Рекуррентный алгоритм разрешения моделей в эредитарной теории нелинейных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.374

РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ РАЗРЕШЕНИЯ МОДЕЛЕЙ В ЭРЕДИТАРНОЙ

ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

А.П. Бырдин, А.А. Сидоренко, О.В. Стогней

Рассмотрена реализация метода рядов Вольтера для разрешения уравнений моделей нелинейных систем с памятью. Развит простой алгоритм построения решений для некоторых функционально-дифференциальных уравнений. Отправным пунктом метода является разложение нелинейных функционалов в интегро-степенные ряды. Получена система рекуррентных алгебраических уравнений для трансформаций Лапласа ядер решения, а также интегральные представления этих функций

Ключевые слова: модели систем с памятью, нелинейная вязкоупругость, ряды Вольтера, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, рекуррентные соотношения

В работе рассматривается формализм построения решений некоторых нелинейных интегро-дифференциальных уравнений,

продуцируемых математическими моделями процессов в эредитарных системах. Подобные процессы наблюдаются во многих системах, изучаемых и в естествознании, и в общественных науках. Характерным признаком изучаемых объектов является следующее обстоятельство: состояние систем в текущий момент времени, зависит не только от актуальных значений параметров, определяющих состояние, но и от предшествующей истории их изменения [1].

При моделировании процессов, протекающих в динамических системах или в компонентах устройств различных технических систем, удобно рассматривать системы в базисе ”вход - выход” [2], т. е. как преобразователь входных переменных в выходные. При этом естественно сопоставление системе моделирующего процессы, вообще говоря, нелинейного оператора преобразования. Если система причинная [2], [3], то сопоставляемый ей оператор можно рассматривать (при фиксированном !) как функционал наследственного типа. Эволюцию состояния эредитарных систем можно описать дифференциальными уравнениями, содержащими функционалы истории параметров состояния [4]. На базе уравнений с нелинейными функционалами в моделях наследственной теории термо - вязко -упругости описывается поведение современных конструкционных материалов при механических и термических нагружениях [5], [6], [7], волновая динамика деформаций в нелинейных наследственно - упругих средах при периодических нагружениях [8]. Аппарат нелинейных функционалов, удовлетворяющих условию причинности, является весьма гибким средством моделирования и помимо отмеченных

Бырдин Аркадий Петрович - ВГТУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, тел. (473) 254-54-75

Сидоренко Александр Алексеевич - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 254-54-75

Стогней Олег Владимирович - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 243-76-62

выше приложений используется в физических задачах для описания магнитного и электрического гистерезиса [1], распространения нелинейных электромагнитных волн в средах с дисперсией [10], в функциональной микроэлектротехнике [9], [11], а также при построении математических моделей в биофизике и экологии [12], например, при описании флуктуаций популяций совместно живущих и взаимодействующих видов [1].

В моделях процессов, построенных на базе нелинейных функционалов, предполагается аналитичность функционалов [3], [5]: функционал должен обладать непрерывными производными по Фреше сколь угодн высокого порядка.

При выполнении этого условия нелинейный функционал, как известно, можно представить в виде ряда полилинейных функционалов возрастающей степени

0

х (і) —¥

I

П =1

0 пХ (‘),

(1)

‘

0 пХ (‘) =

И

0п 0 ,‘1>...>‘п х (‘і )Лі ,

і =1

где ядра наследственности 0 п (‘, ‘ 1,..., ‘п) обладают

симметриеи

аргументов

п

относительно

1,..., і п

перестановок ‘п . Предполагается также, что

эти функции удовлетворяют условию затухающей памяти: Оп (...) ® 0 при £ . Если свойства

системы не изменяются со временем (т. е. в системе отсутствует старение), то ядра наследственности будут зависеть только от разностей £ -(к = 1,..., п) [3]. В тех случаях, когда начало

процесса не отнесено к отдаленному прошлому (. >-¥), в соотношениях (1) нижний предел следует положить равным нулю.

В физических теориях, таких как наследственная механика твердых тел или

нелинейная электродинамика сред с дисперсией, нелинейный функционал задает определяющее соотношение между напряжениями и

деформациями в среде или, соответственно, между поляризацией среды и напряженностью электрического поля. Физическое требование

(

обратимости определяющего соотношения накладывает условие на ядро линейного функционала [4]: функция 01 (‘) должна иметь аддитивную составляющую в виде дельта-функции 01(‘) = а 10 (‘) — Я (‘)), (2)

где а 1 - постоянная, Я (‘) - регулярная часть ядра. Условие (2) также считаем выполненным в рассматриваемых ниже построениях.

Отметим, что в физических теориях определяющие соотношения с функционалом вида (1) носят тензорный характер: ядра полилинейных функционалов являются тензорами возрастающего вместе с их номером ранга, величины х (‘) также являются тензорами второго или первого ранга. Однако в ряде задач изучение динамики процесса сводится к скалярным уравнениям или скалярным системам [13]. В этой работе мы ограничимся рассмотрением одного скалярного уравнения.

Возникающие в таких задачах уравнения имеют вид

Ь N х (‘) + 0

х (О

0

= I (‘)

(3)

х (0) = х о, х(0) = х 1,..., х (^ 1)(0) = х N -1, где в дальнейшем для простоты ограничимся нулевыми начальными условиями, функционал 0 [х (т )] определен формулами (1), в которых нижние пределы в интегралах следует положить равными нулю, 0п (, 11,...,1п) = 0п ( -11,...,1 - 1п), | (1) -заданная функция,

N

Ь N = I cN —і і =0

І

N —і

N —і

І‘

(4)

- постоянные (п = 0,1,..., N ).

Решение задачи (3) разыскиваем в виде ряда Вольтерра

х (‘) = К

I (і)

0

п =1

КпІ (‘),

(5)

где операторы К п определены правилом (1). Ядра этих интегральных операторов предстоит определить.

Уравнение (3) и решение (5) представляют собой соотношения сверточного типа. Выполнив преобразование Лапласа по переменной I , из (3) и (5) получим вспомогательное уравнение и трансформанту решения в виде

¥ 1 — (-1)п -1

01 (р )х (р) +

п =2

(2р і )п

(6)

Г 0 п (р 1,..., р п ) 1 Г х

] р 1 +... + Рп — pH • (п ) і =1

р *

(рі )ірі = 1 (р),

Вг (п)

п

= (2р і)п

Г Кп(р 1,..., рп

■ I II 1 (р і )Ір і

р 1 +... + рп — р II

Вг (п) і =1

N

01 (р ) = 01 (р ) +1 с N -т =0

(8)

где х (р Ь { (р), 0Л(Р1,..., рк) и Кп(р l,..., рп) -трансформанты Лапласа соответствующих функций

^ *(р 1,...,рл ) = — р1‘1—...—рп‘п I (‘ 1,...,‘п )Г

0

і =1

(п = 1,2,...),

^ (‘ 1,...,‘п) =---------- Iер

(2рі )п

4 ' Вг (п)

1Р *(р 1,...,рп )Фі = і =1

интегралы по комплексным переменным Р к берутся по 2п - мерному контуру Бромвича [14]

Вг (п) = Вг х... х Вг (1)), Вг (1)) - контур Бромвича

на плоскости Яе р к , 11т р к .

Подставим трансформанту решения (7) в уравнение (6) и в полученном равенстве преобразуем произведения сумм интегралов к форме Коши. Приравняем затем коэффициент *

линейного по I (р) члена в правой части равенства единице, а суммы интегралов с одинаковым числом членов в произведениях *

I (р к ) нулю. В результате выполнения указанной процедуры получим систему алгебраических уравнений, выражающих лаплас - образы

*

резольвентных ядер К п (Р 1,..., р п) через

трансформанты ядер К п( р 1,..., рт ) для т < п и трансформанты заданных ядер полилинейных

*

функционалов в (1) 0т (р 1,..., рт ), 1 < т < п :

К *( р )0 0*( р) = 1,

- 0*

* *

к 2( р 1, р 2)01 (р 1 + р 2) + 0 2( р 1, р 2) К 1( р 1) К 1( р 2) = 0

К 3(р 1, р 2, р 3)0°П(р 1 + р 2 + р 3) +

3

+ 0 3(р Ьр 2,р 3)|К П(рт ) +

т =1

2

+ -10 2(рі + р і , рі )к 2(рі , р і )К1(рі ) = 0,

сііі

т

¥

і

с

п

Кп (рЬ.-рп )01

0*

£ р< + т ЕЕ ЕК *1( р 1

+—

п

У ( =1 0 ЫЫ т =2|и ,т =п

К (1 (р 1,...,рп)х

Х К 1т (рк ,т -1 +1,...,рп )0т

11

Ер1,", Ер|

1 =1 1=11 ,т -1 +1

= ^1,л .

Здесь \и,« = (1 +---+ (п длина мультииндекса

и , |/ ,0 = 0, £ 1 п - символ Кронекера, внешняя

симметризующая сумма берется по циклической перестановке индексов от 1 до п , что обусловлено требованием симметричности функций К п (11,..., 1п) относительно перестановок аргументов.

Внутренняя сумма в последнем соотношении берется по натуральным решениям диофантова уравнения (1 + ••• + (т = п .

Система уравнений (9) имеет рекуррентный характер и позволяет определять трансформанты

искомых ядер К п( р 1,..., р п), предварительно отыскав решения предшествующих уравнений. Отметим также, что полученные соотношения являются взаимными в том смысле, что если соотношение (5) принять в качестве исходного, то *

трансформанты ядер 0п (р 1,..., рп) определяются

через лаплас - образы К т*(р1,... , рт ) из аналогичных (9) соотношений.

В частном случае, когда в уравнении (3) отсутствует дифференциальный оператор, рекуррентная система (9) позволяет определить резольвентные ядра для нелинейного интегрального уравнения.

Из рекуррентных соотношений (9) можно получить интегральные представления ядер функционалов, входящих в решение (5). Исключая

*

в равенствах (9) ядра К 2(р 1, р 2),

*

К э( р 1, р 2, р 3), .. с помощью вышестоящих выражений и выполнив обратное преобразование Лапласа, получим

М (1,2) 11-т 12 -т

К 2(1Ь12) = - | А хК 1(т) | |0 2(5 1,52) •

0

0 0

| |К 1(1т 5т т)^,

т =1

М (1,2,3)

К 3(1 Ь12,13) = - | А !К 1(т )■

11-т 12 -т 13 -т

т =1

0 0

М (I ,к ,-т) 1т -5

Л ^ Л1 А1 0 0

0 2(?, 51)К 1(1т - 51 -т) | * 2 К ^ 2) х

0

Ч -2-5 -т ‘к -2- -т

Х ^ 3 К 1(11 - 5 1 - 5 3 - 5 -т) ^ 0 2 (? 3, ^ 4)

00 К 1(1к -52 -54 -5 -т)*4},

где М (1,2) = тт( 1,12), М (1,2,3) = тт( 1,12,13),

М (1, к ,-т) = тт(| -т, 1ы -т),

М (1, к ,- ,-т) = тт( 1 - ^ - т, 1ы - 5 - т).

Построенные выражения позволяют отыскать ядра полилинейных функционалов в решении (5) через заданные ядра наследственности и функцию К 1(1).

Выполнив обратное преобразование Лапласа из (9) можно получить интегральные соотношения для ядер функционалов в решении (5).

Для описания экспериментальных результатов с помощью соотношений нелинейной теории наследственной упругости используют, как правило, упрощенные физические уравнения [3]. В случае экспериментально наблюдаемого подобия кривых, полученных в опытах на релаксацию напряжений в испытуемом материале, определяющее соотношение, связывающее напряжения с деформациями нелинейным функционалом, будет содержать сумму полилинейных функционалов с сепарабельными ядрами наследственности

* т Г *

0п (11,..., 1п ) = ап I I 01 (т ),

т =1

(п = 1,2,...),

(10)

где параметры сепарабельности ап находятся из опытов.

Представление функционального члена в уравнении (3) в виде разложения (1) для случая сеперабельных ядер в полилинейных функционалах превращается в ряд по степеням линейного

функционала 0 1 х (1) с коэффициентами ип . Трансформации Лапласа ядер полилинейных функционалов в решении (5), определяются из следующих соотношений, вытекающих из (9) при условии (10)

К*( рь

. рп )0

0*

^ п ^

Ер^

1=1

+Ь ЕЕ«.

ак1 т =2 и ,т =п

(

П

к =1

**

К(к (ри ,к -Ь +1,..., р|и ,к 1^01

и ,к |

Е

л

р1

У = и ,к -Ь+10

У ’ 0

1,п .

Как известно [3], поведение ряда полимерных материалов при одноосном деформировании описывается определяющим соотношением вида

(3) при IN = 0 , если понимать обозначения х () и

I () как деформацию и напряжение в материале. При условии сепарабельности ядер релаксации (10), ядра ползучести Кп(р 1,...,рп) можно полечить из рекуррентного соотношения (9) в замкнутом виде

a iK j( p) = (

a 2

-1

(11)

a 1

K 1(P1 +... + Pn X

(п = 2,3,...).

В некоторых случаях функцию (р п в соотношениях (11) удается построить в явном виде.

В частности, при а п = тп можно получить

следующую зависимость рп = (-1)п -1. В другом частном случае, когда коэффициенты

сепарабельности имеют вид а 1 = т , а п =-т п ,

зависимость этой функции от номера имеет более сложный характер

2 &

jn =-

-Pn (У)

У = 3'

п (п -1) &у

где Рп (у) - полиномы Лежандра порядка п .

Рассмотренный здесь метод решения интегро-дифференциальных уравнений в свертках можно применять также для построения решений дифференциальных уравнений, содержащих степенную нелинейность. Это связано с тем, что подобные дифференциальные уравнения можно представить в виде интегро - дифференциальных с сепарабельными ядрами, выражающимися через дельта - функции.

Литература

1. Вольтерра В. Теория функционалов,

интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. -М: Наука, 1982. - 364 с.

2. Богданович Б.М. Методы нелинейных функционалов в теории электрической связи / Богданович Б.М., Черкасс Л.А., Задедюрин Е.В., Вувуникин Ю.М., Багило Л.С. - М.: Радио и связь, 1990.

- 280 с.

3. Пупков К.А. Функциональные ряды в теории нелинейных систем / Пупков К.ЛА., Капалин В.И., Ющенко А.С. - М.: Наука, 1976. - 448 с.

4. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. - М.: Наука, 1977. - 384 с.

5. Победря Б.Е. Математическая теория нелинейной вязкоупругости // Упругость и неупругость. Сб. тр. семинара каф. теор. упругости МГУ, 1973. Вып. 3. С. 95173.

6. Быков Д.А. Некоторые основные проблемы теории термо - вязко - упругости / Д. А. Быков, А. А. Ильюшин, П.Н. Огибалов, Б.Е. Победря // Мех. полимеров.- 1971. - Т. 1. - С. 41-58.

7. Гуменюк Б.П. Влияние термомеханической связности на динамическое поведение вязкоупругих тел / Б.П. Гуменюк, В.Г. Карнаухов, И.Г. Сенченков // Журн. прикл. механики и техн. физики. 1980. - № 3. - С. 148-155.

8. Бырдин А.П. О волнах деформации в нелинейной наследственно - упругой среде / А. П. Бырдин, М. И. Розовский // Изв. АН СССР. МТТ. - 1984. - № 4. - С. 100104.

9. Сухоруков А.П. Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике. - М.: Наука, 1988. - 304 с.

10. Ku Y.H. Volterra functional analisis of nonlinear timevaring systems / Y.H. Ku, C.C. Su // J. Franklin Inst., 1967. - v. 284. - №6. - p. 344 - 365.

11. Кабанов Д. А. Функциональные устройства с распределенными параметрами. - М.: Сов. радио, 1979. -232 с.

12. Ризниченко Г.Ю. Математические модели в

биофизике и экологии. - Москва-Ижевск: Ин-т

компьютерных исследований, 2003. - 184 с.

13. Бырдин А. П. Контактные напряжения в защитной втулке насоса, упрочненной нанокомпозитным покрытием / А.П. Бырдин, С.Г. Валюхов, О.В. Стогней // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2012. Т. 8. № 2. С. 90 - 95.

14. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. - М.: Высшая школа, 1975. - 407 с.

Воронежский государственный технический университет

RECURRANT’S ALGORITM FOR SOLWABLE MODELS IN THE OF NONLINEAR

SYSTEMS WITH MEMORY THEORY

A.P. Byrdin, A.A. Sidorenko, V.G. Stogney

Realization of Volterra series method for solvable models of nonlinear systems with memory is considered. A simple algorithm for constructing the solutions of functional-differential equations of a special form is developed . The scheme is based on the expansion of nonlinear functionals is a infinite integral-power series . The system of recurrent algebraic equations is obtained for the Laplas-transformation kernel of solution . The integral representations for thies functions is obtained

Key words: models of systems with memory , nonlinear viscoelasticity , Volterra series , integral and integro-differential equations , recurrent relations