CC BY
25
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
КОНСТРУКТИВНЫЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ С КРАТНЫМИ УЗЛАМИ
А.В. АНТОНЕЦ, доц. каф. высшей математики МГУЛ, канд. физ.-мат. наук
Выведены полезные для практических приложений конструктивные формулы некоторых классов полиномиальных аппроксимаций функций, представляющие общематематический интерес.
1. Обобщенная запись интерполяционного полинома с кратными узлами
Полином Эрмита степени
m = 5 + £ а
к=0
имеющий с заданной функцией fx) в узлах xk|05 касания ак-го порядка, находится в виде «политейлоровского разложения»
Am(X) = Т F ак (Х) • Ф k, m - ак (Х))
k=0
где к - му узлу отвечают полиномы Ф
(11)
к, m - к
, ч , x - x. ч1^
ак (x) = П (--------------- ) аг и
i=0 x, — x,-
ак f( 1) i*k к ‘
F ак (x) = Т -1Г • (x - xky • рк, ак -1 (x - xD
1=0 1!
со степенями (m - ак) и ак,
а к - j
рк, ак - j(x - xk) = Т ак г •(x - xk)г
- полиномы степеней (ак - 1) с подлежащими определению коэффициентами ак 0, ак р ... , ак ак.
Они определяются по условиям гладкого касания Am(:) (xk) = /:)(xk) = _f(:) из системы линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей
Т Фк:;;-, к (xt)
Т--------к-----а
_ С
к, i °0, :,
;=0 (: - г)!
: = {0; 1; 2; . . . ; ак}, к = {0; 1; 2; . . . ; 5}. Рекуррентные расчетные формулы для них записываются в виде:
а
к, :
= - Т
Ф
( :-;) к m-ак ^лк
(xk )
• а к, * а к, 0 = 1
;=0 (: -;)!
Это можно показать, используя формулу Лейбница для вычисления производной : - го порядка от произведения двух функций и ее обобщение методом полной математической индукции на произведение (5 +1) > 2 функций
f • f)(:) = Tq • f0(° • f™,
° г X ' 5-1 '1
(Пf)(:) =т T ...T [Q-qq..
i=0 is-i =0 is-2 =0 г'0 =0
q;i(i0)f(il-i0) f-5-1 -^-2)^(:-is-1)] (1 2)
Практический интерес представляет также формула вычисления старших производных от квадрата заданной функции
к-1
(П2к) = 2 • Т C^ f* • /2к - * + С^ (fk))2,
i=0
(/2)(2к - !) = 2 • Т С2к1^ f« • /2к - 1 - ^ к е У.
i=0
Так как для степенных функций f(x) = (x- xt)n при : = {0; 1; . . . ; п; -1} имеем значения производных f(:) (x) = :!• Crn • • (x - x; )n : |x=j = 0 , то согласно (1.1), (1.2) выполняются равенства
5 , . : i5-1
Olf)(:) = :!• T T ...
i=0 i5-1 =0 i5-2 =0
...T [C0 •(x-xX-i0•cn-0•(x-x0)n-(i1 -i0)...
i„ =0
cnr1-■•( x - x,-, )n-1 x - xn)
П-(:-5-1)
Ф
(: )
' k,m-aк (xj) = 0, j * k, j к = {0, 1, . . . , 5},
: = {0, E . . . , аk}, Ф к,m-aк (xd = 1
В представлении (1.1) для удовлетворения условий кратного интерполирования, очевидно, не обязательно требовать, чтобы функции Фk(x) были полиномами степени (m - ак). Вместо указанных полиномов можно использовать любые дифференцируемые функции, принимающие в выбранных узлах вышеперечисленные значения.
2. Частные случаи интерполяционных полиномов
2.1. а. |„s = 0, m = 5eN.
к0
Имеем Fk 0 (x) = fxk) = fk и полином Am(x) совпадает с обычным полиномом Лагранжа.
2.2. 5 = 0, а„ = m > 0.
P
0, i 0, i
Определяем Ф 0, 0(x) = 1, а0, i = 5 (x) = 1 и полином Am(x) = F0 m (x) совпадает с m - ой частичной суммой ряда Тейлора.
2.3. а, Ls = 1, 5е N.
к0
i=0
Из (1.1) простыми конкретизациями получим
152
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
A2s + 1(Х) = £ (fk • [1 + аЛХ - xk)] +
к ^
x - x
+fkC1) • (x - Xk)} П (^^ )2 ),
z=0 x, — x
№k k z
где
ak = — 2 '£ (xk - x)— 1
i=0
i^k
2.4. s = 1, a0 = n > 0, a1 = m > 0.
С учетом тождества (доказывается методом математической индукции с наращиванием величины m при произвольном значении n)
m
£ (— 1) • C+.m-1• C +. = 50
i=0
находим коэффициенты
a ln = C • (x_ - x0)— z, a, I m = C • (x0 - xj
0, z11 m+i 4 1 0/ 5 1, z11 n+z 4 0 к
Полином (1.1) приводится к форме за-
писи
An+m+1 (x) = ( )m+1
x1 x0
n
x £ j • (x - V • p n—; (
j=0
x — x
x1 — x0
))
x — x m
+ (----• £ Ц®//! • (x - x) X
x1 — x0 j=
X P1, m — j (
x — x
x1 — x0
где
P
0, n — j
x = t. писи
n—]
i=0
m+z 1, m — j
)), (13)
m— i
(t) = £ =0 C n+ t .
2.5. s = 1, a0 = a1 = n > 0, x0 = 0, x1 = 1,
Полином (1.3) приводится к форме за-
A2n +1(t) = £ [(1 - t) n + 1 • t • fj • Pn, n —j (t) +
j=0
+ tn + 1 • (t - 1)' • fj • Pn, n—j (1 - t)] / j! ,
где
P (t) = £ Cz +■ tz.
n, n — j n+i
2.6. Полином степени n, принимающий заданные значения f(k) в произвольных точках x |0n, записывается в виде
ад = £ f/k) • Rk (x),
k=0
где
R0 (x) = 1, R1 (x) = x - x0, (x — x0)k k— (xz — x0)k—z
r, (x) i2n=————£——• r (x),
k 2 k! (k — z)! z
Легко проверяется, что полиномы Rk (x) удовлетворяют условиям Rk(r) (xr) = 5 ,
k, r > 0.
Можно обратить внимание и на полезное применение тождества (формулы Тейлора) для любого полинома Pn(x) степени n > 0:
(хк - x)1
P,(xt) - £■
z=0
z!
• Pn(z) (x).
3. Оптимизации простых полиномиальных аппроксимаций методом наименьших квадратов
Рассмотрим задачу оптимизации параметрической полиномиальной аппроксимации Pn(t,x1,x2,...,xm) функции ft) при t е [0; 1]. Обозначим:
f (tz) - f , tz LN= i / N bk =
1 N
= j /(t)^ - (£ f • tzk) / (N + 1)
0 =0
За критерий оптимального выбора свободных параметров x][1m принимаем условие
min J [Pn(t, xp x2, . . . , xm) -f(t)]2 • dt
x1,x2,...,xm 0
С целью некоторой систематизации результатов ниже дадим сводку наиболее часто востребуемых на практике простых аппроксимаций.
3.1.
P3 (t) = f + f0(1) • t + (fN -f -f0(1) + x1) • t2 - x1 • t3, fw(1) - f f) - til)- x1 ,
x1 = 105 • (b2 - Ьз) - 7/4• (3^ f + 2fN + f0(1))
3.2.
P3 (t) = f +f0(1) • t + 1/2 • f(1) -f0(1) + 3 ^1) • t2 - x1 • t3,
fw - f0 + 1/2 • f0(1) + ./n(1) + x1) ,
x1 = 7/78 • [60 • ( 3 • b2 - 2 • b3) -- (15 • f + 13 • f(1) + 8 • fw(1))]
3.3.
P3 (t) = f0 + (fN -f0 + x1 + x2 ) • t - x1 • t2 - x2 • ^
f0(1) -*^N -f0 + x1 + x2 , fN(V> -*^N - f0 - x1 - 2 x2 , x1 = 60 • (11 b1 - 32 • b2 + 21 b3) - 13 • f + 8 • fw , x2 = 420 • (- b + 3 • b2 - 2 • b3) - 7 • (fw - f)
3.4.
P3 (t) = x1 + f0(11 t + 1/2 • fNm —f0(1) + 3 •x2) • t2 - x2 • t3, f0 - x1 , fN - x1 + 1/2 • ^ + f0(1) + x2) ,
x1 = b0 — 1/12 • (2 -fO) + 4 f0(1) + 3 • x2) , x2 = 14/17 • [10 • (6 • b2 - 4 • b3 - b0) - (f0(1) + /n(1))]
3.5.
P3 (t) = f0 + x1 • t - 1/2 • (x1 - 3 • x2 -fN(1)) • t2 - x2 • t3,
fN - f0 + 1/2 • (x1 + x2 + /N(1)), f0(1)- x1 ,
x1 = 12 • (12 • b - 27 • b2 + 14 • b3) - 6 f0 + 2/5/n(1), x2 = 1/13 • [60 • (2 • b1 - b2) - 40f - 9 • /n(1)- 16 ^1]
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009
153
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
3.6.
P3 (t) = f0 + /о(1)- t + X1 • t2 + X2 • Р
/V - / + fo(1)+ X1 + X2 , fNm* fo(1)+ 2-X1 + 3X
Xi = 30 • (6b2 - 7^) - 15/2/ - 3 • fo
(1)
2
0
(1)
f(1)
0
X2 = 6 • b - 1/5^) - 2/o - 3/2 • fo
3.7.
P3 (t) = f0 + X1 • t + X2 • t2 + X3 • ^
- X1,—f0 + X1 + X2 + ^fN(1) — X1 + 2 • X2 + 3X3 ,
X1 = 30 • (10 • b1 - 30 • b2 + 21 • b3) - 15/2/ , x2 = 300 • (- 3• b1 + 48/5• b2 - 7 • b3) + 15/0 , x3 = 105 • (6 • b1 - 20 • b2 + 15• b3) - 35/4 /0
3.8.
P3 (t) = X1 + f0(1) • t + X2 • t2 + X3 • ^ f0 — X1 fN -f0(1) + X1 + X2 + *3 fNJ) -f0(1)+ 2 X2 + 3 X3 ,
X1 = 4 • b0 - 30 • b2 + 28 • ьъ - 1/10 /
(1)
X2 = 15 • (- 2 • b + 27 • b2 - 28 • b3) - 9/4 f X3 = 28 • (b - 15• b2 + 16 • b3) - 7/5/0 3.9.
P3 (t) = X0 + X1 • t + X2 • t2 + X3 • t3,
f0 — X0, fN — X0 + X1 + X2 + ^
(1)
(1)
f0(1) - X f (1) — X N1 + 2X2 + 3 • X3 ,
(x 1 л0 ( 16 -120 240 -140 1 ( b01
X1 -120 1200 -2700 1680 b
X2 240 -2700 6480 -4200 b2
V x3 J V-140 1680 -4200 2800y V b3 У
(fa 1 ( 16
fN -4
f (1) ./ 0 -120
f (1) VJ N J V -60
-120
60
1200
840
240
-180
-2700
-2340
-140 1( b0 1
140
1680
1680
V b3 J
Если определять коэффициенты X.|03 по условиям кратной интерполяции п. 2.5, то получим
X0 = f0 , X1 = f0(1), X2 = 3 (fN -f0) - 2f0(1)-fN(1),
X3 =^^(1)+ fv(1) - 2 • (fv -/0).
Заметим, что монотонность полинома P3 (t) на промежутке t е [0; 1] обеспечивается условием отсутствия на нем корней квадратного уравнения dP3/dt = 3 • x3 • t2 + 2 • x2 • t + x1 = 0. Следовательно, сохранение знака анализируемой первой производной при x3 ^ 0, t е [0; 1] возможно в следующих случаях:
а) А = x22 - 3 • x3 • x1 < 0 - уравнение не имеет действительных корней;
А > 0, t* 1 = min {(- x2 ± VA) / (3• X3)},
t*2 = max {(- x2 ± VA) / (3• X3)}.
б) t* 1 < t* 2 < 0; в) t* 1 < 0, t* 2 ^ 1;
г) 1 < t* 1 < t* 2
b
b
2
Случай а) дает простое достаточное условие контролируемой области монотонности полинома
P3 (t) = A3 (t): /0(1)-/*' >
> f031) + fv(1) - 3 • (fv - fN)]2 > 0.
Через известные координаты t* 1< t* 2 и величины экстремумов P3 (t*1, 2) = f* 1, 2 , f* 1 * f* 2 коэффициенты полинома P3 (t) восстанавливаются по формулам:
x3 = 2 • f* 1 - f* 2) • (t* 2 - t* 1)- 3,
X2 = - 3/2 • (t* 1 + t* 2) • x3, X1 = 3 • t* 1 • t* 2 X3,
x0 = [t*22 • (t* 2 - 3 • t* 1) f* 1 - t*12x X(t* 1 - 3 • t* 2)f* 2]• (t* 2 - t* 1)- 3.
3.10.
NN
PN + 1(x) = T fk Ф, N(x) + A • П (x - XX
k=0 i=0
где (N +1) - число узлов интерполяции, A - свободный параметр,
N
ф n(x) = q, N(x)/q^, n(xV % n(x) = n (x - xX
i=0
ф, n(xj) = Ф jk j = {0; 1 . . . ; N}.
Удачным выбором значения параметра A можно улучшать точность восполнения функции ее интерполяционным полиномом Лагранжа [1].
3.10.1. В практичном простом случае при N = 2 (с тремя узлами), например, по условию минимума интеграла от квадрата второй производной Pn+1(2) (x) на заданном отрезке a < x < b находим, ослабляя немонотонность интерполяции, оптимальное значение
A = - 3/2 • G• 2 ^ + V 2 ,
Ц + Ц • V + V
2
G = T f / qk 2(x)),
k=0 2
ц = 3 • b - a, v = 3 • a - а, а = T xk.
k=0
Укажем также, что из тождества - записи полинома Лагранжа для произвольного полинома Pn _ 1(p) степени (n - 1) на системе узлов {p p2, . . . ,pn}, n е .У выводится важная, особенно при решении практических задач интегрального и операционного исчисления, формула разложения правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей
Pn - 1P
T
k=1
(Pn - 1(Pk) • ) •
г:=кРк- Рг
\фк
Р - Pk P - Pk ’
P„-1(p) = t (P»-1(Pk) L_
Qn (P) k=1 Qn)( Pk ) P - Pk
154
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009
