Конечномерная управляемость уравнений соболевского типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОНЕЧНОМЕРНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

0.А. Рузакова

Получены необходимые условия конечномерной г-управляемости уравнения соболевского типа с относительно спектрально ограниченным оператором и несущественной особой точкой в бесконечности у его относительной резольвенты. В частности, показано, что для сужения уравнения на ядро полугруппы конечномерная е-управля-емость равносильна точной управляемости. Для уравнения соболевского типа с раздельным конечномерным управлением упомянутые необходимые условия в то же время являются и достаточными.

Ключевые слова: конечномерная е-управляемость, полугруппа операторов, уравнения соболевского типа.

1. Введение

Пусть ЗЕ, 2) — банаховы пространства, операторы Ь £ £(3£;2)), кег Ь ф {0}, М £ С1(Ж; 2)), функции управления щ{-) : [0, Г] —>• К, векторы Ь* £ 2), 1 < г < т. Рассмотрим задачу Коши ж(0) = Хо для уравнения

т

Ьх(£) = Мх(£) + 0 < t < Т. (1)

г=1

Она представляет собой абстрактную форму многих задач, в том числе начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений математической физики с вырожденным оператором при старшей производной по времени [1 - 3]. Систематически изучать такие задачи первым начал С.Л.Соболев [4], поэтому уравнения вида, (1) часто называют уравнениями соболевского типа.

В теории дифференциальных уравнений очень важным является понятие управляемости уравнения [5], то есть приведения траектории его решения в наперед заданную точку. В работах [6; 7] рассмотрено уравнение

сЬ . ,

— = Ах + ои т

с линейным ограниченным оператором А, вектором b £ ЗЕ, функцией и : [О, Т] —>• R и вопросы управляемости для систем, описываемых такими уравнениями, так называемой одномерной управляемости (поскольку функция управления действует в одномерное пространство). Аналогичные исследования уравнения соболевского типа

Lx(t) = Mx(t) + bu(t)

проведены в работах [8; 9],

Цель данной работы — исследовать конечномерную е-управляемоеть уравнения (1) с (L, ^-ограниченным оператором М, L-резольвента которого имеет несущественную особую точку в бесконечности [1], обобщив тем самым соответствующие результаты работ [6; 8].

2. Предварительные сведения

Приведем необходимые для дальнейшего изложения вспомогательные результаты, доказательства которых можно найти в [1].

Пусть 3t, 2) - банаховы пространства. Через С(Ж; 2)) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов А : Ж —>• 2) и С (3t') если 2) = Ж. Множество линейных замкнутых операторов А : dom А —>• 2) с областями определения, плотными в пространстве Ж, будем обозначать С1(Ж; 2)) и С1(Ж; ЗЕ) — через С1(Ж).

В дальнейшем предполагаем L £ С(Ж; 2)), М £ С1(Ж; 2)). Обозначим pL(M) = {ц, £ С : {ц,Ь — М)-1 £ С{2); X)},

Определение 1. Оператор М называется (L, а)-ограниченным, если За > 0 V/i £ С > а) (ц, £ pL(M)).

Возьмем (L, ст)-ограниченный оператор М, выберем в комплексной плоскости С замкнутый контур j = {р Е С : \/л\ = R > а}. Тогда имеют смысл следующие интегралы:

Р = -—: [(fJ,L — M^Ldfj,, Q = ~—: [ L(p,L — M)^ldp.

2-jti J 2-jti J

7 7

Операторы P и Q являются проекторами. Положим 3E° = kerP, 2)° = kerQ, Ж1 = imP, 2)1 = imQ, Имеем

3е = 3е°е3е1, 2) = 2)° Ф 2)1,

Через Ьк (Мк) обозначим сужение оператора Ь (М) на Жк (сіотМк = сІотМ П Жк), к = 0,1, Кроме того, через ст^(М) будем обозначать множество С \ рЬк(Мк) — ¿¿.-спектр оператора Мк.

Теорема 1. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен. Тогда действия операторов Ь и М расщепляются:

(і) ЬкеС(Жк-,Юк),к = 0,1-

(И) М0 Є С1(Ж0] 2)°), є С(Ж1] 2)1);

(ііі) существует оператор Ь^1 Є

(іу) <То (М) = 0, в частности, существует оператор

Мо-1 е£(2)°;Х°);

(у) существует аналитическая разрешающая группа {Xі Є С(Ж) : і Є 1} уравнения (1), причем Xі = еІЬі '1/1 /'.

Введем обозначения Я = М^1Ьй Є £(ЗЕ°), ¿і = , 1 Л/( Є ДЗЄ1).

Для операторнозначной функции (рЬ — М) 1 бесконечно удаленная точка является

(i) устранимой особой точкой, если Я = О;

(ii) полюсом порядка р Є КГ, если Ш ф О, а II1' 1 = О;

(iii) существенно особой точкой, если \/р Є N Нр ф О, Через О здесь обозначен нулевой оператор, определенный на подпространстве 3£°.

Бесконечность будем называть несущественной особой точкой порядкар Є М0 = {0}Ш, если она является устранимой особой точкой (р = 0) или полюсом порядка р Є N.

Теорема 2. Пусть оператор М {Ь, а)-ограничен, а бесконечность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции, (рЬ — М)-1. Тогда для любой функции /(¿) Є Ср+1([0; Г]; її)) и для, любого начального значения

р

х0Є<$ї = {хЄЖ:(І^Р)х = ^И'МоЧі ~ Я)І(к)Ш

к=О

существует единственное решение х(і) Є С1([0,Т]-,Ж) задачи, Коши ж(0) = ха для, уравнения Ьх(і) = Мх(і) + /(¿), имеющее вид 1 р х{ї) = Xіх0 + [ Хг'-31^1дЦ,з)с]„з ~^НкЩ\1 - Я)їік\і). і к=о

В основе доказательства теоремы 2 лежит используемая нами в дальнейшем редукция рассматриваемого уравнения к системе двух уравнений на подпространствах Ж1 и 3£° соответственно, которые в

т

случае функции /(¿) = ^ Ь{Щ^) имеют вил

г=1

т

х1^) = + Ь^1 (2)

г=1

т

Да;0(£) = х°{1) + М^1 (3)

г=1

где Ь) = (}Ь,. Щ = (/ — <5)Ьг, 1 < ^ < ш- Действительно, уравнение

(2) получается при действии на обе части уравнения (1) сначала про-

ектором <5, а затем оператором Ь^1. Подейстовав же на обе части уравнения (1) оператором М$1(1 — получим (3),

3. Основные результаты

Согласно теореме 2 решение задачи Коши ж(0) = Хо для уравнения (1) имеет вил

ьг т р т

х^) = Хгх0 + / Х^Ь^1 Ь]щ(8)й8 — НкМ$1 Ь®и\к\^,

" г=1 к=О ¿=1

где р — порядок полюса либо ноль в случае устранимой особой точки, (При этом первые два слагаемых дают решение уравнения (2), а последняя сумма — решение (3),) Поэтому будем использовать функции управления е Ср+1([0, Г]; К) с соответствующим р. Под и(£) будем подразумевать вектор-функцию управления и : [0,Г] —>• К™, г-й компонентой которой является функция I < 1, < т,. Говоря об

управляемости системы, описываемой некоторым уравнением, через х(Т) будем обозначать значение в момент времени Т решения задачи Коши для соответствующего уравнения. Начальное значение задачи будем обозначать через доопределение 2. Система называется е-управляемой в нуль за время Т, если, для, любых х$ е Ж и е > 0 существует управление и(£) е (7р+1([0, Г]; Ет), такое, что \\х{Т] х0; и(£))|| < е.

Определение 3. Система называется є-управляемой из пуля за время Т, если, для, любых х Є Ж и є > 0 существует управление и{і) Є С'р+1([0,Г];Кт), что \\х(Т-, 0; и(і)) - ж|| < є.

Определение 4. Система называется є-управляемой из любой точки в любую за время Т, если, для, любых точек х$ Є Ж, х Є Ж и для, любого є > 0 существует управление и(і) Є Ср+1([0, Г]; К™) такое, что ||х(Т; ха', и(і)) — х\\ < є.

Замечание 1. В случае є = 0 в определениях 2-4 получаем так называемую точную управляем,ость. Согласно результатам [10] уравнение вида, (2), а значит, и (1), в случае бесконечномерного пространства и конечномерного управления не обладает свойством точной управляемости.

Следующая лемма доказывается непосредственным использованием соответствующих определений и вида, решения уравнения (2),

Лемма 1. Пусть оператор М {Ь, а)-ограничен. Тогда, для системы

(2) понятия є-управляем,ости, в нуль, из нуля и из любой точки в любую являются, эквивалентными.

Замечание 2. Ввиду леммы 1 в дальнейшем будем говорить просто об ^-управляемости за время Т системы (2), подразумевая под этим все три ее разновидности, рассмотренные нами.

Лемма 2. Пусть оператор М {Ь, а)-ограничен, а, бесконечность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции, (цЬ — М)-1. Тогда:

(i) для, системы (3) понятия є-управляем,ости, из нуля за, время Т и є-управляем,ости, из любой точки в любую за, время, Т являются, эквивалентными;

(ii) система (3) управляема в нуль за, любое время, Т.

Доказательство. Утверждение (і) очевидно, поскольку решение уравнения (3) не зависит от значения ха.

В утверждении (іі) речь идет о точной управляемости. Чтобы показать ее, достаточно взять //,(/) = ().!</< ///. □

Замечание 3. Согласно утверждению (11) леммы 2 понятие е-управ-ляемости или точной управляемости в нуль для системы (3) является бессодержательным. Поэтому в дальнейшем под е-управляемостыо системы (3), а следовательно, и системы (1) будем подразумевать е-управляемоеть из нуля или из любой точки в любую.

Последовательность {е/}^0 С (или конечный набор {е/}/^0) назовем условным базисом, в пространстве 5э, если каждый элемент х е представим (не обязательно однозначно) в виде

где 0,1 — некоторые коэффициенты.

Теорема 3. Пусть оператор М (Ь, а)-ограничен, а, бесконечность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции, (цЬ — М)~1. Тогда, система (2) е-управляема в том и только в том, случае, когда, линейная оболочка векторов

плотна, в пространстве Ж1.

Доказательство. Учитывая, что по теореме 1 оператор , 1 Л /1

ограничен, в случае т = 1 утверждение доказано в [7]. Из теоремы 1 (у) следует, что имеет место представление

И проводя аналогичные случаю т = 1 рассуждения, использованные

Следствие 1. Пусть оператор М {Ь, а)-ограничен, а, бесконечность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции, (цЬ — М)-1. Если, векторы к е Н0, 1 < г < т} образуют

условный базис в пространстве Ж1, то система (2) е-управляема.

Теорема 4. Пусть оператор М {Ь, а)-ограничен, а, бесконечность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции,

к е N0, 1 < I < т}

в [7], получаем требуемое.

□

(fj,L — М)-1. Тогда система (3) е-управляема в том, и только в том, случае, когда, пространство Х° не более, чем, т{р + 1 )-мерно, а, система векторов {НкМ^Щ, 0 < А; < р, 1 < г < т} является в нем, условным базисом,.

Доказательство. Обозначим соответствующие г = 1 /п функции управления через uni(t), его значения — и^(Т) = с^, 0 < к < р, 1 < г < m, и G N, В новых обозначениях получаем

Ух е X0 Vn G N

Поэтому

р т

щч?-х

к=О ¿=1

1

<

П

р то

Т) тт!1 1 Г--------1 7 П ~

X

п^-ос

к=0 ¿=1

и

3£° С 8рап{ЯйМ0-1Ь°, 0 < к < р, 1 < i < т} =

= 8рап{Я*М0-1Ь?, 0 < к < р, 1<г<т} в силу конечности системы векторов. Следовательно, существуют кон-

р ш

станты с&г, 0<А:<р, 1<г<т, что х = ^ Ш сыНк М$1Щ.

к=01=1

Обратно, согласно предположению для любого ¿с существуют

Р ТП

константы с^, 0 < к < р, 1 < г < т, такие, что = х.

к=Ог=1

По ним построим функции управления для любого Т > О

и*(*) = 1 < г < т,

й=0

и получим даже точную управляемость системы, □

Следствие 2. Пусть оператор М {Ь, а)-ограничен, а, бесконечность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции, (цЬ — М)-1. Тогда, е-управляемость системы (3) равносильна ее точной управляем,ости,.

Теперь можно сформулировать основной результат о конечномерной ^-управляемости уравнения (1),

Теорема 5. Пусть оператор М (L, а)-ограничен, а бесконеч-

ность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции, (fj,L — М)-1. Если, система, (1) е-управляема, то система, векторов {Нк М$1Щ, 0 < к < р, 1 < г < гп} является условным, базисом в пространстве Ж0, а линейная оболочка векторов k G Mo, 1 <

% < т} плотна, в пространстве Ж1.

Замечание 4. Обратное утверждение из теорем 3, 4 не следует, поскольку в данной постановке задачи одни и те же функции одновременно управляют решениями систем (2) и (3),

Учитывая предыдущее замечание, имеет смысл рассмотреть уравнение (1) с векторами 6* G 2)°, 1 < % < m0 < т, bj G 2)1, m,Q + 1 < j < т. Это позволит управлять системами (2) и (3) раздельно.

Замечание 5. Если бы все векторы Ь{ лежали в 2)° (2)1), то система

(2) ((3)) не была бы ^-управляемой (см, [8]),

Теорема 6. Пусть оператор М {L, а)-ограничен, а, бесконеч-

ность — несущественная особая, точка порядка р оператор-функции, (fj,L — М)~1. Если, Ъ{ G 2)°, 1 < i < m,Q < т, bj G 2)1, m,Q + 1 < j < m, то система, (1) e-управляема, в том и только в том, случае, когда, система векторов {HkMQlbi, 0 < k < р, 1 < i < гщ} является условным базисом, в пространстве Ж°, а, линейная оболочка векторов {SkL^lbi, k G М0, т,$ + 1 < i < т} плотна, в пространстве Ж1.

Список литературы

1. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, № 4. С. 47 - 74.

2. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New

York, Basel, Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999.

3. Демиденко Г.В., Успенский C.B. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Научная книга, 1998.

4. Соболев C.J1. 06 одной новой задаче математической физики // Нзв. АН СССР. Сер. матем. 1954. Т. 18. С. 3 - 50.

5. Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем //

Изв. УрГУ. 1998. № 10. Вып. 1. С. 103 - 126.

6. Шолохович Ф.А. Об управляемости в гильбертовом пространстве //

Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3, № 3. С. 479 - 484.

7. Куржанский А.Б. К управляемости в банаховых пространствах //

Дифференц. уравнения. 1969. Т. V, № 9. С. 1715 - 1718.

8. В.Е.Федоров, O.A. Рузакова. Одномерная управляемость в гильбертовых пространствах линейных уравнений соболевского типа // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38, № 8. С. 1137 - 1139.

9. В.Е.Федоров, O.A. Рузакова. Управляемость линейных уравнений соболевского типа с относительно р-радиальными операторами // Изв. вузов. Математика. 2002. № 7. С. 54 - 57.

10. Куперман Л.М., Репин Ю.М. К вопросу об управляемости в бесконечномерных пространствах // ДАН СССР. 1971. Т. 200, № 4. С. 761 -769.

Челябинский государственный университет [email protected]