CC BY
38
154
М. В. СОКОЛОВ
ИНВАРИАНТ ТУРАЕВА-ВИРО ДЛЯ ТРЁХМЕРНЫХ МНОГООБРАЗИЙ ЯВЛЯЕТСЯ СУММОЙ ТРЁХ ИНВАРИАНТОВ
М. В. Соколов1
Челябинский государственный университет
Изучаются свойства инвариантов Тураева-Виро для трёхмерных многообразий. Доказывается, что каждый такой инвариант является суммой трех нетривиальных инвариантов-слагаемых. Полностью решается гипотеза Кауффмана-Линса о свойствах двух первых инвариантов Тураева Виро. Приведены таблицы значений инвариантов Тураева-Виро многообразий малой размерности.
Введение
В 1990 г. появилась статья В. Г. Тураева и О. Я. Виро, в которой описан бесконечный набор числовых инвариантов компактных трехмерных многообразий [1]. Инварианты параметризуются парами взаимно простых чисел г и р, где г > р > 0 а г > 2.
Нам удалось заметить, что каждый из инвариантов Тураева-Виро является суммой трех нетривиальных инвариантов-слагаемых. Причем для ориентируемых многообразий вся полезная информация заключена, как выяснилось, в инвариантах-слагаемых с паралЯетром р < г/2, что позволяет для этого класса многообразий в два раза сократить вычисления значений инвариантов. В статье также исследуются инварианты Тураева-Виро при г = 4 и дается полный ответ на гипотезу Кауффмана-Линса [2]. В заключение приведены и проанализированы таблицы значений инвариантов при г < 7 для замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий сложности < 3. (Теория сложности изложена в [3].)
Автор благодарит своего научного руководителя С. В. Матвеева за всестороннюю помощь в работе над статьей, а также А. Ю. Маковецкого и М. А. Овчинникова за предоставленную полезную информацию.
1. Предварительные сведения и определения
Двумерный связный компактный полиэдр называется специальным, если
'Исследование частично поддержано Российским Фондом Фундаментальных Исследований, проект 93-011-190, и Международным научным фондом, грант № NN<13000.
ИНВАРИАНТ ТУРАЕВА-ВИРО ... 155
Рис. 1
его можно представить в виде двумерного клеточного комплекса так, чтобы линк каждой его вершины был гомеоморфен окружности с тремя радиусами, а линк каждой отличной от вершины точки его одномерного остова был гомеоморфен окружности с диаметром. Специальный полиэдр X называется специальным спайном компактного трехмерного многообразия М3 с дМ3 ф 0, если существует вложение^': X —+ М3 такое, дто М3 \ г(Х), т.е. М3 коллапсиру-ется на г(Х). Специальный полиэдр X называется специальным спайном замкнутого трехмерного многообразия М3, если X является специальным спайном многообразия М3 — 1п! Ол . Известно, что любое компактное трехмерное многообразие имеет специальный спайн ([4; 5])
Опишем элементарные преобразования специальных полиэдров. Преобразование Ш состоит в следующем: если в специальном полиэдре есть подполиэдр, гомеоморфный полиэдру ¡\, изображенному на рис 1, то его удаляют и по гомеоморфизму границ на его место вклеивают Р2- Обратное преобразование обозначим 9Л-1 (подробности см. в [5]). Известно, что специальные полиэдры Х\ и Х2, имеющие не меньше, чем по две вершины, являются специальными спайнами одного и того же многообразия тогда и только тогда, когда от X1 к Х2 можно перейти конечным числом преобразований ЯЯ±1 и гомеоморфизмов ([5; 6]).
Пусть X — некоторый специальный спайн трехмерного многообразия М3. Фиксируем пару параметров (г, р) (здесь и в дальнейшем будем считать, что г > 2, г > р > 0 и (г, р) — 1). Обозначим через Гх.. 2-компоненты спайна X. Раскраской специального полиэдра будем называть произвольное отображение <р: Г],..., Г4} —» Zr_l = {0,1,..., г — 2}. Раскраску <р будем называть допустимой, если для любых 2-компонент Г,, Г^, Гь, примыкающих к одному ребру одномерного остова спайна X, выполняются следующие условия:
156
м. В. СОКОЛОВ
2г - 4 > у>(Г<) + ^(Г,) + ^Г*) = 0 (mod 2), ИГ,) - < < <р{Г,) + ).
Множество всех допустимых раскрасок спайна X обозначим AdmX. Инварианты Тураева-Виро вычисляются по следующей формуле:
rv;p(M3) = w-2*w £ |*Цг,р),
<p£AdmX
где и = ±\/2r/(2sin(p7r/r)), a \X\v(r,p) - произведение символов вершин <р-раскрашенного спайна X и весов его 2-компонент (см. [1]).
Фиксируем ip Е AdmX. Легко заметить, что 2-компоненты Г,, такие, что 9?(Г,) — нечетное число, образуют замкнутую поверхность, которую мы будем обозначать S(<p).
Следовательно, множество AdmX можно представить как объединение трех непересекающихся подмножеств AdmoX, Adm\X и Adm^X, причем:
0) <р G Adm0X (<р £ AdmX) к (S(#>) = 0); tBl(|)i к
1) <р 6 AdmiX <=> {<р £ AdmX)k(x(S(<p)) = 1 (mod 2));
2) у> 6 Adm2X (у, е .4dmX) & (S(#>) ^ 0) & (х№)) s 0 (mod 2))
Если ip € Adm^X, где N = 0,1 или 2, то число 'N будем называть индексом раскраски <р.
2. Основной результат
Теорема 2.1. Пусть М3 — компактное трехмерное многообразие, X — его специальный спайн, (г, р) — пара параметров. Тогда числа
¡М3|о (г,Р) = ^ |Л"Цг,р), |M3|i(r,p) = I ХЦг,р),
ipQAdmi X
1М3|2(г,р) = £ |X|v(r,p)
V>6 Adm^X
являются инвариантами М3, причем
ТУгр{М3)=:Ш-2^хХ\М%(г,р) + )М%(г,р)+\М3\2(г,р)).
ИНВАРИАНТ 'ГУРАЕВА-ВИРО
Рис. 2а. ЛР2 х 5" Рис. 26. в3/(Эи
Доказательство. Переобозначим спайн X через Х\, а через Х2 обозначим спайн, который получается из X] в результате одного элементарного преобразования 9Я Достаточно доказать, что ^¡реллт^х, 1-^1|<Дг>Р) — И^е^тл/Лз "Ри яюбом N & {0,1>2} По определению преобра-
зования Ш, существуют вложения г 1 • —> Х-, и —> Хч такие, что
- 11(^1) — Х2 — ¿гС-Рз), где Р\ и Р2 — полиэдры, изображенные на рис. 1. Легко проверить, что у раскрасок <р\ 6 А<1тХ 1, <рч 6 ААтХ* таких, что <Р1\х1-ч(Р1) — У>2!а'2-13(р2), индексы совпадают, т.е существует единственное число N £ {0,1,2} такое, что <р\ £ А4т^Х\ и € Л<Ьп^Х-г- Оставшаяся
часть доказательства совпадает с доказательством пункта 4.4.В в работе [1]. □
Из леммы 2 2 следует, что инварианты |М3|дг(г,р) достаточно вычислять с параметром р < г/2.
Лемма 2.2. Пусть М3 — компактное ориентируемое трехмерное многообразие Тогда:
1) при любой паре параметров (г, р)
\М%(г,Р) = (-1)"\М3\м(г.,г-Р)! где N е {0,1,2}; •
2) |М3|о(3,1) = |М3|о(3,2) = 1.
Доказательство. 1) Пусть X — специальный спайн многообразия М3. Для любой раскраски у> € А(1тХ имеет место равенство
|Л-Цг)р) = (-1)*(^))|ХЦг,г-р) (1)
(доказательство см. в [7]) Для получения требуемого равенства осталось заметить, что х(5(<^)) ~ N (тос! 2).
158 М. В. СОКОЛОВ
Таблица 1
¿3 1 5У ¿5 2 ¿4 1 ТТГ"1 ¿7 2 ¿8 3
(3,1) 0.500 0.500 0.500 1 000 0.000 0.500 0.500 1.000
(3,2) 0.500 0.500 0.500 1.000 1.000 0.500 0.500 Гооо
(4Д) 0.250 0.250 0.250 0.500 0.146 0.250 0.250 1.000
(4,3) 0.250 0.250 0.250 0.500 0.853 0 250 0.250 1.000
(5Д) 0.362 0 138 0.000 0.276 0.000 0.500 0.362 0.724
(5,4) 0.362 0.138 0.000 0.276 0.724 0.500 0.362 0.724
(5,2) 1.382 0.362 0.000 0.724 0.276 0.500 0.138 0.276
(5,3) 1.382 0.362 0.000 0.724 0.000 0.500 0.138 0.276
(6,1) 0.250 0.083 0.083 0.333 0.045 0.083 0.083 0.333
(6,5) 0.250 0.083 0.083 0.333 0.622 0.083 0.083 0.333
(7Д) 0.175 0.054 0.272 0.349 0.000 0.272 0.000 0.108
(7,6) 0.175 0.054 0.272 0.349 0.543 0.272 0.000 0.108
(7,2) 0.272 0.175 0.054 0.543 0.108 0.054 0 000 0.349
(7,5) 0.272 0 175 0.054 0.543 0.000 0.054 0.000 0.349
(7,3) 0.054 0.272 0.175 0.108 0.000 0 175 0.000 0.543
(7,4) 0.054 0.272 0.175 0.108 0.349 0.175 0.000 0.543
2) При г — 3 множество АйтоХ состоит только из нулевой раскраски (ро,
а|Хиз,1) = |Хи(3,2)=1.П
3. Гипотеза Кауффмана-Линса. Случай г — 4
Обозначим через ТУ*р инвариант Тураева-Виро без множителя т.е. ТУ;р(М3) = Е^ел^тХ \Х\Лг*Р) В Раб?те И л- Кауффман и С. Лине выдвинули следующую гипотезу.
Гипотеза. Рассмотрим произвольное замкнутое трехмерное многообразие М3 со специальным спайном X. Обозначим через пе и п0 количества замкнутых поверхностей, содержащихся в X и имеющих соответственно четные и нечетные эйлеровы характеристики. Тогда (¡) либо пе — п0, либо п0 = 0; (н) п0 = 0 ТУ^(М'Л) = ТКГз(М3) € ъ.
Для ориентируемых многообразий утверждение (¡) следует из статьи [1], для неориентируемых многообразий это, вообще говоря, не верно Существует контрпример, предложенный С. В. Матвеевым, — многообразие ИР2 х5] Для специального спайна этого многообразия, окрестность особого графа которого изображена на рис. 2а. имеем: п0 = 1, пе — 3. Что касается утверждения (и), то существуют замкнутые трехмерные многообразия, для которых инвариан-
ИНВАРИАНТ ТУРАЕВА-ВИРО ... 150'
Таблица 1 (продолжение)
¿6 1 ¿9 2 ¿10 3 ¿11 4 ¿12 5 ¿13 5 Р/С} 12
(3,1) 2.000 0.000 0.500 0.000 0.500 1.000 0.500 1.000
(3,2) 2.000 1.000 1шюн 1.000 0.500 1.000 0.500 1.000
(4Д) 2.500 0.853 0.250 0.853 0.250 0 500 0.250 0.500
(4,3) 2.500 0.146 ТГ25(Г 0.146 0.250 0.500 0.250 0.500
(5,1) 2.553 0.000 0.138 0.000 0.138 0.724 0.362 1.276
(5,4) 2.553 0 276 0.138 0.000 0.138 0.724 0.362 1.276
(5,2) 3.447 0.724 0.362 0.000 0.362 0.276 0.138 1.724
(5,3) 3.447 0.000 0.362 0.000 0.362 0.276 0.138 1.724
(6,1) 2.333 0.500 0.250 0.622 0.083 1.000 0.083 1.333
(6,5) 2.333 0.500 0.250 0.045 0.083 1.000 0.083 1.333
(7Д) 2.043 0.000 0.272 0.000 0.175 Гблиз" 0.054 0.758
(7,6) 2.043 0.108 0.272 0.349 0.175 0.543 0.054 0.758
(7,2) 4.268 0.349 0.054 0.543 0.272 0.108 0.175 0.806
(7,5) 4.268 0.000 0.054 0.000 0.272 0.108 0.175 0 806
(7,3) 3.689 0.000 Г0Л75~ 0 000 0.054 0.349 0.272 1.436
(7,4) 3.689 0.543 0.108 0 054 0.349 0.272 1.436
ты при г = 4 равны и целые, но п0 ф 0. В качестве примера рассмотрим многообразие 53/С?1б. ТУ^^/С} 1б) = 7'И1*з(5'3/^1б) = 6, однако специальный спайн этого многообразия содержит поверхности с нечетными эйлеровыми характеристиками. На рис. 26 изображена окрестность особого графа специального спайна многообразия 5'3/^1б- Черными точками отмечены 2-компоненты, образующие поверхность с эйлеровой характеристикой —1. Импликация => в утверждении (и) истинна. Это легко следует из леммы 3.1, доказанной ниже. (Заметим, что если ?го = 0 и многообразие М3 — ориентируемое, то равенство ТУ*р(М3) = ТУ*г_р(М3) выполняется при любых значениях параметров. Это следует из равенства (1)).
Пусть X — некоторый специальный спайн, (р € АйтХ. Обозначим через 8г(<р) объединение тех 2-компонент спайна X, которые ¡р отображает в г £ Ъг-1.
Лемма 3 1. Пусть X — специальный спайн компактного трехмерного многообразия М3, г = 4, (р £ А<1гпХ. Тогда
|ХЦ4,1) = (-ч/2)*(5^)> (-1)", (2)
|ХЦ4,3) = (л/2)х(5-^)) •(-!)", (2')
где ?г — количество вершин в графе С = 9б'г(</?)•
Доказательство. Выражения для 1X^(4,1) и |А'|<Д4,3) получены по аналогии с подобными выражениями при г = 3 в работе [1]. Значения для символов вершин и весов цветов при г = 4 можно найти в статье [2]. □
160
м. в. СОКОЛОВ Таблица 2
Ьз 1 ь 5 2 ¿4 1 ИР3 Ьы Ь 7 2 ¿8 3
(3,1)0 1.000 1.000 1.000 1.0001 1.000 1.000 1.000 1.000
(3,1)1 0 000 0.000 0.000 0.000 -1.000 0.000 0.000 0.000
(3,1)2 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 1.000
(4,1)0 1.000 1.000 1.000 2.000 2.000 1.000 1.000 2.000
(4,1)1 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.414 0.000 0.000 0.000
(4,1)2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 2.000
(5,1)0 21ШП 1.000 0.000 1.000 2.618 3.618 2.618 2.618
(5,1)1 0.000 0.000 0.000 0.000 -2.618 0.000 0.000 0.000
(5,1)2 0.000 0.000 0.000 1 000 0 000 0.000 0.000 2.618
(5,2)0 0.382 1.000 0.000 1.000 0.382 1.382 0.382 0.382
(5,2)1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.382 0.000 0.000 0 000
(5,2)2 0.000 0.000 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.382
(6Д)0 3.000 1 000 1.000 4.000 4.000 1.000 1.000 4 000
(6,1)1 0.000 0.000 0.000 0.000 -3.464 0.000 0.000 0.000
(6,1)2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
(7,1)0 3.247 1.000 5.0491 3.247 5.049 5.049 ^0.000 1.000
(7,1)1 0.000 0.000 0.000 0.000 -5.049 0.000 0.000 0.000
(7,1)2 0.000 0.000 0.000 3 247 0 000 0.000 0.000 1.000
(7,2)0 1.555 1.000 0.308 1.555 0.308 0.308 0.000 1.000
(7,2)1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.308 0.000 0.000 0.000
(7,2)2 0 000 0.000 0.000 1.555 0.000 0.000 0.000 1.000
(7,3)0 1.198 1.000 0.643 0.198-1 "0.643 0.643 0.000 1.000
(7,3)1 0.000 0.000 0.000 0.000 -0 643 0.000 0.000 0.000
(7,3)2 0.000 0.000 0.000 0.198 0.000 0.000 0.000 1 000
Следствие 3.2 Пусть М3 — компактное ориентируемое трехмерное многообразие. Тогда
|М3|0(4.1) — |М3|о(4,3) — ТК3*2(М3).
Доказательство. Обозначим через А' специальный спайн многообразия М3. Если <р £ А(1тпоХ, то х^^уО) = п = 0 в равенствах (2) и (2'), следовательно, |М3|о(4,1) = |М3|о(4,3) = |Л^тоАГ|. Рассмотрим раскраску 1р: {Га,... ,Г;,} —+ Ъъ такую, что у(Г,) = у>(Г,)/2 при 1 < г < Ь. Отображение /р I—► (р задает биекцию множеств А(1т0Х при г = 4 и А<1тХ при г = 3. А из пункта 8.3 в [1] следует, что ТУ£2(М3) = \AdmX\- □
4. Компьютерные вычисления инвариантов. Таблицы значений
С помощью компьютера найдены значения всех описанных в статье инва-
ИНВАРИАНТ ТУРАЕВА-ВИРО ... Ш
Таблица 2 (продолжение)
¿6 1 ¿9 2 ¿10 3 ¿11 4 ¿12 5 ¿13 5 57<212
(3,1)0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
(3,1)1 0.000 -1.000 0.000 -1.000 0 000 0.000 0.000 0.000
(3,1)2 3.000 0.000 0.000 0 000 0.000 1.000 0.000 1.000
(4,1)0 4.000 2.000 1.000 2.000 1.000 2.ООО""1 1.000 2.000
(4,1)1 0.000 1.414 0.000 1.414 0 000 0.000 0 000 0.000
(4,1)2 6.000 0.000 0 000 0.000 0 000 0.000 0.000 0.000
(5,1)0 4.618 1.000 1.000 0.000 1.000 2.618 2.618 4.618
(5,1)1 0.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
(5,1)2 13.854 0.000 0.000 0.000 0.000 2 618 0.000 4.618
(5,2)0 2.382 1.000 1 000 0.000 1.000 0.382 0.382 2.382
(5,2)1 0.000 1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
(5,2)2 7.146 0.000 0.000 0.000 0.000 0.382 0.000 2.382
(6,1)0 10.000 6.000 3.000 н4.000 1.000 6.000 1.000 10.000
(6,1)1 0.000 0.000 0.000 3 464 0.000 0.000 0.000 0 000
(6,1)2 18.000 0.000 0.000 0.000 0.000 6.000 0.000 6.000
(7,1)0 9.494 1.000 5.049 3.247 ГТ247 5.049 1.000 7.049
(7,1)1 0.000 -1.000 0.000 -3.247 0.000 0.000 0.000 0.000
(7,1)2 28.482 0.000 0.000 0.000 0.000 5.049 0.000 7.049
(7,2)0 6.110 П'.ооо"4 0.308 1.555 1.555 0.308 1 000 2 308
(7,2)1 0.000 1.000 0.000 1.555 0.000 0.000 0.000 0.000
(7,2)2 18.330 0.000 0.000 0.000 0.000 0.308 0.000 2.308
(7,3)0 ПГт ~000 Го 198 1~0Л98 0.643 1.000 2.643
(7,3)1 0.000 -1.000 0.000 -0.198 0.000 0.000 0.000 0.000
(7,3)2 10.188 0 000 0.000 0.000 0.000 0.643 0.000 2.643
риантов при г < 8 для неприводимых замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий сложности < 6 И при г < 7 для многообразий сложности 6 Из 61 многообразия сложности < б просчитанные инварианты позволяют идентифицировать 45. Одинаковые наборы чисел получены для четырех троек и двух пар многообразий сложности < 6. Все эти многообразия являются линзовыми пространствами. Полученные результаты позволяют также сделать предположение, что для замкнутого ориентируемого многообразия М3 числа /Ср<г/2 |М3|о(г, р) и 2 |М3|2(г, р) являются целыми, что обобщает, в опре-
деленном смысле, часть (¡1) гипотезы Л. Кауффмана и С. Линса (см. п. 3).
Мы приводим таблицы значений инвариантов для неприводимых замкнутых ориентируемых трехмерных многообразий сложности < 4. Первая таблица содержит значения оригинальных инвариантов Тураева-Виро ТУГ Р. Вторая таблица содержит значения инвариантов-слагаемых |//3|дг(г, р) (описанных в п. 2). В первых строках таблиц — символические обозначения многообразий, взятые из [3]. В следующих строках напечатаны значения соответствующих инвариантов, параметры которых содержатся в первой колонке. Цифры
162
м. В. СОКОЛОВ
в скобках — это параметры (г, р), цифра после скобок в первой колонке второй таблицы показывает,какой из трех инвариантов |М3|о(г,р), \Мг\\(г,р) или jilif3j2(?*, р) представлен в данной строке. Во вторую таблицу занесены только значения инвариантов с параметром р < г/2, так как в лемме 2.2 доказано, что для ориентируемых многообразий \М3\к(г,р) = (— 1)^|М3|лг(г, г — р).
Инварианты из первой и второй таблиц связаны по следующей формуле:
TVr.p(M3) = 2Sin2(p,r/r)([M3|o(r,p)+ \M3U(r,p)+ \M%(r,p)). г
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Turaev v.c., vlro o.y. State sum invariants of Ъ-manifolds and quantum 6j-symbols U Topology. 1992. V. 31. P. 865-902.
[2] kauffman L.H., llns S. Computing Turaev-Viro invariants for "i-manifolds // Manuscripta Math. 1991. V. 72. P. 81-94.
[3] Matveev S.V. Complexity theory of three-dimensional manifolds // Acta Applicandae Mathematicae. 1990. V. 19. P. 101-130.
[4] Casler B.G. An imbedding for connected 3-manifolds with boundary // Proc. Ainer. Math. Soc. 1965. V. 16. P. 559-566.
[5] Матвеев С.В. Преобразования специальных спайное и гипотеза Зимана Ц Изв. АН СССР. 1987. Т. 28, № 6. С. 1104-1116.
[6] plergallini r. Standard moves for standard polyhedra and spines // Rend. Circ. Mat. Palermo. 1988. V. 37, № 18. P. 391-414.
[7] Соколов M.B. Свойства инвариантов Тураева-Виро для трехмерных многообразий // Деп. ВИНИТИ, № 583-В93.
