Применение конечно-элементной модели нелинейной сплошной среды для анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 539.375 DOI: 10.18698/0536-1044-2018-5-28-35

Применение конечно-элементной модели нелинейной сплошной среды для анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций

М.И. Раенко1, Н.Д. Чайнов2

1 ОАО «Коломенский завод», 140408, Коломна, Московская область, Российская Федерация, ул. Партизан, д. 42

2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1

The Application of a Finite Element Model of Nonlinear Continuous Medium in the Analysis of the Stress-Strain State of Structure Members

M.I. Raenko1, N.D. Chainov2

1 OAO Kolomenskiy Zavod, 140408, Moscow region, Kolomna, Partizan St., Bldg. 42

2 BMSTU, 105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1

e-mail: ns.raenko.43@mail.ru, ndchainov@yandex.ru

Рассмотрено применение конечно-элементной модели при решении задачи о сплошной среде с геометрическими и физическими нелинейностями. Математическое описание нелинейной среды выполнено с помощью инкрементальных методов. Построение модели основано на подходе Лагранжа, в котором использованы материальные координаты точек, второй тензор напряжений Пиола-Кирхгофа и тензор деформаций Грина. Решение пластической задачи базируется на ассоциированной теории течения. Функция течения выбрана из условий пластичности Мизеса-Генки, удовлетворительно описывающих пластическое состояние изотропных материалов в качестве примера. Задачи решены методом конечных элементов в программном комплексе MSC.MARC.

Ключевые слова: тензоры деформаций Грина, геометрические и физические нелинейности, подход Лагранжа, тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа, ассоциированная теория течения, критерий Мизеса-Генки

The application of a finite element model for solving the problem of continuous medium with geometrical and physical nonlinearities is considered in this work. The nonlinear medium is mathematically described using incremental methods. The model construction is based on the Lagrangian approach, where material coordinates of points, Piola-Kirchhoff second stress tensor and Green strain tensor are used. The solution of the plastic problem is based on the associate theory of flow. The flow function is derived from the Mises-Hencky criterion of plasticity that satisfactorily describes the plastic state of isotropic materials. As an example, problems are solved using the finite element method in the MSC.MARC software environment.

Keywords: Green strain tensors, geometric and physical nonlinearities, Lagrangian approach, Piola-Kirchhoff stress tensors, associate theory of flow, Mises-Hencky criterion

Рассмотрим задачу определения напряженно-деформированного состояния твердого тела с геометрическими и физическими нелинейно-стями. Геометрическая нелинейность означает, что перемещения конструкции настолько велики, что необходимо применять теорию упругости при конечных перемещениях [1, 2]. Физическая нелинейность предполагает, что материал испытывает не только упругие, но и пластические необратимые деформации с возможным неупругим последействием в виде ползучести и релаксации напряжений во времени [1, 3].

Для математического описания геометрической нелинейности обычно используют методы последовательных приближений, а для описания неупругого поведения материала — деформационную теорию и теорию пластического течения. По современным воззрениям, первая из теорий непригодна для полного описания пластического поведения материалов.

Сформулируем математическую постановку теории пластического течения. Предполагаем, что выполняются следующие условия:

1) уравнение равновесия (без учета массовых сил)

дДа-

дх-

= 0;

2) соотношение деформации-перемещения

дДи, дДи-2Де- =-L +--;

У -Л

дх- дхг

3) между приращениями напряжений Да- и деформаций Де- существуют линейные соотношения;

4) на границе области (поверхности) 5 заданы граничные условия в напряжениях или перемещениях.

Здесь х-, х, — координаты точки в прямоугольной декартовой системе координат; г, ) — целочисленные индексы, принимающие значения 1, 2, 3; Диг — приращения перемещений.

Указанная формулировка задачи принадлежит Прагеру [1].

Сравнение постановок задач о геометрической и физической нелинейностях показало, что они аналогичны, за исключением того, что при геометрической нелинейности рассматривается нелинейная связь между параметрами, входящими в состав выражений, приведенных в первом и втором условиях, а при физической нелинейности — линейная связь между прира-

щениями этих параметров. В соотношении, описанном в третьем условии, при геометрической нелинейности постулировано существование функциональной связи между напряжениями и деформациями и возможность ее линеаризации, а при физической нелинейности — линейная связь между их приращениями. Таким образом, для решения задачи о нелинейной сплошной среде можно использовать пошаговые (инкрементальные) соотношения между напряжениями и деформациями. Наша задача состоит в том, чтобы выразить приращения напряжений Да- и деформаций Де- через приращения перемещений Ди- в предположении, что все они достаточно малы.

Цель работы — линеаризовать уравнения сплошной нелинейной среды, построить инкрементальную матрицу жесткости с помощью метода конечных элементов и рассмотреть применение созданной модели для решения конкретных задач с геометрическими и физическими нелинейностями.

Дальнейшая разработка модели нелинейной среды основана на подходе Лагранжа [1, 4], где модель строится в материальных координатах, которые жестко привязаны к деформируемой среде и деформируются вместе с ней. В связи с этим при больших деформациях после каждого расчетного шага конечно-элементная сетка может сильно искажаться и ее приходится периодически перестраивать. Напряженно-деформированное состояние конструкции описывается вторыми тензорами напряжений Пиолы-Кирхгофа в- и тензорами деформаций Грина е-.

Представим путь деформирования в виде последовательности равновесных состояний

о(0), О(1),..., ), +1),..., 0(й),

где 0(0) и — начальное и конечное состояния деформирования (рис. 1).

Предположим, что все переменные состояний (напряжения, деформации и перемещения) известны на протяжении всей истории деформирования. Обозначим радиусы-векторы произвольной материальной точки в состояниях О(0), О(м), +1) как г(0), г(м), г(м+1) соответственно (см. рис. 1).

Тогда

г(0) = х, 1,;

г(м) = г(0) + и = X, 1, =(х, + и, ));

Г(М+1) = г(0) + и + Ди = ( + Аи, ) =

= ( + и +Дui ), где 1, — базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат, I = 1, 2, 3; и, и + Ди и и, и + Ди — векторы перемещений и их компоненты в состояниях Q(м) и Q(N+1) соответственно; X, — координата точки в сопутствующей системе прямоугольных декартовых координат, связанной с основной системой координат соотношением X, = Х{ + и.

Здесь и далее использовано правило суммирования по повторяющемуся (немому) индексу [5].

Тензоры деформаций Грина в состояниях Q( м) и Q(N+1) имеют вид

дг^) дг^) дг(0)дг(0)

2ej = -

dxi dxj dxi dxj

du ^ duj ^ dup dup

dxj dxi dxi dxj

(1)

2 ( +Aeij ) =

dr(N+i) dr(n+i) dr(o) dr(o) dxi dxj dxi dxj

d(ui +Aui) d(uj + Auj) ^

dxj

dxi

d(up + Aup )d(up + Aup)

dxi

dx,

(2)

где Дey — тензор приращений деформаций Грина; р — целочисленный индекс, принимающий значения 1, 2, 3.

Рис. 1. Последовательность переменных равновесных состояний

Из выражений (1) и (2) найдем тензор приращений деформаций Грина

2Aeij =

5 pj +

dup

dx

dAup

j

dxi

i 0 dup ^ dAup dAup dAup

+ 5 pi + -

dxi ) dx, dxi dx.

(3)

где 8 ^, 8 р — символы Кронекера.

После линеаризации тензоров по приращению перемещений Дир имеем

2A£ij =

5 pj +

dup

dx

dAup

j

dx;

+1 5pi +

dup^dAup

dxi ) dx,

. (4)

Принцип виртуальных перемещений для состояния Q(N+1) можно записать в виде

jjj [( + Asij )5( +Aetj )-(Pt +APt )5Aut ]dV-

V

- jj ( +AFi ))Aui dS = 0, (5)

S

где s, и As, — вторые тензоры напряжений Пиолы-Кирхгофа и их приращений; 5 — символ вариации; P и F — заданные массовые и поверхностные силы, отнесенные к единичному объему и единичной площади недеформируе-мого тела в состоянии Q(0); V — объем тела.

Подставляя соотношения (2)-(4) в выражение (5) и используя уравнения равновесия в состоянии Q( N), получаем

jjj(sij5Aetj - P5Aui )dV - jjF15Aut dS = 0.

V S

Пренебрегая членами высшего порядка малости, после некоторых преобразований запишем

jjj I As,5AEij +1 sij5

dAup dAup ~ ^

.j -----APi 5au;

2 dxi dx,

dV -

■ jj AFi5Aui dS = 0.

Будем считать, что между приращениями напряжений и деформаций существует линейная связь:

Дs к1 = Cк1тпД&тп,

где С к1тп = С 1ктп = С к1пт = Стпк1 тензор ко-

эффициентов упругости [6, 7]; к, I, т, п — целочисленные индексы, принимающие значения 1, 2, 3.

В этом случае принцип возможных перемещений имеет вид

+

V

S

2 Uli с

klmn A&kl A&mn + Stl

dAu p dAup .

p p Чу -

dxt

dxi = 0.

(6)

-Ш ДРк ДикйУ - Л Дрк Ди^

V 5

Используя выражение (4) и выделяя в пер вом слагаемом соотношения (6) члены, содер жащие только приращения перемещений, по лучаем

Ш с

dAumx dAuk ,

klmn—-О—-dV +

У

+ JJJCklmn J 0pm ^ + 0qk dAu

dxn

duq

dxk

dxi

dup + duq dup ^

x-

'p- о'^у+JJJ

dxm dxk dxm dAup„dAup

Skl-

dxn dxi у dxk dxi

-JJJ APk0Auk dV - JJ AFk0Auk dS = 0.

-dV -

(7)

Au{ = X 0ipФpt Aqpt,

(8)

t=i

X

s=1

X ( K(1 +

t=i

K(2) )Aqt -AQs

0Aqs = 0,

Каждая из подматриц блочных матриц (9) имеет размер 3x3, и ее элементы определяются по следующим зависимостям:

д<$к$ дут(

j = JJJ 0k C klmn'

dxi dxn

0jmdV; (10)

г-Ш ^ГГ0 C f0 ''up + 0 duq +dup du, ^

kij = III 0ipCklmn I 0qm~ +0 pk~ + ~ ~ Iх

yJ ^ dxk dxm dxk dxm J

x^Эф* 0qdy.

dxi dxn

kf = JJJ o.

Ski

'ф,^ 'Фjt

dV;

(11)

(12)

V 5

Рассмотрим произвольный конечный элемент (КЭ), имеющий г узлов с номерами г1,г2,..., ц,..., гг [8]. Без ограничения общности можно считать, что ц = Ь, в противном случае всегда можно осуществить перенумерацию узлов КЭ. Аппроксимируем приращения перемещений Диг (г = 1, 2, 3) в КЭ следующим образом:

где — базисные функции, равные единице в узле с номером Ь и нулю в остальных узлах; — приращения узловых перемещений.

После подстановки выражения (8) в формулу (7) для рассматриваемого КЭ принцип возможных перемещений можно представить в виде

где К(°0) — жесткость КЭ; КЦ] и К(2) — начальные перемещения и напряжения КЭ; ДО 5 — внешние нагрузки.

Переходя к матричной формулировке задачи, получим:

([К](0) +[К](1) +[К](2) ))} = {Д0}, (9)

где [К ](0) — блочная инкрементальная матрица жесткости КЭ размером г х г; [К ](1) и [К ](2) — блочные матрицы начальных перемещений и напряжений КЭ; {Дд} — вектор узловых перемещений; {ДО} — вектор внешних нагрузок.

dxk dxl

AQ, = JJJ0,kAPkфЬ dV + JJ0,kAFkФks dS. (13)

У S

Интегрирование ведется по объему и поверхности рассматриваемого КЭ. Построение глобальной матрицы жесткости конструкции осуществляется на основе стандартной процедуры суммирования по всем элементам, содержащим общие узлы. В результате получается система линейных уравнений равновесия конструкции, из которой определяются переменные состояния на (N + 1)-м шаге, такие как Au,, A^ij, As,j и др. После каждого последующего шага полные перемещения вычисляются добавлением полученных инкрементальных узловых перемещений к текущим координатам узловых точек. Учитывая, что материальная (лагранже-вая) система координат жестко связана с деформируемым телом, это приводит к необходимости перестроения конечно-элементной сетки и матриц (10)-(13) на каждом шаге расчета. В современных программах расчета, в частности в MARC, Nastran, Abacus, ANSYS, этот процесс выполняется автоматически при задании соответствующих опций [9].

В теории пластического течения часто постулирована связь между тензором приращения напряжений Коши-Эйлера aij и модифицированным тензором деформаций Грина A*eij. В этом случае модифицированный тензор приращений деформаций Грина можно получить, принимая за начальное состояние Q(N) и используя прямоугольные декартовы координаты Xi (i = 1, 2, 3):

2A*eu =

dr(N+1) dr(N+1) dr(N) dr(N)

dX, dXi

dX, dXj

dAui dAuj dAuk dAuk dXj dXi dXi dXj

V

У

2Д*г„ = ' дХ

В результате имеем

дДи дДиI

дХ,

= дъ дх1 Д

' дХг дХ}

Переход от тензоров напряжений Коши-Эйлера к тензорам Пиолы-Кирхгофа осуществляется с помощью формулы [1]

Оц =

1 ^ дХ, дХ I

-Skl,

)) дхк дх1 где ) — якобиан преобразования,

) =

д(Х1, Х2, Хз)

д(х1, Х2 , Хз )

дХ1 дХ1 дХ1

дх1 дх2 дхз

дХ2 дХ2 дХ2

дх1 дх2 дхз

дХз дХз дХз

дх1 дх2 дхз

В качестве первого примера рассмотрена физически нелинейная задача определения остаточных напряжений в крышке цилиндра транспортного дизельного двигателя, подробно описанная в работе [10]. После проведения приемо-сдаточных испытаний этого дизеля по требованию заказчика были замерены остаточные напряжения в семи крышках цилиндров. В результате имеются экспериментальные данные по уровню остаточных напряжений в крышках цилиндров после работы дизеля при вполне определенных и известных режимах нагружения, что позволяет оценить адекватность расчетной методики. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных показало, что вычисленные значения остаточных напряжений в наиболее напряженных элементах огневого днища лежат в области, ограниченной 90%-ным доверительным интервалом. Таким образом, подтверждена адекватность принятой математической модели.

В качестве второго примера рассмотрим задачу формирования профиля прокладки для уплотнения газового стыка дизельного двигателя транспортного назначения. В этой задаче перемещения прокладки соизмеримы с ее размерами, а процесс формирования профиля происходит за счет пластического деформирования материала, т. е. геометрическая нелинейность сочетается с физической.

Втулка и крышка цилиндра, соединенные через уплотнительную прокладку с помощью собственных небольших шпилек, образуют газовый стык [11]. Верхний пояс втулки имеет относительную свободу для радиальных перемещений от максимального давления газов ртах и тепловых деформаций, которые ограничены только силовой связью с крышкой цилиндра через уплотнительную прокладку.

В результате на прокладку действуют радиальные сдвигающие усилия, которые оказывают существенное влияние на герметичность газового стыка. Гарантией герметичности стыковых поверхностей прокладки должно быть отсутствие сдвигов. Однако при повышенном уровне форсирования по максимальному давлению газов в цилиндре для выполнения этого условия недостаточно одних сил трения от начальной затяжки соединения. В этом случае применяют конструкцию газового стыка замкового типа, схема которой приведена на рис. 2.

В таком соединении повышенное сопротивление сдвиговым деформациям создается не только за счет сил трения на поверхностях крышки tкр и втулки tвт, но и с помощью сил Р сопротивления срезу материала выступов на поверхностях стыка. Более полное заполнение профиля стыка металлом прокладки позволяет существенно нарастить его силовую замкнутость и сопротивление сдвиговым нагрузкам в первую очередь путем увеличения сил Р, которые играют главную роль в обеспечении неподвижности соединения.

Рис. 2. Схема нагружения газового стыка

Рис. 3. Последовательные этапы деформирования прокладки при формировании профиля газового стыка

С этой целью при формировании профиля прокладки проводят предварительное обжатие стыка в специальных приспособлениях [12]. Усилие обжатия подбирают таким, чтобы в прокладке возникали пластические деформации. При пластическом течении материал прокладки заполняет профиль стыка на поверхностях крышки и втулки. Обычно прокладку изготавливают из стали, обладающей повышенной пластичностью (предел прочности ав и условный предел текучести ао,2 примерно равны 0,5...0,65, относительное сужение ^ > 40 %).

Далее рассмотрим задачу выбора оптимального профиля газового стыка по критерию наибольшего заполнения стыка материалом прокладки. Последовательные этапы деформирования прокладки, полученные в результате расчета, показаны на рис. 3.

Пластическая задача решалась на основе ассоциированной теории течения. В качестве условия возникновения пластичности использовался критерий Мизеса-Генки [13]. Материал прокладки — сталь 08кп — принимался изотропным упругопластичным. При задании физико-механических характеристик материала в расчете применялась экспериментальная зависимость а-е. Решение задачи выполнялось с автоматическим перестроением конеч-

но-элементной сетки и матрицы жесткости на каждом этапе расчета. Более подробно постановка задачи и результаты ее решения описаны в работе [11].

Рассмотренные задачи решались методом конечных элементов в трехмерной постановке в программном комплексе МЗСМЛИС.

В полученном профиле газового стыка заполнение материалом прокладки составило более 90 %. Проведенный анализ показал, что внедрение указанного профиля будет обеспечивать герметичность газового стыка при повышении давления в камере сгорания до самых высоких пределов, достигнутых в современном дизелестроении.

Выводы

1. На основе инкрементальных методов построена конечно-элементная модель сплошной среды с геометрическими и физическими нели-нейностями.

2. Приведены задачи определения остаточных напряжений в крышке цилиндра транспортного дизельного двигателя и высадки прокладки его газового стыка, подтверждающие адекватность принятой математической модели.

Литература

[1] Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Москва, Мир,

1987. 542 с.

[2] McMeeking R.M., Rice J.R. Finite Element Formulation for Problems of Large Elastic - Plastic

Deformation. International Journal of Solids and Structures, 1975, vol. 11, is. 5, pp. 601-616.

[3] Yoon J.W., Yang D.Y., Chung K. Elasto-plastic finite element method based on incremental

deformation theory and continuum based shell elements for planar anisotropic sheet materials. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999, vol. 174, is. 1-2, pp. 23-56.

[4] Ju J.W., Taylor R.L. A Perturbed Lagrangian Formulation for the Finite Element Solution of

Nonlinear Frictional Contact Problems. Journal de Mecanique Theorique et Appliquee, 1988, vol. 7, supplement no. 1, pp. 1-14.

[5] Димитриенко Ю.И. Тензорный анализ. В 4 т. Т. 1. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-

мана, 2011. 463 с.

[6] Микляев П.Г., Фридман Я.Б. Анизотропия механических свойств металлов. Москва,

Металлургия, 1986. 224 с.

[7] Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. В 4 т. Т. 4: Основы механики твердых

сред. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. 623 с.

[8] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Butterworth-Heinemann, 2000.

706 p.

[9] Temam R. Mathematical modelling in continuum mechanics. Cambridge University Press,

2005. 354 p.

[10] Раенко М.И., Рыжов В.А. Оценка прочностной надежности крышек цилиндров транспортных дизелей по критерию долговечности. Двигателестроение, 2012, № 1, с. 7-17.

[11] Чайнов Н.Д., Раенко М.И., Рыжов В.А. Прочность теплонапряженных базовых деталей среднеоборотных двигателей внутреннего сгорания. Москва, Машиностроение, 2015. 360 с.

[12] Hosford W., Caddell R. Metal Forming: Mechanics and Metallurgy. Cambridge University Press, 2007. 312 p.

[13] Вафин Р.К., Покровский А.М., Лешковцев В.Г. Прочность термообрабатываемых прокатных валков. Москва, Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 262 с.

References

[1] Vasidzu K. Variatsionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti [Variation methods in the

theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Mir publ., 1987. 542 p.

[2] McMeeking R.M., Rice J.R. Finite Element Formulation for Problems of Large Elastic —

Plastic Deformation. International Journal of Solids and Structures, 1975, vol. 11, is. 5, pp. 601-616.

[3] Yoon J.W., Yang D.Y., Chung K. Elasto-plastic finite element method based on incremental

deformation theory and continuum based shell elements for planar anisotropic sheet materials. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1999, vol. 174, is. 1-2, pp. 23-56.

[4] Ju J.-W., Taylor R.L. A Perturbed Lagrangian Formulation for the Finite Element Solution of

Nonlinear Frictional Contact Problems. Journal of Mechanics Theoretical and Applied, 1988, vol. 7, supplement no. 1, pp. 1-14.

[5] Dimitrienko Iu.I. Tenzornyi analiz [Tensor analysis]. Moscow, Bauman Press, 2011. 463 p.

[6] Mikliaev P.G., Fridman Ia.B. Anizotropiia mekhanicheskikh svoistv metallov [Anisotropy of

mechanical properties of metals]. Moscow, Metallurgiia publ., 1986. 224 p.

[7] Dimitrenko Iu.I. Mehanika sploshnoi sredy. V 4 t. T. 4. Osnovy mekhaniki tverdykh sred

[Continuum mechanics. In 4 vol. Vol. 4. Fundamentals of mechanics of solids]. Moscow, Bauman Press, 2013. 623 p.

[8] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Butterworth-Heinemann, 2000.

706 p.

[9] Temam R. Mathematical modelling in continuum mechanics. Cambridge University Press,

2005. 354 p.

[10] Raenko M.I., Ryzhov V.A. Otsenka prochnostnoi nadezhnosti kryshek tsilindrov transportnykh dizelei po kriteriiu dolgovechnosti [Assessment of the strength reliability of the cylinder covers of transport diesel engines by the criterion of durability]. Dvigate-lestroenie [Engine building]. 2012, no. 1, pp. 7-17.

[11] Chainov N.D., Raenko M.I., Ryzhov V.A. Prochnost' teplonapriazhennykh bazovykh detalei sredneoborotnykh dvigatelei vnutrennego sgoraniia [The strength of heat-stressed basic components of medium-speed internal combustion engines]. Moscow, Mashinostroenie publ., 2015. 360 p.

[12] Hosford W., Caddell R. Metal Forming: Mechanics and Metallurgy. Cambridge University Press, 2007. 312 p.

[13] Vafin R.K., Pokrovskii A.M., Leshkovtsev V.G. Prochnost' termoobrabatyvaemykh pro-katnykh valkov [Strength of heat-treated rolls]. Moscow, Bauman Press, 2004. 262 p.

Информация об авторах

РАЕНКО Мстислав Иванович (Коломна) — кандидат технических наук, начальник отдела прочности. ОАО «Коломенский завод» (140408, Коломна, Московская область, Российская Федерация, ул. Партизан, д. 42, e-mail: ns.raenko.43@mail.ru).

ЧАЙНОВ Николай Дмитриевич (Москва) — доктор технических наук, профессор кафедры «Поршневые двигатели». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: ndchainov@yandex.ru).

Статья поступила в редакцию 07.03.2018

Information about the authors

RAENKO Mstislav Ivanovich (Kolomna) — Candidate of Science (Eng.), Head of Mechanical Strength Department, OAO Kolomenskiy Zavod (140408, Moscow region, Kolomna, Partizan St., Bldg. 42, e-mail: Ugkm@kolomna.ru).

CHAINOV Nikolai Dmitrievich (Moscow) — Doctor of Science (Eng.), Professor, Piston Engines Department. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: ndchainov@yandex.ru).

Просьба ссылаться на эту статью следующим образом:

Раенко М.И., Чайнов Н.Д. Применение конечно-элементной модели нелинейной сплошной среды для анализа напряженно-деформированного состояния элементов конструкций. Известия высших учебных заведений. Машиностроение, 2018, № 5, с. 28-35, doi: 10.18698/0536-1044-2018-5-28-35.

Please cite this article in English as: Raenko M.I., Chainov N.D. The Application of a Finite Element Model of Nonlinear Continuous Medium in the Analysis of the Stress-Strain State of Structure Members. Proceedings of Higher Educational Institutions. Machine Building, 2018, no. 5, pp. 28-35, doi: 10.18698/0536-1044-2018-5-28-35.

Ж.М. Кокуева

УПРАВЛЕНИЕ ПРОЕКТАМИ

В Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана вышло в свет учебное пособие Ж.М. Кокуевой

«Управление проектами»

Проектная деятельность сегодня характерна для экономик всех стран. Производственные предприятия внедряют методы проектного управления как наиболее эффективные способы управления. В издании изложена методология управления проектами в соответствии с Международным стандартом ISO 21500:2012, даны комментарии, разъяснения, приведены примеры из практики.

Для студентов инженерных факультетов, обучающихся по направлению подготовки 270407 «Наукоемкие технологии и экономика инноваций».

По вопросам приобретения обращайтесь:

105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. Тел.: +7 499 263-60-45, факс: +7 499 261-45-97; press@bmstu.ru; www.baumanpress.ru