Конкретная характеризация универсальных планарных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

д n(Q-f) д e[2dek3 den-i-k

Рассуждая аналогично получим утверждение теоремы.

Теорема доказана.

Заметим, если ребра A\A2, A1A3, A1A4 являются длинными, т.е. длина каждого из них больше половины диаметра, то справедливы оценки:

< CMAdA-n, 1 < n < 3, 0 < i,k < n (i + k < n).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Zenisek A., Hoderova-Zlamalova J. Semiregular Hermite tetrahedral finite elements I I Appl. of Math. 2001. Vol. 46., № 4. P. 295-315.

2. Куприянова Ю. В. Об одной теореме из теории сплайнов // ЖВМ и МФ, 2008. Т. 48,№ 2. С. 206-211.

3.Байдакова Н. В. О некоторых интерполяционных многочленах третьей степени на трехмерном симплексе // Труды Института математики и механики. Екатеринбург : УрО РАН. 2008. Т. 14, № 3. С. 43-57. "

4. Мелешкина А. В. Об аппроксимации производными интерполяционного многочлена Эрмита на треугольнике // ЖВМ и МФ. 2010. Т. 50, 2. С. 211-220.

УДК 519.713.2, 512.534

В. А. Молчанов

КОНКРЕТНАЯ ХАРАКТЕРНЗАЦИЯ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ

В статье изучаются универсальные планарные автоматы, подавтоматы которых охватывают гомоморфные образы всех планарных автоматов.

Под плоскостью [1] будем понимать систему вида П = (X, Ь), где X -непустое множество точек и Ь - семейство его подмножеств, именуемых прямыми, удовлетворяющее следующим аксиомам: (А1) через любые две точки проходит одна и только одна прямая; (А2) каждая прямая содержит по крайней мере три точки; (А3) в множестве X есть три точки,

П

активной, если любые две ее прямые имеют общую точку, и аффинной, если для любой прямой I € Ь и любой точки х £ X \ I существует такая единственная прямая I', что х £ V и I П V = 0.

По определению планарные автоматы являются структу-ризованными автоматами [2] А = (^,А,Б,6,\) с множеством состояний ^ ^ ^^^^^^^^^^ №1ходных сигналов Б, наделенными структурами плоскостей Пд = ж Пв =

68

= (Б,Ьв), множеством входных сигналов А, функцией переходов 5 : А х Q ^ ф и выходной функцией Л : А х Q ^ Б, для которых при каждом фиксированном а € А преобразование 5а(д) = 5(а,д) (д € ф) является эндоморфизмом плоскости Пд и отображение Ла(д) = Л(а, д) (д € ф) - гомоморфизмом Пд в Пв. Для автомата А без равнодействующих входных сигналов каждый входной сигнал а можно отождествить с парой отображений (5а, Ла).

Для любых плоскостей Пд и Пв автомат А = (Пд,А, Пв, 5, Л) с множеством входных сигналов А, состоящим из всех пар а = (р,ф) эндоморфизмов ^плоскости Пд и гомоморфизмов ^плоскости Пд в плоскость Пв, функцией переходов 5(д,а) = ^>(д) и выходной функцией Л(д, а) = ^(д) (здесь д € ф) является планарным автоматом. Такие автоматы называются универсальными планарными автоматами, так как их подавтоматы охватывают гомоморфные образы всех планарных автоматов. Основной результат работы [3] показывает, что универсальные планарные автоматы полностью определяются (с точностью до изоморфизма) своими полугруппами входных сигналов.

Для универсальных планарных автоматов исследована проблема конкретной характеризации, которая формулируется следующим образом: при каких условиях автомат А = (ф,А,Б,5, Л) является универсальным планарным автоматом, т.е. на множестве состояний ф можно так определить структуру плоскости Пд = (ф,Ьд) и па множестве выходных сигналов Б - структуру плоскости Пв = (Б,Ьв), что множество входных сигналов А совпадет с множеством Е^Пд х Нот(Пд, Пв)•

Такая задача имеет прямое отношение к известной проблеме С. Улама [4] об определении математической структуры по данному множеству эндоморфизмов, которая не решена до сих пор ни для графов, ни для гиперграфов общего вида.

Для произвольного автомата А = (ф,А,Б,5, Л) определим канонические тернарные отношения Яд С ф3 и Яв С Б3 по формулам:

Яд = {(д1,д2,дз) € ф3 : (У(хьх2,х3) € ф3 \ Д)(3а € А)5а(х) = д},

Яв = {(61,62, 63) € Б3 : (У(хь Х2, Х3) € Я3 \ Д)(3а € А)Ла(х) = Ъг},

где Д = {(х1, х2, х3) € ф3 : х{ = х^ для некоторых 1 < г = ] < 3}.

Тернарное отношение Я С X3 называется 3-эквивалентностью на множестве X, если оно удовлетворяет следующим условиям:

(!) Я = X3,

11 (xx, xx, x) ее RR для любого x Е X;

(iii) (Х1,Х2,Хз) Е R (xi! , Xi2 ,

) Е R для любых 1 < ibi2,i3 < 3;

(iv) (x,y,z), (z,y,v) Е R (x,y,v) Е R для любых элементов x, y, z, v Е X, удовлетворяющих условию y = z.

R

x, y Е X z Е X, что (x,y,z) Е R.

Основная теорема. Пусть A = (Q,A,B,^, A) - произвольный автомат без равнодействующих входных сигналов. Тогда, A б теш w только том случае является универсальным планарным автоматом Atm(nQ, Пв) для некоторых плоскостей Пq = (Q,Lq), Пв = (B,LB) если канонические от,ношения, Rq, Rb этого автомата являются квазиуниверсальными 3-эквивалентностями на множествах Q и B соответственно, а также выполняются следующие свойства:

1) если (q1, q2, q3) Е Q3 \ Rq, то для любых x1, x2, x3 Е Q, y1, y2, y3 Е Е B найдется такой элемент a Е A, что ^a(qi) = xi w Aa(qi) = yi для всех 1 < i < 3;

если для отображений ^ : Q ^ Q, ^ : Q ^ B npw любых значениях qbq2,q3 Е Q существует x Е A, для которого = ^(qi)

w Ax(qi) = ^(qi) для всех 1 < i < 3, то найдется такой элемент a Е A, что ^a(q) = ^(q) w Aa(q) = ^(q) для всex q Е Q.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Kapmecu Ф. Введение в конечные геометрии, М, : Наука, 1980,

2, Плоткип Б. И., Гринглаз Л. Я., Гварамия А. А. Элементы алгебраической теории автоматов, М, : Высшая школа, 1994,

3, Molchanov V. A. On definability of universal planar automaton by its semigroup of input symbols // Semigroup Forum, 2011, Vol, 82, P. 1-9,

4, Улам С. Нерешенные математические задачи, М, : Наука, 1964,

УДК 513.6

С. И. Небалуев

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ КАРТАНА — ЛЕРЕ ДЛЯ ТОЛЕРАНТНЫХ ПРОСТРАНСТВ

Основным результатом статьи является теорема о спектральной последовательности Картапа — Л ере для толерантных пространств.

Пусть п - произвольная группа. Рассмотрим [1, 2] толерантное пространство (Т пространство) (K, £), где K = п х N,

(*,о* (g2 ,a2) ~ {a1=ar=a2;

70