле. Однако физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля, которым и задается интенсивность волн де Бройля.

Квантомеханическое описание успешно разрешает все противоречия между квантовой природой элементарных частиц и классическими представлениями о пространстве и времени. Но при этом квантовый подход принципиально отличается от классического. Классическая физика, характеризуя движение частицы, оперирует понятием ее траектории. Квантовая же физика акцентирует свое внимание на вероятности обнаружения частицы, так как согласно соотношению неопределенности: чем точнее известна скорость частицы, тем неопределеннее

ее местоположение. В классической физике мы говорим, что электрон движется, в квантовой физике так сказать нельзя, здесь говорить следует, что электрон находится в определенном состоянии, которое характеризуется волновой функцией и вероятностью пребывания электрона в этом состоянии.

Из гипотезы Луи де Брой-ля о корпускулярно-волновом дуализме частиц вещества следует, что фотоны, электроны и их более сложные ансамбли могут проявлять одновременно несовместимые свойства: быть волной и частицей. С одной стороны, они ведут себя как частицы: поглощаются и испускаются «поштучно», обладают массой, скоростью, импульсом и энергией. Но с другой - они способны дифрагировать, интерферировать, что указывает на признаки волнового процесса. И вот это единство волны-частицы не укладывается в воображении. Затруднений не возникает в представлении их по отдельности: либо траектории частицы, либо пространственного распределения волновой функции. Совместить их в единый образ многие не в состоянии. Так что корпускулярно-вол-новой дуализм до настоящего времени остается загадкой и в то же время реальным фактом и неотъемлемым свойством природы.

Развивая идею Луи де Брой-ля об оптико-механической аналогии в поведении микрочастиц, австрийский физик Э. Шрёдингер в 1926 г. постулировал уравнение, являющееся основным в квантовой механике. Уравнение Шрёдингера относится к простому классу математических уравнений, характеризуемых свойством линейности, выражает изменение состояния микросистемы от времени и позволяет определить в любой момент ее вол-

ОТКРЫТЫИ УРОК

новую функцию. С помощью уравнения Шрёдингера можно следить за распространением волны вероятности электрона и по заданному начальному состоянию определить вероятность пребывания частицы в заданной точке пространства в конкретный момент. Уравнение Шрёдингера для микромира - это примерно то же, что законы Ньютона для классической физики. За создание квантовой теории Э. Шрё-дингер вместе с П. Дираком в 1933 г. был удостоен Нобелевской премии.

В современной физике вывод фундаментального уравнения квантовой механики возможен, но является сложным. Авторский вариант получения уравнения Шрёдингера приведен в [1, с. 456-459]. По сути проделан научный путь, пройденный Э. Шрёдингером. Он считал, что прежде всего искомое уравнение должно быть дифференциальным в частных производных по координатам и времени и способным описать изменяющиеся в пространстве и во времени состояния микрочастицы. И, кроме того, уравнение должно быть универсальным в том смысле, что любое состояние квантовой частицы в любых физических условиях должно быть выражено некоторой функцией, названной пси-функцией, которая является решением этого уравнения. Это аналогично тому, как любое движение тела может быть описано с помощью уравнения Ньютона - основного закона динамики, а любое явление электромагнетизма - с помощью уравнений Максвелла. Заметим, что эти уравнения также в свое время были постулированы. Правильность их, однако, как и волнового уравнения Шрёдингера, подтверждена тем, что результаты их решения совпадают с опытными данными. До на-

открытый урок

стоящего времени не имело места даже единого случая отсутствия согласия между теоретическими и экспериментальными результатами. Это-то и придает названным уравнениям характер законов природы.

Основное нестационарное волновое уравнение Шрёдин-гера имеет вид:

- 2т у2 т + и (х, у, 7, 1) т (х, у, 2, 1) = гъ. ^,

где Ь = Ь/(2я) = 6,626 • 10-34 (2л) = 1,054 • 10-34 Дж'с - постоянная Планка; т - масса части-

цы; v2 т=

б2 Т б2 Т б2 т

бх2+бу2

6z2

оператор

Лапласа для пси-функции; и (х, у, ъ, 1) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, которая зависит от положения частицы в пространстве с координатами х, у, ъ и от времени 1; 1 = V(-1) - мнимая единица; ¥ (х, у, ъ, 1) - искомая волновая функция частицы.

Волновое уравнение Шрё-дингера для стационарного трехмерного потенциального поля приобретает вид:

- 2т у2 ^ + (Е - и) ^ (х, у, ъ, 1) = 0, где Е - полная энергия частицы массой т, постоянная для стационарного поля; и (х, у, ъ) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, которая не зависит от времени.

Решая уравнение Шрёдин-гера, можно по заданному начальному состоянию определить вероятность пребывания частицы в конкретной точке пространства в фиксированный момент времени. Уравнение Шрёдингера констатирует факт корпускулярно-волнового дуализма, но никоим образом не отвечает на вопрос: почему он наблюдается? Несмотря на высокую сложность уравнения Шрёдингера и интеллектуальные трудности восприятия входящей в него неизвестной пси-функции, понимание которой невозможно без ее квадрата, уравнение считают венцом квантовой механики. Однако

знаменитое уравнение Шрёдингера было применимо лишь к электронам более медленным в сравнении со скоростью света и поэтому не учитывает релятивистских эффектов, то есть относительности пространства и времени. Поль Дирак в 1928 г. обобщил уравнение Шрёдингера и преобразовал его в релятивистскую теорию квантовых частиц. Уравнение Дирака позволило разобраться также в необычном свойстве электрона - спине, который оказался равным ± %, как ранее получено в эксперименте Штер-на-Герлаха. П. Дирак записал также уравнение А. Эйнштейна Е = тс2 в виде Е = + тс2 и этим ввел в физику понятие античастиц и антивещества. А В. Гейзенберг при этом написал: «Самой грустной главой современной физики была и остается теория Дирака... Я считаю теорию Дирака. ученой чепухой, которую никто не может рассматривать серьезно». Какие бывают ошибки у великих физиков (можно здесь вспомнить о подобных заблуждениях лорда У. Кельвина по поводу летательных аппаратов, Э. Резерфорда о возможности создания атомного оружия).

Следует обратить внимание, что волновая функция Шрёдингера позволяет установить вероятность местонахождения (обнаружения) электрона, то есть пребывание электрона в заданной точке пространства-времени определяется квадратом абсолютного значения волновой функции. И только. Таким образом, точного движения электрона найти невозможно. Детерминизм, как основная идея классической физики, был низвергнут принципом неопределенности В. Гейзенберга и уравнением Шрёдингера.

Примечание

1. Принцип Гейзенберга (принцип неопределенности)

является следствием объективно существующей двойственности свойств микрочастиц и свидетельствует об объективно существующих ограничениях в возможности описания поведения микрообъектов с помощью классических понятий координаты, скорости и импульса.

2. Корпускулярно-вол-новой дуализм устранил необходимость разделения микровещества на частицы и волны, так как частицы оказались в определенной степени волнами, а излучения - частицами.

3. Квантовая механика: частица может быть описана как волна и наоборот; энергия, импульс, заряд квантуются, то есть принимают только дискретные значения.

4. Детерминизм утверждает, что знание настоящего позволяет определить будущее.

5. Альберт Энштейн (1879 -1955); Эрвин Шрёдингер (1887 - 1961); Вернер Гейзенберг (1901 - 1976); Поль Ан-дриен Мерис Дирак (1902 -1984). =

ЛИТЕРАТУРА

1. Демидченко В.И. Физика: учебник/В.И. Демидченко, И.В. Демидченко. — 6-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2017. - 581 с. + Доп. материалы [Электронный ресурс; Режим доступа http://www.znani.um. com]. - (Высшее образование: Бакалавриат).

2. Демидченко В.В., Демидченко В.И. Вращающаяся Вселенная(научно-философское осмысление) // Российский гуманитарный журнал, 2016. Том 5. № 2, СПб.

3. Каку М. Космос Эйнштейна: Как открытия Алберта Эйнштейна изменили наши представления о пространстве и времени/Митио Каку / пер. с англ. - М.: Альпина нон-фикшн, 2016.