CC BY
22
УДК 519.2
ФУРЬЕ-СОПРЯЖЕННЫЕ МОДЕЛИ В КОНЦЕПЦИИ КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОГО ДУАЛИЗМА
Ю.Н. Дубнищев
Институт теплофизики Сибирского отделения РАН, Новосибирский государственный технический университет E-mail: [email protected]
Т.Я. Дубнищева
Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» E-mail: [email protected]
В работе обсуждается концепция корпускулярно-волнового дуализма, основанная на фурье-сопряженных математических моделях движения корпускулы как сигналов в координатном и частотном пространствах.
Ключевые слова: корпускулярно-волновой дуализм, волна де Бройля, соотношения неопределенностей, фурье-преобразования, принцип неопределенности.
FOURIER-RELATED MODELS IN CONCEPT OF WAVE-CORPUSCLE DUALITY
Yu.N. Dubnishchev
Institute of Thermophysics of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk State Technical University E-mail: [email protected]
T.Ya. Dubnishcheva
Novosibirsk State University of Economics and Management E-mail: [email protected]
The paper discusses the concept of wave-corpuscle duality based on Fourier-related mathematical models of corpuscle movement as signals in coordinate and frequency space.
Key words: wave-corpuscle duality, de Broglie wave, uncertainty relation, Fourier transforms, uncertainty principle.
Корпускулярно-волновой дуализм - один из концептуальных принципов построения физической картины мира, разработка которых основана на синтезе физических образов и аналогий, отображаемых языком математики. Пуанкаре, со слов де Бройля, считал, что «существует бесконечно много логически эквивалентных точек зрения и картин действительности, из которых ученый, руководствуясь исключительно соображениями удобства, выбирает какую-либо одну» [1]. Традиционное описание корпуску-лярно-волнового дуализма основано на квантовании энергии движущейся корпускулы по аналогии с фотонами. При изложении корпускулярно-вол-нового дуализма обычно используется моделирование движущихся частиц волновыми пакетами и оптико-механическая аналогия. Однако проблема простой и наглядной модели, объясняющей появление волновых свойств
© Дубнищев Ю.Н., Дубнищева Т.Я., 2015
у движущейся частицы, остается актуальной. Настоящая работа является мотивированной попыткой построения такой модели, основанной на комбинации физических и математических аналогий, уточняющей понимание волновой природы движущейся материи.
Гениальная догадка де Бройля о волновых свойствах движущихся частиц возникла на основе оптико-механической аналогии Гамильтона-Якоба, квантовании и представлении световых полей потоком световых частиц (фотонов), обладающих волновыми свойствами (Паули, Эйнштейн), и теоретической модели, указывающей на эквивалентность массы и энергии (Пуанкаре, Эйнштейн) [5]. Идея квантования иллюстрируется на простом примере гармонического осциллятора. Движение гармонического осциллятора на фазовой плоскости (в координатах импульс-смещение) отображается фазовой траекторией в виде эллипса. Площадь, оконтуренная этой траекторией, равняется отношению энергии Е и частоты v колебаний, I = E/ v, получившему название адиабатический инвариант, поскольку он сохраняется при малых адиабатических изменениях частоты. Это означает, что отношение энергии колебаний гармонического осциллятора к частоте равно производной энергии по частоте или при замене дифференциалов малыми приращениями отношению соответствующих приращений энергии и частоты:
т E dE DE
I = — = — = — = const. v d v Dv
Отсюда следует возможность квантования адиабатического инварианта, который в аналитической механике получил название «действия». Квантуется именно действие, а не энергия, которая является непрерывной функцией частоты.
Гармонический осциллятор, адиабатический инвариант которого квантуется, а квант действия равен постоянной Планка h, является квантовым осциллятором. Особенность квантового осциллятора состоит в том, что, согласно соотношениям неопределенности Гейзенберга, его фазовая траектория не может быть замкнутой. При этом неопределенность положения фазовой траектории на фазовой плоскости равна 1/2h и адиабатический инвариант квантового осциллятора определяется формулой I = (n + 1/2)h. Поскольку для гармонического осциллятора адиабатический инвариант много больше постоянной Планка, его изменение с частотой можно считать непрерывным, а фазовую траекторию - замкнутой. Существование кванта действия h есть необходимое, но не достаточное условие для соотношений неопределенности Гейзенберга. Они следуют из корпускулярно-волнового дуализма, который в свою очередь основан на комбинации физических образов, аналогий и математических преобразований, в числе которых преобразование Фурье.
Обратимся к гармонической волне, распространяющейся в координатном пространстве и описываемой периодической функцией вида exp[z(wt - kr)]. Фаза этой волны, j = wt - kr, определяется алгебраической суммой зависимой от времени j(t) и пространственно-зависимой j(r) компонент. Зависимая от времени компонента фазы находится как произведение круговой частоты w на время t. Круговая частота волны определяется
как ю = 2пу = 2^/^ где T - период волны. Пространственная компонента фазы есть произведение волнового вектора k на радиус-вектор г, описывающий положение точки в пространстве. Модуль волнового вектора k определяется пространственным периодом волны Л, |к| = k = 2р/Л. Из сравнения ю = 2л/T и k = 2р/Л видна схожесть структур частоты ю и модуля волнового вектора |к| = k. Поэтому волновой вектор k имеет смысл пространственной частоты. В отличие от частоты ю пространственная частота k является вектором, который определяется проекциями kx, ky и kz в декартовой системе координат. Волна в координатном пространстве описывается в системе координат x, у, z), в частотном пространстве - в системе координат (ю, kx, kz). Соответственно, если движущийся физический объект в координатном пространстве задан математической моделью s(t, г), то в частотном пространстве этой модели соответствует фурье-спектр s(w, к).
Частотное пространство эквивалентно пространству импульсному, поскольку координаты их отличаются множителем Ъ = ^/2л: p = кЪ и E = юЪ. Движение физических объектов (корпускула, макротело, волна) может отображаться в координатном или частотном (импульсном) пространствах. Эти отображения связаны через преобразование Фурье и отвечают физической реальности. Например, летящий мяч может быть описан его положением, скоростью, импульсом, а в случае собственного вращения - моментом импульса. Конечно, речь идет о представлениях и преобразованиях не самих объектов, а об описывающих их математических моделях и сигналах, регистрируемых наблюдателем. В соответствии с классическим определением: «Материя - это объективная реальность, данная нам в ощущениях», можно понимать под ощущениями - сигналы. Понятия пространственной частоты, частотного и импульсного пространства широко используются в науке и технике. Примером могут служить оптические информационные технологии, спектроскопия [2, 3].
Пусть движущаяся материальная частица в координатном пространстве описывается функцией s(г + у^, где г - радиус-вектор положения частицы и у - вектор ее скорости; t - время. В частотном пространстве она отображается фурье-спектром s(w, к), являющимся функцией пространственной частоты к = ^у/у) (волновой вектор) и временной частоты ю. Функции s(г - у^ и s(w, к) связаны преобразованием Фурье:
да
5(г + V) о 11 5(г + )ехр(—/кг)ехр(—/ю=
—да
да
= 5(к) | ехр[—/(ю — куУ= 2то(к)8(ю — О), (1)
—да
где 8(ю - О) - дельта-функция Дирака. Здесь мы воспользовались теоремой смещения и ввели обозначение О = ку. Функция 2та(к)8(ю - О) есть фурье-спектр функции s(г + у^, описывающей частицу, движущуюся в координатном пространстве. Как следует из (1), в частотном пространстве фурье-спектр сигнала, отображающего движущуюся частицу, имеет вид 8-функции, локализованной на временной частоте О = ку и пространствен-
у
ной частоте к = — О. Направление скорости у корпускулы и волнового век-
V
тора (пространственной частоты) к совпадают, а модуль волнового вектора к (волновое число к) определяется отношением частоты О к скорости V:
I I О
к = к = —.
V
Частота О равна произведению волнового вектора на вектор скорости движения частицы: О = ку, что идентично формуле для доплеровского частотного сдвига и указывает на кинематическую природу частоты О. Скорость у является относительной скоростью систем отсчета корпускулы и наблюдателя, а для волны, индуцированной движением корпускулы, - групповой скоростью.
Воспользовавшись определением групповой скорости как производной
ё О
частоты по волновому числу V =-, запишем простые преобразования вы-
ёк
ражения для частоты О в виде:
О = ку = ^ ^. (2)
V ёк
Е
Согласно квантово-механической концепции, О = —. Учитывая, что
Й 2 2 mv р
энергия Е есть кинетическая энергия движения частицы, Е =-= —, где
2 2т
V
т - масса и р = mv = — р - импульс частицы, получаем из уравнения (2):
V
2л
р = П— = Нкв, А„
где Лв - длина волны де Бройля и ^ - волновое число де Бройля:
(3)
р К й
Согласно (3), длина волны де Бройля, индуцированной движением частицы, определяется отношением постоянной Планка к импульсу. Кинетическая энергия движущейся частицы относительна в системе отсчета наблюдателя так же, как и ее импульс.
Корпускулярно-волновой дуализм есть фундаментальное свойство движущейся материи, универсальность которого следует из квантовой концепции и адекватного представления движения корпускулы в фурье-сопряженных координатном и частотном пространствах. Он связан с соотношениями неопределенностей, которые имеют универсальный характер и являются следствием принципа неопределенности для описывающих движущуюся частицу функций s(t) и s(W) как сигналов, фурье-сопряженных в координатном и частотном пространствах. Эти функции несут информацию о движущейся частице и удовлетворяют принципу неопределенности для сигналов [2]:
| г2(г)|2 Ж | О2(О)|2 ёО > РЕ2,
где Е - энергия сигнала. Из принципа неопределенности следует соотношение неопределенностей
Dt DW >1, (4)
2
где Dt и DW соответственно протяженность сигнала в координатном пространстве и ширина его фурье-спектра. Функции, описывающие квантово-механические объекты, можно рассматривать как сигналы в координатном и частотном пространствах, поскольку частотное пространство является аналогом пространства импульсного. Умножая (4) на постоянную Планка, получаем
Dt DE > -, (5)
2
где DE = hDW. Это соотношение неопределенностей Гейзенберга для флук-туаций временных интервалов и энергии в квантово-механических масшта-
Импульсное и частотное пространства в квантовой механике связаны соотношением p = hk. Умножая и разделяя левую часть неравенства (4) на групповую скорость v в направлении, например, оси z и учитывая vDt = Dz,
AQ А/
-= Мв, получаем
AzMB>^, (6)
где kH = W/v. Соотношение (6) связывает неопределенности пространственной Dz и частотной DkH координат. Умножая неравенство (6) на постоянную Планка и учитывая, что hkH = p, получаем соотношение неопределенностей Гейзенберга для квантово-механического объекта в координатном и импульсном пространствах
Dz Dp > - . (7)
2
Пространственно-частотный образ движущегося тела как фурье-спектр физического сигнала реализуем. Его волновые свойства проявляются, например, в дифракционных явлениях и в эффекте Доплера. В корпускуляр-но-волновом дуализме нет противоречивости, он «означает лишь, что адекватный способ описания определяется выбранным методом наблюдения» [4]. Концепция корпускулярно-волнового дуализма основана на фурье-сопряженных математических моделях движения корпускулы, адекватных отображающим ее сигналам в координатном и частотном (импульсном) пространствах с учетом связи частотного и импульсного пространств через квант действия (E = hw, p = hk)). Сигналы, регистрируемые наблюдателем в координатном и импульсном пространствах, удовлетворяют фундаментальному принципу неопределенности. Из него следуют соотношения неопределенностей для протяженности сигнала в координатном пространстве и ширины его фурье-спектра, частным случаем которых являются соотношения неопределенностей Гейзенберга.
Литература
1. Де Бройль Л. Польза и уроки истории наук // По тропам науки. М.: ИЛ, 1962. С. 296-316.
2. Дубнищев Ю.Н. Теория и преобразование сигналов в оптических системах. СПб.: Лань, 2011. 368 с.
3. Дубнищев Ю.Н., Попова Т.Я. Пространственно-частотные резонансы в нелинейно поглощающей ячейке // Письма в ЖТФ. 1978. Т. 4, № 9. С. 526-529.
4. Поль Р.В. Оптика и атомная физика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966. 552 с.
5. Сарангов Ц.С., Спасский Б.И. Роль аналогий в открытии квантовой механики // История и методология естественных наук. Вып. II: Физика. М.: Изд-во Моск. унта, 1963. С. 183-208.
Bibliography
1. De Brojl' L. Pol'za i uroki istorii nauk // Po tropam nauki. M.: IL, 1962. IP 296-316.
2. Dubnishhev Ju.N. Teorija i preobrazovanie signalov v opticheskih sistemah. SPb.: Lan', 2011. 368 p.
3. Dubnishhev Ju.N., Popova T.Ja. Prostranstvenno-chastotnye rezonansy v nelinejno pogloshhajushhej jachejke // Pis'ma v ZhTF 1978. T, 4. № 9. P 526-529.
4. Pol' R.V. Optika i atomnaja fizika. M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1966. 552 p.
5. Sarangov C.S., Spasskij B.I. Rol' analogij v otkrytii kvantovoj mehaniki // Istorija i metodologija estestvennyh nauk. Vyp. II: Fizika. M.: Izd-vo Mosk. un-ta, 1963. P. 183-208.
