Конечноэлементное моделирование двумерных композитов нерегулярной структуры с постоянной размерностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3

А.Д. Матвеев

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ КОМПОЗИТОВ НЕРЕГУЛЯРНОЙ СТРУКТУРЫ С ПОСТОЯННОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ

В статье предложено дискретное моделирование двумерных упругих композитов нерегулярной структуры с применением конечных элементов (КЭ) с законтурными узлами. Данные КЭ проектируются на основе базовых разбиений композитов, которые учитывают их структуру. Особенность КЭ с законтурными узлами заключается в том, что они, построенные на базовых разбиениях различной размерности, порождают дискретные модели композитов с постоянной заданной размерностью.

Введение. Как известно [1], при анализе композитов применяются микро- и макро-подходы. При макроподходе композиты рассматриваются как однородные анизотропные тела с некоторыми (фиктивными) модулями упругости, определение которых для композитов нерегулярной структуры является сложной задачей. Кроме того, в макроподходе используются гипотезы, накладывающие определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений композита, что порождает неустранимую погрешность в решениях. При анализе композитов нерегулярной структуры активно используется микроподход. Уравнения микроподхода точно описывают деформирование композитов любой структуры и формы. Однако дискретные (базовые) модели композитов, построенные по микроподходу, имеют высокую размерность, т.е. системы уравнений метода конечных элементов (МКЭ) [2-3] имеют высокий порядок.

В данной работе предложено дискретное моделирование упругих двумерных композитов нерегулярной структуры с применением конечных элементов (КЭ) с законтурными узлами [4-6]. Данные КЭ проектируются на основе базовых разбиений композитов, которые учитывают их структуру. Особенность КЭ с законтурными узлами заключается в том, что они, построенные на базовых разбиениях различной размерности, порождают дискретные модели композитов с постоянной заданной размерностью. Краткая суть предлагаемого моделирования заключается в следующем. Область композита представляется базовым разбиением, которое учитывает его структуру, форму и порождает мелкую узловую сетку. На мелкой сетке проектируются многоугольные (прямоугольные) суперэлементы [2-3]. Вершины суперэлементов (многоугольников) образуют крупную узловую сетку композита, размерность которой на несколько порядков меньше размерности мелкой сетки и равна числу вершин суперэлементов. Размерность крупной сетки задается размерами и формой (многоугольных) суперэлементов. Построение КЭ с законтурными узлами на базе многоугольного суперэлемента сводится к исключению неизвестных МКЭ во всех узлах рассматриваемого суперэлемента, кроме его вершин. Исключаемые неизвестные выражаются через узловые неизвестные МКЭ вершин данного суперэлемента и вершин соседних с ним суперэлементов. В результате получаем КЭ с законтурными узлами, узловыми неизвестными которого являются узловые перемещения крупной сетки. Таким образом, КЭ с законтурными узлами, построенные на основе базового разбиения композита, порождают дискретную модель, размерность которой определяется размерностью крупной сетки.

Достоинства КЭ с законтурными узлами заключаются в том, что, во-первых, они учитывают нерегулярную структуру композитов. Во-вторых, КЭ с законтурными узлами, построенные на основе определенного класса мелких базовых разбиений различной размерности, порождают дискретные модели с постоянной заданной размерностью, которая на несколько порядков меньше размерностей базовых разбиений. При этом максимальные значения перемещений (напряжений) базовых моделей и дискретных моделей, состоящих из КЭ с законтурными узлами, отличаются на заданную малую величину.

Приведем пример расчета двумерного композита нерегулярной структуры по МКЭ с применением дискретных моделей (постоянной размерности), состоящих из КЭ с законтурными узлами, которые построены на соответствующих мелких разбиениях (данного композита) различной размерности.

1. Процедура построения конечных элементов с законтурными узлами. Пусть двумерный композит нерегулярной структуры, занимающий в декартовой системе координат хОу область 5, испытывает плоское напряженное состояние. Для простоты изложения (не теряя при этом общности суждений) считаем, что область 5 состоит из квадратных областей 8е (со стороной Н), е = 1,..., N ; N - общее число областей 8е. Считаем, что между волокнами, частицами и связующим материалом связи идеальны. Функции перемещений, деформаций и напряжений компонентов композита удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши [7]. Разбиение области 8е, состоящее из квадратных КЭ 8>к первого порядка со стороной к,

учитывает ее композитную структуру и порождает квадратную узловую сетку 8ек (е = 1,...,N ) с шагом к. На рис.1 плоские волокна толщиной 2к заштрихованы. Разбиения областей 8е на КЭ 8>к образуют базовую дискретную модель композита и мелкую квадратную сетку 5к с шагом к . На разбиении области 5е с помощью метода конденсации [3] строим квадратный суперэлемент 8Р со стороной Н. В результате область 8 композита представляем квадратными суперэлементами 8р, е = 1,...,N . Вершины суперэлементов 8Р образуют крупную квадратную узловую сетку 8Н с шагом Н. На рис. 2 узлы суперэлемента 8р отмечены точками.

Рассмотрим (итерационную) процедуру построения КЭ с законтурными узлами. Основные положения данной процедуры покажем на примере построения квадратного КЭ с законтурными узлами на базе суперэлемента 8Р. Суть этой процедуры сводится к исключению узловых параметров МКЭ во всех узлах суперэлемента 8Р, кроме его вершин. Исключаемые параметры МКЭ суперэлемента 8Р выражаются через узловые неизвестные его вершин и вершин соседних с ним суперэлементов. Таким образом, узловыми неизвестными КЭ с законтурными узлами являются неизвестные МКЭ крупной сетки 8Н. Рассмотрим данную

процедуру подробнее. Для суперэлемента 8Р (е = 1,..., N ) из области 8 композита вырезаем область Qk, которая включает область 8е суперэлемента 8р (8е с Qk с 8), к = 1,..., Nq; Nq - общее число областей Qk . Отметим, что область Qk и ее часть границы Гк (в случае, когда граница Гк совпадает с

границей области композита) имеют такие же кинематические граничные условия и такое же нагружение, как и композит.

Для суперэлемента 8Р, расположенного ‘'вдали” от границы композита, основную квадратную область Q0 (со стороной а) выбираем так, что квадратный суперэлемент 8р (со стороной Н) является ее центром. На рис. 3 основная область Q0 содержит 25 суперэлементов, вершины которых отмечены точками.

Рис. 3. Основная область Q0

Выбор областей Qk для граничных суперэлементов 8р показан ниже. Отметим, что Qk е Q0 и

для ряда суперэлементов используется одна область Qk . Вектор q1k узловых неизвестных области Qk имеет структуру:

qk = {ук, хк}Т, (1)

где хк - вектор узловых неизвестных, определяемых в вершинах суперэлементов области Qk ; ук - вектор остальных узловых параметров МКЭ вектора q1k (индекс I показывает номер итерации); Т - транспонирование.

Систему уравнений, построенную по МКЭ для области Qk, с учетом (1) представим в блочноматричной форме:

А ] ук+[Bk ] хк = гк+рк, (2)

с ] у к+[ок ] хк = гк*+рк*. (3)

где [Ак ] , [Бк ] - квадратные матрицы; [Вк ] , [Ск ] - прямоугольные матрицы; Ек (К!*) - вектор заданных сил, действующих в узлах области Qk, не совпадающих с вершинами суперэлементов 81 (совпадающих с вершинами суперэлементов 8р); Рк, Рк - векторы узловых сил, действующие по границе области Qk (вырезанной из композита), которые необходимо приложить для достижения ее равновесного состояния.

Отметим, что усилия вектора Рк* действуют по границе области Qk в тех узлах, которые являются вершинами суперэлементов. Усилия вектора Рк действуют в граничных узлах области Qk , не совпадающих с вершинами суперэлементов. При этом компоненты векторов Рк, Рк* равны нулю в узлах, расположенных внутри области Qk . Алгоритм определения вектора узловых сил Рк (для I -й итерации) рассмотрен ниже.

Для простоты изложения пусть Ек = 0, т. е. считаем, что композит нагружен только силами ,

которые действуют в вершинах суперэлементов 8/. Из (2) при Ек = 0 получаем

у к = [Мк ] хк + [Лк ]-1 Рк , (4)

где [Мк ] = - [Лк ]-1 [Вк ]; [Лк ]-1 - матрица, обратная матрице [Лк ]. к

Для вектора уі введем следующую структуру:

Ук ={и?,Ук }Т, (5)

где и? - вектор неизвестных суперэлемента , которые определяются в узлах, не совпадающих с вер-

кк шинами данного суперэлемента; уі - вектор остальных компонент вектора уі .

Учитывая, что иі е ук, с помощью (4) вектор и? представим как:

и? =[Ае ] хк + [В, ] Рк, (6)

где А ] , [Ве ] - прямоугольные матрицы.

Вектор в? узловых неизвестных суперэлемента 8/ имеет структуру:

={ wі ,и? }Т, (7)

где wi - вектор узловых неизвестных суперэлемента 8; , которые определяются в его вершинах.

Ч с ак

Заметим, что wi с Х{ , так как с Qk. Между векторами wi и Х{ установим связь вида

wi = [Е, ] хк, (8)

где [Ее ] - прямоугольная булева матрица.

Используя (6)-(8), построим равенство:

8? =[С, ] хк +[Те ] Рк, (9)

где Ю. ] = I [Ее] , [а,] }Т, [Те ] = | [0] , [Ве] }Т, [0] - нулевая матрица.

Согласно (9), узловые неизвестные (перемещения) 8? суперэлемента выражаются через узловые неизвестные вектора хк, часть компонент (параметров МКЭ) которого определяется в узлах, лежащих вне области суперэлемента . Таким образом, квадратный суперэлемент 8 р (со стороной Н) после исключения узловых неизвестных вектора и? становится квадратным КЭ с законтурными узлами, который обозначим через Я,. На рис. 4 показан КЭ Я, (отвечающий области Q0, рис. 3), законтурные узлы которого отмечены кружками (32 узла), остальные 4 узла - точками. Законтурными узлами КЭ Я, являются

вершины суперэлементов области Qk, лежащие вне области суперэлемента 8 р.

Уравнение принципа виртуальных работ для суперэлемента $1 запишем в форме:

8(в?)Т [К, ] 8? =^(8?)Т Р., (10)

где [Ке ], ^ - матрица жесткости и вектор узловых сил суперэлемента 8 р; 8(в?)Т - вариация вектора в? (т. е. узловых перемещений суперэлемента $ер).

Подставляя (9) в (10) с учетом, что 8(в?) = [Ое ]8 хк, для КЭ Я, получаем следующую систему

уравнений:

■е] хк

где [Не ], Р® - матрица жесткости и вектор узловых сил КЭ с законтурными узлами Я,,

[и, ] хк = р« , (11)

5Н

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

о о

О и

н

О О

* О О—*

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Рис. 4. КЭ с законтурными узлами Щ (отвечающий области 20)

[Не ]=[0е ]Т [ке ] [ое ],

Р =&е ]Т ^ ~[0е ]Т [Ке ] [Те ] Рк.

(12)

(13)

На первой итерации (при I = 1) принимаем Рк = 0. Вектор Рк (при I > 1) строим следующим образом. Пусть найдено сеточное решение для дискретной модели 8*_1 композита, которая состоит из

Затем, заменяя в (2) векторы ук,хк соответственно на ук_1, х1к_1, вектор Рік (при Ек = 0) находим по формуле

Qk принимаем равными нулю. Заменяя каждый суперэлемент соответствующим ему КЭ с законтурными

узлами Щ, получаем дискретную модель 8* композита, которая состоит из КЭ Я? (е = 1,..., N ) и имеет (крупную) квадратную узловую сетку с шагом Н. Отметим, что для композита регулярной структуры достаточно построить несколько типовых КЭ Я?, с помощью которых конструируется дискретная модель 8*.

Замечание. Расчеты показывают, что значение погрешности д, где д =11 и0 _ и2 II , и0 - перемещения базовой модели композита, и2 - перемещения модели композита, состоящей из квадратных КЭ с законтурными узлами (со стороной Н), зависит от параметров к1 = а / Н , к2 = Н /к (к1, к2- целые). С помощью тестовых расчетов определяем такие значения к° = а / Н , к° = Н / к, что

II и0 _ и2 II < 80, где величина 80 задана, и2 - перемещения модели композита, состоящей из КЭ с законтурными узлами, построенных на второй итерации (I = 2) с применением параметров к1 > к10,

КЭ с законтурными узлами Я/‘_1, построенных на (і _ 1 )-й итерации, и пусть известен вектор Рі|_1. Подставляя в (4) вместо векторов хк, Рік соответственно векторы хк_1, Рік_1 (отметим, что хк_1 е иі_1), к

определяем вектор у і_1, т. е. имеем

2. Результаты численных экспериментов. Рассмотрим композит нерегулярной структуры, который расположен в декартовой системе координат хОу и испытывает плоское напряженное состояние [7] (рис. 5). По границе у = 0 композит закреплен, т.е. при у = 0: и = V = 0. Граница крепления композита на рис. 5 отмечена наклонной штриховкой. Область 8 композита состоит из квадратных областей 8е со стороной Н = 12к , е = 1,...,41, к = 0,5 . Узлы крупной квадратной сетки 8Н с шагом Н отмечены точками (рис. 5). Заданные сосредоточенные силы Рх = 8,6, Ру = 3,5 приложены в узлах с координатами: (72к, уі), (х ^ ,84к), уі = 12к + 12к(і -1), і = 1,...,6; х^ = 24к + 12к(] -1), ] = 1,2,3. Композит

армирован нерегулярной решеткой (плоских) волокон шириной 2к, причем, на границе композита расположены волокна шириной 2к. Расстояния ап между п и п +1 вертикальными волокнами и Ьт между т и

т +1 горизонтальными волокнами определяем по формулам ап = 2кп, Ьт = 2кт, п = 1,...,7, т = 1,...,8. На рис. 6 показана схема расположения волокон в области композита, волокна отмечены линиями. Число волокон по оси Ох равно 8, по оси Оу - 9. Коэффициент наполнения композита равен 0,398. Модуль Юнга волокон равен 10, связующего материала - 1, коэффициент Пуассона для компонентов композита равен 0,3.

Исходная базовая дискретная модель 80 композита состоит из квадратных КЭ 8 ^к первого порядка со стороной 2к. Область 8е представляем квадратными КЭ 8^к, } = 1,...,36, и на данном разбиении строим квадратный суперэлемент 8/ (со стороной Н = 12к ,. е = 1,...,41. На рис. 5, 7-8 вершины суперэлементов 8/ отмечены точками, области суперэлементов 81р,...,8р отмечены соответствующими им

порядковыми номерами, т.е. область суперэлемента на этих рисунках отмечена номером е (где е = 1...20).

п + 1

Рис. 6. Схема расположения волокон в композите

Конечные элементы с законтурными узлами строим на базе суперэлементов Sp (e = ) по

процедуре, изложенной в п. 1. При этом для суперэлементов spSР используем (основную) область Q0 размерами 5H х5H (рис. 3), для суперэлементов Sp , ..., S/2, S/3, ..., S20 используем соответственно области Q1, Q2 (рис. 7-8) с учетом заданных для них нагружений; для области Q1 учитываются заданные условия крепления (граница крепления области Q1 на рис. 7 отмечена наклонной штриховкой). На рис. 9-10 показаны КЭ с законтурными узлами R? и R14, которые построены на основе суперэлементов Sp и S/4 с применением для них областей Q1 и Q2 (рис. 7-8).

12

II 1 \ і 1 1 1 < і і і 1 » ^ y.

5 6 7 1 !►

Р 1 8 9 > І 1 ' 10

1 11 У - < 12

Р,

і ь. і 1 ъ

18 19 20

15 16 17

13 14 1 і

1 і—► р л

Рис. 8. Область Q2

Законтурные узлы КЭ Я9, Я14 отмечены кружками, граница крепления КЭ Я9 отмечена наклонной штриховкой. Отметим, что перемещения в законтурных узлах, лежащих на закрепленной границе (композита), равны нулю. Для остальных суперэлементов 8/ (е = 21,...,41) области Qk выбираются аналогично.

На базовом разбиении 80 строим дискретную модель $0 (і = 1,2), состоящую из КЭ с законтурными уз-

н

лами (с параметрами к1 = 5, т.е. а = 5Н, к2 = — = 6), которые построены на суперэлементах 8/.

2к

О О О О О О

О О О О О О

О О О О О 0

О О О 1 1 1 О-

в?

О О О 1 1— 1 1 О

Рис. 10. КЭ с законтурными узлами Я14

Анализ результатов табл. 1 (перемещений и) и табл. 2 (эквивалентных напряжений аэ) показывает, что максимальные значения (по модулю) перемещений и0 базовой модели S0 и перемещений и2 дискретной модели 82 (построенной на второй итерации) отличаются на 1,36 %. Максимальные значения эквивалентных напряжений <г0, <г2 соответственно моделей 80, 8° отличаются на 0,54 %. Напряжения <70, <г2 определяем в центре тяжести КЭ 82* по формуле четвертой теории прочности. Максимальные значения перемещений и0 и напряжений <г0 выделены жирным шрифтом.

Таблица 1

х \ у 24Н 36Н 48Н 60Н 12Н 84Н и

12Н 44,436 63,228 80,347 94,344 103,259 108,110 и0

45,309 64,360 81,713 95,829 104,624 109,591 и2

46,019 65,750 83,132 97,325 106,207 111,290 и1

Таблица 2

х \ у 03 33 53 213 513 593

3Н 6,745 0,692 4,595 0,689 1,101 1,572 ^0

6,782 0,694 4,629 0,685 1,117 1,593 ^2

6,762 0,687 4,589 0,684 1,138 1,620 ^1

Расчеты показывают, что сеточные перемещения и2 и напряжения <г2 отличаются от соответствующих значений перемещений и напряжений и3, <г3, построенных на третьей итерации, на достаточно малую величину, и поэтому используем две итерации. Базовая модель 80 содержит 3048 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 78. Дискретная модель 8 2° (состоящая из КЭ с законтурными узлами) имеет 98 неизвестных (т.е. размерность дискретной модели 8° в 31 раз меньше

размерности базовой) и ее лента СУ МКЭ (шириной 82) занимает в 29 раз меньше памяти ЭВМ, чем лента базовой модели.

Разбиваем каждый КЭ 82* исходного базового разбиения композита на четыре квадратных КЭ и в результате получаем дискретную модель 8 *, состоящую из квадратных КЭ 8кк первого порядка со стороной к. Область 8е представляем квадратными КЭ 8*, } = 1,...,144, е = 1,...,41 (рис. 1). На данном разбиении области 8е строим квадратный суперэлемент 8* со стороной Н = 12к На мелком разбиении 8* строим дискретную модель 8* (і = 1,2), состоящую из квадратных КЭ с законтурными узлами (со стороной

*

Н = 12к), которые спроектированы на базе суперэлементов 8е по процедуре, изложенной в п. 1. При этом используем основную область Q0 размерами 5Н х 5Н (рис. 3). Анализ результатов табл. 3 (пере** мещений и ) и табл. 4 (эквивалентных напряжений аэ) показывает, что максимальные значения перемещений и0 базовой модели 8 * и перемещения и * дискретной модели 8 * (построенной на второй итера**

ции) отличаются на 1,85%. Максимальные значения эквивалентных напряжений <г0 и <г2 (отвечающие мо**

делям 8 и 82) отличаются на 1%.

Таблица 3

x \ у 24h 36h 48h 60h 72h 84h * u

46,491 65,682 83,167 97,468 106,435 111,117 * u0

72h 47,642 67,167 85,020 99,519 108,344 113,183 * U2

48,590 69,125 87,075 101,730 110,696 115,709 * ux

Таблица 4

x \ у 0,5h 1,5h 2,5h 58,5h 60,5h 71,5h *

4,872 4,242 0,632 1,035 1,488 8,796 * ^0

12,5h 4,994 4,275 0,632 1,052 1,508 8,887 * ^2

5,131 4,433 0,620 1,583 1,578 8,957 * ^1

Дискретная модель S* содержит 12000 узловых неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 150. Дискретная модель S* (состоящая из КЭ с законтурными узлами) имеет 98 неизвестных (т.е. размерность модели S * в 122 раза меньше размерности базовой) и ее лента СУ МКЭ (шириной 82) в этом случае зани-

*

мает в 223 раза меньше памяти ЭВМ, чем лента базовой модели S композита. Отметим, что поскольку КЭ с законтурными узлами, из которых состоят дискретные модели S *, S *, построены на основе квадратных

суперэлементов со стороной H при a = 5H , где H = const, то модели S*, S* имеют одинаковые размерности и одинаковую ширину лент СУ МКЭ.

Итак, последовательное равномерное измельчение исходного базового разбиения области композита, представленного квадратными суперэлементами со стороной H, не приводит к увеличению размерностей дискретных моделей, которые состоят из КЭ с законтурными узлами, построенных при H = const,

a = const, где a - сторона квадратной основной области Q0 (см. рис. 3).

Литература

1. Фудзии, Т. Механика разрушений композиционных материалов / Т. Фудзии, М. Дзако. - М.: Мир, 1982.

2. Постнов, В.А. Численные методы расчета судовых конструкций / В.А. Постнов. - Л.: Судостроение, 1977.

3. Норри, Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де-Фриз. - М.: Мир, 1981.

4. Матвеев, А.Д. Конечные элементы с законтурными узлами. Процедура исключения определенного типа неизвестных в эрмитовых моделях / А.Д. Матвеев. - Красноярск, 1991. - 28 с.

5. Матвеев, А.Д. Построение суперэлементов с законтурными узлами для решения задач теории упругости. Метод исключения неизвестных МКЭ на границах суперэлементов / А.Д. Матвеев. - Красноярск, 1992. - 68 с.

6. Матвеев, А.Д. Конечноэлементный анализ плоской задачи упругости с применением экономичных суперэлементов с законтурными узлами / А.Д. Матвеев. - Красноярск, 1994. - 32 с.

7. Самуль, В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И. Самуль. - М.: Высш. шк., 1970.

----------♦'------------

УДК 624.006.014:51 Н.П. Воробович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЗАДАЧ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И СТРОИТЕЛЬСТВА КОМПЛЕКСОВ ОБЪЕКТОВ

В работе приведены математические модели задач: формирования пусковых комплексов, проектирования и строительства комплекса объектов несколькими исполнителями с учетом поставок складируемого ресурса, планирования для многоотраслевого строительного комплекса, а также обобщенная модель потока организации по объектам. Эти математические модели могут быть использованы для создания различных автоматизированных систем поддержки принятия решений (СППР) для организаций строительной отрасли.

Введение. Согласованная работа всех участников реализации строительного проекта не возможна без построения единого календарного плана. Рационально составленный календарный план является необходимым условием успешного хода работ на стройках.

Задачи календарного планирования являются фундаментом для моделирования производственной деятельности всех организаций-участников проекта. Поэтому календарное планирование - один из основных, наиболее сложных, трудоемких и ответственных комплексов задач по управлению проектом. От того, по какому календарному плану работает организация, зависят ритмичность выпуска продукции, длительность производственного цикла, объем незавершенного производства, себестоимость продукции и, наконец, вся экономика производственно-хозяйственной деятельности организации.

Ниже представлены математические модели задач календарного планирования и строительства комплексов объектов, в создании которых принимал участие автор данной статьи.

1. Задача формирования пусковых комплексов

Строительство крупного комплекса, состоящего из множества предприятий Т, осуществляет строительная организация. Заданы множества нескладируемых ресурсов N и продуктов P, являющихся сырьем или продукцией введенных в действие предприятий. В период строительства предприятие i характеризуется

продолжительностью строительства ai и количеством привлекаемого N-ресурса bik вида k. В период функционирования предприятие характеризуется удельным нормативом производства (потребления) продукта qik вида k, двусторонними ограничениями на интенсивность min qi, max qt и количества произведенного (потребленного) продукта min lk, max lk вида k стоимостью hk . Строительная организация