Конечные деформации в задачах формообразования неупругих тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

Б.А. Горлач, Е.А. Ефимов

КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИЙ В ЗАДАЧАХ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ НЕУПРУГЖ ТЕЛ

ABSTRACT

The mathematic model for metal I - forming processes is pro -posed. It is founded on the flout theory association I am with application to Eenchy strain шеавигв and Cachy stress tensor.

The Lagrange varitional equation, the varitional inequality to formuilate boundary conditions for-.sculat ion and the finite element method are used for the computer model creat ior¡.

Предложена математическая модель, основанная на грех группах уравнений: геометрические соотношения связывают логарифмический тензор деформаций Генки с вектором перемещений; соотношения ассоциированного закона пластического течения, устанавливающего соответствие между приращениями тензора .Генки и тензора напряжений Коши; вариационные уравнения Лагранжа и вариационные неравенства для Формулировки граничных условий.

Модель реализована на ЭВМ с использованием метода конечных элементов <.МКЭ> и шагового метода но нагрузка с внутренним итерационным циклом. Решены конкретные задачи исследования реальных технологических процессов обработки металлов давлением.

Для построения математической модели, описывающей поведение тел при конечных неупругих деформациях, всесторонне исследованы свойства тензора деформации Генки. В частности, доказаны следующие его свойства: ^

1. Производная от тензора Генки по Яуману- ноллу Ь, совпадает с тензором деформации скорости d, в частности, для малых деформаций и конечных перемещений, а также в случае соосности тензоров Н и d для произвольных деформаций:

Н7 - Ь. * '-'*Н = •„?. , (1 }

где со- спин тензора <&

2. Разбиение Ь на сумм'/ упругой Н» и неупругой Ьр составляющих вытекает из разбиения тензора d на соответствующие составляющие. Указанные суммы согласуются с введенным Ли представлением тензора-градиента места в зид'■ скалярного произведения тензоров-градиентов, ответственных за упругую и неупругую деформации, при условии, что тензор жесткого поворота будет в

первом множетеле этого произведения.

3. Тензор Генки связан с тензором £ ,обратным тензору А .г V манси, зависимостью:

К |~ 2'К (2-К )*+. . • Н-І)™ (2'ї А- . ^ . (2)

4. Компоненты приращения тензора Генки можно определить і >

__ __ „ П8Х

компонентам метрического тензора £пвС# > из соотношения:

т

дн = ¿в* лп -дП X ¿пв(т) ек<т> Лг • (3)

— I

тогда

-і

Я = й У'Н (К7) + ДЯ . (4)

іде і,Т ~ пределы изменения времени протекания процесса; Д вектор-радиус положения точек тела в конечном состоянии; V векторный оператор Гамильтона.

Определяющие соотношения, конкретизирующие поведение мат&-риапа, записаны в предположении выполнения требований принципов материальной объективности,изотропии,второго закона термодинамики и в.ыглядит следующим образом:

и Р ’ t - - М h ; Р i> *'£(- к .£. ,• d г 2/i X V (6)

' Р аь*

е

»

■vje t, i - тензор напряжении К.о-ии и его девиатор; ц

инвариант тензора; р - плотность материала; fj,k ~ упруг--.ч-

рактеристики;

г.. х .-ас-. л-ца.,.^.} : „1 \

дн пн аь. } J

в в р

(6 ;

У I, если /=0 И J4 0

„ О, если f<0 или f-C и /<0

f - поверхность нагружения, которая, например, для условия зеса может быть определена соотношением:

f =-х-а : а - ж ; (a = ppít-gh). (7)

£ Р

Х>£ экспериментально определяемые функции, ответственные ла

изотропное и трансляционное упрочнение.

При вариационной Формулировке задачи в качестве воздействия на тело в конечном состоянии <К-состоянии> выбраны t и V 4, ъ

реакциями на них с чужа? соо гветс гвенно Г/ и V. Пластическая составляющая тензора деформации Генки, характеризующая внутреннее состояние тела, не включалось е число параметров состояния-определяющие уравнения записывались как дополнительные соотношения.

Лля реализации решения задачи использовался шаговый метод по нагрузке Снагружение в частном случае может осуществляться заданием перемещений) с внутренним итерационным циклом уточнения решения нелинейных задач ка каждом шаге нагружения.

Дополнительная трудность в организации вычислительного процесса при исследовании конечных дефор <аций состоит в том, что конфигурация тела в К-состоянии, для которого становится справедливым вариационное '/равнение, остается неизвестной. Эта конфигурация известна лишь для начального состояния, а далее на каждом шаге нагружения должна быть определена. Исходя из этого возникла необходимость преобразовать вариационное уравнение к метрике <конфигурайии> некоторого промежуточного состояния. в начальном приближении таким состоянием является исходное.

Использование известного из геометрии правила преобразования ориентированных площадок, закона сохранения массы, а также предположение о том, что любая тензорная функция промежуточного состояния (П-состоянияЭ отличается от своего значения в конечном состоянии на некоторое прирэшение, позволило вариационное уравнение привести к метрике П-состояния:

материала и накопленных деформаций; г- - единичная нормаль к по верхности тела; у,со - объем и поверхность тела; 4. ~ вектор

напряжения на его поверхности.

■* Структура уравнения С£?) такова, что в правую его часть перенесена "невязка" решения, которая стремится к нулю, если итерационный процесс сходится. В процессе итерации производится корректировка искомых Функций. Равенство нулю правой части уравнения <в> говорит о том, что тело находится в равновесии в найденной конфигурации.

Предложен алгоритм, с помощью которого можно реализовать решение задачи, используя процедуру шагового метода с внутренним итерационным циклом. В отличие от широко применяемых традиционных разработанных алгоритм, основанный на подходе Лагранжа к описанию движения, позволяет в конечном итоге определить конфигурацию тела и другие необходимые Функции К-состояния. Последнее утверждение следует из того, что вариационное уравнение справедливо для К-состояния, хотя для удобства реализации реше-

(В >

Здесь''“те " тензор четвертого ранга, зависящий от свойств

ния з.'цачи оно приведено к метрике П-состояния.

Большую сложность при составлении алгоритма решения задачи вызывает учет реальных граничных условий. Наряду с простейшими (жесткая элделка, шарнирное ош:рание, свободная от кинематических связей граница) использованы граничные условия, обеспечивающие выход поверхности детали в процессе ее нагружения из-под поверхности прижимного устройства с трением и без него. Предусматривается возможность деформирования тела в пространстве,ограниченном матрицей (пуансоном). При этом на каждом шаге нагружения определяются точки и моменты касания поверхностей детали и матрицы (пуансона) путем решения системы алгебраических уравнений, описывающих поверхность матрицы (пуансона):

Р(х*. х2 , хЭ ) = О (9)

и вектор перемещения 1КЦ4,0*»Ц9) - прямая, заданная в параметрическом виде:

а;1-®1 ; х2=х2+02г?; хЭ-хЭ +Ц3г> . (10)

т т т

Параметр Г) позволяет определить момент пересечения вектора перемещения с поверхностью матрицы. Критерием пересечения является условие: п е [0,1].

Формулировка граничных условий при выходе точек тела на поверхность матрицы (пуансона) базируется на вариационном неравенстве:

г эз э а ос

-5 а V + г - т у (би + би V ) си* > о . сп)

оз аз

1 и

а ^

где г - напряжение трения на границе контакта ы . Это напряжение связано заранее известным законом с Физико-механическими свойствами контактирующих поверхностей и нормальным давлением.

Из неравенства (М>, переь ликающегося с вагиационным урав нением <8> > вытекают следующие условия:

э з эз

0 < О на ш ц; V < О -> t = О;

за а э за а

1 - т < О => и = О; * - т >

где индекс а относится к координатам, лежащим на поверхности тела, а "3" - к координате, ортогональной этой поверхности.

Варианты (?2> граничных условий включают в себя различные случаи движения тела относительно поверхностей, ограничивающих пространство деформирования: ''прилипание" точек т^ла к поверхности, скольжение с трением и без него, выход точек тела из

Э 33

V = О => г < О;

а за сх

О => и = О. і = т .

( 12)

контакта с поверхностью.

Запись вариационного уравнения Сб) в тензорно-операторной Форме с выделением в явном виде вариации основной переменной 61} и градиента вектора перемещения Ч 0, а также известное соответствие между матричной и тензорной записями математических соо^ ношений позволили Формализовать переход от Св> к матричной записи уравнений, традиционной для МКЭ.

Для осуществления подобного перехода использованы изопара-метрические конечные элементы, характерной особенностью которых является то, что для них основные Функции, описывающие конфигурацию тела и поле перемещений, аппроксимируются одними Функциями Формы.

Суммирование по элементам всей конструкции осуществлялось поиндексно, как и в случае суммирования по неизвестным координатам (повторяющимся индексам) в тензорных соотношениях.

В качестве примера, иллюстрирующего упомянутые преобразования, "'приведем выражение для одного из входящих в уравнение (в) слагаемых:

<и П кв ' > 1

; чи“'жчбиау Ьф ] *п’(*.*'] ¿У, аз>

<Г ч <1 >

где Щ( узловые перемещения в направлении координаты £ ; Ф -

аппроксимирующая Форма для 1-того узла; 1все - Физические компо-

п1

(4) ~

ненты тензора те в рассматриваемом системе координат; V

к

оператор, связанный с ковариантной производной от тензора. Индексы, взятые в скобки, относятся к узловым точкам системы конечных элементов и по ним производится суммирование по всей совокупности узлов. Остальные индексы характеризуют тензорный признак Функции, и суммирование по ним производиться по обычным правилам тензорной алгебры.

В частном случае матричные уравнения записаны для декартовой ортогональной и цилиндрической систем координат.

йЩНЯЯ_2

На основе составленой математической модели написана программа, базирующаяся на МКЭ. Программа позволяет исследовать процессы деформирования тел в пространстве, ограниченной матрицей (пуансоном), с различными, в том числе и изменяемыми в процессе деформирования граничными условиями, с учетом сил трения и начальных напряжений. Для решения задач с использованием этой программы в качестве исходной вводится в ЭВМ следующая информация:

1. форма исходной заготовки и ее разбиение на конечные элементы с заданием координат узловых точек. Возможно применение конечных элементов с различным количеством узлов> тем не менее

за базовым выбран 9-узловой изотропный лагранжев конечный элемент

2- Ферма рабочих поверхностей матриц, пуансонов и прижимных устройств. Они могут ВВОДИТЬСЯ Б ЭВМ в виде совокупности координат точек поверхности или задаваться координатами характерных точек изменения коивизн и центров кривизн. Последний способ наиболее удобен для исследователя, так как позволяет брать характерные размеры первоначальной Формы поверхности матрицы (пуансона) непосредственно с чертежа детали.

3- Нагрузка на заготовку задается ее значениями в поверхностей ьгх узловых точках конечных элементов и в точках временного интервала, соответствующего границам шагов нагружения по времени. При нагружении заготовки через пуансон задается перемещение его характерной точки как Функция от времени. Перемещение остальных точек '. вязано с заданием геометрии поверхности пуансона. Возможна гзк-<=’ гадание вектора перемещения любого количества узловых точек т^емнегэлементной сетки.

4. Характеристики материала ¿-/.V, а также диаграмма его деформирован ия ±С£> для одномерного напряженного состояния. Диаграмма заноситься в память ЭВМ таблично (до 20 точек) и в дальнейшем аппроксимируется сплайн-Функциями до третьего порядка. Возможно задание диаграммы деформирования и в виде любой аналитической зависимое1.'

5. Коэффициенты трения материала заготовки о поверхности матрицы, пуансона и прижимных устройств.

Программа позволяет определить следующие характеристики процесса деформкроЕк...; >ии:

1. форма деформируемого тела и его напряжения и деформации в любой момент нагружения, в том числе в моменты, предшествующие требуемому отжигу на технологическом переходе, и в конечном состоянии,

2- Величину нагрузки на 'гало и ее закон распределения по поверхности е любой момент нагружения.

3. форму рабочих поверхностей матрицы и пуансона, необходимых для получения детали жданной геометрии.

4. Критическую нагрузку, соответствующую моменту исчерпания несущей способноеги. При задании перемещении точек деформируемого тела программа позволяет проследить за изменением НДС и конфигурацией детали в закритимесхой области.

5- Пружин&нне после снятия нагрузки на любой стадии нагружения детали

6- Распределение остаточных технологических напряжений и

Д 3 ’30 р *13 Ц И Й.

В качестве примера на рис.1 показана схема нагружения получаемого давлением полиуретана оживального конуса при его деформировании в пространстве, ограниченном сферической матрицей. Заданный закон распределения давления на поверхность заготовки обеспечивался постановкой в полиуретан поперечных металлических пластин Нагружение осуществлялось таким образом, что нижний край оболочки оставался неподвижным, а верхний мог скользить по поверхности матрицы. Последовательные положения оболочки при росте давления показаны на рис.1.

Б.А. Горлач» Е.А. Ефимов

деформаций.

На рис.2 приведены графики распределения деформаций вдоль

образующей <е ), направляющей (с > и по толщине оболочки

1 2

<.£ ). V

Пунктирами .юказаны кривые, соответствующие расчету процесса по безмоментной теории с предварительным заданием характера изме-

нения деформации

диктуемого Формой поверхности матрицы.

Точками показаны экспериментальные значения деформаций, полученные путем сопоставления нанесенных на поверхность оболочки координатных сеток деформированной оболочки и исходной заготовки. Деформация е определялась по разности толщин. и

Оболочка была выполнена из АМг-бМ <Е=б,8 104 МПа, t =165>МПа

р

t =330 МПа, £ =0,2). Диаграмма деформирования вводилась пото-ь 2

за-

6 =1,2 О

чечЧ-го и ап п рок с имирова л ас ь в ЭВМ сплайн-функциями. Размеры готовки и матрицы <рис.1>: 1г=1б8 мм, 1^-164 мм, г“78 мм,

мм. Трение в расчете учитывалось, М =0.1.

Тр

Некоторые результаты решения задачи стесненного изгиба панели С ширина 31,25 мм, толщина 4,2 мм, материал АМг-бМ ) при е-е деформировании пуансоном в матрицу Сих базовые размеры 20,6 мь и 23 мм соответственно) показаны на рис.3-5. Деталь получена -?а четыре перехода.

На рис.З показаны промежуточные положения детали на трех первых, а на рис.4 ~ на четвертом переходе, соответствующем

стесненному вдавливанию стенки панели до полного заполнения ее материалом пространства между матрицей и пуансоном. В результате такого деформирования происходит существенное уменьшение

растягивающих напряжений i на внешней поверхности панели вдоль

2

в 6 ■

Рис. 3. Промежуточные положения детали на трех первых переходах.

направляющей. Это видно на рис.5, где показаны графики изменения вдоль координаты внешней поверхности заготовки (номера

точек на графике по координате Ь соответствуют номерам узлов на детали). Графики построены для различных положений детали (номера положений обведены на рис.4 и 5). Радиусы закруглений матрицы и пуансона на последнем переходе равны 1,5 мм.

Рис. 4. Промежуточные положения Рис. 5. График растягивающих детали на 4 переходе. напряжений.

Самареий авиационный институт