CC BY
7ВЕСТН ИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2014 Серия: Физика Вып. 2-3 (27-28)
УДК 536,25
Конвективные течения коллоидной суспензии в ячейке X ел е-Шоу
И. Н. Черепанов, овиков
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева. 15 email: сhe-emai 1:й:лаnclex.гц
Исследовано влияние седиментации и положительной термоднффузии на но частиц на конвективные течения коллоидной суспензии в ячейке Хеле-Шоу, Проведен анализ пространственно-временной структуры течений, возникающих при конкуренции термоднффу знойной и гравитационной стратификации смеси, Проведена оценка параметров задачи. реализуемых в условиях проведения натурных экспериментов, позволяющая проверить предсказанные при численном исследовании результаты.
Ключевые слова: ячейка Хеле-Шоу ; коллоидная суспензия, седиментация; термоднффу зия
1. Введение
В отличие от однородных жидкостей, где возникает монотонная конвекция, в бинарных смесях может существовать большое количество конвективных режимов течения различной сложности. Это имеет место вне зависимости от знака эффекта термодиффузии (отрицательного или положительного 11-3]). В последнее десятилетие большое внимание уделяется исследованию коллоидных бинарных смесей |4.....9], в частности феррожидкостей (магнитных коллоидов). При классическом рассмотрении магнитная жидкость считается однородной |10|. вто время как в двухкомпоненгной
модели (среда носитель ..... коллоидные частицы)
учитывается стратификация смеси, вызванная различными механизмами: магнетофорезом [4], гравитационным расслоением 15,7,8], термодиффузионным разделением [5.....9], Существуют и более
сложные модели, например, в работе [II] феррожидкость рассматривается как трехкомпонентная среда, представляющая собой бинарный молекулярный носитель с поло леи тс ль ной термодиффузи-ей, наполненный коллоидными частицами.
Вез воздействия магнитного поля остаются только гравитационный и термоднффу знойны и механизмы стратификации, и магнитные коллоиды ведут себя подобно другим коллоидным смесям.
В работах |5, 8| показано, что в коллоидных растворах, подверженных гравитационной стратификации или обладающих отрицательной термодиффузией, возможно существование бегущих волн. В данных работах проведено численное мо-
делирование двумерных конвективных течений в бесконечном горизонтальном слое. Однако в экспериментальной работе 112] показано, что в реальном эксперименте образуются сложные трехмерные конвективные структуры. Можно предположить. что данные структуры возникают из взаимодействия различных пространственных гармоник, которые не могут быть учтены в рамках двумерного приближения. Моделирование трехмерной задачи в полной постановке требует значительных затрат времени вычислений,
Для упрощения исследования данной задачи используется приближение ячейки Хеле-Шоу, являющееся предельным случаем узкого канала, позволяя рассматривать двумерные течения.
2. Постановка задачи
Рассмотрим горизонтально ориентированный бесконечный плоский канал, ширина {ф которого много меньше его высоты (Н), а их отношение П ¡1 20.2 (рис. 1). Канал данной геометрии традиционно называют ячейкой Хеле-Шоу. Канал заполнен коллоидной суспензией и находится в поле тяжести На торию шальных плоскостях поддерживаются разные температуры, создавая постоянный градиент, направленный вниз, Неоднородность концентрации иакочастиц в покоящейся коллоидной суспензии создается двумя механизмами: гравитационной стратификацией коллоида, а также нормальным эффектом термодиффузии Соре (тяжелые частицы мигрируют к холодной границе).
О Черепанов И. Н., Новиков Д. А., 2014
Рис. 1. Геометрия, задачи
Описание конвекции коллоидной суспензии проводится на базе уравнений конвекции бинарной смеси в приближении Буссинеска, в котором предполагается линейная зависимость плотности от температуры и концентрации;
р = р«( 1......аЗГ + /« ').
\<л\ !.г,() = л(
та-
Ъя I & йг & дг
т> я2 л 4 т>1 пд(:} ' _ рг— ф--ри ]{--Б—
4 тг V сЬ:
ГО 2 ГЦ, ГО Гц, го
г/
7Г \ (Ж (К
дх с!
АО
2 ду/
К (X
сС 2 [ (?!// ¿С (?!// (?С
Л V С2 С;Х С* С2
/ & в ,
(2.5)
(2 1)
где р<>.....средняя плотность, г)'/' У У* ¿>С= С---С*.....
отклонение температуры и концентрации тяглой
компоненты от средних значений Т* и С*; а, /У.....
коэффициенты теплового и концентрационного расширения, соответственно.
Используем безразмерные переменные на основе следующих масштабов; расстояние - полуширина слоя (1, время - </• у. скорость - у/(1, температура ..... давление ..........концентрация .....
< '*</ /. ( у и х ~ соответственно коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности), 1х=кк'Г/(Лр1^) - седиментационная длина (¿^постоянная Больцмана, Ар- разность плотности частиц и среды-носителя, I объем частицы).
Широкие грани ячейки считаются теплоизолированными, Температура и концентрация считаются постоянными вдоль оси у, Для аппроксимации скорости использу ется выражение
Здесь приняты следующие обозначения: (ЬТ-1\> - отклонение температуры от равновесного значения, С - полная концентрация, 4/ - функция тока, ф- функция вихря скорости, Рг \-/у - число Прандтта / с • О/у число Льюиса, Е = $авЗл/ух- число Реле я. - параметр термодиффузии. В = $С<14/ух1з.....число Больцмана,
безразмерная длина седиментации, О коэффициент диффузии. д =4-- двумерный опе-8х" дг"
ратор Лапласа,
Горизонтальные границы являются твердыми и идеально теплопроводными. Граничные условия имеют на горизонтальных границах следующий
вид:
¡//(\-0) цЛ х И) О.
(2,6) (2,7)
ас
С2
+ _(;,+ — с — 0 при V 0.// (2 8)
I В дг
При численном моделировании мы будем рассматривать периодические течения в области длиной ¿=40 и испожзовать периодические граничные условия для всех переменных на вертикальных границах.
Равновесные уравнения распределения концентрации и температуры описываются следующими уравнениями:
(2.2)
Т0=Н-
После интегрирования по координате у система уравнений свободной тепловой конвекции в ячейке Хеле-Шоу в приближении Буссипеска в терминах функции тока и вихря скорости записывается следующим образом
дф | 8 (дц/ дф е¡// дф \ = Рг ^
(2,3)
С0=Ну-
,рП
(Я
.....\"Г = В
Л
(2.9)
(2,10)
(2,4)
Значения безразмерных параметров были выбраны для соответствия реальной жидкости, использованной в экспериментах (13].
Градиент концентрации, вызванный гравитационной стратификацией частиц в поле тяжести, зависит от числа Больцмана В, которое зависит от размеров ячейки как ё4. Таким образам, изменяя размеры ячейки, мы можем изменять концентрационный градиент а следовательно, и интенсивность влияния стратификации на конвективные течения.
Значения параметров системы при рааич-ной высоте ячейки
Я, мм с/, мм В ¡11 Ос, к
2 0.1 7.2x10"' 6 165
4 0.2 12х 103 3 21
7.7 0.385 0,16 1,6 2.9
9.4 0.47 0,35 1.32 1.6
почти вдвое превышает критическое число Редея в однородной жидкости. При этом образовавшееся течение является колебательным.
В таблице приведены рассчитанные значения числа Больцмана, отношения /. 11. а также размерная разность температур для рахличных значений
высоты ячейки. Здесь 4 .....разности температур.
соответствующие потере устойчивости механического равновесия однородной жидкости с параметрами г; г, а, идентичными коллоидной смеси, о писанной в работе 112]. Данное значение температуры рассчитывалось из соотношения вс = Яс\'х/(¿'асР). где Я? 0-35 - порог устойчивости для однородной жидкости в ячейке Хеле-Шоу с рассматриваемой геометрией.
Видно, что при высоте ячейки 2 мм критическая разность температур велика и иереализуема в эксперименте. Для ячейки 4 мм разность температур. вызывающая конвекцию, приведет к значительному изменению свойств жидкости у холодной и горячей границ, что не позволяет рассматривать конвекцию в рамках приближения Бус-сииеска. В нелинейных расчетах использовалась высота ячейки 7.7 мм,
Нелинейная задача решалась методом конечных разностей, Для решения уравнений тепловод-ности п 'завихренности использовалась схема «классики» |14|. Уравнение эволюции концентрации решалось при помощи метода конечного объема 114], так как данный метод, в отличие от других расчетных схем, обеспечивает сохранение средней массы примеси в процессе численного моделирования Для решения уравнения Пуассона использовался метод последовательной верхней релаксации. Основные вычисления производились на расчетной сетке 200x100.
3. Результаты
3.1. Влияние седиментации
Рассмотрим сначала конвективные течения в ячейке Хеле-Шоу под влиянием гравитационной стратификации (термодиффузия отсутствует, £.* = ()). Начальное распределение концентрации задается уравнением (2.10),
В данном случае гравитационная стратификация в значительной мере повышает порог устойчивости механического равновесия, Конвективные течения возникают при числе Релея ИХ).68, что
О 5 50 15 20 25 30 35
Рис. 2. Изолинии функций тот а), температуры б), концентрации в) при В = 0.16; я = 0; / = 1.62; Д = 0.68
Как и в случае с бесконечным плоским слоем [9|, в начальный момент времени образуется стоячая волна, которая переходит в бегу щую волну. Изолинии функций тока, температуры и концентрации в режиме бегущей волны приведены на рис. 2.
При больших числах Релея бегущие волны не образуются и наблюдается режим стационарной однородной конвекции. При положительной тср-модиффузин было обнаружено несколько режимов конвекции.
При малых числах Рэлея наблюдается пальцеобразный колебательный режим конвекции с длинной волны /.»5. На рис. 3 приведена временная эволюция функции тока при расчетах с начальным распределением концентрации (3.8). Переходные течения су ществуют порядка 1.5 ■ 11>'
тепловых единиц времени, что соответствует 0.18 единицам диффузионного времени определённому по высоте канала rD = Н2/Le .
Согласно работе 115| характерное время протекания процесса седиментации в коллоидах определяется соотношением
т =
н- 7 1
я +-
Le
41"
4/'
(3.1)
Соотношение (3,1) записано в безразмерной форме и определяет время протекания диффузионных процессов в тепловых единицах времени.
Рис. Э. Эволюция максимального значения функции тока при В = 0,16; ir = 0; / = 1,62. R = 0,06
05
io " о's...........l'ia............lis............i'.o.............TS...........з."о...........sis
wltf
Рис, 4. Фурье-спектр поведения максимального значения функции тока при В = 0.16; е = 0; / = 1.62; Я = 0.06
Рис. 5. Изолинии функций тока а), температуры б), концентрации в) при В = 0.16; .<• =0; 1=1.62, К = 0,06
При выбранных значениях параметров т=0.098т0. Таким образом, переходный процесс занимает порядка двух единиц характерного времени протекания диффузионных процессов, что составляет порядка 44 часов реального времени.
На рис, 4 приведен спектр Фурье, рассчитанный но максимальному значению функций тока в установившемся режиме конвекции при 1>1,7 ■ 10 ' На спектре видны одна главная частота и несколько частот с намного меньшей амплитудой, Основная частота имеет значение и Н 3 • 1 и что соответствует периоду колебании Т=1,2х103 единиц те плою го времени.
О 5 10 15 50 55 30 35
Рис. 6. Изолинии функции тока а), температуры б), концентрации в) при В = 0.16: = 8,8; / = 1.62; К = 0.3
Изолинии функций тока, температуры и концентрации. соответствующие данному режиму, приведены на рис. 5.
При больших числах Рэлея наблюдается другой режим конвекции, Изолинии функций тока, температуры и концентрации приведены на рис. 6. В данном режиме не видно четкой структуры вихрей. При этом на нзо.шнияч концентрации четко видны пальцеобразные структуры, неупорядоченные в пространстве.
На рис. 7 приведено поведение максима.тьиою значения функции тока от времени при 11=0.3 (соответствующий Фурье-спектр приведен на рис 8). На Фурье-спектре присутствует большое количество частот,
Можно предположить, что данный режим является хаотическим и не обладает ни пространственной упорядоченностью, ни периодичностью во времени.
90
80
70
60 ^ 40
30
20
10
г; г гЩМшм.......
3.3
0,5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 С*-10*
Рис. 8. Фурье-спектр поведения максимального значения функции тока при В = 0.16: ^ =8,8; / = 1.62; К = 0.3
0.9 ...........................................—--
0.« г | |
°'°0 5 10 15 20 25
МО"4
Рис. 7. Эволюция максимального значения функции тока при В = 0.16; ¿г = 8,8; / = 1.62: К =0.3
4. Заключение
В работе рассмотрены конвективные течения коллоидной жидкости в ячейке Хеле-Шоу с у четом влияния термодиффузии и гравитационной стратификации. Был произведен анализ течении вблизи порога устойчивости механического равновесия. Показано, что при отсутствии эффекта термодиффузии седиментация приводит к повышению порога устойчивости.
При наличии термодиффузии наблюдается несколько режимов конвекции. При малых числах Релея наблюдаются колебательные течения, при этом существуют и упорядоченные, так и хаотические режимы. При больших числах Релея конвекция является стационарной.
Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№144)1-96027. №14-01-31299,13-01-96010).
Список литературы
1. CrossМ. С, Hohenberg Р. С. Pattern formation outside of equilibrium // Reviews of Modem Physics. 1993. Vol.65. P. 851-1112.
2. Platten,}. K., LegrosJ.C. Convection in Fluids. Berlin: Springer-Verlag. 1984. 680 p.
3. Глухое А. Ф., Демин В. A„ Путин Г. Ф. Разделение смеси и тепломассоперенос в связанных каналах // Письма в ЖТФ. 2008. Т. 34, вып. 17. С. 45-51.
4. Shliomi.sM.l., Smorodin В. L, KomiyamaS. The onset of thermo magnetic convection in stratified ferro llnids/ Philosophical Magazine. 2003. Vol. 83. N, 17-18. P. 2139.....2153.
5. Shliomi.sM. I, Smorodin B. L. Onset of convection in colloids stratified by tlie gravity // Physical Review E, 2005. Vol. 7i *036312.
6. Donzelli G., CerbinoR., Vailati A. Bistable Heilt Transfer in a Nanolluid // Physical Review Letters.
2009. Vol. 102, 104503.
7. RyskinA., Pleiner И. Influence of sedimentation, on convective lnstabilitiesein colloidal suspensions // International Journal of Bifurcation and Chaos.
2010. Vol. 20. N, 2, P. 225-234.
8. Smorodin B. L., Cherepanov I. N.. Myznikova В. I., Shliomi.sM. Travelling-wave convection in colloids stratified by gravity // Physical Review E.
2011. Vol. 84.026305.
9. BernardinM., Conti tani F., ¡ 'ailan .1 Tunable heal transfer vvitli smart nanofluids // Physical Review E. 2012 , Vol, 85,066321,
10. Rosensiveig R. Ferro hydrodynamics. N. Y.: Cambridge University Press. Cambridge, 1985. 344
11 .Глухое А.Ф., Демин В.А., Попов E.A. Тепловая конвекция магнитной наносуспеюии в узких каналах // Изв, РАН. Механика жидкости и газа. 2013, № 1. С. 41-51, \2.Bozhko A. A., Bulychev P. V., Putin G. F., Туп-jaia Т. Spatio-Temporal Chaos in Colloid Convection // Fluid Dynamics. 2007. Vol. 42, N. 1. P. 24-32,
13. fVin Ice IF., Messt inger S., Schöpf IV., Reh berg I., SiebenburgerM, BallauffM'. Thermal convection in a thermosensiiive colloidal suspension // New Journal of Physics. 2010. N. 12,053003.
14. Роуч iL Вычислительная гидродинамика. М.': Мир, 1980. 616 с,
\5.R.aikker Yu. L, Shlomis М. 1. On tlie kinetics of establishment of tlie equilibrium concentration in
magnetic suspension // journal of Magnetism and Magnetic Materials. 199.3. N. 122. C. 93-97.
References
1. Cross M. C., Hohenberg P. C, Pattern formation outside of equilibrium. Reviews of Modern Physics. 1993, vol. 65. pp. 851-1112,
2. Platten J.K. LegrosJ.C. Convection in Fluids. Berlin: Springer-Verlag, 1984, 680 p,
.3. Gluhov A. [•".. Dentin V, A.. Putin G. F. Ra/dele-nie smesi i teplomasso perenos v svjaznyh kaua-lali. Pis'ma v Zh'J'F. 2008, vol. .34, no, 17, pp. 45-51. (In Russian)
4. Shhomis M. 1,, Smorodin B. L.. Kamiyama S The onset of thermomagnetic convection in stratified ferrofluids. Philosophical Magazine. 2003, vol,83, no, 17-18, pp. 2139-2153,
5. Shliomis M. 1,, Smorodin B. L. Onset of convection in colloids stratified by the gravity. Physical Review ,£ 2005, vol. 71,0.36312.
6. Donzelli G., CerbinoR., Vailati A. Bistable Heat Transfer in, a Nanolluid. Physical Review Letters. 2009, vol, 102, 104503.
7. RyskinA., PleinerH. Influence of sedimentation on convective instabilitiesein colloidal suspensions. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2010. vol. 20, no, 2, pp. 225 -234.
8. Smorodin B. L., Cherepanov I. N.. Myznikova B. 1., Shlioinis M. Travelling-wave convection in colloids stratified by gravity, Physical Review E. 2011, vol, 84, 026305*
9. BernardinM,. ComitaniF.. Vailati A. Tunable heat transfer with smart nanofluids. Physical Review K 2012, vol. 85, 066321,
10. RosensweigR. Ferrohydrodynamics. N. Y,: Cambridge University Press, Cambridge, 1985, 344,
11. Gluhov A. F ~ Demin V. A., Popov E. A. Teplovaja konvekcija magnitnoj nanosuspenzii v uzkih kanalah. Izv. RAN, Mehanika. zhidkosti i ga-za. 2013, no.l, pp. 41.....51. (hi Russian),
12 Bo/hko A A. Bulychev P. V., Putin G. F., Tyn-jala T. Spatio-Temporal Chaos in Colloid Convection. Fluid Dynamics. 2007, vol. 42, no. L pp. 24-32, (In.Russian).
13. Winkel F., MesslingerS., Schopf W., Rehberg 1., Siebenburger M... BallauffM. Thermal convection in a tliermosensitive colloidal suspension, New Journal of Physics. 2010, no. 12, 053003,
14. Rouch P, Vychi.sl.itel'naja gidrodinamika. Moscow, Mir, 1980,616 p, (In Russian)
15.RaikherYu. L., ShlomisM.l. On the kinetics of estabhshment of the equilibrium concentration in magnetic suspension. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 1993, no. 122. pp. 93-97.
Convective flow of a colloidal suspension in the Hele-Shaw cell
I. N. Cherepanov, D. A. Novikov
Perm Slate University, Bitkireva St 15, 614990, Perm email: che-email Syandex, nj
In this paper investigated the effect of sedimentation nanopailicles and positive thermaldiffusion on the convective flow of a colloidal suspension in a Hele-Shaw cell. The analysis of the spatial and temporal structure flows, arising from the competition ihermodiffnsion and gravitational stratification of the mixiure Evaluated parameters of the problem, implemented in a full-scale experiments that will lest the predicted results of t he numerical study.
Keywords: Hele-Shaw cell: sedimentation; Soret effect
