CC BY
46
КОНФОРМАЦИОННЫЙ В-А ПЕРЕХОД В МОДЕЛИ МОЛЕКУЛЫ ДНК С НЕСИММЕТРИЧНЫМ ДВУХЪЯМНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ НУКЛЕОТИДАМИ
Ф.К. Закирьянов, М.И. Фахретдинов
В работе рассмотрена модификация модели Пейарда-Бишопа с несимметричным двухъямным потенциалом взаимодействия между нуклеотидами и с учетом диссипации. Показано, что при определенном значении коэффициента диссипации в рассматриваемой модели возможно решение в виде кинков - нелинейных уединенных волн переключения между двумя состояниями. В терминах молекулы ДНК это решение описывает переход между двумя устойчивыми конформационными состояниями молекулы ДНК - В-А переход.
Ключевые слова: ДНК, конформационный переход, нелинейные волны.
Функционирование генетического аппарата биологических систем во многом обусловлено конформационными изменениями молекулы ДНК. Как известно, на-тивная форма ДНК является В-формой, однако в природных условиях возможны структурные переходы из В-формы в А-форму и обратно [1]. Эти две формы ДНК отличаются различными параметрами: числом пар оснований на один виток, наклоном пары к оси спирали, но, на наш взгляд, самое главное, расстоянием между нуклеотидами в комплементарных цепочках (рис. 1).
Кроме А и В известны и другие формы ДНК, а также 2-форма, отличающаяся от всех остальных направлением закручивания спиралей (левозакрученная двойная спираль) [1].
По-видимому, есть основания полагать, что существуют не разные формы, а два обширных семейства форм [2]. Структуры в пределах каждого из семейств в зависимости от условий могут иметь различные параметры, но все формы А-семейства характеризуются большим расстоянием пар оснований от оси молекулы ДНК.
Считается, что структурные конформационные В-А переходы в ДНК коопе-ративны и слабо зависят от состава и последовательности нуклеотидов. Вследствие кооперативности конформационные возбуждения имеют коллективный характер и охватывают протяженные участки макромолекулярной цепи. Следовательно, для их описания естественным является привлечение аппарата нелинейных уединенных волн в простой модели однородной ДНК.
Вид сверху
В - форма А - форма
Рис. 1. А- и 5-формы ДНК
Одной из первых работ, в которой были использованы нелинейные уединенные волны для описания конформационных переходов в одномерных молекулярных системах, была работа А.С. Давыдова [3]. В дальнейшем этот подход развивался в большом количестве других работ. В частности, были рассмотрены как однокомпо-нентные, например, [4-6], так и двухкомпонентные модели, например [7, 8]. Обзор исследований конформационной динамики ДНК представлен в известной монографии Л.В. Якушевич [9].
В данной работе предлагается рассмотреть модель молекулы ДНК, основанную на модификации модели Пейарда-Бишопа [10], но с двухъямным асимметричным потенциалом взаимодействия между нуклеотидами комплементарных цепочек. Эта модель учитывает, что молекула ДНК состоит из двух полинуклео-тидных цепочек, и её можно представить в виде двух эластичных стержней, слабо взаимодействующих между собой и свернутых в двойную спираль. Дискретный механический аналог такой модели представляет собой две цепочки дисков, связанных друг с другом продольными и поперечными пружинами (рис. 2).
Рис. 2. Модель Пейарда-Бишопа
Обозначим через и энергию взаимодействия узлов одной цепочки, Ж - энергию взаимодействия узлов разных цепочек, п - номера атомов в цепочке, I - продольное расстояние между атомами в цепочке, ип, ьп - смещение узлов верхней и нижней цепочки, соответственно (стрелочками на рис. 2 показаны положительные значения смещений узлов).
В качестве и для простоты берется гармонический потенциал
и =
Ек
2
п
(ип - ип-1 )2 + (Уп - Уп-\)
где к - константа упругости взаимодействия оснований, принадлежащих одной цепочке.
Наблюдаемые экспериментально переходы между двумя формами ДНК позволяют сделать вывод, что реальный потенциал Ж взаимодействия комплементарных нуклеотидов имеет вид двухъямной потенциальной функции (рис. 3).
Если ограничиться рассмотрением внутримолекулярных конформационных переходов, не рассматривая плавление и репликацию ДНК, то можно аппроксимировать рассматриваемую сложную потенциальную функцию относительно простым полиномиальным потенциалом (рис. 4)
Ж = Е(ип - уп)2 (а (ип - Уп)2 + Ь (ип - Ьп) + с) .
п
Условие асимметричности и двухъямности потенциала накладывает на параметры Ж следующие ограничения:
Ь2 9Ь2
О 0, 6 < 0, 0 < — <а< -.
4с " 32с
Система имеет два стационарных состояния: основное (соответствующее В -форме ДНК) и метастабильное (А-форма). В-форма является более выгодной по энергии. Такая неэквивалентность В - и А-форм соответствует свойствам реальной молекулы ДНК.
0.5
0.4
-0.3
В - форма 0.2 / А - форма
0.1
2.0 -1.0 0 1.0 2.0 ип -
Рис. 3. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия от расстояния между комплементарными нуклеотидами в ДНК
Рис. 4. Вид потенциала взаимодействия комплементарных нуклеотидов
Параметры предлагаемого модельного потенциала выберем из следующих соображений: точка локального минимума потенциальной энергии, соответствующая А-форме молекулы ДНК, должна быть порядка величины смещения нуклеотидов при В-А переходе, то есть 1-2 А, а значение максимума потенциальной энергии (потенциальный барьер) - порядка энергии В-А перехода, то есть около 0.1 эВ [6]. Эти условия удовлетворяются, например, при следующих параметрах потенциала: а = 3.1 х 1020 Дж/м4, Ь = -9.54 х 1010 Дж/м3, с = 8.108 Дж/м2.
Гамильтониан рассматриваемой задачи имеет вид
1 ( ( с1и \ 2 / \ 2 \ 1
н = 2т (д"1г) + уж) ) + 2к {{ип+1 ~ип)2 +{Уп+1 ~Уп)2) +
+ (ип - У,п)2 (а (ип - Уи)2 + Ь (ип - У,п) + с) . Приведем гамильтониан к безразмерному виду с использованием следующих замен:
Гк
йп = ип/1, уп = уп/1, х = \ —г, Н = Н/(к12) ;
V т К '
, \2 (а12 , Л2 Ь1 , с
+ {ип-Уп) I — {ип-Уп) +-^{ип-Уп) + -
Далее сделаем переобозначения параметров а, Ь, с
а12 Ь1 с
В итоге, в континуальном приближении гамильтониан примет следующий вид: Н = / { ^ К2 + + \ {4 + 4) + V)2 (а (и - и)2 + Ь (и - и) + с) | у.
Уравнения движения получаются в виде
иТТ = ихх — 4а (и — у)3 — 3Ь (и — у)2 — 2с (и — у) — ^ит
ухх = Ухх + 4а (и — у) + 3Ь (и — у) +2с (и — у) — ^ ут.
Здесь учтено взаимодействие молекулы ДНК с окружающей средой, приводящее к диссипативным членам ^ ит и ^ ут.
От переменных и и V перейдем к переменным ф и г, имеющим следующий смысл: ф = и + V соответствует движению центра масс системы, г = и — V соответствует изменению расстояния между комплементарными парами нуклеотидов. Уравнения движения примут вид
■тт = Фхх — Цфт,
гтт = гхх — 8аг3 — 6Ьг2 — 4сг — ц г^.
Рис. 5. Фазовый портрет уравнения (1). Гетерокли-
ническая траектория (жирная линия) соответствует При переходе к волновой переменной переходу ДНК из Л-ф°рмы в ^-форму ^ = х — & т, где 5 - скорость волны, урав-
нение для г примет вид
(1 — в2) гц — 8аг3 — 6Ьг2 — 4сг + ц вг^ = 0.
(1)
Решение уравнения (1), описывающее переход системы из В-состояния в А-состояние, будем искать в виде кинка, соответствующего гетероклинической траектории на фазовом портрете
А1
*®=1 + А2 ехр(-АзГ (2)
Из рис. 5 видно, что переход ДНК из 5-формы в ^-форму возможен только при определенном значении коэффициента диссипации ц, связанном со значениями параметров а, Ь, с потенциала и скорости волны в. Действительно, после подстановки (2) в (1) получим систему уравнений для определения параметров решения А1, А2, А3, решая которую с учетом всех ограничений придем к следующему выражению для параметра ц:
-3 (ь + у/9Ъ2 - 32а с) л/%2 - 16 а с - 36 л/%2 -32 а су/1 - й2
Ц =-----х-• (3)
2у/2а (-36 + у/9Ь2 -32 ас) в
( Ь2 9Ь2 \
Подставляя в формулу (3) границы изменения параметра а [ — < а <- , полуде 32с/
чим для коэффициента диссипации максимальное и минимальное значения:
.у/2с
0 < (х (а, 6, с, в) <-у/1 — в2.
В размерных переменных зависимость коэффициента диссипации (3) от параметров модели выглядит следующим образом:
-3 (ъ + л/9Ь2 - 32а с) л/962 - 16 а с - 36 \/9Ъ2 -32 а Ык Р-тз2
И- =----—т---у-•
2лДа ( —36 + л/ЭЬ2" — 32 асе
Для оценки численного значения коэффициента диссипации воспользуемся полученными выше параметрами рассматриваемого модельного потенциала и данными работы [10] (т = 5.1 х10"25 кг, I = 3.4х10"10 м, к = 24 Н/м). Зависимость коэффициента диссипации от скорости представлена на рис. 6. Аналогичные величины коэффициента трения были получены и в работе [10]. При ^ = 0 получим максимальное допустимое значение скорости солитона 5 « 2332.4 м/с. Это согласуется с оценками, представленными в приложении к монографии Л.В. Якушевич [9].
Решение системы (1) в безразмерных переменных имеет вид
* ою =
—36 + л/9Ь2 — 32а с 8а
1 + ^2 ехр
\
—2с — 36
-36 + \/962 - 32ас 8а
(4)
1- 5
-I
где ^2 - произвольная положительная константа, соответствующая сдвигу кинка влево или вправо по оси Вид решения представлен на рис. 7. Высота кинка (предел решения на бесконечности)
к
-36 + \/962 - 32ас
8а
соответствует расстоянию между локальными минимумами функции г2 (аг2 + 6* + с) и равна смещению нуклеотидов при В-А переходе. Область, захваченная рассматриваемым возмущением, по аналогии с динамикой магнетиков может рассматриваться как своего рода «доменная стенка», являющаяся областью перехода между двумя различными конформационными состояниями.
Решение типа кинка (4) в рамках нашей модели (см. рис. 2) определяет растяжение нелинейных пружинок, соединяющих узлы разных цепочек.
Рис. 6. Зависимость коэффициента диссипации от скорости
Рис. 7. Вид решения (4) в размерных переменных
Это растяжение движется вдоль цепочки узлов (рис. 8) по мере того, как бегущая волна - «кинк» - идет по цепочке. В рамках терминов молекулы ДНК это определяет переход меж-Рис. 8. B-A переход ду двумя устойчивыми конформацион-
ными состояниями молекулы ДНК, то есть B-A переход.
Таким образом, нами была рассмотрена модель Пейарда-Бишопа с несимметричным двухъямным потенциалом взаимодействия между нуклеотидами с учетом трения. Показано, что при определенном значении коэффициента диссипации в данной модели возможно решение типа кинк, которое можно интерпретировать как B-A переход. Получены численные оценки построенного решения, качественно совпадающие с оценками в других работах.
Библиографический список
1. Албертс Б., Брей Д., Льюис Дж. Молекулярная биология клетки. В 2 т. M.: 1994.
2. Иванов В.И. А-ДНК // Соросовский образовательный журнал. 1998. № 1. C. 2.
3. Давыдов А.С. Солитоны в молекулярных системах. Киев: Наук. думка, 1984. 287 с.
4. Волков С.Н. Нелинейные волны и конформационная подвижность ДНК. Киев,
1984. 36 с. (Препринт АН УССР. Ин-т теор. физики: № 52Р).
5. Волков С.Н. О возможности распространения нелинейных волн в ДНК // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наук. думка,
1985, ч. 1. С. 161.
6. Khan A., Bhaumic D. and Dutta-Roy B. The possible role of solitonic process during A to B conformational changes in DNA // Bull. Math. Biol. 1985. Vol. 47. P. 783.
7. Волков С.Н. Развитие нелинейной конформационной динамики ДНК // Биополимеры и клетка. 1990. Т. 6, № 4. С. 21.
8. Пономарев В.О., Шиховцева Е.С. Механизм В —А перехода в молекуле ДНК с упругим взаимодействием между сахарами и азотистыми основаниями // Биофизика. 2000. Т. 45, вып. 1. C. 27.
9. Якушевич Л.В. Нелинейная физика ДНК // Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований; Регулярная и хаотическая динамика, 2007. 250 с.
10. Zdravcovic S., Tuszynski J.A., Sataric M. V. Peyrard-Bishop-Dauxois model of DNA dynamics and impact of viscosity // Journal of Computational and Theoretical Nanoscience. 2005. Vol. 2, № 2. P. 1.
Башкирский государственный Поступила в редакцию 12.05.2009
университет После доработки 11.06.2009
CONFORMATIONAL B-A TRANSITION IN THE MODEL OF DNA MOLECULE WITH ASYMMETRIC DOUBLE-WELL INTERACTION POTENTIAL OF NUCLEOTIDES
F.K. Zakir'yanov, M.I. Fakhretdinov
In this paper we consider a modified Peyrard-Bishop model with asymmetric doublewell interaction potential of nucleotides and dissipation. It is shown that at the certain value of dissipation coefficient the model solution takes the form of a kink. In terms of DNA molecule it describes the transition between two stable conformational states of DNA molecules - B-A transition.
Keywords: DNA, conformational transitions, nonlinear waves.
Закирьянов Фарит Кабирович - родился в Уфе (1967), окончил Башкирский государственный университет (1989). Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в МГУ (1993) по специальности «биофизика». Опубликовал около 50 научных и методических работ. Доцент кафедры теоретической физики БашГУ.
450074, Уфа, ул. З. Валиди, 32
Башкирский государственный университет, кафедра теоретической физики Е-таП:Гагш@гатЪ1ег.ги
Фахретдинов Марат Ирекович - родился в Уфе (1984), окончил кафедру теоретической физики Башкирского государственного университета (2007). После окончания БашГУ поступил в аспирантуру, работает ассистентом кафедры теоретической физики физического факультета БашГУ. 450074, Уфа, ул. З. Валиди, 32
Башкирский государственный университет, кафедра теоретической физики Е-таП:ГакЬге1ётоут1@росЬ1а.ги
