CC BY
8
plasma // J. Phys. B: Atom. Molec. Opt. Phys. - 2008. -V.41. - Р.235701-1-235701-3.
17. Косарев Н.И., Шапарев Н.Я. Резонансные оптические характеристики ультрахолодной лазерной плазмы // Квантовая электроника. - 2009. - Т. 39. - № 12. - С.1112 - 1116.
18. Kosarev N.I., Shaparev N.Y. Transfer of resonance radiation in an expanding sphere // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. - 2011. - Т.44. -№ 19. - С. 195402.
19. Kosarev N.I., Shaparev N.Y. Scattering and absorption of resonant radiation in an expanding sphere // Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics. -2012. - Т. 45. - №16. - С. 165003.
20. Косарев Н.И., Шкедов И.М. Частичное перераспределение по частотам в процессе возбуждения атомов натрия лазерным импульсом // Математические модели и методы их исследования: Сб. труд. Междун. конф. (Красноярск, 16-21 авг. 2001). - Красноярск, 2001. - С.28-31.
21. Косарев Н.И., Шкедов И.М. Лазерно-индуцирован-ное возбуждение атомов натрия при неполном частотном перераспределении // Моделирование неравновесных систем: Материалы IV всероссийского семинара (Красноярск, 12-14 окт. 2001). - Красноярск, 2001. - С.132-133.
22. Kosarev N.I., Shkedov I.M. Scattering of laser radiation by sodium atoms at partial redistribution on frequencies // Proceedings of the 6-th International symposium on
laser physics and laser technologies. August 18 - 24, 2002. - Harbin, China, 2002. - P. 121 - 126.
23. Косарев Н.И., Шкедов И.М. Моделирование рассеяния лазерного излучения атомами натрия при частичном перераспределении по частотам // Моделирование неравновесных систем: Материалы V Всероссийского семинара (Красноярск, 18-20 окт. 2002). - Красноярск, 2002. - С.191-192.
24. Косарев Н.И. Формирование контура спектральной линии при частичном перераспределении по частотам // Оптика и спектроскопия. - 2007. - Т.102. - №1.
- С.13-19.
25. Косарев Н.И. Эффективное время высвечивания паров лития // Оптика и спектроскопия. - 2007. - Т.102.
- №5. - С.718-724.
26. Косарев Н.И. Распад возбужденного состояния
32Рз/2 атомов натрия с учетом пленения излучения // Оптика и спектроскопия. - 2008. - Т.104. - №1.
- С.5-8.
27. Косарев Н.И. Моделирование переноса излучения при неполном перераспределении по частотам // Математическое моделирование. - 2008. - Т.20. - № 3. -С.87-97.
28. Kosarev N.I. Numerical investigation of the escape factor of lithium and sodium vapour at partial frequency redistribution // J. Phys. B: Atom. Molec. Opt. Phys. -2008. - V.41. - Р.225401-1-225401-8.
КОНЦЕПЦИЯ ИСТОЧНИКОВ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ И НЕКОТОРЫЕ
ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Краснов Игорь Павлович
Д.т.н., профессор, начальник сектора ФГУП «Крыловский государственный научный центр» Санкт-Петербург;
1 Введение
Концепция источников в электродинамике состоит в учете особой роли, которую играют в ней такие величины, как объемная плотность тока j, поляризация P и намагниченность J, и предполагает использование этой роли для
формулировки и построения решений электродинамических задач. Особая роль величин j, P и J связана с тем, что,
являясь характеристиками вещества, эти величины могут рассматриваться также как источники или первопричина электромагнитного поля, созданного телом, в объеме которого они заданы, однозначно определяя это поле.
2 Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла в системе М^ или рационализированной Гауссовой системе обычно записываются в
виде:
1 д 1 1 д
rot H =--D + - j, div D = p, rot E =---B, div B = 0, (1)
c dt c c dt
соответствующем [1], где эти уравнения даны в СИ. Уравнения (1) обычно рассматриваются совместно с выражениями, определяющими взаимосвязь векторов E и D , H и B :
D = E + P, B = H + J. (2)
Использование систем М^ или CGS позволяет проще выявить и использовать симметрию уравнений Максвелла для их последующего решения.
В формулах (1) и (2) участвующие в них векторные функции подразделяются на два класса. К первому классу относятся векторные функции E , H , B и D , заданные во всем пространстве L , и определяющие в нем силовые и индукционные характеристики электромагнитного поля. Ко второму классу относятся векторные функции такие как j, P и J , заданные лишь в некоторой ограниченной и фиксированной в пространстве области V Е £3 с гладкой границей S , в которой имеется вещество. Как показано в [2], их задание полностью определяет векторные функции E, H, B и
D
Выражения (2) можно рассматривать как определение векторов Б и В через вектора Е и н , или наоборот. В работе [3] отмечается, что с помощью выражений (2) система уравнений (1) может быть приведена к четырем эквивалентным между собой системам уравнений Максвелла относительно следующих пар векторов поля: Е и н, Б и В, Б и Н, Е и Б , в которых функции 3, Р и J - заданы. В такой постановке оказывается возможным получить
решения для всех вариантов уравнений Максвелла в общем случае, представив каждый из четырех векторов поля Е , Б , В и Н в виде квадратур от 3, Р и J .
3 Преобразование уравнений Максвелла
Для построения решений уравнений Максвелла удобно ввести вместо векторной функции Б векторную функцию Б#, как это сделано в [2]:
г г
Б. = Е + Р + |\с1г' = Б + |\с1г', Б. = 0 (3)
—ж —ж
которая в отличие от Б будет соленоидальной.
Используя далее новую характеристику состояния вещества Q :
t
Q = P +Jjdtdiv Q = div P-p, Qn = Pn + g,
(4)
где p - объемная, а G - поверхностная плотности заряда, системе уравнений Максвелла для векторов Б. и B можно придать симметричный вид:
1 d 1 d
rot B =--Б + rot J, div Б = 0, rot Б =---B + rot Q, div B = 0. (5)
c dt c dt
Учитывая, что величины p, j, P и J определены в области V вплоть до ее границы S и на границе S имеют, как правило, отличные от нуля значения, величины Б# и B должны претерпевать на S разрыв граничных значений:
D+n - D- = 0, Б+, - Б— = Qs, B+-B- = 0, B+- B- = Js, (6)
где индексами «+» и «-» отмечены предельные значения соответственно изнутри и извне S , индексом П отмечены нормальные, а индексом S - касательные составляющие векторов.
Таким образом, задача по определению индукций Б# и B электромагнитного поля во всем пространстве X 3 по заданным значениям величин j, P и J в области V сводится к решению граничной задачи для уравнений Максвелла (5) при граничных условиях (6) на поверхности S разрыва непрерывности этих индукций. Если положить
1 д
B = rot A, Б =---A - grad Ф + Q, (7)
c dt
то величины А и Ф, называемые потенциалами в соответствии с (5), должны удовлетворять уравнениям:
1 d 1 d
□ A =---Q - rot J, □ Ф = div Q, div A +--Ф = 0, (8)
c dt c dt
л 1 d2
где здесь и далее используется оператор Даламбера □ = А--z--г-.
с dt
Если положить:
- 1 d
Б. = rot A,, B = -—A, + grad Ф, + J, (9)
c dt
то потенциалы A^ и Ф^ будут удовлетворять симметричным уравнениям:
1 d 1 d
□ A =--J - rot Q, □ Ф = -div J, div A +---Ф = 0. (10)
c dt c dt
Вне области V потенциалы в обоих случаях удовлетворяют однородным волновым уравнениям, они непрерывны на границе S области V , а их производные удовлетворяют условиям (6).
-да
4 Модификация формулы Киргофа
Для построения решений систем уравнений (8) и (10) с граничными условиями (6) во всем пространстве воспользуемся формулой Кирхгофа. Согласно [1, 4] для дважды непрерывно дифференцируемой по координатам точки X £ V и времени t £ (-ГО, функции Е(X, t), удовлетворяющей в области V с гладкой границей $ уравнению:
□ Е(х, t) = -g(X, t), X £ V, (11)
в котором g(X, t) - непрерывная функция X £ V и дважды непрерывно дифференцируемая функция t £ , справедлива формула Кирхгофа:
1 Г 1
руЕ (X, t) = — \—{$} dV + 4л * г ,
V XX
1 Г(±|А ¥+ 1д1 {р +}+
4л I г \дп I дп г
$ \ xs
д 1 дп г
1 дг ¡д Е+
(12)
г с дп \ дt
ds.
Здесь и далее, величины в фигурных скобках рассматриваются в момент времени ^ = t--, г' - расстояние от
с
точки X £ Х3 до точки й - переменной интегрирования, принимающей значения X' £ V и S £ $.
В рамках метода получения формулы Кирхгофа в [1] в формуле (12) дополнительно учтены случаи, когда х £ $ и X £ V введением характеристической функции pV области V:
Pv = 1, X £ V; Pv = 0, X £ V; Pv = 1, X £ $. Если, кроме того, функция Е(X, t) определена во всем пространстве и вне области V удовлетворяет однородному волновому уравнению:
□ Е^, ^ = 0, X £ V, (11*)
то для точек X области VR , являющейся дополнением области V в шаре VR с центром в области V и радиусом К , превышающем диаметр области V, формула (12) принимает вид:
^Е(X,0 = -±Н^ Гд ^
' xs
4л * I \ дп
$ \ ^ \
-Е -
дп г^ г^с дп \ дt
ds +
4л $4 г1 \дпЕ 1 дпг1 }
1 дг_ Г д
(13)
—Е
гжс дп \дt
ds.
у
Складывая формулы (12) и (13), получим требуемую модификацию формулы Кирхгофа:
Р**кЕ(X.t) = ¿/±{g}dV + Д±+-&-Ц}¥ -Е-}+
$ V xs
4л г
у XX
+ — ^ Н Е +--Е -
г с дп 1 дt дt
д_ дп
_д1 дп г
ds +
(14)
¿Л
1 Г д
дп
Е
— -1 {Е дк ¡д. Е}
дп г г с дп \дt I
ds,
4л I г к , ....
$К V ^ ^ ^ xs
позволяющую сделать следующий шаг.
Пусть функция Е (X, t), кроме того, что она удовлетворяет уравнениям (11) и (11), удовлетворяет еще и граничным условиям на поверхности $ :
д д
Е+ - Е" = t), — Е+ - — Е" = ф, t), (15)
дп дп
с заданными функциями У^, t) и а(s, t). Тогда из (14) следует, что функция Е(X, t) может быть представлена выражением ([2]):
f (*> t)Jf {g} dV+-L/I-1 {g}-A f {v}
1 dr Г1 d
;v}+---j— v:
4^Vrxx'^ 4Л S V rxsK ' dnrxs rxs dn Ic dt j
ds.
(16)
в случае если интеграл по SR в (14) стремится к нулю при R —>• ж.
Стремление интеграла по SR к нулю будет обеспечено, если функция F(X, г), определяемая формулой (16), при x £ SR и R , много большем диаметра области V, удовлетворяет условиям излучения в виде:
F (x, t) = i
v R у
( d 1 d Л
—F (x, t) +--F (x, t)
VdR c dt
(1 ^
= o —
V R У
(17)
Полагая, что функции v(s, t) и g(s, t) являются непрерывными функциями S £ S, причем v(s, t) - трижды, а g(s, t) - дважды непрерывно дифференцируемые функции t при любых S , можно убедиться, что функция F(X, t) , определяемая формулой (16), удовлетворяет условиям (17).
5 Построение решений уравнений Максвелла
1 Применяя формулу (16) к первым двум уравнениям в (8) учитывая, что потенциалы A и Ф непрерывны на S и каждая из компонент правых частей первого и второго уравнений в (8), а также правые части граничных условий (6) удовлетворяют условиям предыдущего раздела, будем иметь:
Л, ч 1 г 1 Г1 d ^ J _ 1 С 1 Г d + d AJ , A(x, t) = —J—J--Q + rot J 1 dV + — J—Г— A +--A J ds,
4л Vrx [c dt j 4л Srxs [dn dn j
Ф( x, t)
ds.
-— J—{divQ}dV + — i-J-Ф+ --Ф-4л J r^ 4л J rxs Idn dn j
Третье уравнение в (8) и граничные условия (6) будут удовлетворены, если учесть, что при непрерывности A и Ф на поверхности S , справедливо:
— A + - — A- = [rot(A + - A- ),n], — Ф+ - —Ф- = Qn.
dn
dn
dn
dn
В этом случае:
A(x, t) = — \—J1—Q + rot J1 dV + — i—[{J}, n] ds, V ' ' 4л ^ гД c dt J 4л J ^ J
(18)
Ф(x,t) = --LJ—{div Q}dV + -L J—{Qn}ds.
4^Vrxx' 4л Srxs
Аналогичным образом, решение системы уравнений (10) можно представить в симметричном виде:
A,(x,t) = -1- J—J-1 d J + rot Q j dV + J—[{Q}, n] ds, 4л Vrxx [ c dt j 4л S rxs
Ф, (x, t) = -1 J—{div J} dV - -L J- {j} ds.
4л r 4л r
V xx S xs
С помощью формулы Остроградского формулам (18) и (19) можно придать следующий вид:
A(x, t) = rot — J—{J} dV +1——J— {Q} dV,
4л1Г^' c dt 4л V rxx'
Ф( x, t) = -div— [—{q} dV, 4лУг^
A,(^t) = rot¿Jf {Q}dV - 11iJ^{J}dV,
(19)
(20)
c dt 4л V r
Ф (x, t) = div— f—{J} dV.
4лVrxx'
В результате применения к (20) и (21) формул (7) и (9) получаются два тождественных представления для В :
1 а
в = rotrot— f—{J} dV + -—rot— f— {q} 4л r^> c dt 4л r^j
dV,
V xx v xx
2
B = --4 ^r — f—{J} dV + graddiv—\—{j}+J + -—rot—f—{q} dV,
c2 dt2 4л f 4л f rx 1 J c dt 4л f r / J
V xx V xx V xx
(22)
и два тождественных представления для
D
D. = rotrot — f—{q}dV - -—rot— f—{j}dV,
4^ Vrxx' C dt 4л Vrxx'
1 11 11 1^11
—-— f—{Q}dV + graddiv— f—{q}dV + Q - -—rot— f—{j}dV. c2 dt2 4л i r, 4л i r, c dt 4л i r, 1 J
(23)
с2 дt2 4л у ™ V 'ж' с д 4л V
Разность между представлениями В в (22) дает аналог тождества Пуассона:
PvJ = -□-!-/—{1} dV,
разность между представлениями Б# в (23) дает аналогичную формулу для Q . Для получения из (23) представлений для индукции
Б достаточно воспользоваться формулой (3). Из формул (22), (23), (2) и (3) следуют тождественные представления для векторов Е и н .Полученные формулы обобщают результаты Дж. Стрэттона [1], полученные им при условии, что Р = 0, J = 0 и = 0, на общий случай.
6 Некоторые приложения полученных результатов
1. В основе явлений дифракции лежит процесс взаимодействия электромагнитного поля с веществом, который описывается зависимостью источников электромагнитного поля от его напряженностей [1, 5] в виде:
2
] = 1 7 Е., Р = 2 ?Х'. 2 Е- J = н.. (24)
1 -шт1 т0 -т - 1ю0ютр 1 -lmтJ
Поскольку:
Е. = Е0 + Е, н. = н0 + н , где Е0 и - напряженности падающего поля, а Е и н - определяются через источники; выражения (24) становятся интегральными уравнениями дифракционной задачи ([2]).
2. В случае, когда источники электромагнитного поля представляют собой градиенты гладких финитных функций в области V, занимаемой телом, выражения (22) и (23) определяют особенные решения уравнений Максвелла, характеризующиеся тем, что вектора, описывающие поле равны нулю в области V, хотя соответствующие им потенциалы всюду отличны от нуля. В статике множество особенных решений более разнообразно ([6]).
3. Переход от вектора электрической индукции Б к его соленоидальному аналогу Б, позволяет построить
дуальную пару (21) обычно используемой паре векторного и скалярного потенциалов (20). Каждая пара электромагнитных потенциалов, представляющая собой 4-вектор в пространстве Минковского, может быть представлена 4-диверген-цией своего антисимметричного тензора с компонентами векторов Герца, и эти тензоры взаимно сопряжены. Это позволяет упростить и расширить возможности описания электромагнитных процессов в веществе в пространстве Минковского в части представления решений уравнений Максвелла, функций Лагранжа и закона сохранения энергии и импульса ([7]).
Список литературы
1. Стрэттон Дж. Теория электромагнетизма М. - Л. ОГИЗ, 1948.
2. Krasnov I. P. Proc. of Intern. conf. «Days on Diffraction - 2012», p. 139 - 144, IEEE, 2012.
3. Krasnov I. P. Proc. of Intern. conf. «Days on Diffraction-2011», p. 92-96, IEEE.
4. Бабич В. М. и др. Линейные уравнения математической физики сер. СМБ под ред. С.Г. Михлина М. «Наука», 1964.
5. Краснов И. П. ПЖТФ т. 36 №16 2010, с. 34-40.
6. Krasnov I.P. Proc. of Intern. œnf. «Days on Diffraction-2013», p.89-93, IEEE.
7 Krasnov I.P. Abstracts of Intern. conf. «Days on Diffraction-2014» May26-30, StPb, p.57.
