CC BY
24
Содержание
134
строение» и подвижной состав, что необходимо для дальнейших исследований процессов вынужденных колебаний.
4. Литература
Бондарь Г.Н. Взаимодействие железнодорожных мостов с подвижным составом. - М.: Транспорт, 1984.
Вершинский С.В., Данилов В.Н., Хусидов В.Д. Динамика вагона. - М.: Транспорт, 1991.
Норейко С.С. Вибрации пролетных строений балочных железнодорожных мостов при высоких скоростях движения. Сб. науч. тр. ЛИИЖТ Вып. 178 - Л., 1961. - С. 3-39.
УДК 625.06.07
КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ПОЛУПРОСТРАНСТВА С УПРУГОДЕФОРМИРУЕМЫМ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ
В.А. Илюнин
Аннотация
В настоящее время точное аналитическое решение контактной задачи для полупространства с деформируемым цилиндрическим включением отсутствует. Соответственно нет результатов, предопределяющих грузоподъемность такой системы с учетом всех "особенностей" возникающих при этом.
Ключевые слова: аналитические решения; полупространство; включение; осесимметричной; контактные напряжения; перемещения; полупространство; цилиндр
Введение
Поставленная задача наряду с чисто аналитической новизной, имеет и практический интерес, так как моделирует работу висячей сваи в грунте или же анкерного крепления. Рассмотрением подобных задач занимались: Карпенко Н. И., Юферов В. О., Гвоздев А. А., Холмянский М. М. -вопросы касающиеся контакта арматуры с бетоном; Герсеванов Н. М., Цытович Н. А. и д.р. - вопросы, связанные с расчетом несущей способности свай.
Известия Петербургского университета путей сообщения
2005/1
Содержание
135
Среди работ, содержащих аналитические решения пространственных осесимметричных задач, существенно важнымиявляются работы В. З. Васильева.
1. Постановка задачи
Поскольку формально математически никакой разницы в знаке нагрузки по торцу анкера или сваи нет, дело сводится к осесимметричной задаче следующего вида (рис. 1):
Граничные условия:
az = Ро Т = 0 при z = 0,0 < r < a ^
а = 0, т = 0 при z = 0, a < r < да
z 7 rz L 7
Необходимо также, чтобы при г^ да и z^ да а ^0. Упругие
постоянные материала включения и полупространства, модуль сдвига /л и коэффициент Пуассона v- различны.
Предполагается, что до момента разрушения по контактной цилиндрической поверхности выполняются условия совместности по вертикальным и радиальным перемещениям.
2. Построение разрешающих уравнений
При выборе способа решения сразу можно заметить, что использование в данном случае, казалось бы очевидного пути разбиения тела на составляющие и последующего решения двух смешанных задач, не позволяет выполнить условия а ^ 0 при z ^ да. Для снятия данной
проблемы сначала воспользуемся решением Терезава для однородного полупространства, загруженного по дневной поверхности.
В ходе решения получаем:
= g (z) - это своего рода «контактные»
а(0) = а
r r
f( z), С =т
напряжения на цилиндрической поверхности «включения».
Соответственно, «контактные» перемещения на поверхности:
и(0) = и0
= и0(z), w
(0) - w0
r=a
r=a
w0( z)
«Контактные» напряжения, и «контактные» перемещения для цельного массива одинаковы и для цилиндра, и для полупространства.
Используя полученное решение для полупространства, выделим часть массива находящегося под нагрузкой, указав на цилиндрической поверхности контактные нормальные и касательные напряжения на поверхности r = а.
Известия Петербургского университета путей сообщения
2005/1
Содержание
136
Далее решается первая основная задача для полубесконечного цилиндра с граничными условиями:
о = 0, г = 0 при z = 0, 0 < r < a,
z ' rz г ~ ~ (2)
о = Яz)+/(z),r = Яz)+g(z) при r = a 0 < z <гo,
где / (z) и g (z) - соответственно неизвестные нормальные и касательные напряжения, действующие на цилиндрической поверхности.
Рис.1. Расчетная схема для полупространства с включением
В итоге имеем:
) =°)(r, z), u, = (r, z),
wf = wf (r, z).
Здесь фигурируют упругие постоянные щ и уг.
После этого решаем первую основную задачу для полупространства с выработкой.
Граничные условия:
о = 0, г = 0 при z = 0, a < r < го,
z F (3)
о. = Яz) + /(z),rz = g0(z) + g(z) при r = a 0 < z <ro
Их выполнение определяет
.(a)
) =оГ)(r, z),
u„ = u„(^ z) w„ = w„(^z).
Известия Петербургского университета путей сообщения
2005/1
Содержание
137
Здесь упругие постоянные - и v2.
Выполняем условия совместности деформаций по цилиндрической поверхности контакта (при r = a):
UI (z) = ип (z), wI(z) = wII(z)•
В уравнениях (4) слева и справа отсутствуют u0 (z) и w0 (z), так как они одинаковы для каждой составляющей и взаимно унивчтожаются.
Важным является то, что введены неизвестные контактные напряжения, которые корректируют решение Терезава вследствие различия упругих постоянных двух материалов.
Таким образом, задача сведена к выполнению краевых условий (2), (3) и условий совместности «контактных» деформаций по цилиндрической поверхности.
В качестве «основных» выступают неизвестные функции f (z), g (z).
После выполнения всех граничных условий для полупространства, полубесконечного цилиндра и условия совместности деформаций получаем систему шести уравнений относительно шести неизвестных, которая после ряда преобразований сводятся к совокупности четырех интегральных уравнений относительно неизвестных С0, C 0(у), B 0(X),gc(X)
такого вида: 1.
С
YkCk
j B 0(Л)£
С
21-^ Е,: (X)XdX + j
2(1 -уд 0
1 -Z
2(1 -У)
gc (X) ЕК (Л) +
ад
j gc (X)
С
I,(Xa)
ад
dX + j
С
1 -Z 2(1 -vx)
g0(X) Ек (X) dX + A k
2.
1 B\X) ZFX-F2(Xa) a 2(1 - у )
=1Z , 2((Xl] 2 dk (X) Ck Yka JС (/ka) -
a k=1 (7ka) + (Xa)
+ 1 Z F (Xa) =
2(1 - у ) Xa
-12\ C0 a n
j C Ъ)
С
2(F dy+%(X)-%«)-
(щ) + (Xa)2 1 2
1 Z F (Xa)
2(1 - у ) Xa
Известия Петербургского университета путей сообщения
2005/1
Содержание
138
3.
4.
B 0(4)
f M 4 +fM 4
2(1 -V1)
+
1 -f
2(1 -Vi)
gc (4) 4
Mj (4a) +
, gc(4)
4
10(4\ g Ko(4a)
I (4a) f K (4a)
S [(1 - 2vi)d*(4) + c* (4)1Ck Jo (7ka) -
k=1
_ fJ fc - 2v2 К (r,4) + c* 7 4)]c0 (r) W0 (7,a) d7 -
o
1 -f
2(1 -V)
M (4a) + 41
g0(4)
4
/o(4a)+ K 0(4a) I (4a) f K (4a)
ад ад
С0 (7) = J B21 (7,4) B0 (4) 4<4 +J gc (4)
0 0
KU(M) K (4a)
dA + Л (7)
Здесь: 7 - дискретный параметр, спектр изменения которого
определяется при выполнении граничных условий; 4 - параметр с плавным спектром изменения в пределах от 0 до ад; J (х) - функции Бесселя 1-го рода от действительно аргумента; Im (х) - модифицированные функции Бесселя 1-го рода; Km - функции Маукдональда;
W (7, r),W (7, r) - функции Вебера, определяемые комбинациями функций Бесселя 1-го и 2-го рода от действительного аргумента; gc(4) -интегральная косинус трансформанта от грузовой функций, действующей по цилиндрической поверхности полубесконечного цилиндра; Ек (4), I[k )(4) - коэффициенты представления известных функций в виде
рядов Фурье-Бесселя; Е21 (4,7),К1Д (7,4) - коэффициенты представления известных функций в виде интегралов Фурье-Вебера; Ак, Л2 - константы, определяемые в ходе решения; Fl (4a), F2 (4a), F (4), F2 (4), М (4a), M2 (4a) - известные функции; вк (4) - интегральная синус трансформанта от е7 ; в(7,4) - интегральная синус трансформанта от е~7; в* (4) - интегральная косинус трансформанта от е~77; c*(4) - интегральная косинус
трансформанта от 7 ze ~7tZ; f = — - отношение модулей сдвига
—2
материалов включения и полупространства.
3. Заключение
Решение контактной задачи для полупространства с упруго -деформируемым включением свелось к решению системы интегро -
Известия Петербургского университета путей сообщения
2005/1
Содержание
139
сумматорных уравнений. Для получений численных результатов на основании полученного аналитического решения достаточно воспользоваться любым из известных итерационных методов. Как показывает предварительный анализ полученной системы уравнений и определения неизвестных методом последовательных приближений, уже в первом приближении отмечается на контактной поверхности наличие зон, в которых .
4. Литература
Васильев В.З. Пространственные задачи прикладной теории упругости. - М.: Транспорт. 1993.
Teresawa K. On the elastic equilibrium of a semiinfinite solid under qiven boundary conditions with same applications. Jorn. of Colleqe of Sei. Tokyo. Imp. Univ. 1916. V 37. №7. p. 16-31.
УДК 624.
МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ ЭКСТРАДОЗНОГО МОСТА
А.Ю. Кулешов
Аннотация
В статье рассмотрена задача оптимизации проектирования экстрадозных мостов, описан метод оптимизации, показан алгоритм расчета экстрадозного моста.
Ключевые слова: мост; метод оптимизации; вант; балка жесткости; пролетное строение.
Введение
В последние годы получил распространение принципиально новый класс мостов - так называемые экстрадозные мосты (Мостостроение мира №1-2. 2003), пролетные строения которых выполняются преимущественно в виде предварительно-напряженных неразрезных железобетонных балок, усиленных в надопорных участках вантами, закрепленными в верхней части, в специальных отклоняющих устройствах с небольшой высотой (аналогично пилонам вантовых мостов). Пролетные строения являются промежуточным типом между неразрезными балочными и вантовыми. Напрягаемые элементы размещаются не внутри сечения балки, а вне его
Известия Петербургского университета путей сообщения
2005/1
