Консервативность схем повышенного порядка точности Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Михайлов, А. П., Петров, А. П. Поведенческие гипотезы и математическое моделирование в гуманитарных науках //

Матем. Моделирование. 2011. Т. 23. № 6. - С.18-32

4.Самарский, А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982. - 272с.

5. Михайлов, А. П., Петров, А. П., Прончева, О. Г., Прончев, Г. Б., Маревцева, Н.А. Моделирование периодических дес-

табилизирующих воздействий при информационном противоборстве в социуме, Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша, М., 2016, - 16 с.

6. Михайлов, А. П. , Петров, А. П. , Маревцева, Н. А., Третьякова, И. В. Развитие модели распространения информации в

социуме // Матем. Моделирование. 2014. Т.26, № 3. - С. 65-74

7. Михайлов, А. П., Петров, А. П., Калиниченко, М. И., Поляков, С. В. Модели- рование одновременного распространения

легальных и контрафактных копий инновационных продуктов // Матем. Моделирование. 2013. Т. 25. № 6. С.54- 63.

А.С. Рыпалов

КОНСЕРВАТИВНОСТЬ СХЕМ ПОВЫШЕННОГО ПОРЯДКА ТОЧНОСТИ

Аннотация. Статья посвящена исследованию дискретного аналога непрерывной модели транспорта веществ в прибрежных системах. Для построения дискретного аналога модели транспорта веществ в работе использовали метод конечных разностей. В ходе исследования разработанной дискретной модели транспорта веществ в прибрежных системах изучены свойства консервативности и устойчивости построенных схем повышенного (четвертого) порядка точности, учитывающие частичную заполненность контрольных областей.

Ключевые слова: дискретный аналог, метод конечных разностей, метод сеток, схемы повышенного порядка точности, свойства консервативности.

A. S. Rypalov

CONSERVATIVE SCHEMES OF HIGH ORDER OF ACCURACY

Abstract. The article is devoted to the discrete analogue of the continuous model of the transport of substances in coastal systems. To construct the discrete analog of the model transport of substances used finite difference method. The study developed a discrete model of the transport of substances in the coastal systems studied the properties of conservativeness and sustainability of the built schemes of high (fourth) order of accuracy, taking into account the partial occupancy control areas.

Key words: discrete analogue, finite difference method, grid method, schemes of high order of accuracy, the properties of conservativeness.

Решение задачи транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах представляет собой поиск решения задачи диффузии-конвекции, для чего целесообразно использовать метод конечных разностей. Для построения разностных схем использован интегро-интерполяционный метод, предложенный Самарским А.А. [1-2].

Постановка задачи. Задача транспорта загрязняющих веществ в прибрежных системах в упрощенном случае сводится к нахождению решения уравнения диффузии-конвекции [3-6]:

С + uc'x + vc'y = ( Hc'x )'х + (fC'y )' y + f (D

с соответствующими начальными

c(x, y) = c0(x,y), (x,y)e G, G = G иГ, (2)

и граничными условиями третьего рода:

c'n (^ У, t) = anc + Pn , (У )еГ. (3)

Где С - концентрация загрязняющего вещества; U, V - компоненты вектора скорости водного потока; f - коэффициент турбулентного (диффузионного) обмена; f - функция-источник загрязняющих веществ.

Построение дискретной модели. Предполагаем, что расчетная область G имеет сложную, динамически меняющуюся форму, которая вписана в прямоугольник. Для построения разностной схемы введем равномерную расчетную сетку:

W = {tn = т, xt = ihx,yj = jhy; n = 0Д, i = 0NX, j = 0N; Ntz = T, Nxhx = lx, Nyhy = ly },

где \, hy - шаги по пространственным переменным; Ых, N у - границы по пространству;

1х , 1у - раЗМерЫ расЧетноЙ областИ; Т - ШаГ по ВреМенноЙ переМенноЙ; N - верхняя граница времени [1, 7, 8].

Дискретизация модели (1) - (3) по времени выполняется на основе схем с весами:

+ исх' + Vеу = ( цсХ ) ^ + ( цсХ ) + /,

с - с

..........(4)

здесь с - значение концентрации загрязняющих веществ на новом временном слое; с = ас + (1 - <)с; 7 е [0,1] - вес схемы [6, 8].

Расчетная область представляет собой совокупность прямоугольных ячеек, которые могут быть частично заполненными, где Oi ^ - степень заполненности ячейки (i, 3 ). Расчетные узлы

и центры ячеек разнесены на Нх! 2 и hy^ 2 по пространственным координатным направлениям,

значения расчетных полей вычисляются в вершинах ячеек.

Для описания сложной геометрии расчетных объектов введены коэффициенты

q0, Ч^, q2, qз, которые описывают заполненность контрольных областей, расположенных в окрестности ячейки (i, 3 ). Значение qo характеризует степень заполненности области

Do : х е (Х-1 / 2,Хг+1 / 2 ) , У е (Уj-1/2,У7+1/2 ); Ч - D1: Х е (Х, ,Х,+1/2 ) ' У е( Уу-1/2. Уу+1/2 ) ; Ч 2 - ^ : Х е( Х- -1/2, Х- ) ' У е( У3—1 / 2 ' У з+1/2 ); Чз - D3 : Х е ( Х--1/2, Х+1/2 ) ' У е( Уз , У 3+1/2 ) ; Ч 4 - D4 : Х е( Хг-1/ 2, Х+1/2 ) ' У е( У/-1/2, У у )

и т.д. От - заполненные части областей Бт, где т = 0,4 . Коэффициенты заполненности контрольных областей дт вычисляются согласно следующим формулам:

^т _0,3 + 0+1,3 + 0+1,3+1 + 0, 3+1

( Чт ), 3 = ^, ( Чо )

5 ' 4 4

Dm

0+1,3 + 0 +1,3+1 („\ _0,3 + 0, 3+1

(Ч1 )/, 3 = '+1,3 О '+1, '+1 ' (Ч2 ),, , =

ч,3 2 '',3 2

О+1,3+1 + 0,3+1 /ч _0, 3 + 0+1,3

(Чз )-, 3 = '+1,^ '3+1 , (Ч4 ),

п>', з 2 'у '-,3 2

После проведенных преобразований получим разностные схемы для операторов первой и второй разностных производных в случае частичной заполненности ячеек:

с 11,3 - с-, 3 + / \ с-, 3 - с

2й (Ч2 ^1/2,3 2й

(Чо )и < а (Ч1 )и и1+1/2,3 " + (Ч2 ^г-1/2,3 и* , (5)

(чо )и (к)'х п (ч1 )и ъ+1/2,3с3^- (ч2 )и ъ-щ1'1 1,3

- I II I II - -

'0/1,3 Vг^Х/ х V^1/ 1,3 '1+112,3 h2 ^ ^-,3 1П,3 h2

ПХ ПХ

( Ч1 Ь-(Ч2 )-,3

^,3 + Рх

В случае внутренних узлов (Ч1 = Ч2 = 1) дискретные аналоги операторов первой и второй разностной производной запишутся в виде:

Т

с. м ■ — с. . с. . — С- , ■

' п 1+1,1 1,1 , 1,1 1—1,1

и — + П1—1/2,] —

с. м — с. . с . — с. , .

1+1,1 1,1 1,1 1—1,1

(К )', а М+1/2,; 1+1,7 2 1,7 — Л—1/2,1

х ■ 1+1/2„, к Г 1—1^ к

Данные конечно-разностные аналоги обладают вторым порядком точности по пространственным координатным направлениям.Для повышения точности предсказательного моделирования возникает необходимость в применении эффективных численных методов, основанных на выборе конечно-разностных схем оптимального порядка погрешности аппроксимации, позволяющих избежать нарастания погрешности аппроксимации при решении задач и, тем самым, позволят повысить точность моделирования^, 6, 8].

Схемы повышенного порядка точности. Для повышения порядка точности выражений (5), (6) доопределим расчетную область. Равенство (5) будем рассматривать в случае

(ql). . = (q2). . = 1. При этом для повышения порядка погрешности аппроксимации уравнения (6) рассмотрим два случая: в первом случае - без учета влияния границы (ql) = (q2 ) = 1; во втором случае - с учетом (ql) , = 1; (q2 ) = 0. Для повышения порядков точностей разностных схем (5), (6) необходимо исследовать погрешности аппроксимаций следующих выражений:

- дискретного аналога оператора первой разностной производной в случае отсутствия влияния границы области:

с— с. . с. — с , .

! П 1+1, 1 1, 1 1, 1 1—1, 1

исх □ М,+1/2 ---- + и1 1/2 , —--, (7)

х г+1/2,7 2кх 1/2,7 2кх

- дискретного аналога оператора второй разностной производной в случае внутренних узлов:

I > \' П с1+1, 1 с1, 1 с1, 1 с1—1, 1

) х ° М+1/2,7-1-Г-^ — Л-1/2,7 1 ,2 1 , (8)

- дискретного аналога оператора второй разностной производной в случае граничных уз-

лов:

, ч, с+1 , — с. . ас + (

(К ) х /2 0 М+1/2,7 1 '\г 1,1 — -1, (9)

а затем исключать слагаемые ряда Тейлора второго порядка относительно к.

Для оценки погрешности аппроксимации оператора первой разностной производной (7)

воспользуемся представлением в виде ряда Тейлора значений функций в узлах

(1 + 1, 1) и

(1 — 1, 1) относительно узла (/, 1), в результате чего погрешность аппроксимации первой разностной производной (7) примет вид:

4и1, +(и1, ) к1 Л - „к1л

исх П -[(с1,1 )+(с1,1 ) у

+

(и1,1 ) кх {( V' ( IV) кх | , 4 4

+ Л-1 ( с1,1 ) кх +( с1,1 ) тх 1 + 0 (к4):

4 * V п !2

и, 1 (к2 + к2 + к] + О (к4).

Таким образом, получим, что для аппроксимации оператора первой разностной производной ис' схемой, обладающей четвертым порядком точности, необходимо провести дискретизацию оператора ис' - с' и "И2 /4 - ис '"И 2 /6 - и 'с "И 2 / 4 ка точности.

Преобразуем оператор ис' - с' и "И2 / 4 - ис '"И2 /6 - и 'с "И 2 / 4 :

разностной схемой второго поряд-

ис -

си ,9 ис ,9 и с ,9 И--И--И = и

с

с - —И2

6

У

" (ис)" 4

И2.

(10)

464

Найдем погрешность аппроксимации оператора второй разностной производной для случая внутренних узлов (8). После проведения подобных вычислений получим, что для аппроксимации

оператора второй разностной производной в случае внутренних узлов ( /с') схемой, обладающей четвертым порядком точности, необходимо провести дискретизацию оператора

(/с')" - /с(1УИ /12 - /с"И2 / 4 - /с'"И2 / 6 - /с'И2 / 6

разностной схемой второго порядка точности.

После ряда проведенных расчетов получили дискретный аналог оператора конвективного переноса ис четвертого порядка точности, который имеет вид:

/ г

( Ч0 )А ( с ) □ ( Ч1)

и

,+1/2

(Ч1+1

+

( Ч2 )1

и

¿-1/2

ш («0 ),„

(Ч.)

с,+2 +

и

¿+1/2

12И

2 +

12И (Ч0),

+

(Ч1),

±12 + k4 (1) + k( (2)

2И

с+1 +

м

( Ч0), (Ч1) "

+

,+1/2

12И

2+

( Ч2 ),+1 ( Ч0)

0),+1 у

-(Ч2 }

и

г-1/2

12И

2+

(Ч1),-1 ( Ч01

+ (Ч2 -(Ч1+ ((Ч2),-(Ч1),)(Ь(1)- Ь(2))

с+

+

-(Ч ) и+И -(Ч1 )г 12И (Ч0),

+

( Ч2 ),

и

г-1/2

12И

2+

(Ч2 ^ (Ч0 ^

+

( Ч2 ),

А Л

12 + Ь(2)- Ь(1)

2И

с -1 -

( Ч2 ), ""/2 ( 1

12И (Ч0),-1 г -2'

(11)

(1)

где

(9,)

(-)-(#(

V

( Ч0)

( Ч0)

и, - и,-1

1) /(8И),

к

(2) —

( Ч0 )

Ли,+1 - и, (Ч21/и - и Л

0), V 8И у (Ч0

( Ч0 ^

V

г г-1

8И

Дискретный аналог оператора диффузионного переноса (/с') четвертого порядка

точно-

сти запишется в следующем виде:

( qo )Л ( с) □ —( ql)

—1 (ql)

К+1 (ql )1+1 12к2 (qo)

с1+2 +

+(q2) КЪт^—(ql)

0) 1+1 К—К

(«),

М+1/2 к

с..„ +

2 +1

(ql)

М+1

12к

(ql)

(qo)

+ 2

+

+

(ql)

12к2 (q0)

(q2)

V

12

+ к

с

1+1

(ql)

к

+1/2

к2

+

(q2)

1/2

2 Л 7.2

к2

+

К+1

12к

(qo)

271+1 + 2

л /

К—1

+

(q2)

(*) +(ql)

К — К . 12

к+1(q2)

о; 1+1 у

12к

Ж

( ¿0 )1—1

+ 2

+

( ¿2 ^

К — К—1

12

» \

к

У

+ к

с +

уУ

( ¿2 ^

1/2

2 к2 —

с 1+(¿1 )

К+1 ( ¿2 ^ 12к2 (¿0)

+

+

( ¿2 )

К—1

( ¿2 )

12к2 (¿0) 112к21(¿0)

— ( ¿2 ) ^ (¿2 )1—1

+ 2

+

( ¿2 )1

V — К— 12

— к

с—1—

с,.

12к2 (¿0 1—2'

к =

где

( ¿1)

К

(12) Л

(¿1) 0 Л ¿2)

-L К+1 — 2 К +-ГК—1

( ¿0 )1

( ¿0 )1

/ к"

У

'к+1—

( ¿0 )

0

4к2

( ¿2 ^

у

( ¿0 )

0

К — К—

4к2

у

Полученные дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переносов на основе схем повышенного (четвертого) порядка точности, учитывающие частичную заполненность ячеек, в случае отсутствия влияния границы области, позволят получить более точные решения поставленных задач, тем самым, повысить точность прогнозного моделирования распространения веществ.

Исследование дискретной модели транспорта веществ. Для исследования разработанной дискретной модели транспорта веществ в прибрежных системах необходимо проверить свойства консервативности и устойчивости построенных схем повышенного (четвертого) порядка точности, учитывающих частичную заполненность контрольных областей.

Консервативность операторов конвективного и диффузионного переноса повышенного порядка точности будем рассматривать на основе дискретной одномерной модели транспорта вес _с

ществ, описывающую уравнение диффузии-конвекции: ■ ~ + к

(с ) = Ld (с) + f .(13)

т

Выполним проверку баланса вещества, для чего найдем сумму левых и правых частей сеточных уравнений (13):

Nx—1 Nx—1 Nx—1

X (¿0 )1 с1 = X (¿0 ), с1 — т X (¿0 )1 к (с) +

1=1 1=1 1=1 Nx—1 N—1

+т X ( ¿0 ) к ( с ) + т X ( ¿0 ) /. (14)

=1 =1

Для этого запишем оператор конвективного переноса:

к (с) = кс,1 (с) — кс,2 ( с) — кс,з (с) — кс,4 (с)

2

Ьс д (с) = ис ", Ьс ,2 (с) = с и"к2 /4, (с) = ис"к2 /6,

Lc,4 (с ) = и' с" к2 / 4

4,1 (с)

мация оператора -Ьс 1 ^ с ^ примет вид:

(д„ )ЛЛ (с ) = ( Ч1 + (Ч2 )и с - 1

2И 1/2 2И

Nx-1

В^1числим Х( Ч0 ), Ьс,1 ( с ) :

,=1

МХ -1 МХ -1 -

X ( Ч0 ), Lc,1 ( с ) = Х( Ч1), и+1/2 - + ( Ч2 )

и,- I 1 /о ——+ ( 9 ) и,-1/2 —-—

,=1 ,=1

2И 4 ^ ,"1'2 2И

N -1 - #Х-2 _

+ У (чУ и с,+1 с

= Х( 91 ), и,+1/2 + X ( «2 ,+1/2

,=1 ,=0

2И ,+1 ,+112 2И

N-1 с - с -1 с N-1 с

= X («1), и,+1/2 = X («2 ), и,-1!2 - X («1), и,+1/2 ^ =

=х

=1 =2 =1 /х-1 ( «2 ), и-1/2 -( «1), и,+1/2 1

и ^

Аппроксимация оператора Lcз ( с) примет вид:

(«0), 4,з(с) а («1), и,+1/2' * + («2 ), и,-1/2 --L-L

2к 4 ^ , -1/2 2к

к 2/6,

с..,, - с / ч с, - с^1

(90 ),-, =( 91 -( 92)

к2 4 к2

Nx-1

Вы4ислим X(«0 ), 4,3 (с) :

с,3 '

=1

—, . 1 — / \ —,-1 с,3 (с ) = Iк ' 6 / XI (91), ",+1/2 1 (92 ), —1/2

Е( 90), 4,3 ( с ) = ( к2!6 Щ( 91), и- + () , и-1 /2 2к у

1 1 " 1 и,-1/2 - («1 и1+1/2( , 2

= XX-1 («2 ), и,-1/2 («1 ), и,+1/2 (^2 /6)

,=1

/ \ («2и,-1/2 («1 и,+1/2 / Обозначим ^«0,1, Г =-^-к , тогда:

#Х -1 мХ -1 #Х -1 _ -

X (90), 43 (с) = X (90), гД = X г (91), "±h_C - Г (92),

,=1 ,=1 ,=1 к к

ЫХ ЫХ -1

' с -с,-1 V \с, -с,-1 _

= ! Г-1 (91 -X Г (92),

и2 ^ И

=2 =1

N —1

N —1

= !( 1- — 1)(42= £( г— — 1)(42 — !(— 1)(42 ^ =

N —1

1=2

1=2

N —1 с N—2 с

= X1—1 — 1)(42 ^ — 1 — 1+1)(42 )1+1 -к

=2

=2

Nx—

=X

1 (42),(1—1 — 1) —(41),(1 — 1+1)

1=1

к2

Аппроксимация оператора ¿с ^ ( с ) + ¿с 4 ( с ) примет вид:

( 40 )( кс,2 ( с ) + кс,4 ( с )) = ^

и1+1 — и1

к

с+1— с

/V

4

(42)2

( 40)

и — и—1

к

с1 — с—

/V

4

Nx—1

ВЫчислим X (40 )2 (кс,2 (с) + кс,4 (с)) :

=1

Nx —1 Nx —1 /

X (40 )2 (¿с (с)+к, (с ))=X ((4,) =1

—(42 )

и1+1— и1

к

с+1 — с

/V

4

и1 — и—

к

с — с—

/ V

4

и +1 — и

Л/

к

с+1 — с

Л Л

/V

4

у/

= 1 (4. )2

1=1 V V

—XX & 42 )2 V ^ I ^ 11=0 ■

1=1 V V к /V 4 /у

Таким образом, полним, что операторы ¿с ^ ( с ), ¿с 4 ( с ) обладают свойством консер-

вативности, а ¿с 1 ( с ), ¿с 3 ( с ) не обладают.

Nx—1

рассмотрим X (40 ) (¿с,1 (с) + ¿с,3 (с)):

=1

N — 1 N — 1 / \

X (40 )Лд (с ) = — X ((41) +1 — 1+1 —(42 ), и +1 - — 1

с =

У

N—1

0) 1 ,и0 +(и^

=1

( ихх ) 0 к /6 ) с ■

Из полученного равенства следует, что в случае несжимаемости среды оператор конвективного переноса является консервативным, т.к. разностный оператор и 0 + (ихх ) х к /6 аппрок-

симирует первую непрерывную производную их с четвертым порядком точности. Для этого запишем оператор диффузионного переноса:

¿а ( с ) = ¿1 ( с ) — ¿2 ( с ) — ¿3 ( с ) — ¿4 ( с ) — ¿5 ( с ),

(16)

где ¿а,1 (с) = (^с'У, ¿а,2(с) = (Кс-)' к2/12, ¿^(с) = ^с-к2/4; ¿ал (с) = ц'с'"к2 /12, 1Л Ь (с) = К'с'к2 / 6.

с

2

Будем исследовать на консервативность каждый из операторов по отдельности. Аппроксимация оператора 1 ( с) примет вид:

с..,, - с,. , ч с, - с,-1

( «0 ), 4,1 (с) = ( «1), /,+1/2 - ( «2 ), /-1/2 , 2

к2 ^-1/2 к

N-1

Вычислим £(«0),4,1 (с):

,=1

N -1 N -1

с.,, - с / \ с, - с, -1

X (90), 4,1 (с) = X( 91), /+1/2 ,+12 , - ( 92 ), /

,=1 ,=1

к2 ^ к1

Мх-1 Мх -1

с,,, - с ч с - с,-1

= X(91), й+иг-^+тг-- X(92), /

г+И 2 ,2 ¿Г11-1/2 ,2

,=1 к 7=1 г к

N.-1 #х-1

Х с,,, - с ^ / ч с,,, - с.

= X*91),- X'92)"1 ^Пр = 0.

Аппроксимация оператора 2 ( с) примет вид:

—V I 1 — / \ —,-1

( «0 ), 4,2 ( с) = ( «1 ), /+1/2 ,+112 г - ( «2 ), /-1/2 12

N-1

Вычислим X («0 ), 4,2 (с ) :

1=1

N. -1 ЫХ-1

—, , 1 —.■ / \ -1

X ( 90 ), 4,2 ( с) = X( 91), /+1/2 '+10 г - ( 92 ), /

,=1 ,=1

12 ч-/,-1/2 12

N-1 — - — Nx-2 — - —

= X (91), /+1/2 ^ - X («2 ),+1 «+И2 ^ = 0. =1 12 =0 12

Аппроксимация оператора Ь 3 ( с ) примет вид:

4,3 (с) = ( 91), К (с+1 - с)-(92), К (с - с-1),

7. _(«1 ), ( /+1 - / ^ («2 ),( / - 1

- •

2

у

г («0 )Д 4к2 у («0 )Д 4к

Ых-1

В^1числим X( «0 ), 4,3 ( с ) :

=1

Ых-1 N-1

X ( «0 ), 4,3 ( с ) = X ( «1 ), Ь ( с,+1 - с ) - ( «2 ), Ь ( с - с,-1 ) =

=1 =1

ЫХ-1 N-1

X («1),Ь (с+1 - с)- X («2),Ь (с - с,-1) = =1 =1

Ых-1 Ых-2

X («1),Ь (с,+1- с,)- X («1), k,+l (с,+1- с) =1 =0

N..-1 N..-1

= £( ) ( к - к +1 )( С+1 - С )= £( ) ( к - к+1 ) С+1 -

г=1 г=1

N.-1 N.

-£( )г ( к - кг+1 ) С = £( ^ )г ( кг-1 - кг ) Сг -

г=1 г=2

N.-1 N.-1

-£ ( )г ( кг - кг+1 ) С = £ (( ^2 ) ( ^ - к, )-( ^ ) ( к, - к^ )) С =

г=1 г=1

N.-1 N.-1

= £ ((4о )г к-.Ъ1 ) С> = £ ((д0 )г М^2 / 4)С, .

г=1 г=1

Аппроксимация оператора 4 ( С) примет вид:

& / \ / \ ^ 1

(4о ), ,4 (С) = (41 ), ( Мг+1 - Мг + (^2 )г (Мг - М-1 ) 12

N.-1

Вычислим £ ( 4о )г ,4 ( С ):

г=1

£'(4оК,(с) = £'(4) М - М. + (42) М - Мм)(- 1 ]

г=1 г=1

24 —/ 24

= £'(4.) (м+1 - М )ÍS+2-Sl + £2(42).+, М - М = £()г М - М, = £ (42) (У

N.-1 | ,, - „ Л N.-1 -£ (41 )г | I * = -£ М,/12.

г=1 V 12 У г=1

В силу

N. -1

£( 4о )г Ю = £■

г=1 г=1

^-1 ^ ( 42 )( Г-1 - Г )-( 41 )( Г - Г+1 )

Ъ2

получим:

N.-1 N.-1

£ (4о )г ,4 (С) = -£ М,—С /12 .

=1 =1

Аппроксимация оператора 5 (С) примет вид:

(4о )г Ь , (С) = (4 ) (М+1 - М,")(С±7^ГС') + (42) (М - М

Nx-1

Вычислим X ( qo ) Ld ,5 (с )

i=1

N* -1 N -1 ( с - с ) ( с - с )

X ( q )л, ( с)=X ( )i M - м-)1^+( q21 ( A- M

i=i i=i

Nx -1 ^ \ Nx-2

= X(q,)i(M - аГ)Ц^ + X2(?2)i (a"- m )-(с- с"}

i=1 i=0

Nx -1

12 t0w2/'г -1/ 12

= X( q, )i M - Af)^^^^=X ( q2 )i M м ) f - X( q, )i (M - M) f=

i=1 i=2 w i=1

Nx

( qo ) Аш*п 2'

i=2

=-X( qo )i A****12 с/6

N -1 5 N,,-1

Из выражения q0 (С ) = q0 ^ ^ (С ) = 0 следует, что оператор

¿=1 ' ]=1 ¿=1 ' диффузионного переноса, полученный на основе схем повышенного порядка точности, не изменяет суммарное количество вещества, и, следовательно, является консервативным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Самарский, А. А., Николаев, Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 532 с.

2. Самарский, А. А., Гулин, А. В., Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

3. Никитина, А.В., Семенякина, А.А., Чистяков, А.Е. Параллельная реализация задачи диффузии-конвекции на основе схем повышенного порядка точности // Вестник компьютерных и информационных технологий. 2016. № 7 (145). - С. 3-8.

4. Семенякина, А.А. Схемы повышенного порядка точности для задачи диффузии-конвекции // Информатика, вычислительная техника и инженерное образование. 2013. № 4 (15). - С. 18-29.

5. Семенякина, А. А., Хачунц, Д. С., Кузнецова И.Ю., Проценко С. В., Никитина А. В. Аппроксимация 3-й краевой задачи схемами повышенного порядка точности / Семенякина А. А., Хачунц Д. С., Кузнецова И.Ю., Проценко С. В., Никитина А. В. // Инженерный вестник Дона. 2015. №4. - 51с.

6. Проценко, С.В., Кузнецова, И.Ю., Семенякина, А.А. Точность разностных схем второго и четвертого порядков погрешности аппроксимации для решения задачи диффузии-конвекции. Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции: «Новейшие достижения в науке и образовании: отечественный и зарубежный опыт»: в 2-х частях. 2015. - С. 49-52.

7. Сухинов, А.И., Проценко, Е.А., Чистяков, А.Е., Шретер, С.А. Сравнение вычислительных эффективностей явной и неявной схем для задачи транспорта наносов в прибрежных водных системах // Вычислительные методы и программирование: Новые вычислительные технологии. 2015. Т 16. № 3. - С. 328-338.

8. Sukhinov. A.I., Chistyakov. A.E., Protsenk, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs/ Mathematical Models and Computer Simulations. 2014. Т. 6. № 4. - С. 351-363.

И.В. Яковенко

ПЕРЕХОД К ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНОЙ МОДЕЛИ В ЗАДАЧЕ ДВИЖЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ВОЗДУШНОЙ СРЕДЫ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ С УЧЕТОМ НАСАЖДЕНИЙ

Аннотация. В статье представлена математическая модель процесса движения многокомпонентной воздушной среды в приземной слое для прибрежной зоны, учитывающая наличие зеленых насаждений. Кратко рассмотрен переход к двумерной модели для уравнений движения воздушной среды, в отсутствие градиента давления. Данный подход позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты для численного решения сеточных уравнений диффузии-конвекции (движения) и сократить время выполнения операций обмена информацией межпроцессорных обменов при моделировании на многопроцессорных системах.

Ключевые слова: приземная аэродинамика, пространственно-трехмерные и двумерные модели, многокомпонентная среда.

I.V. Yakovenko

THE TRANSITION TO A SPATIALLY TWO-DIMENSIONAL MODEL IN THE PROBLEM OF