Контактные напряжения в защитной втулке насоса, упрочненной нанокомпозиционным покрытием Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.31:531.01

КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ЗАЩИТНОЙ ВТУЛКЕ НАСОСА, УПРОЧНЕННОЙ НАНОКОМПОЗИЦИОННЫМ ПОКРЫТИЕМ А.П. Бырдин, С.Г. Валюхов, О.В. Стогней

В работе рассмотрена задача вычисления напряжений, возникающих на контакте нелинейно-наследственноупругого материала и упругой оболочки. Получены аналитические выражения для контактных напряжений

Ключевые слова: контактные напряжения, нелинейно-наследственноупругий материал, ряд Вольтерра

Защита от износа рабочих элементов насосных агрегатов всегда была и остается проблемой при их эксплуатации. Для предотвращения этого необходимо использовать все более качественные материалы, что существенно удорожает изделие и не всегда позволяет достичь желаемого. Более перспективным в этом плане является нанесение на поверхности рабочих органов насосов

упрочняющих и антикоррозионных покрытий [1].

На данный момент наиболее перспективным является использование нанокомпозиционных покрытий. Установлено, что твердость

поликристаллического сплава обратно

пропорциональна размеру зерен, формирующих сплаве - закон Холла-Петча, что и легло в основу методов дисперсионного упрочнения.

Проведенные исследования авторов показали, что этот закон выполняется вплоть до размеров зерен порядка нескольких джесятков нанометров.

Именно такая структура реализуется в нанокомпозитах, что отличает их от покрытий, имеющих размеры зерен от единицы до десятков микрон. Предварительно проведенные нами исследования показали, что благодаря наноструктуре композиционные покрытия

обладают в разы большей микротвердостью и на порядок большей износостойкостью.

Новейшие подходы в технологии получения покрытий с высокой и сверхвысокой твердостью связаны с формированием наноструктурированных композиционных композитных оболочек на основе управления свойствами материалов на атомном уровне [2].

Однако эксперименты по нагружению аморфных гранулированных нанокомпозиционных покрытий показывают, что при определенных уровнях напряжений на границе может происходить отслаивание покрытия от поверхности изделия. Это требует разработки новых более эффективных методов нанесения покрытия, а также определения значения

Бырдин Аркадий Петрович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (473) 254-54-75

Валюхов Сергей Георгиевич - ФГУП «Турбонасос», д-р техн. наук, генеральный директор, генеральный конструктор, профессор, тел. (473) 272-76-07 Стогней Олег Владимирович - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 246-66-47

напряжений, возникающих на контакте покрытия и поверхности изделия насосного агрегата.

Самым быстро изнашиваемым элементом в рассматриваемом агрегате является защитная втулка. Поэтому решая комплексную задачу широкого применения упрочняющих покрытий, в настоящей работе рассмотрим определение напряжений, возникающих на контакте поверхности защитной втулки и упрочняющего композиционного покрытия. При этом мы основывались на идеализированном механическом подходе, моделируя систему «деталь-покрытие» нагруженным цилиндром, подкрепленным упругой оболочкой.

Рассмотрим задачу о действии внутреннего и внешнего давлений на цилиндрическую трубу, армированную по внешней поверхности тонкой упругой оболочкой. Предполагается, что материал трубы является несжимаемым и его поведение описывается нелинейным реологическим соотношением, представленным интегростепенным рядом Вольтерра-Фреше [3]. Труба считается достаточно длинной и принимаются условия осевой симметрии и плоского характера деформированного состояния.

В такой ситуации, как известно, возникают

лишь радиальные перемещения и(г, г), радиальные и кольцевые деформации £г ,8 у и радиальные, кольцевые и осевые напряжения

Ог, О у, О 2 (г,ф, 2 - цилиндрические координаты

точки материала). В этом случае из трех дифференциальных уравнений движения остается только одно. Из условия несжимаемости материала цилиндрической трубы вытекает

дифференциальное уравнение для перемещений. Считая перемещения и градиенты перемещений малыми по сравнению с единицей, пренебрегая в выражениях для компонент тензора деформации квадратами и произведениями перемещений и производных, из дифференциального уравнения, выражающего равенство нулю объемной деформации, получим радиальное перемещение в

виде

и ( )

и (г, г) = (1)

Г

где и0 (г) - функция, которая определяется из

уравнения движения.

Таким образом, краевая задача о плоском осесимметричном деформированном состоянии материала в условиях динамического нагружения формулируется следующими уравнениями: уравнение движения

З ( )

3r \r sr) - sj = rp

соотношения Коши

З 2u 3t2

(2)

Є

3u u

з , Є j = ,

3r r

граничные условия для уравнения движения

Sr (a t) = -Pa (t)

(3)

(4)

hE

Sr (b, t )=- Pb (t)- ,2 ( 1 2\U(b, t )-

'2|1 - V

bfv) ■

-p1 hu(b, t) (5)

определяющее соотношение для материала трубы

sj(r, t )-Sr(r, t ) =

= G2n+1 |(^j(r, t)-er (r, t))

(6)

где операторный полином Вольтерра в правой части равенства (6) действует по правилам

|Т 6„ ](е, -8г )= 2 (6,8,)-Т (б,ег)

П П

(7)

G n Є = 2G0 j n j G(t1 ,...tn )П (r, tJ )dt ’

0 0 J=1

I = г или I =,, 60 - нерелаксированный

модуль сдвига изотропного материала трубы,

6п (г1..., г,) - ядра релаксации п-го порядка.

Пределы в интегральных выражениях (7) соответствуют случаю стационарного нагружения материала.

Обозначения, использованные в формулах (2) - (6), следующие: а, Ь - внутренний и внешний радиусы трубы; Ь - толщина оболочки; р, р1 -плотности материалов трубы и оболочки; Е1 , П1-модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки; ра (г), рь (г) - внутреннее и внешнее давления. Граничное условие для радиального

напряжения при Г = Ь в формуле (5) получено из условия сопряжения перемещений материала и оболочки по методике, описанной в работе [5].

2. Сведем решение задачи (2) - (6) к решению интегродифференциального уравнения для функции и0 (ґ), определенной в (1).

Введем безразмерные координату Г и время Ґ , безразмерные напряжения <Г^ и безразмерное перемещение X (), а также приведенную

плотность материала р0 :

r

r = —, t = Bt, Б■ b

2G

2G

X (t ) = -

abp0

■/Jt)

ab

, (В)

Ро =РЫ{а ~ ) + Р1 |.

В дальнейшем штрихи у новых переменных опустим и ограничимся в реологическом соотношении (6) операторным полиномом третьего порядка. Будем также предполагать, что внешние

воздействия ра (г) и Рь (г) представимы рядами

Фурье.

Подставим функции из (3), (1) и (8) в соотношение (6), а затем в уравнение движения (2), записанное в безразмерной форме. Имеем:

dar (r, t) 2a

3r br3

p

2 I

G1 +\^ I G

X (t ) =

(9)

= ^X (t) p0r

Интегрируя уравнение (9) по координате в

[a/b,1]

промежутке

и учитывая граничные

условия, получим нелинейное

интегродифференциальное уравнение вида

X (t)+a2 X (t )+i(G1 +mG3 X (t )=P(t), (10)

где

1 =

b2 - a2 ab

, 2 ahE,

A2 = 1

2b2 G0 (1 - v;)'

(11)

m=1+1-,P(t)=(Pa (t )- Pb (t ))

3 2G0

Стационарное решение уравнения (10) ищем в виде интегрального ряда Вольтерра

0

n=0

n

X(t)=I 4,+1P(t),

(1,)

.=0

где операторы Кп действуют на функции по

правилу (7). Для определения ядер интегральных операторов воспользуемся рекуррентным соотношением работы [6] в случае только нечетных

п и учтем, что в2п+1 = 0 при п ^ 1. Имеем

К* (о) = [в°* (о)]-1, во* (о) = А2 -О +1в* (о)

..................................................(13)

КЮ,...^^,0*рЮТ к(*Д)(й)1,...,о,1))^

п аМ \и 3 = п-1

Ф( .• 1). W(

Xj С/,2)(ш( j ,1)+1

xG

'(j,1)+(Л2) К(./-,3) (w(j,1)+(j,2)+1 w(n) )

X

2/1 +1 2(/1 + /2 +1) 2n+1

Iw, Iw, Iw

l=1 l=2(j +1) l=2(j +/2 )+3

Здесь

(п)=2п +1, ^,т)=2]п + ^ |J,т\=]1 +... + ]п,

первая сумма берется по циклическим перестановкам индексов, вторая - по натуральным

решениям диофонтова уравнения и ,3 =п - 1,

К. (w,...,w„ ) = ^V2p)1 ” J «Л К. (t1,•••, t.)x

xexp -iIwJm dt1••.dt„« •

V m=1 J

Для простоты выберем функцию R(t) в виде моногармоники

Р(' ) = P sin Wt (14)

и преобразуем решение (12) следующим образом:

С ЯРп2 V 2«+1

V 2 J

I (-1) с:,

(n)

X (t )=f I

2i n=0

К(«) t ,•••, t(«) )x exp[iw(2n - 2m + 1)t], (15)

Cm w

« действует по правилу

с ,mF ('1,-, >, ) =

= (л/2Р)« 11F * (w,..., w,-w,...,-w)

m

Здесь F (Ю,..,Ю,-Ю,..,ЮП) - образ Фурье

F * (Wv, Wn ) функции F (t1,•••, tn ) при

О = w,.. ., О-п = О ®п-п+1 = О- Оп = -О

суммирование в правой части равенства проводится по нетождественным перестановкам аргументов (Ок = о(М = 1,..., п - п) с

аргументами (Ок = -о(М = п - п + 1,..., п);

число компонентов в сумме равно биноминальному

коэффициенту

( п У

Известно, что для ряда материалов, обладающих нелинейной ползучестью - сплавов металлов и различных полимеров, изохронные диаграммы на плоскости оказываются подобными с достаточно высокой степенью точности. В этом случае хорошее согласие с экспериментами на ползучесть дает упрощенная нелинейная теория наследственности, в которой ядра в определяющем соотношении представляются в виде произведения одинаковых функций [6].

Предполагая ядро оператора в3

сепарабельным

G3 (t1 , 12 , 13 ) = a3 1П G1 (tk ),

(16)

k=1

решим последовательно уравнения (13), исключая функции К(п) с индексами 0 Р п Р п . Получим

К0* (w) = к; (w)G. (w),

К 3 (w1, w2, w3) = -—К* (w1 + w2 + w3 )x 2p

x

П КГ (w- )i

j=1

К *n)(w1,...,w(n)):

К

С- —3- ]

2p)

С»

x

Iw •••к;* Iw,

V l=1 J

x j

к* 11 ®, П К 0* (wj)

,=1

x (17)

JJ

f 2n+1 \2n +1

x

V ,=1 J j=1

где Ь3 = Дш3, пМ - нечетные натуральные числа 3 £ пМ £ п -1, функция ,п(...)

представляет собой симметризованную сумму произведений фурье-образов К10* с

0

00

n

n-1

коэффициентами,

выражением

сумма

которых дается

Ф

3 [ з: - 1I

n -1

где

v m J

2n +1

- биноминальные коэффициенты. В

частном случае, когда частота изменения давления (14) удовлетворяет условию О = А, фурье-образы ядер интегралов в решении (12) легко находятся из рекуррентной системы (17), а функция рт

превращается в постоянную (рп = 1 т Ф п.

Для определения области сходимости ряда Вольтерра в решении (12) удобно исходить из представления решения в форме (15). Можно показать, что для операторного члена в правой части равенства (15) справедлива оценка

^..., t (n)|

t(n))£ M1

A

2p

n

M -

x

[ 2n + lI

x

m

Ф.

(1В)

M, = max к,* ((2n - m + 1)о)І,

M 0 = max

к,0* (,о)|,

где индексы п и I принимают целые значения из промежутков [0, 2п+1] и [1-п, п-1] соответственно.

Учитывая неравенство (18), получим мажорирующий решение (15) ряд

IФ n lb IP»2 M 0)"

Можно показать, что числовой ряд, мажорирующий ряд для функции X(t), имеет область сходимости, совпадающую с областью (19). Таким образом, решение в виде ряда полилинейных функционалов (12) является дважды непрерывно дифференцируемым решением интегродифференциального уравнения (10).

Полученное решение (12) имеет следующую структуру, типичную для задачи о колебаниях нелинейной среды: первый член является решением задачи для линейного наследственно-упругого материала и представляется гармоникой; следующий - определяет поправку к первой гармонике и член, содержащий третью гармонику и т.д.

3. Построенная функция X(t) позволяет вычислить деформации и напряжения в любом приближении. В дальнейшем будем учитывать в решении только первое и второе приближения

X(t) = A1 sin(wt + j) + ^2 sin(wt + f) +

+ B sin (3wt + j3), (20)

где введены обозначения

A

Po к 1,

A

3

4'

--b A,Po2 к 0

B=-bPo3 к 0 к з,

Іда(к* (о)) gj= (кI) )),

Re(K j (о))

Іш(к * (о)к 0* (о)) Re(к * (о)к 0* (о)) ’

= Іш(к * (3о)(к 0* (о))3

к

n =1

Re(к * (з^к 0* (о))3)’ к 0* (о), к n =|к * (:о) (n = 1,3),

область сходимости которого дается соотношением

(19)

Таким образом, функция Х(1;) является

непрерывной в замкнутом промежутке области, определяемой неравенством (19).

Полученное соотношение связывает параметр нелинейности Ь3, амплитуду возбуждения Р0 и частоту возбуждения О, входящую в (19) посредством величины М 0.

Из вида параметра Р0 (II), (14) следует, что его

величина меньше единицы. Отсюда вытекает возможность не малых значений параметра нелинейности Д.

А1 - амплитуда решения задачи о колебаниях цилиндра, материал которого является линейным наследственно-упругим; А 2 и В - амплитуды первой и третьей гармоник, генерируемые

нелинейностью задачи.

Радиальная и окружная компоненты

деформации находятся непосредственно из соотношений (3) и (8)

Є, (r, t ) = ±

aX(t) br2

(21)

где I = г, (р , верхний знак относится к индексу

I = г , нижний - к индексу I = р . Для вычисления радиального напряжения по найденному перемещению проинтегрируем уравнение (9) по

m

радиальной координате в промежутке [а/Ь, г] и учтем граничное условие для аг при г = а/Ь , вытекающие из (5). Имеем:

а г (г,г ) = -РР 1/— У х(г )-

р0 ( а У

- ^ + 1(г <6 +т(г 6 ]х (г),

(22)

26,

где

0/ ч Ь2 г2 - а2 /ч Ь 4 г 4 + а2 Ь2 г2 + а 4

л(г)=—г^, т(г)=-

3а2Ь2г

Из формулы (6), учитывая (22) и (21), получим выражение для окружного напряжения

ар

(г, г )= аг (г, г) +

2а

Ьг2

-^6

,2 2 63

Ь г

X (г )(23)

Из формул (22) и (23), принимая во внимание уравнение (10), запишем выражения для радиального и окружного напряжений на контакте цилиндра с упругой оболочкой

аг(1, г ) = -

Рь (г) ( 26

к р1 ё2

Л

Ь р0 ёг2

■ +А2

а, (1, г )= МР(1 )-

Рь (г) 26,.

N

ё2

2 ёг2

N 1(61 + N3 • X(г) (24)

Регулярную часть ядра наследственности выберем в виде функции А.Р.Ржаницына

Я(( )=В р У г• е ,

где В = в/гу в - дефект модуля упругости, Г(у) - га

?-1

гамма-функция, Р = р/В, р-время релаксации, у Р1 - параметр

сингулярности. Модули фурье-образов ядер разрешающего интегрального оператора

К, определяющие амплитуды гармоник (20), в этом случае выражаются через производящую функцию полиномов Лежандра

Ф(я(«), СОБ уХ)

к 0х (о)

1 +А2 1

О

Ф(5(о), СОБ уХ)

Л + А2 - СО2 Ф(50, СОБ уХ)

где

Ф(^(о), СОБ уХ) =

(1 - 25(0)СОБ уХ + 52 (о)) ^ ,

?(о) =

лв

1+ А2

О

5П = 5

= 5(0 = а),

О

(о +р02 ^ Х = агсг8

Р

0 У

где

N ■

2а3 ЛцЬ -

1 -

а

2 Л

ть7

кр1

ЬР0

N 3 = А2 (1 + N.

Достаточно хорошее согласие с экспериментами по релаксации напряжений в материалах получается при использовании для описания таких процессов весовых функций наследственности, содержащих слабосингулярную составляющую [6]

6, (г ) = В)-Я(1)

где В) - дельта-функция, описывающая наличие мгновенной упругости материала, Я(г) -

слабосингулярная функция скорости релаксации.

Обратимся теперь к оценке влияния нелинейности реологического соотношения для материала цилиндра на контактные напряжения. В качестве материала цилиндра выбран полимер АК-93/7, в качестве материала оболочки - сплав Т8. механические и реологические параметры материалов имеют следующие значения [7]: р = 1180 кг/м3, р1 =4510 кг/м3,

Р = 0.05,

Е1 /260 = 125, п = 0.35, у = 0.15,р = 0.05, В= 9469.6 с _1,п = 0.66.

Значения геометрических характеристик и параметров нагружения::

а = 0.05 м, Ь = 0.2 м, к = 0.005 м ,

Р0 = 18.75 • 10-4

Оценим возможные значения параметров сепарабельности и нелинейности, при которых сходится ряд (12). Численное исследование

функции

К 0" (о)

на максимум дало значение

0

ь

экстремальной

соответственно,

частоты wm » 2.072 и,

M0 » 10.787. Полученные из коэффициентов

условия (19) значения сепарабельности и нелинейности

рассматриваемого случая следующие:

'' —I »33.59.

' 3 max

для

a3 P 1.57

Для многих полимеров отношение предела прочности к модулю упругости является величиной

порядка 10 -2 . В наших расчетах амплитуда возбуждения отнесена к удвоенному модулю сдвига материала, поэтому величина Р0 является

достаточно малой. Таким образом, ряд (12) сходится в широком диапазоне изменения величины нагрузки.

В частотной зависимости амплитуды первой гармоники приближенного решения (20)

наблюдается острый максимум на частоте (0п,

смещенной в сторону меньших частот относительно резонанса системы без вязкости:

о

где

о

(l + A2 f

резонансная частота системы без вязкости,

о

величина, зависящая от параметров системы.

Используя приближенное решение (20) при выбранных выше значениях геометрических и реологических параметров и частоте внешнего воздействия О = (0п, получим: вклад члена с

амплитудой А2 в полную амплитуду первой

гармоники контактных напряжений аг (1, г) и

ар (1, г) составляет приблизительно 11%.

Амплитуда В третьей гармоники составляет примерно 0.1% от величины первой гармоники. Таким образом, поправочный член к первой гармонике, обусловленный нелинейностью реологии материала трубы, может оказаться существенным в расчетах контактных напряжений, например, в камерах высокого давления.

Литература

1. Стогней О.В., Валюхов С.Г., Трегубов И.М., Каширин М.А. Упрочняющие нанокомпозитные покрытия // Международ. Научн. Журнал «Альтернативная энергетика и экология», 2011. №9 101. с. 57-61.

2. Погребняк А.Д., Шпак А.П., Азаренков Н.А., Береснев В.М. Структура и свойства твердых и сверхтвердых нанокомпозитных покрытий // УФН, 2009. т.179. № 1. с.35-64.

3. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязко-упругости // Сб. трудов научн.-исслед. семинара каф. теор. упругости «Упругость и неупругость». М.: МГУ, 1973. Вып. 3. с. 95-173.

4. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. - М.: Наука, 1972. 328 с.

5. Бырдин А.П., Розовский М.И. О волнах деформации в нелинейной наследственно-упругой среде // Изв. АН СССР, МТТ, 1984. №4. с.100-104.

6. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977. 384 с.

7. Кацнельсон М.Ю., Балаев Г.М. Полимерные материалы. Справочник. - Л.: Химия, 1982. 316 с.

Воронежский государственный технический университет ФГУП «Турбонасос», г. Воронеж

THE CONTACT STRESSES IN THE PROTECTIVE BUSH OF THE PUMP UNIT STRENGTHENED BY NANOCOMPOSITE COATING A.P. Byrdin, S.G. Valyukhov, O.V. Stognei

The paper studies the problem of auxiliary symmetry for the contact stress between non-linear viscous-elastic material and elastic shell (cover). The analytic solutions of the contact stress are obtained

Key words: contact stress, non-linear hereditary-elastic material, Volterra’s series