Научная статья на тему 'Контактная задача для однородного полупространства с упругодеформируемым цилиндрическим включением'

Контактная задача для однородного полупространства с упругодеформируемым цилиндрическим включением Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
109
31
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
аналитические решения / полупространство / включение / осесимметричной / контактные напряжения / перемещения / полупространство / цилиндр

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Илюнин Василий Анатольевич

В настоящее время точное аналитическое решение контактной задачи для полупространства с деформируемым цилиндрическим включением отсутствует. Соответственно нет результатов, предопределяющих грузоподъемность такой системы с учетом всех "особенностей" возникающих при этом.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Илюнин Василий Анатольевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Контактная задача для однородного полупространства с упругодеформируемым цилиндрическим включением»

Содержание

134

строение» и подвижной состав, что необходимо для дальнейших исследований процессов вынужденных колебаний.

4. Литература

Бондарь Г.Н. Взаимодействие железнодорожных мостов с подвижным составом. - М.: Транспорт, 1984.

Вершинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. - М.: Транспорт, 1991.

Норейко С.С. Вибрации пролетных строений балочных железнодорожных мостов при высоких скоростях движения. Сб. науч. тр. ЛИИЖТ Вып. 178 - Л., 1961. - С. 3-39.

УДК 625.06.07

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С УПРУГОДЕФОРМИРУЕМЫМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ

В.А. Илюнин

Аннотация

В настоящее время точное аналитическое решение контактной задачи для полупространства с деформируемым цилиндрическим включением отсутствует. Соответственно нет результатов, предопределяющих грузоподъемность такой системы с учетом всех "особенностей" возникающих при этом.

Ключевые слова: аналитические решения; полупространство; включение; осесимметричной; контактные напряжения; перемещения; полупространство; цилиндр

Введение

Поставленная задача наряду с чисто аналитической новизной, имеет и практический интерес, так как моделирует работу висячей сваи в грунте или же анкерного крепления. Рассмотрением подобных задач занимались: Карпенко Н. И., Юферов В. О., Гвоздев А. А., Холмянский М. М. -вопросы касающиеся контакта арматуры с бетоном; Герсеванов Н. М., Цытович Н. А. и д.р. - вопросы, связанные с расчетом несущей способности свай.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/1

Содержание

135

Среди работ, содержащих аналитические решения пространственных осесимметричных задач, существенно важнымиявляются работы В. З. Васильева.

1. Постановка задачи

Поскольку формально математически никакой разницы в знаке нагрузки по торцу анкера или сваи нет, дело сводится к осесимметричной задаче следующего вида (рис. 1):

Граничные условия:

az = Ро Т = 0 при z = 0,0 < r < a ^

а = 0, т = 0 при z = 0, a < r < да

z 7 rz L 7

Необходимо также, чтобы при г^ да и z^ да а ^0. Упругие

постоянные материала включения и полупространства, модуль сдвига /л и коэффициент Пуассона v- различны.

Предполагается, что до момента разрушения по контактной цилиндрической поверхности выполняются условия совместности по вертикальным и радиальным перемещениям.

2. Построение разрешающих уравнений

При выборе способа решения сразу можно заметить, что использование в данном случае, казалось бы очевидного пути разбиения тела на составляющие и последующего решения двух смешанных задач, не позволяет выполнить условия а ^ 0 при z ^ да. Для снятия данной

проблемы сначала воспользуемся решением Терезава для однородного полупространства, загруженного по дневной поверхности.

В ходе решения получаем:

= g (z) - это своего рода «контактные»

а(0) = а

r r

f( z), С =т

напряжения на цилиндрической поверхности «включения».

Соответственно, «контактные» перемещения на поверхности:

и(0) = и0

= и0(z), w

(0) - w0

r=a

r=a

w0( z)

«Контактные» напряжения, и «контактные» перемещения для цельного массива одинаковы и для цилиндра, и для полупространства.

Используя полученное решение для полупространства, выделим часть массива находящегося под нагрузкой, указав на цилиндрической поверхности контактные нормальные и касательные напряжения на поверхности r = а.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/1

Содержание

136

Далее решается первая основная задача для полубесконечного цилиндра с граничными условиями:

о = 0, г = 0 при z = 0, 0 < r < a,

z ' rz г ~ ~ (2)

о = Яz)+/(z),r = Яz)+g(z) при r = a 0 < z <гo,

где / (z) и g (z) - соответственно неизвестные нормальные и касательные напряжения, действующие на цилиндрической поверхности.

Рис.1. Расчетная схема для полупространства с включением

В итоге имеем:

) =°)(r, z), u, = (r, z),

wf = wf (r, z).

Здесь фигурируют упругие постоянные щ и уг.

После этого решаем первую основную задачу для полупространства с выработкой.

Граничные условия:

о = 0, г = 0 при z = 0, a < r < го,

z F (3)

о. = Яz) + /(z),rz = g0(z) + g(z) при r = a 0 < z <ro

Их выполнение определяет

.(a)

) =оГ)(r, z),

u„ = u„(^ z) w„ = w„(^z).

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/1

Содержание

137

Здесь упругие постоянные - и v2.

Выполняем условия совместности деформаций по цилиндрической поверхности контакта (при r = a):

UI (z) = ип (z), wI(z) = wII(z)•

В уравнениях (4) слева и справа отсутствуют u0 (z) и w0 (z), так как они одинаковы для каждой составляющей и взаимно унивчтожаются.

Важным является то, что введены неизвестные контактные напряжения, которые корректируют решение Терезава вследствие различия упругих постоянных двух материалов.

Таким образом, задача сведена к выполнению краевых условий (2), (3) и условий совместности «контактных» деформаций по цилиндрической поверхности.

В качестве «основных» выступают неизвестные функции f (z), g (z).

После выполнения всех граничных условий для полупространства, полубесконечного цилиндра и условия совместности деформаций получаем систему шести уравнений относительно шести неизвестных, которая после ряда преобразований сводятся к совокупности четырех интегральных уравнений относительно неизвестных С0, C 0(у), B 0(X),gc(X)

такого вида: 1.

С

YkCk

j B 0(Л)£

С

21-^ Е,: (X)XdX + j

2(1 -уд 0

1 -Z

2(1 -У)

gc (X) ЕК (Л) +

ад

j gc (X)

С

I,(Xa)

ад

dX + j

С

1 -Z 2(1 -vx)

g0(X) Ек (X) dX + A k

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2.

1 B\X) ZFX-F2(Xa) a 2(1 - у )

=1Z , 2((Xl] 2 dk (X) Ck Yka JС (/ka) -

a k=1 (7ka) + (Xa)

+ 1 Z F (Xa) =

2(1 - у ) Xa

-12\ C0 a n

j C Ъ)

С

2(F dy+%(X)-%«)-

(щ) + (Xa)2 1 2

1 Z F (Xa)

2(1 - у ) Xa

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/1

Содержание

138

3.

4.

B 0(4)

f M 4 +fM 4

2(1 -V1)

+

1 -f

2(1 -Vi)

gc (4) 4

Mj (4a) +

, gc(4)

4

10(4\ g Ko(4a)

I (4a) f K (4a)

S [(1 - 2vi)d*(4) + c* (4)1Ck Jo (7ka) -

k=1

_ fJ fc - 2v2 К (r,4) + c* 7 4)]c0 (r) W0 (7,a) d7 -

o

1 -f

2(1 -V)

M (4a) + 41

g0(4)

4

/o(4a)+ K 0(4a) I (4a) f K (4a)

ад ад

С0 (7) = J B21 (7,4) B0 (4) 4<4 +J gc (4)

0 0

KU(M) K (4a)

dA + Л (7)

Здесь: 7 - дискретный параметр, спектр изменения которого

определяется при выполнении граничных условий; 4 - параметр с плавным спектром изменения в пределах от 0 до ад; J (х) - функции Бесселя 1-го рода от действительно аргумента; Im (х) - модифицированные функции Бесселя 1-го рода; Km - функции Маукдональда;

W (7, r),W (7, r) - функции Вебера, определяемые комбинациями функций Бесселя 1-го и 2-го рода от действительного аргумента; gc(4) -интегральная косинус трансформанта от грузовой функций, действующей по цилиндрической поверхности полубесконечного цилиндра; Ек (4), I[k )(4) - коэффициенты представления известных функций в виде

рядов Фурье-Бесселя; Е21 (4,7),К1Д (7,4) - коэффициенты представления известных функций в виде интегралов Фурье-Вебера; Ак, Л2 - константы, определяемые в ходе решения; Fl (4a), F2 (4a), F (4), F2 (4), М (4a), M2 (4a) - известные функции; вк (4) - интегральная синус трансформанта от е7 ; в(7,4) - интегральная синус трансформанта от е~7; в* (4) - интегральная косинус трансформанта от е~77; c*(4) - интегральная косинус

трансформанта от 7 ze ~7tZ; f = — - отношение модулей сдвига

—2

материалов включения и полупространства.

3. Заключение

Решение контактной задачи для полупространства с упруго -деформируемым включением свелось к решению системы интегро -

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/1

Содержание

139

сумматорных уравнений. Для получений численных результатов на основании полученного аналитического решения достаточно воспользоваться любым из известных итерационных методов. Как показывает предварительный анализ полученной системы уравнений и определения неизвестных методом последовательных приближений, уже в первом приближении отмечается на контактной поверхности наличие зон, в которых .

4. Литература

Васильев В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости. - М.: Транспорт. 1993.

Teresawa K. On the elastic equilibrium of a semiinfinite solid under qiven boundary conditions with same applications. Jorn. of Colleqe of Sei. Tokyo. Imp. Univ. 1916. V 37. №7. p. 16-31.

УДК 624.

МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ЭКСТРАДОЗНОГО МОСТА

А.Ю. Кулешов

Аннотация

В статье рассмотрена задача оптимизации проектирования экстрадозных мостов, описан метод оптимизации, показан алгоритм расчета экстрадозного моста.

Ключевые слова: мост; метод оптимизации; вант; балка жесткости; пролетное строение.

Введение

В последние годы получил распространение принципиально новый класс мостов - так называемые экстрадозные мосты (Мостостроение мира №1-2. 2003), пролетные строения которых выполняются преимущественно в виде предварительно-напряженных неразрезных железобетонных балок, усиленных в надопорных участках вантами, закрепленными в верхней части, в специальных отклоняющих устройствах с небольшой высотой (аналогично пилонам вантовых мостов). Пролетные строения являются промежуточным типом между неразрезными балочными и вантовыми. Напрягаемые элементы размещаются не внутри сечения балки, а вне его

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/1

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.