CC BY
5_ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_
2015 Серия: Физика Вып. 2 (30)
УДК 536.25
Линейный анализ устойчивости коллоида, подогреваемого сверху
И. Н. Черепанов
Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: che-email@yandex.ru
В работе проведен линейный анализ устойчивости механического равновесия коллоида, подогреваемого сверху. Показано, что в случае отрицательной термодиффузии порог устойчивости определяется совместным влиянием седиментации и термодиффузии. Было обнаружено, что при большой седиментации коллоида пороговые возмущения являются коротковолновыми.
Ключевые слова: коллоид; седиментация; конвекция
1. Введение
Гидродинамика коллоидов, как и молекулярных смесей, обладает рядом специфических особенностей. Наличие примеси приводит к появлению дополнительных механизмов, создающих неоднородность плотности.
Помимо существенного различия коэффициентов переноса (температуропроводности и диффузии) различие концентрационных и тепловых возмущений обуславливаются различными граничными условиями [1].
Существенное влияние на течение может оказывать наличие седиментации [2] и термодиффузии [3, 4]. Несмотря на малые неоднородности концентрации, создаваемые термодиффузий и седиментацией, они могут быть сопоставимы с тепловыми флюктуациями плотности, так как коэффициент концентрационного расширения превосходит тепловой на несколько порядков.
В различных коллоидах коэффициент термодиффузии может быть как положительным [5], так и отрицательным [6]. Положительная термодиффузия характерна для коллоидов, стабилизированных при помощи сурфактанта, отрицательная -для ионно-стабилизированных жидкостей.
Конвекция коллоида, подогреваемого снизу, изучена в работе [7]. Показано, что при наличии отрицательной термодиффузии и седиментации возможно существование колебательных течений в виде бегущих волн.
При положительной термодиффузии поток концентрации направлен против градиента темпе-
ратуры, т. е. концентрация частиц больше в более холодной жидкости.
При наличии отрицательной термодиффузии возможно появление течений при подогреве коллоидной жидкости сверху. Тепловое расширение создает устойчивую стратификацию градиента плотности, когда более тяжелая холодная жидкость расположена в нижней части ячейки. Однако термодиффузионный поток создает повышенную концентрацию примеси вблизи верхней границы. В результате градиент плотности (суммарное влияние тепловое и гравитационной расширении) направлен вверх.
2. Постановка задачи
Рассмотрим плоский бесконечный слой коллоидной суспензии, ограниченный сверху и снизу твердыми идеально теплопроводными границами. На горизонтальных границах поддерживаются постоянные температуры Т} и Т2. Слой находится в поле действия сил тяжести g (рис. 1).
Рис. 1. Геометрия задачи
© Черепанов И. Н., 2015
В коллоидах неоднородность плотности, вызывающая конвективное течение, может создаваться не только за счет теплового расширения жидкости, но и за счет неоднородности концентрации. Математическая модель основана на уравнении конвекции бинарной смеси в приближении Буссинеска [8]. В данном приближении полагается следующая линейная зависимость плотности от температуры и концентрации:
р = р0(1~адт + Р$С). (1.1)
Здесь р - плотность жидкости, р0 - средняя плотность, дТ = Т-Т*, дС= С-С* - отклонение температуры и концентрации тяжелой компоненты от средних значений Т*, С*; а, в - коэффициенты теплового и концентрационного расширения, соответственно. Используем безразмерные переменные на основе следующих масштабов: расстояния - высота ячейки d, времени - ^/%, скорости - %М, температуры - в =T1-T2, давления - р%/^, концентрации - С*d/ls (у и % - соответственно коэффициенты кинематической вязкости и температуропроводности), 4 = kБT*/(ЛрVg) -седиментационная длина [9] (кБ - постоянная Больцмана, Лр - разность плотности частиц и среды-носителя, V - объем частицы).
Полная система уравнений тепловой конвекции в безразмерной форме, с учетом термодиффузии и гравитационной стратификации в безразмерных перемененных, примет вид:
ду
Щ
+ (гУ)г = -Ур + РЛг -Р(Яв-ВС)п , (1.2)
дС д/
— + (уУ)Т = ЛТ,
д/
1
(1.3)
еЯ,
+ (уУ)С = ЬУ(УС + -Сп + — УТ), (1.4) 1 В
Шуу = 0,
(1.5)
(2.1)
ду ду
Равновесное распределение концентрации и температуры описываются уравнениями:
Т0 = 0.5 - х,
Со =И -
еЯ
- х / 1
В ) 1 - <
-1/1
еЯ В1
(2.2) (2.3)
Решение линеаризованной системы уравнений будем искать в виде нормальных возмущений.
-А/ -¡кх ^
у = еме-1кхя(у),
в = в~Ав~Иксв(у), С = в-^с(у) ,
(2.4)
(2.5)
(2.6)
где к - вещественное волновое число, X = Хг + ¡Х, -комплексный декремент, описывающий поведение возмущений во времени, с, в, р - амплитуды, являющиеся функциями вертикальной координаты. Если Х=0, возмущения являются монотонными, в противном случае осциллирующими с частотой X,-. Если вещественная часть декремента Хг положительна, то возмущения затухают со временем, при Хг<0 возмущения будут нарастать, что приведет к потере устойчивости состояния механического равновесия. Декремент X является функцией параметров системы Я, Рг, В, к, I, а порог устойчивости находится из условия:
Яе(А(Я,Рг, В,е, к)) = 0.
(2.7)
где п - единичный вектор вдоль силы тяжести, Р = у / % - число Прандтля, Ь = О / % - число Льюиса, Я = gaвd3 /(%) - число Релея, В = gPC * d4 /{у%18) - число Больцмана, 1=1^ -безразмерная длина седиментации, е=Бта/р -безразмерный параметр термодиффузии, Бт - размерный коэффициент термодиффузии, Б - коэффициент диффузии.
3. Линейный анализ
Линейный анализ устойчивости проводился методом малых возмущений. Для этого представим концентрацию и температуру в виде Т = Т0 +в С = С + С и рассмотрим малые возмущения функции тока у . Функция тока определена следующим образом:
Линеаризованная система уравнений для нормальных возмущений примет вид:
АЛр + РЛЛр- ¡кР(Яв + Вс) = 0 , (2.8) Ав + Лв + ¡крТ0 = 0, (2.9)
Ас + ¡крС0 + ЬуЛс +1 С + еЯ в^ = 0 . (2.10)
С граничными условиями:
р(0) = р(1) = р(0) = Р(1) = 0, (2.11)
в(0) = в(1) = 0, (2.12)
С еЯ
с'+ с + — в' = 0 при у = 0, 1, (2.13) 1 В
д2 2
где Л = —- - к - двухмерный оператор Лапласа;
штрих обозначает дифференцирование по у.
Задача решалась методом Галеркина [8]. В данном методе приближенное решение амплитудной задачи находим в виде разложения по конечному числу базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Коэффициенты разложения определяются из интегральных условий, выражающих ортогональность невязки к каждой базисной функции. Таким образом, задача сводится к решению системы алгебраических уравнений для коэф-
Рис. 2. Нейтральная кривая течения, Б=1, в = -10
Рис. 3. Нейтральная кривая течения, Б=17570, в = -10
фициентов разложения. Искомые функции аппроксимировались как:
N
<Р = У<Рп
п—1
м
0-^0п ът(лму)
(2.14)
(2.15)
Q
с — е
(2.16)
У сп - — в.
7—0 в
В разложении использовалось 80 базисных функций (20 для функции тока ф, 30 для каждой из функции в, с).
Предельный случай длинноволновых возмущений (к ^ 0) для данной задачи был рассмотрен в [10].
Проверка алгоритма проводилась с помощью тестовых расчетов для известных значений параметров по данным [7] и показала хорошую точность.
4. Результаты
В рассматриваемой постановке задачи показано, что подогрев сверху соответствует случаю отрицательных чисел Релея. Данный подход был выбран для удобства сопоставления результатов с работами [7,10].
Линейный анализ проводился при фиксированных числах Прандтля, Льюиса и безразмерной длины седиментации (Р=10, Ь=10'4, 1=30).
В случае малой гравитационной седиментации (В ^ 0 ) первыми нарастающими являются длинноволновые возмущения. Нейтральная кривая, показывающая зависимость критического числа Релея от волнового числа к, приведена на рис. 2.
При больших числах Б минимум нейтральной кривой, определяющий порог устойчивости, смещается в сторону больших значений волнового числа. Это означает, что пороговые возмущения являются коротковолновыми. Характерная нейтральная кривая изображена на рис. 3.
м—1
Рис. 4. Нейтральные кривые приведённого числа Релея, в — -10
Рис. 5. Зависимость минимального волнового числа от числа Больцмана Б, в — -10
Рис. 6. Зависимость порогового числа Релея от числа Больцмана В, е = -10
На рис. 4 показаны нейтральные кривые приведённого числа Релея Я = Я /Я(к ^ 0), которое определяется как отношение Релея к порогу длинноволновой неустойчивости.
Зависимость минимального значения волнового числа кс от числа В приведена на рис. 5. При малых числах В виден резкий рост волнового числа от нулевого значения, затем зависимость становится практически линейной.
20
7 15 о
I
10
О
-20 -15 -10 -5
е
Рис. 7. Зависимость порогового числа Яс
от е , В=104
Зависимость порогового числа Релея от числа В показанная на рис. 6, является линейной и подчиняется закону (4.1) полученному в работе [7].
Т}
Яс = - . (4.1)
е
Расчеты, проведенные для других значений параметра термодиффузии е , так же подтвердили зависимость (4.1) (рис. 7).
Во всей области исследованных параметров пороговые возмещения являются монотонными.
5. Заключение
Проведен линейный анализ устойчивости механического равновесия коллоида, подогреваемого сверху. Показано, что минимальное волновое число увеличивается с увеличением числа Больцмана, характеризующего интенсивность гравитационной седиментации. Подтверждена справедливость зависимости (4.1), полученной в работе [7] для случая подогрева сверху.
Исследования выполнены при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№14-01-31299).
Список литературы
1. Ингель Л. X. Механизм конвективной неустойчивости бинарной смеси у вертикальной поверхности // Журнал технической физики. 2009. Вып. 79. C. 43-47.
2. Путин Г. Ф. Экспериментальное исследование влияния барометрического распределения на течения ферромагнитных коллоидов // Материалы 11 -го Рижского совещания по магнитной гидродинамике. Рига, 1984. Вып. 3. C. 15-18.
3. Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М. Теоретическая физика Гидродинамика. М.: Физматлит, 2001. Вып. 6. 736 с.
4. Köhler W., Wiegand S. Thermal nonequilibrium phenomena in fluid mixtures // Lecture Notes in Physics. 2002. Vol. 584. P. 189-210.
5. Lenglet J., Bourdon A., Bacri J.-C., Demouchy G. Thermodiffusion in magnetic colloids evidenced and studied by forced Rayleigh scattering experiments // Physical Review E. 2002. Vol. 65, 031408.
6. Donzelli D., Cerbino R., Vailati A. Bistable Hate Transfer in a Nanofluid // Physical Review. Letters 2009. Vol 102, 10503
7. Smorodin B. L., Cherepanov I. N. Convection of colloidal suspensions stratified by thermodiffusion and gravity // The European Physical Journal E. 2014. Vol. 37, 118
8. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., Непомнящий А. А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.
9. Фертман В. Е. Магнитные жидкости. Минск: Вышэйшая школа, 1988, 184 с.
10. Smorodin B. L., Cherepanov I. N., Myznikova B. I., Shliomis M. I. Traveling-wave convection in colloids stratified by gravity // Physical Review E. 2011. Vol. 84, 026305.
References
1. Ingel' L. H. Mehanizm konvektivnoj ne-ustojchivosti binarnoj smesi u vertikal'noj pover-
hnosti. Zhurnal tehnicheskoj fiziki. 2009, vol. 79, pp. 43-47. (In Russian).
2. Putin G. F. Jeksperimental'noe issledovanie vlija-nija barometricheskogo raspredelenija na techenija ferromagnitnyh kolloidov. Materialy 11-go Rizh-skogo soveshhanija po magnitnoj gidrodinamike. Riga, 1984, vol. 3, pp. 15-18. (In Russian).
3. Landau L. D. Lifshic E. M. Teoreticheskaja fizika. Gidrodinamika. M.: Fizmatlit, 2001. 736 p. (In Russian).
4. Köhler W., Wiegand S. Thermal nonequilibrium phenomena in fluid mixtures. Lecture Notes in Physics. 2002, vol. 584, pp. 189-210.
5. Lenglet J., Bourdon A., Bacri J.C., Demouchy G. Thermodiffusion in magnetic colloids evidenced and studied by forced Rayleigh scattering experiments. Physical Review E. 2002, vol. 65, 031408.
6. Donzelli D., Cerbino R., VailatiA. Bistable Hate Transfer in a Nanofluid. Physical Review Letters. 2009, vol. 102, 10503.
7. Smorodin B. L., Cherepanov I. N. Convection of colloidal suspensions stratified by thermodiffusion and gravity. The European Physical Journal E. 2014, vol. 37, 118.
8. Gershuni G. Z., Zhuhovickij E. M., Nepomnjashhij A. A. Ustojchivost' konvektivnyh techenij. M.: Nauka, 1989. 320 p. (In Russian).
9. Fertman V. E. Magnitnye zhidkosti. Minsk: Vyshjejshaja shkola, 1988. 184 p. (In Russian).
10. Smorodin B. L., Cherepanov I. N., Myznikova B. I., Shliomis M. I. Traveling-wave convection in colloids stratified by gravity. Physical Review E. 2011, vol. 84, 026305.
Linear stability analysis of a colloid heated from above
I. N. Cherepanov
Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm email: che-email@yandex.ru
The paper presents linear stability analysis of mechanical equilibrium of a colloid heated from above. It is shown that in case of negative thermal diffusion stability threshold is determined by the combined influence of sedimentation and thermal diffusion. It was also found that when the big sedimentation colloid compensation thresholds are shortwave.
Keywords: colloid; sedimentation; convection
