КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ Z2-ИНВАРИАНТЫ МНОГООБРАЗИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Челябинский физико-математический журнал. 2021. Т. 6, вып. 4- С. 427-439.

УДК 515.162.3 DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16403

КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ГОМОЛОГИЧЕСКИЕ

ж2-инварианты многообразий

Ф. Г. Кораблёв

Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург, Россия korablev@csu.ru

Описывается конструкция конфигурационных инвариантов трёхмерных многообразий. Эти инварианты основаны на задании многообразий своими специальными спай-нами и устроены следующим образом. Пусть Р — специальный полиэдр, и к € N. Каждой упорядоченной последовательности £, состоящей из к элементов второй группы гомологий полиэдра Р с коэффициентами в Z2, с помощью конфигурационного отображения ш сопоставляется число ш(Р, £) € {0,1}. Значением инварианта является отношение числа последовательностей £, для которых ш(Р, £) = 1, к общему числу всех таких последовательностей. Аксиомы, которым должно удовлетворять конфигурационное отображение, обеспечивают инвариантность полученного рационального числа при Т-преобразованиях специальных полиэдров.

Ключевые слова: специальный спайн, виртуальное многообразие, инвариант, цепной комплекс.

Введение

Статья посвящена построению класса конфигурационных инвариантов для трёхмерных многообразий. Топологический смысл этих инвариантов состоит в следующем. Пусть hi,... , hk Е H2(M, Z2) — упорядоченный набор из к элементов второй группы гомологий многообразия M с коэффициентами в Z2. Каждому такому набору сопоставляется либо 0, либо 1, в зависимости от того, как выбранные гомологические классы соотносятся друг с другом. Итоговым значением инварианта является дробь n/m, где m — общее число упорядоченных наборов длины к (фактически, m = |H2(M, Z2)|k), а n — число наборов, которым сопоставлено значение 1. Конструкцию инварианта, по-видимому, можно продолжить на случай, когда гомологии рассматриваются с коэффициентами не в Z2, а в любой абелевой группе.

Конструкция конфигурационных инвариантов основана на задании трёхмерных многообразий с помощью специальных спайнов (см. определения 1 и 2). Один из способов построения инвариантов состоит в задании функции на множестве всех специальных полиэдров, значение которой не меняется при Т±1-преобразованиях этих полиэдров (см. рис. 2). Такой подход позволяет построить инварианты не только для трёхмерных многообразий, но и для объектов более общего вида — так называемых виртуальных многообразий (см. [1]). Формально виртуальные многообразия

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ и Челябинской области (проект 20-41-740001_р_а_Челябинск).

определяются как классы эквивалентности специальных полиэдров, рассматриваемых с точностью до Т^-преобразований. Описываемые в статье конфигурационные инварианты являются инвариантами не только трёхмерных многообразий, но и всех виртуальных многообразий.

Структура статьи такова. Параграф 1 посвящён конструкции конфигурационных инвариантов, доказательству их корректности и описанию их топологического смысла. Основным ингредиентом при построении является понятие конфигурационного отображения. Оказывается, что существует такой цепной комплекс, что все эти конфигурационные отображения являются в точности элементами его третьей группы коцепей. Построению этого цепного комплекса посвящён параграф 2. В параграфе 3 приводятся результаты вычислений, связанных с пространством всех конфигурационных инвариантов порядка не выше 4. В параграфе 4 перечисляются некоторое проблемы, на решение которых может быть направлено дальнейшее изучение описанных в статье инвариантов.

1. Инвариант

Определение 1. Двумерный полиэдр Р называется специальным, если он удовлетворяет следующим условиям:

1. Линк каждой его точки х Е Р гомеоморфен либо окружности (рис. 1 слева), и тогда эта точка х называется регулярной точкой, либо окружности с диаметром (рис. 1 в центре), и тогда эта точка х называется тройной точкой, либо окружности с двумя диаметрами (рис. 1 справа), и тогда эта точка х называется истинной вершиной.

2. Множество всех тройных точек полиэдра Р образует несвязное объединение открытых интервалов, которые называются тройными линиями.

3. Множество всех регулярных точек полиэдра Р образует несвязное объединение открытых дисков, которые называются 2-компонентами.

(справа) в специальном полиэдре

Определение 2. Пусть М — компактное трёхмерное многообразие. Специальный полиэдр Р С М называется специальным спайном многообразия М, если он удовлетворяет следующим условиям:

1. Если дМ = 0, то М \ Р гомеоморфно открытому трёхмерному шару.

2. Если дМ = 0, то М \ Р гомеоморфно прямому произведению дМ х [0; 1).

Специальные спайны представляют собой удобный способ задания трёхмерных многообразий. Одно и то же многообразие может быть задано разными специальными спайнами. Хорошо известно (см., например, [2]), что если Р1 и Р2 — два специальных спайна многообразия М, каждый из которых имеет хотя бы две истинных вершины, то от Р1 к Р2 можно перейти с помощью конечной последовательности двух преобразований: Т-преобразования, и обратного к нему Т-1 -преобразования (они изображены на рис. 2). Поэтому один из подходов к построению инвариантов

трёхмерных многообразий состоит в том, чтобы построить функцию на множестве всех специальных полиэдров, которая не меняется при Т^-преобразованиях.

Пусть к € N. Обозначим Ак = Z2 Ф ... Ф Z2. Это множество обладает естествен-

4-ч/-'

к раз

ной структурой абелевой группы.

Для каждого специального полиэдра Р обозначим через ^(Р) множество его 2-компонент и через V(Р) множество его истинных вершин.

Определение 3. Пусть Р — специальный полиэдр. Отображение £: Т>(Р) ^ Ак называется раскраской полиэдра Р элементами множества Ак, если для каждой тройной линии и примыкающих к ней трёх 2-компонент 61,62,6,3 € Т>(Р) (не обязательно попарно различных) справедливо равенство £(61) + £(62) + £(63) = 0.

Обозначим через Со1к (Р) множество всех раскрасок полиэдра Р элементами множества Ак. Это множество раскрасок обладает наглядной топологической интерпретацией.

Рассмотрим сначала простейший случай к = 1. Тогда Со11(Р) совпадает с множеством подповерхностей в специальном полиэдре Р. В самом деле, каждая раскраска £ € Со11(Р) сопоставляет каждой 2-компоненте 6 € Т>(Р) либо 0, либо 1 так, что к каждой тройной линии примыкает либо две 2-компоненты, которым сопоставлено 1, либо ни одной. Искомая подповерхность образована объединением тех 2-компонент, которым раскраска £ сопоставляет 1. Другими словами это можно сформулировать так: Со11(Р) = Н2(Р, Z2), где Н2(Р, Z2) — вторая группа гомологий полиэдра Р с коэффициентами в Z2.

Для случая к > 1 всё полностью аналогично. Каждая раскраска из Со1к (Р) задаёт упорядоченную последовательность к экземпляров подповерхностей в полиэдре Р. В частности, |Со1к(Р)| = М, ^2)|к.

Теорема 1. Пусть Р1,Р2 — два специальных полиэдра, получающихся друг из друга с помощью конечной последовательности Т±1 -преобразований. Тогда для каждого к € N существует естественная биекция между множествами раскрасок Со1к(Р1) и Со1к(Р2).

Доказательство. Множества раскрасок Со1к(Р1) и Со1к(Р2) находятся в биективном соответствии с упорядоченными наборами к экземпляров гомологических классов из вторых групп гомологий Н2(Р1, Z2) и Н2(Р2, Z2) соответственно. Так как эти группы совпадают, то множества раскрасок Со1к(Р1) и Со1к(Р2) биективны. □

Определение 4. Отображение ш: Ак х Ак х Ак ^ Ъ2 называется конфигурационным отображением, если для всех а1,а2,а3,а4 € Ак

ш(а1, а2, а3) + ш(а1, а2 + а3, а4) + ш(а2, а3,а4) = ш(а1 + а2, а3, а4) + ш(а1, а2,а3 + а4).

Конфигурационное отображение называется симметричным, если для всех а1 ,а2,а3 € Ак выполняются следующие равенства:

1. ш(а1,а2,а3) = ш(а1,а1 + а2,а3);

2. ш(а\,а2, аз) = ш(а2, аз, а\ + а2 + аз).

Величина к называется порядком конфигурационного отображения ш.

Далее в разделе 3 будут приведены нетривиальные примеры симметричных конфигурационных отображений порядков 1 и 2.

Определение 5. Пусть Р — специальный полиэдр, V € V(Р) — его истинная вершина. Две 2-компоненты (1,(2 € Т>(Р) называются противоположными в окрестности вершины V, если в этой окрестности их пересечение состоит только из одной точки V.

Упорядоченная тройка ((1,(2,(3) 2-компонент (1,(2, (3 € Р) называется соседней тройкой в окрестности, истинной вершины V, если 2-компоненты (1 и (3 противоположны в этой окрестности, а 2-компонента (2 имеет и с (1 и с (3 по общей тройной линии.

На рис. 3 отмечены шесть 2-компонент ... в окрестности истинной вершины некоторого специального полиэдра. На этом рисунке 2-компоненты (1,(2, (3 имеют общую тройную линию и для каждого г € {1, 2, 3} 2-компоненты ( и (¿+3 противоположны в окрестности истинной вершины. В этой окрестности существует несколько соседних троек 2-компонент: ((1,(3,(4), ((3,(5,(6), ((4,(5,(1) и так далее.

Определение 6. Пусть Р — специальный полиэдр, £: Т>(Р) ^ Ак — раскраска полиэдра Р, и пусть ш: Ак х Ак х Ак ^ Z2 — симметричное конфигурационное отображение. Тогда весом € Ъ2 истинной вершины V € V(Р) относительно раскраски £ (или, для краткости, просто весом) называется величина = ш(£((1),£((2),£((3)), где

((1,(2,(3) — соседняя тройка в окрестности истинной вершины V. Весом ,ш(Р,£) € Z2 полиэдра Р относительно раскраски £ (или, для краткости, просто весом) называется величина w(P,£) = ^w(v,£).

В определении веса специального полиэдра суммирование происходит в Z2. Следующая теорема 2 утверждает, что требования симметричности конфигурационного отображения достаточно для того, чтобы вес w(v,£) был корректно определён.

Теорема 2. Пусть Р — специальный полиэдр, V € V(Р) — его истинная вершина, £: Т>(Р) ^ Ак — раскраска полиэдра Р, и пусть ш: Ак х Ак х Ак ^ Z2 — симметричное конфигурационное отображение. Тогда если ((1 ,(2,(3) и (в!1,с(!2,с(!3) — две соседние тройки в окрестности истинной вершины V, то

ш(£((1),£Ш,£Ш) = ш(£ ((/1),£((/2),£((3)).

Доказательство. Для объяснения того, что значение конфигурационного отображения не зависит от выбора конкретной соседней тройки, удобно перейти от специальных спайнов многообразий к двойственным им триангуляциям этих многообразий. Окрестность Е истинной вершины V можно стандартным образом вложить в тетраэдр Т (см. рис. 4). Упорядочим вершины этого тетраэдра, занумеровав их числами 0, 1, 2, 3. Одномерный остов Т(1) тетраэдра Т состоит из шести рёбер

2

Рис. 3. 2-компоненты в окрестности истинной вершины

1

[0,1], [0, 2], [0, 3], [1, 2], [1, 3], [2, 3]. Каждая раскраска £: V(P) ^ Ак индуцирует отображение £*: Т(1) ^ Ак, причём для любых трёх рёбер [г,3], [3, к], [г, к] € Т(1)

£*([г,3 ])+ £*(№)+ £ * (М]) = 0.

Каждая соседняя тройка 2-компонент в окрестности истинной вершины V однозначно определяется выбором тройки рёбер ([г,3], [3, к], [к, /]), где г,3, к, / € {0,1, 2, 3} попарно различны. Для доказательства теоремы достаточно проверить, что если ([г',з'], [з',к'], [к',1']) — другая такая тройка рёбер, то

ш(£ *([г,3 ]),£*([], к]), £ * ([к,/])) =

: ш(£*([г',3 ']),£*([] ',к']),£ * ([к',1'])).

14 —

2

Рис. 4. Вложение окрестности Е истинной вершины V в тетраэдр Т

Существует ровно 24 способа выбрать такие тройки рёбер ([г,3], [з,к], [к,/]), что г,3,к,1 € {0,1, 2, 3} попарно различны. Все эти способы получаются друг из друга переобозначением вершин тетраэдра Т. Хорошо известно, что симметрическая группа Б4 порождается двумя перестановками а1 = (0 1), а2 = (0123). Поэтому требуемое соотношение достаточно проверить всего для двух случаев: когда г = 0,з = 1,к = 2,1 = 3 и тройка рёбер ([г',з'], [з',к'], [к',/']) совпадает с тройкой ([а8(0), а8(1)], (1),а8(2)], [а3(2),а3(3)]) при в = 1, 2. Так как ш является симметричным конфигурационным отображением, то

ш(£ *([^1(0),а1(1)]),£*([а1(1),а1 (2)]),£*(Ы2),<п(3)])) = = ш(£*([1,0]),£*([0, 2]),£*([2, 3])) = ш(£*([0,1]),£*([0,1]) + £*([1, 2]),£*([2,3])) =

= ш(£*([0,1]),£*([1, 2]),£*([2, 3])).

Аналогичным образом

ш(£ *([^2(0),^2(1)]),£*([^2(1),^2 (2)]),£*([а2(2),а2(3)])) =

= ш(£*([1, 2]),£*([2, 3]),£*([3,0])) = = ш(£*([1, 2]), £*([2,3]), £*([0,1]) + £*([1, 2]) + £*([2, 3])) =

= ш(£*([0,1]),£*([1, 2]),£*([2, 3])).

Теорема 3. Пусть Р1,Р2 — два специальных полиэдра, получающиеся друг из друга конечной последовательностью Т±1-преобразований, ^: ^(Р1) ^ Ак и £2: Т1(Р2) ^ Ак — соответствующие друг другу раскраски полиэдров Р1 и Р2, и пусть ш: Ак х Ак х Ак ^ Z2 — симметричное конфигурационное отображение. Тогда ЦРЬ£1) = 1ш(Р2,£2).

Доказательство. Достаточно доказать теорему для случая, когда полиэдр Р2 получается из полиэдра Р1 с помощью одного Т-преобразования. Обозначим 61,62,63 € Р(Р1) 2-компоненты, примыкающие к тройной линии, вдоль которой выполняется Т-преобразование. Пусть в окрестности первой вершины v1 этой тройной линии 2-компоненты х1,х2,х3 противоположны 2-компонентам 61,62,63 соответственно, а в

окрестности второй вершины v2 им противоположны 2-компоненты y-\_,y2,y3 соответственно (см. рис. 5 слева).

После T-преобразования все 2-компоненты полиэдра Pl сохраняются в P2, а также появляется одна новая 2-компонента, которую обозначим z Е D(P2) (см. рис. 5 справа). Три новых вершины (которые появляются вместо вершин v\ и v2) обозначим ul,u2,u3 Е V(P2), так, чтобы к каждой вершине ui примыкала 2-компонента di, i = 1, 2, 3 (см. рис. 5 справа).

Вычислим веса истинных вершин vl,v2 Е V(Pl) и ul,u2,u3 Е V(P2):

w(vl,£l) = ш(£l(xз),£l(x2),£l(dз)), w(v2,£l) = ш(£l(dl),£l(У2),£l(Уl)), w(ul,£2) = u(b(x3),b(x2 ),£2(У2)), w(u2,£2) = ш(£2(x3),£2(z),£2(Уl)),

w(u3,£2) = u(b(x2),b(y2),b(yl)).

ПУсть = £,2 (x3) = al, ^^ = С2(x2) = a2, £l{y2) = £2(y2) = a3 и £l(yl) =

£2(yl) = . Тогда £l(dl) = al + a2, £l(d3) = a3 + a4 и £2(z) = a2 + a3. Окончательно получаем, что тогда

w(vi,£i) + w(v2,£l) = u(al,a2, a3 + a4) + u(al + a2, a3, aA),

w(ul,&) + w(u2, £2) + w(u3,£3) = u(al,a2, a3) + u(al,a2 + a3, a4) + u(a2, a3, a4).

Так как ш является конфигурационным отображением, то

w(vl,£l) + w(v2,£l) = w(ul,£2) + w(u2, £2) + w(u3,£2). Следовательно, wv(Pl,£l) = w(P2,£2). □

Определение 7. Пусть P — специальный полиэдр, Colk(P) — множество раскрасок полиэдра P элементами множества Ak, и пусть ш: Ak х Ak х Ak ^ Z2 — симметричное конфигурационное отображение. Тогда значением S^ (P) является дробь \СоПк(р)|, где n — число таких раскрасок £ Е Colk(P), что w(P,£) = 1 Е Z2.

Из теорем 1 и 3 следует, что значение S^, (P) не меняется при T±l-преобразованиях полиэдра P, а значит, является корректно определённым инвариантом трёхмерных многообразий.

Инвариант S^ называется конфигурационным инвариантом. Он зависит от выбора натурального числа к, которое называется порядком инварианта, и симметричного конфигурационного отображения ш: Ak х Ak х Ak ^ Z2. Пусть P — специальный полиэдр, £: D(P) ^ Ak — его раскраска, и пусть v Е V(P) — истинная

вершина полиэдра Р. Раскраска £ представляет собой упорядоченный набор к под-поверхностей в полиэдре Р. Выбор конфигурационного отображения ш определяет, для каких комбинаций выбранных подповерхностей (или, другими словами, для каких их конфигураций) в окрестности вершины V её вес ) равен 1, а для

каких он равен 0. Значение ¡3^(Р) определяется числом таких комбинаций подповерхностей в Р, для которых число вершин V € V(Р) веса 1 нечётно.

а1 Ь1

Рис. 6. Окрестность истинной вершины в неутолщаемом специальном полиэдре

Пример 1. Пусть Е — окрестность истинной вершины, изображённая на рис. 6. Склеим левую пару триодов на крае этой окрестности так, чтобы склеились рёбра, помеченные одинаковыми символами а1,Ь1 и с1. Точно так же склеим правую пару триодов, рёбра которых помечены символами а2,Ь2 и с2. Заклеив каждую из граничных кривых диском, получим неутолщаемый специальный полиэдр Р. Этот полиэдр имеет четыре 2-компоненты. Обозначим их А, В, С1 и С''. На рис. 6 2-компоненты А и В закрашены тёмным и светлым цветом соответственно. Ещё две его 2-компоненты С' и С'' не закрашены.

Полиэдр Р содержит всего 4 подповерхности: во — пустая поверхность, в1 — поверхность, образованная 2-компонентами А и В, в2 — поверхность, образованная 2-компонентами А, С' и С'', и в4 — поверхность, образованная 2-компонентами В, С' и С''.

Рассмотрим симметричное конфигурационное отображение ш: А2 х А2 х А2 ^ Ъ2, определённое следующим правилом: если £: Т>(Р) ^ А2 — раскраска, то вес истинной вершины w(v,£) равен 1 тогда и только тогда, когда в окрестности вершины V подповерхности, соответствующие раскраске £, пересекаются по двум противоположным 2-компонентам. Так как полиэдр Р имеет всего одну вершину, то w(P,£) = w(v,£). Непосредственно вычисляется, что если раскраска £ соответствует парам подповерхностей (в2,в3), (в3,в2), (в2,в4), (в4,в2), (в3,в4) и (в4,в3), то w(P,£) = 1. Для всех остальных пар подповерхностей w(P,£) = 0. Следовательно, (Р) = 6/16 = 3/8.

2. Цепные комплексы С(А^, Ъ) и С(А^, Ъ2)

Построим цепной комплекс С (Ак, Ъ) с целыми коэффициентами. Каждая его группа цепей Сп(Ак, Ъ) при п ^ 1 является свободно порождённой абелевой группой над Ъ, порождённой множеством {(а1,... , ап) € АП}. Другими словами, элементами группы Сп(Ак, Ъ) при п ^ 1 являются формальные суммы а1а1 + ... + апап, где ... ,ап € Ъ и а-\^,... ,ап € Ак. Положим Сп(Ак, Ъ) = 0 при п ^ 0. Каждый граничный гомоморфизм дп: Сп(Ак, Ъ) ^ Сп-1(Ак, Ъ) при п ^ 2 определим на образующих группы Сп(Ак, Ъ) следующим образом:

п- 1

дп(а1,... ,ап) = (а2,..., ап) + ^(-1)г ■ (а1,... ,аг-1,аг + аг+1,аг+2,... ,а,п) +

г=1

+ (-1)п ■ (а1,...,ап-1).

Положим дп = 0 при п ^ 1.

Пример 2. Выпишем явные формулы для граничных гомоморфизмов д2: С2(Лк, ^ ^ С1(Лк, д3 : С3(Лк, Z) ^ С2(Лк, Z) и д4: С4(Лк, Z) ^ Сз(Лк, Z): ^2(^1, «2) = («2) - (а1 + 02) + («1),

дз(а1,а,2, аз) = (а,2, аз) - (а1 + а2, аз) + (01,02 + аз) - (01,02), д4(а1, а2,аз, а4) = (а2, аз, а4) — (а1 + а2, аз,а4) + (а1, а2 + аз, а4) — (а1, а2,аз + а4) + (а1, а2, аз).

Теорема 4. Цепной комплекс С (Лк, Z) действительно является цепным комплексом, то есть для каждого п ^ 2: дп-1(дп(а1,..., ап)) = 0.

Доказательство. Введём обозначения:

йгп(а1,..., ап) = (а1,...,аг + аг+1,..., ап) при 1 ^ г ^ п — 1.

Также положим дШп(а1,..., ап) = (а2,..., ап) и dn(a1,..., ап) = (а1,..., ап-1). Тогда можно записать, что

п

дп(а1,..., ап) = ^2(-1)г • &п(а1,..., ап).

г=0

Выпишем в этих обозначениях значение выражения дп-1(дп(а1,... ,ап)):

(п

^2(-1)г • Л%п(а1, ...,ап)

г=о

п п- 1

= Т,Т,(-1)г+3 • 4-1«(а1,...,ап)).

г=о п=о

Заметим, что при , < г впп-1(с[гп(а1,..., ап)) = вп-11(бпп(а1,..., ап)), а также

^п-1(^п+1 (а1,... , ап)) = ^п-1(^п(al,... , ап)) = ^^ .., aг-l, aг+aг+l+aг+2, aг+з,... , ап).

Так как числа г + , и г + , — 1 имеют разную чётность, то каждая пара слагаемых впп-1(с[п(а]_,... ,ап)) и ¿гп--11(впп(а1,... ,ап)) входит в сумму для выражения дп-1 (дп(а1,..., ап)) с разными знаками. Поэтому дп-1(дп(а1,..., ап)) = 0. □

Опишем наглядный топологический смысл граничных гомоморфизмов дп цепного комплекса С (Лк, Z). Пусть Тп = [0,1,... ,п] — п-мерный симплекс, натянутый на упорядоченный набор вершин 0,1,... ,п. Обозначим через 8гТп его г-ю грань. Другими словами, 8гТп = [0,... , г — 1,г + 1,... ,п] — (п — 1)-мерный симплекс, натянутый на все вершины симплекса Тп, кроме вершины г. Положим

п

6Тп = 1)г бгТп =[1,...,п] — [0, 2,...,п] + [0, 1, 3,...,п] + ... + (—1)п[0, ...,п — 1].

г=о

Пусть £: Т<(г1 ^ Лк — такое сопоставление рёбрам одномерного остова Т^ симплекса Тп элементов группы Лк, что для любых трёх рёбер [г,,], [],к], [г, к] € Тп1 выполняется С([г,,]) + С(3, к]) + С([г, к]) = 0. Это условие является аналогом условия раскраски 2-компонент специального полиэдра, но сформулированное для двойственного подхода на основе триангуляций. Симплексу Тп и отображению С сопоставим элемент Тп(С) € Лп, определённый следующим образом:

Тп(С) = (С ([0,1]),С ([1,2]),...,С([п — 1,п])).

Аналогичным образом можно сопоставить элемент из Л^, 1 каждой грани 8{Тп, г 0,... ,п. Более того, положим

№)(£ ) = £(—1)ВД,(£)

i=0

Тогда дп(Тп(£)) = (8Тп)(£). Это следует из того, что для любого г Е {1,..., п — 2} £([г,г + 2]) = £([г,г + 1]) + £([г + 1,г + 2]).

0

Пример 3. На рис. 7 изображён четырёхмерный симплекс Т4 и отмечены значения функции £: ^ Лк на его рёбрах:

£([0,1]) = а,1, £([1, 2]) = а,2,

£([2, 3]) = аз, £([3, 4]) = а4.

Тогда £([0, 2]) = а1 + а2, £([1, 3]) = а2 + аз и £([2, 4]) = аз + а4. Так как

6Т4 = [1, 2, 3, 4] — [0, 2, 3, 4] +

+ [0,1, 3, 4] — [0,1, 2, 4] + [0,1, 2, 3]

и

№(£) = (£([1, 2]),£([2, 3]),£([3, 4]) №(£) = (£([0, 2]),£([2, 3]),£([3, 4]) №(£) = (£([0,1]),£([1, 3]),£([3,4]) №(£) = (£([0,1]),£([1, 2]), £([2,4]) №(£) = (£([0,1]),£([1, 2]), £([2, 3])

Рис. 7. Четырёхмерный симплекс Т4 и значения отображения £: Т4(1) ^ Ак на

(а2,аз,а4), его рёбрах

(а1 + а2,а3, а4), (а1 ,а2 + аз, а4), (а1 ,а2, аз + а4), (а1 ,а2,аз),

то (5Т4)(£) = (а2 ,аз,а4) — (а1 + а2, аз, а4) + (а1, а2 + аз,а4) — (а1,а2,аз + а4) + (а1,а2,аз)

= д4(а1,а2,аз,а4) = д4^(£)).

Описанный топологический смысл гомоморфизмов дп позволяет дать ещё одно простое доказательство теоремы 4. Она очевидным образом следует из того, что 55Тп = 0.

Цепной комплекс С(Лк, Ъ2) с коэффициентами в Z2 определяется полностью аналогично тому, как определялся комплекс С(Лк, 2). Единственное отличие состоит в том, что элементами группы цепей комплекса С(Лк, 22) являются линейные комбинации не с целыми коэффициентами, а с коэффициентами из группы Ъ2.

Обозначим через Сп(Лк, Ъ2) группы коцепей, а через дп: Сп~1 (Лк, Ъ2) ^ Сп(Лк, Ъ2) кограничные гомоморфизмы коцепного комплекса, соответствующего цепному комплексу С (Лк, 22).

Теорема 5. Отображение ш: Лк х Лк х Лк ^ Ъ2 является конфигурационным отображением тогда и только тогда, когда ш Е кег д4 С Сз(Лк, Ъ2).

Доказательство. Включение ш Е кег д4 выполняется тогда и только тогда, когда д4(ш)(а1,а2,аз,а4) = 0 для любых а1,а2,аз,а4 Е Лк. По определению кограничного гомоморфизма д4(ш)(а1 ,а2, аз, а4) = ш(д4(а1 ,а2, аз, а4)).

Ранее в примере 2 уже было вычислено значение д4(а1, а2, аз, а4). Тогда условие ш Е кег д4 эквивалентно тому, что

ш(а2, аз,а4) — ш(а1 + а2,аз, а4) + ш(а1,а2 + аз,а4) — ш(а1,а2,аз + а4) + ш(а1,а2, аз) = 0. Это означает, что ш является конфигурационным отображением. □

3. Конфигурационные инварианты малых порядков

Для каждого k ^ 1 множество симметричных конфигурационных отображений ш: Ak х Лк х Ак ^ Z2 является векторным пространством над полем Z2. В самом деле, если ш1 и ш2 — два симметричных конфигурационных отображения, то их сумма ш\ + ш2 тоже является симметричным конфигурационным отображением.

Обозначим VQk векторное пространство всех симметричных конфигурационных отображений порядка k Е N.

При отыскании всех возможных конфигурационных инвариантов фиксированного порядка k имеет смысл ограничиться только базисом пространств VQk. С помощью компьютерного перебора было найдено, что

dim Y^i = 1, dim Vtt2 = 4, dim¥П3 = 14 и dim УП4 = 50.

3.1. Базисный инвариант пространства V^

Существует ровно один конфигурационный инвариант порядка 1. Симметричное конфигурационное отображение ш1: Z2 xZ2 xZ2 ^ Z2, которое задаёт этот инвариант, имеет следующий вид: ш'1(а,Ь,с) = Xo,o,i(a,b,c) + Xo,i,i(a,b,c) + Xi,o,o(a,b,c) + xi,i,o(a,b,c), где Xi,j,k(а,Ь,с) = 1, если i = а,

Рис. 8. Раскраска j = ь, k = c, а во всех остальных случаях xijk(a,b,c) = 0.

2-компонент в тт _ - ' '

На рис. 8 изображена окрестность истинной вершины окрестности истиннои 1 1 1 1

вершины веса 1 для раскрашенного специального полиэдра, вес которой равен отображения 1. Заштрихованным 2-компонентам на этом рисунке рас-

краска сопоставляет элемент 1 Е Ai, а незаштрихованным она сопоставляет элемент 0 Е Ai.

Теорема 6. Для любого специального полиэдра P S^i (P) = 0

Доказательство. Пусть Т>(Р) — множество всех 2-компонент специального полиэдра Р и пусть С: Т>(Р) ^ Л1 — произвольная раскраска. Покажем, что 1^(Р, С) = 0.

Множество 2-комопнент, которым сопоставлен элемент 1 € Л1, образуют подпо-верхность в Р, которую обозначим . Эта подповерхность обладает естественным клеточным разбиением: её нульмерные и одномерные клетки — это соответственно истинные вершины и тройные линии полиэдра Р, к которым примыкает хотя бы одна 2-компонента, которой сопоставлен элемент 1 € Л1. Вес и>(Р,С) определяется чётностью числа вершин поверхности степени 3. Если число таких вершин нечётно, то т(Р,С) = 1, а если чётно, то т(Р,С) = 0.

Одномерный остов клеточного разбиения поверхности является графом на этой поверхности , степени вершин которого равны либо 3, либо 4. Но число вершин нечётной степени любого графа чётно, поэтому т(Р,С) = 0. □

3.2. Базисные инварианты пространства

Базис пространства состоит из четырёх отображений. Обозначим их

ш2, ш2, ш2, ш"2 : Л2 х Л2 х Л2 ^ Z2.

На рис. 9 изображены окрестности истинных вершин раскрашенного специального полиэдра, вес которых равен 1 для отображения и2. На этом рисунке сплошным цветом заштрихованы те 2-компоненты, которые входят в первую подповерх-ность, а точечной штриховкой отмечены те, которые входят во вторую подповерх-ность.

для конфигурационного отображения ш2

На рис. 10, 11 и 12 изображены окрестности вершин веса 1 для конфигурационных отображений Ц и Ц соответственно. Из теоремы 6 следует, в частности, что (Р) = 0 для любого специального полиэдра Р. Отображение Ц использовалось в 2примере 1.

для конфигурационного отображения ш2

для конфигурационного отображения

для конфигурационного отображения ш|

4. Вопросы и проблемы

Перечислим некоторые направления, в которых можно продолжать дальнейшее изучение конфигурационных инвариантов трёхмерных многообразий.

Проблема 1. Верно ли, что значение любого конфигурационного инварианта для любого замкнутого ориентируемого многообразия тривиально?

С помощью компьютера были вычислены значения всех конфигурационных инвариантов порядка не выше 4 для всех замкнутых ориентируемых многообразий, имеющих специальный спайн с не более чем 12 истинными вершинами. Всего таких многообразий 36 830. Оказалось, что для всех из них значение инвариантов равно 0. Однако существуют примеры специальных полиэдров (которые либо не утолщаемы, либо задают неориентируемые многообразия), значения инвариантов для которых нетривиальны. Один из таких полиэдров был рассмотрен в примере 1.

Проблема 2. Верно ли, что любое симметричное конфигурационное отображение со значениями в Z тривиально?

С помощью явных вычислений было найдено, что ответ на этот вопрос положительный для всех симметричных отображений ш Е ker д4 при k = 1, 2, 3, 4. Здесь д4: C3(Ak, Z) ^ C4 (Ak, Z) — кограничный гомоморфизм коцепного комплекса, соответствующего цепному комплексу C (Ak, Z).

Проблема 3. Как можно определить аналог конфигурационных инвариантов для вторых групп гомологии, с коэффициентами в абелевой группе A ?

Здесь можно использовать следующий комбинаторный подход. Пусть P — специальный полиэдр, у которого зафиксированы ориентации всех его тройных линий и 2-компонент. Пусть A — некоторая абелева группа. Раскраской ориентированного полиэдра P будем называть такое отображение £: D(P) ^ A, что в окрестности каждой тройной линии

e(d1) • £(di) + e(d2) • £(d2) + e(d3) • £(ds) = 0,

где d1,d2,d3 Е D(P) — 2-компоненты, примыкающие к этой тройной линии, e(di) = 1, если ориентация 2-компоненты di согласована с ориентацией тройной линии, и e(di) = -1, если нет.

Можно доказать, что каждая раскраска полиэдра P представляет собой элемент из второй группы гомологий H2(P, A) с коэффициентами в A. Для построения конфигурационного инварианта достаточно корректным образом определить значения конфигурационных отображений так, чтобы соответствующий инвариант не зависел от выбора ориентации тройных линий и 2-компонент полиэдра P.

Проблема 4. Как конфигурационные инварианты связаны с другими известными инвариантами трёхмерных многообразий?

Конструкция конфигурационных инвариантов во многом похожа на конструкцию инвариантов Дейкграафа — Виттена [3], однако содержит ряд отличий. Тем не менее вполне вероятно, что построенные инварианты являются следствием (или как-то связаны) либо с инвариантами Дейкграафа - Виттена, либо с квантовыми инвариантами Тураева — Решетихина [4], либо с инвариантами типа Тураева — Виро [5], либо с какими-нибудь гомологическими инвариантами.

Список литературы

1. Matveev S. V. Virtual 3-manifolds // Siberian Electronic Mathematical Reports. 2009. Vol. 6. P. 518-525.

2. Матвеев С. В. Алгоритмическая топология и классификация трёхмерных многообразий. МЦНМО, 2007.

3. WakuiM. On Dijkgraaf-Witten invariant for 3-manifolds // Osaka Journal of Mathematics. 1992. Vol. 29, no. 4. P. 675-696.

4. Turaev V. G. Quantum invariants of knot s and 3-manifolds. De Gruyter, 2010.

5. Turaev V. G., ViroO.Y. State-sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols // Topology. 1992. Vol. 31. P. 865-902.

Поступила в 'редакцию 28.06.2021. После переработки 15.09.2021.

Сведения об авторе

Кораблёв Филипп Глебович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной топологии и алгебры, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; научный сотрудник, отдел алгоритмической топологии, Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН, Екатеринбург, Россия; e-mail: korablev@csu.ru.

Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2021. Vol. 6, iss. 4. P. 427-439.

DOI: 10.47475/2500-0101-2021-16403

CONFIGURATION HOMOLOGICAL Z2-INVARIANTS OF MANIFOLDS Ph.G. Korablev

Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, Russia korablev@csu.ru

The paper describes the construction of configuration invariants of 3-manifolds. These invariants are based on defining 3-manifolds by their special spines and can be constructed in the following way. Let P be a special polyhedron and k G N. To each ordered sequence consisting of k elements of the second homology group of the polyhedron P with coefficients in Z2, using a configuration map w we assign the number w(P, £) G {0,1}. The value of the invariant is the ratio of the number of sequences £ for which w(P, £) = 1 to the total number of all such sequences. The axioms that the configuration map must satisfy ensure the invariance of the resulting rational number under T-transformations of special polyhedra.

Keywords: special spine, virtual manifold, invariant, chain complex.

References

1. MatveevS.V. Virtual 3-manifolds. Siberian Electronic Mathematical Reports, 2009, vol. 6, pp. 518-52.

2. MatveevS.V. Algorithmic Topology and Classification of 3-Manifolds. Berlin; Heidelberg, Springer-Verlag, 2007.

3. WakuiM. On Dijkgraaf-Witten invariant for 3-manifolds. Osaka Journal of Mathematics, 1992, vol. 29, no. 4, pp. 675-696.

4. TuraevV.G. Quantum invariants of knot s and 3-manifolds. De Gruyter, 2010.

5. Turaev V.G., Viro O.Y. State-sum invariants of 3-manifolds and quantum 6j-symbols. Topology, 1992, vol. 31, pp. 865-902.

Accepted article received 28.06.2021. Corrections received 15.09.2021.

The work was supported by a grant from the RFBR and the Chelyabinsk Region (project 20-41-740001_r_a_Chelyabinsk).