Многосеточное моделирование трехмерных упругих композитных балок и цилиндрических панелей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ґ • £ Г а ] Л

//Д^і

УДК 539.3

АД. Матвеев

МНОГОСЕТОЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ КОМПОЗИТНЫХ БАЛОК

И ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПАНЕЛЕЙ

В статье рассмотрено многосеточное моделирование трехмерных упругих композитных балок и цилиндрических панелей, которое сводится к построению дискретных моделей упругих композитов с применением многосеточных конечных элементов. Предлагаемые модели композитов проектируются (с учетом структуры) на основе базовых дискретных моделей. Размерности многосеточных дискретных моделей на несколько порядков меньше размерностей базовых. При этом решения, построенные для многосеточных моделей композитов, отличаются от решений, отвечающих базовым моделям, на заданную малую величину.

Ключевые слова: трехмерные балки, цилиндрические панели, композиты, многосеточные конечные элементы, метод конечных элементов.

A.D. Matveev

MULTIGRID MODELING OF THE THREE-DIMENTIONAL ELASTIC COMPOSITE BEAMS AND CYLINDRICAL PANELS

Multigrid modeling of the three-dimensional elastic composite beams and cylindrical panels which is reduced to construction of the elastic composite discrete models with the multigrid final element application is considered in the article. The offered composite models are projected (taking into account the structure) on the basis of the base discrete models. Multigrid discrete model dimensions are several orders less than the basic dimensions. At the same time the solutions made for the multigrid composite models differ from the solutions which meet the basic models on the set small value.

Key words: three-dimensional beams, cylindrical panels, composites, multigrid final elements, final element method.

Введение. При исследовании трехмерных упругих композитных балок и цилиндрических панелей широко применяют метод конечных элементов (МКЭ) [1-2]. Однако конечноэлементный анализ трехмерных балок и панелей с учетом структуры сводится к построению дискретных (базовых) моделей высокого порядка [1]. Это создает определенные трудности при реализации МКЭ, которая требует большого объема памяти ЭВМ и больших временных затрат для решения систем уравнений МКЭ. Применение суперэлементов и нерегулярных разбиений для построения дискретных моделей малой размерности малоэффективно [2].

В данной работе показано построение многосеточных дискретных моделей трехмерных композитных балок и цилиндрических панелей. Поперечные сечения балок составлены из прямоугольников. Дискретные модели балок состоят из четырехсеточных конечных элементов (ЧтКЭ). Разбиения цилиндрических панелей представляются трехсеточными конечными элементами (ТрКЭ) и угловыми многосеточными конечными элементами (УМнКЭ). При этом ТрКЭ и ЧтКЭ имеют форму прямоугольного параллелепипеда [3-4]. Для проектирования ЧтКЭ (ТрКЭ) используются четыре (три) узловые сетки: трехмерная мелкая и три (две) двумерные крупные, вложенные в мелкую. Для перемещений ЧтКЭ (ТрКЭ) по правилам МКЭ на мелкой и крупных сетках определяются аппроксимирующие функции. Мелкая сетка порождена базовым разбиением ЧтКЭ (ТрКЭ), которое состоит из однородных КЭ первого порядка формы куба и учитывает композитную структуру. Крупные сетки определяются на смежных (боковых) гранях ЧтКЭ (ТрКЭ). Общее число узлов крупных сеток существенно меньше числа узлов мелкой. Построение ЧтКЭ (ТрКЭ) сводится к исключению параметров МКЭ с помощью метода конденсации во всех внутренних узлах мелкой сетки, а в узлах мелкой

сетки, расположенных на (боковых) гранях ЧтКЭ (ТрКЭ) и не совпадающих с узлами крупных сеток, параметры МКЭ исключаются с помощью аппроксимирующих функций, построенных на крупных сетках. УМнКЭ проектируются на основе ТрКЭ и стандартных трехмерных суперэлементов сложной формы.

Достоинства многосеточных дискретных моделей заключаются в том, что такие модели учитывают сложную структуру трехмерных композитов (балок, панелей). При этом размерности многосеточных дискретных моделей на несколько порядков меньше размерностей базовых моделей. Реализация МКЭ для многосеточных дискретных моделей требует значительно меньше времени счета и объема памяти ЭВМ, чем для базовых.

1. Процедура построения трехсеточных конечных элементов. Рассмотрим процедуру построения ТрКЭ формы прямоугольного параллелепипеда размерами ахсхЪ, который расположен в локальной декартовой системе координат Охххухгх. Для рис. 1 имеем а- 12/г, с — 12/г Ъ- 4/г, где а - длина, с - ширина, Ь - толщина ТрКЭ (т. е. толщина цилиндрической панели). Область ТрКЭ представляем базовым разбиением, состоящим из однородных односеточных КЭ V“ первого порядка формы куба со стороной И [1], в каждом узле которых узловыми неизвестными МКЭ есть значения перемещений и,\’,м>: у = 1 где М - общее число КЭ V*. Функции перемещений, напряжений и деформаций КЭ

V“ удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши [5]. Базовое разбиение ТрКЭ учитывает структуру и порождает мелкую узловую сетку V™ размерности т1 хт2 хт3 с шагом И по осям Оххх, Охух, Ох:х. Для рис. 1 имеем тх = 13, т2 = 13 , тъ - 5.

Рис. 1. Мелкая и крупные сетки ТрКЭ

С помощью метода конденсации [6] исключаем неизвестные МКЭ во всех узлах мелкой сетки, кроме тех узлов, которые лежат на боковых гранях ТрКЭ. В результате получаем трехмерный суперэлемент .

Верхняя и нижняя грани ТрКЭ (параллельные плоскости ОхУ\, рис. 1) являются верхней и нижней поверхностями цилиндрической панели. Потенциальную энергию П3 суперэлемента представим как [6]

=^(ч5№5]ч5-(ч5)гр5. 0)

где [К3 ] - матрица жесткости суперэлемента У5; р, - векторы узловых сил и неизвестных су-

перэлемента V; Т - транспонирование.

На мелкой сетке У^ двух боковых граней суперэлемента У3, параллельных плоскости ххО^х, определяем две крупные одинаковые двумерные узловые сетки Ухн размерности пххп3 и с шагами: Нх по оси Оххх, И3 по оси Ох2х. На мелкой сетке У^ двух боковых граней суперэлемента У3, параллельных плоскости уО\^ , определяем две крупные одинаковые двумерные узловые сетки У2 размерности

^ 211» |Л^'1»1 |Ч°^ 1\|-/у| 1пи1^/ и^цппсихисэьис/ р,оу тс/|лпи1с/ |уо.мисэи1С/ и\и г ц

п2хп3 и с шагами Н2 по оси Огу1, Н3 по оси Огг1. Сетки У^, Vя вложены в мелкую сетку V™, при этом Нх =к1к,Н2 = к2к ,Н3 = к3к, где к17к2,к3 - целые. На рис. 1 узлы крупных сеток У^, Vя отмечены точками, причем Нх = 2к , Н2= 3/г, Н3= 2/г, пх=1, п2= 5, п3= 3, кг= 2, к2= 3, А:3 = 2. С помощью полиномов Лагранжа [6] на крупной сетке У^ (/' = 1,2) определяем аппроксимирующие функции для перемещений и, V, щ ТрКЭ, которые соответственно обозначим через и, V, Щ. Эти функции представим в виде [6]:

Щ Щ Щ

»•,=хад, (2)

р=1 /?=1 /?=1

где - базисная функция -го узла крупной сетки У1Н\ - значения функций

и1,У1,\У1 в ¡5 -ом узле сетки У1Н\ Р = иг - общее число узлов сетки У1Н .

Обозначим <\н - вектор узловых параметров МКЭ крупных

сеток У1, У2 , У3 , т.е. вектор узловых неизвестных ТрКЭ, п0 - общее число узлов крупных сеток.

Используя (2), вектор узловых перемещений суперэлемента У5 выражаем через вектор <\н. В результате построим равенство:

Чя=[Л]Чя. (3)

где [А ] - прямоугольная матрица вещественных чисел.

Подставляя (3) в выражение (1), из условия дПе / дцн - О получаем уравнение

[Кн]Чн=¥н, (4)

где

[^я] = [Л№5][А8], гя=и,]гр,; (5)

[Кя ],Жя - матрица жесткости и вектор узловых сил ТрКЭ, который обозначим через У/ ; е - по-

рядковый номер ТрКЭ.

Следует отметить, что матрица жесткости [Кя ] и вектор узловых сил Жя ТрКЭ определяются в локальной системе координат . По правилам ортогональных преобразований [1] в глобальной де-

картовой системе координат Оху2 матрица жесткости [К0] и вектор узловых сил Жя ТрКЭ вычисляются по формулам

К] = [£№*][£]. К=ШТ*Н>

где [ Ь ] - матрица направляющих косинусов [1].

Заметим, что оси О^, Оу параллельны, т.е. образующая цилиндрической поверхности параллельна оси Оу . На рис. 1 показано взаимное расположение систем координат ОхУ\2\ и Охуг для определения углов между осями (Охгх и Ог, Охух и Оу , Оххх и Ох), которые используются при построении матриц направляющих косинусов. Итак, при построении КЭ V/ используются три различных узловых сетки: две различные крупные двумерные узловые сетки V1, Vя и одна трехмерная мелкая узловая сетка Vт, поэтому КЭ V/ называется трехсеточным.

2. Процедура построения многосеточных угловых конечных элементов. Расчеты трехмерных композитов формы цилиндрической панели с применением МнКЭ показывают, что при построении дискретной модели композита (панели) целесообразно использовать угловые многосеточные КЭ (УМнКЭ) и ТрКЭ формы прямоугольного параллелепипеда [4]. При этом ТрКЭ имеют одинаковые мелкие и крупные узловые сетки. Рассмотрим процедуру построения УМнКЭ, который обозначим через Са. УМнКЭ Са проектируются

с применением ТрКЭ и стандартных суперэлементов сложной формы. На рис. 2 показан УМнКЭ Оа, который состоит из двух ТрКЭ У^, У^ и одного суперэлемента V* (Ь - толщина панели, с - длина УМнКЭ

Суть построения УМнКЭ заключается в следующем. Вначале строим стандартный трехмерный суперэлемент [2] сложной формы У^ (рис. 2). Разбиение суперэлемента У^, состоящее из КЭ первого порядка, учитывает структуру композита. Затем строим ТрКЭ У1а, У^ по процедуре, которая аналогична процедуре построения ТрКЭ V/ , описанной в п. 1. Отличие данной процедуры от процедуры п. 1 состоит в том, что на боковой грани ТрКЭ У1а (У^), совпадающей с границей суперэлемента V*, узловые неизвестные МКЭ мелкой сетки не исключаются. При этом предполагается, что мелкие сетки ТрКЭ У\ (У^) и суперэлемента V* на общей границе совпадают. Используя ТрКЭ У1а, У^ и суперэлемент V*, по правилам МКЭ

У

г

Рис. 2. Угловой многосеточный КЭ С

а

строим сложный КЭ У£. Исключая с помощью метода конденсации неизвестные МКЭ внутри области КЭ У?, получаем УМнКЭ Оа. Отметим, что матрицы жесткости КЭ У1а, У^, У^ вычисляются вначале в локальных системах координат, а затем в глобальной системе координат Оху2 (используя матрицы направляющих косинусов [1]).

3. Процедура построения трехмерных четырехсеточных конечных элементов. Процедура построения ЧтКЭ формы прямоугольного параллелепипеда (типа пластины), расположенного в локальной декартовой системе координат Оххху^х (рис. 3), аналогична процедуре п. 1.

Рис. 3. Мелкая и крупные сетки ЧтКЭ (параллелепипед А типа пластины)

Отличие данной процедуры от процедуры п. 1 состоит в том, что в этом случае на мелкой сетке ЧтКЭ строим стандартный суперэлемент [2] (т.е. узловые неизвестные МКЭ исключаем во всех внутренних узлах мелкой сетки), а три крупные сетки определяем на смежных гранях ЧтКЭ. При этом считаем, что соответствующие оси общей системы координат Охух и локальной Охххух2х параллельны. На рис. 3 узлы крупных сеток отмечены точками. Таким образом, при построении данного КЭ (рис. 3) используются четыре различных узловых сетки: три различные крупные двумерные узловые сетки и одна трехмерная мелкая узловая сетка, поэтому построенный КЭ называется четырехсеточным.

Процедура построения ЧтКЭ на базе прямоугольного параллелепипеда В (типа стенки), показанного на рис. 4, аналогична вышеописанной. При этом предполагается, что соответствующие оси общей системы координат Оху2 и локальной Оххху^х, в которой расположен параллелепипед В, параллельны.

В данной работе рассматриваются композитные балки, поперечные сечения которых состоят из прямоугольников. На рис. 5 показаны поперечные сечения ряда композитных балок: 5а - двутавр, 56 - швеллер, 5е - полый прямоугольник, 5г - перевернутое корыто. Сечения состоят из одинаковых прямоугольников (размерами ахЬ), границы которых на рис. 5 отмечены жирными линиями; сечения жестких слоев балки закрашены, а сечения мягких слоев - заштрихованы.

Расчеты показывают, что при построении дискретных моделей трехмерных изгибаемых композитных балок (поперечные сечения которых состоят из прямоугольников) целесообразно использовать трехмерные многосеточные суперэлементы, в основе проектирования которых лежат ЧтКЭ.

х

О

У

Рис. 4. Прямоугольный параллелепипед В (типа стенки)

а

\

к

А у

<—►

<—►

а

б

в

Рис. 5. Поперечные сечения балок

Процедуру построения трехмерных многосеточных суперэлементов задачи изгиба балок рассмотрим на примере двутаврового многосеточного трехмерного суперэлемента У^, расположенного в локальной

декартовой системе координат Ох2у2г2 (рис. 6). Суперэлемент У^ состоит из трех одинаковых прямоугольных параллелепипедов А и В (рис. 3-4). Параллелепипеды А есть жесткие слои двутавра, параллелепипед В - средний (мягкий) слой. Основные положения процедуры построения суперэлемента VI состоят в следующем. Используя параллелепипеды А и В, проектируем стандартные суперэлементы [2; 6] V/ и Vf соответственно. Разбиения суперэлементов V/, Vf, состоящие из КЭ первого порядка

формы куба, учитывают его композитную структуру. Для каждого стандартного суперэлемента V/, V/ строим соответственно ЧтКЭ У1а, У^ по процедуре, которая описана в п. 3. При этом предполагается, что мелкие и крупные сетки ЧтКЭ Уха, V* одинаковы.

г

а

Ь

Ь

Ь

а

а

Ь

Ь

Ь

а

а

а

Ь

г

Рис. 6. Многосеточный суперэлемент VI

Используя ЧтКЭ Ка2, по правилам МКЭ строим сложный КЭ К/. Исключая с помощью метода конденсации неизвестные МКЭ внутри области КЭ V? и на его боковых гранях между плоскостями г2 = 0, г2 =2Ъ + а и плоскостями у2 = 0, у2 = с (см. рис. 6), получаем многосеточный трехмерный суперэлемент VI задачи изгиба двутавровой балки.

4. Результаты численных экспериментов.

4.1. Рассмотрим в декартовой системе координат Oxyz решение по МКЭ модельной задачи теории упругости для трехмерной упругой прямоугольной цилиндрической трехслойной панели толщины Ь и длины Ь, Н - высота панели (рис. 7). При у = 0,Ь имеем и = у = м> = 0 (т. е. на торцах панель жестко закреплена). Панель нагружена сосредоточенными силами qz =4,53, которые приложены в точках композита с координатами , г”, где х\ =2Ь(к-\), к- 1,...ДЗ; у\ = 12/г + \2hii -1), / — 1,.. ,5, =4к.

Значения х\,у\,х\ заданы в локальной декартовой системе координат ^ХУг^ (рис. 7-8), ^у^х -плоскость симметрии панели. Силы дг схематично показаны на рис. 7. Модуль Юнга для связующего материала равен 1, для жестких слоев - 10, коэффициент Пуассона // = 0,3; Ь = 90/г, Ъ = 4/г, /г = 0,5, толщина жестких слоев равна h. На рис. 1 сечения жестких слоев ТрКЭ закрашены. Многосеточная дискретная модель панели состоит из ТрКЭ К/ и УМнКЭ Оа (рис. 1-2). ТрКЭ Vх, V^l Veч размерами 12/г х 12/г х 4/г (рис. 2) имеют одинаковые мелкие и крупные узловые сетки. Поперечное сечение разбиения панели состоит из двух УМнКЭ Са и двух ТрКЭ Уе9.

На рис. 8 показан левый торец панели, представленный разбиением на ТрКЭ V1q, Vq и УМнКЭ G1, С2 (е = 1,2, а = 1,2).

Рис. 7. Расчетная схема панели

Мелкая сетка ТрКЭ Vх, У^, Уед имеет размерность 13x13x5, крупные сетки имеют размерности 5x3 и 7x3 (крупные сетки расположены на боковых гранях ТрКЭ, рис. 1). Мелкое (базовое) разбиение ТрКЭ Vх, У„ , К/ состоит из однородных изотропных КЭ формы куба со стороной И . Разбиение суперэлементов У^ (которые используем при построении УМнКЭ Са, рис. 2) состоит из однородных изотропных КЭ У^ первого порядка формы прямоугольного параллелепипеда размерами 0,25/г х/гх/г.

На рис. 9 показано разбиение попереченого сечения суперэлемента У^ на КЭ У^. Суперэлемент VI состоит из двух подобластей У^ и У2 сложной формы, которые соединяются между собой в конечном числе точек. Сечения ^, £2 подобластей V/, У2 (расположенные в плоскости, которая перпендикуляр-

на оси Оу , рис. 5) на рис. 9 соединяются в четырех отмеченных точках. Сечения жестких слоев (толщиной ¡1) суперэлемента У^ закрашены.

Характерные значения перемещений и эквивалентных напряжений многосеточной и базовой моделей панели даны в табл. 1-2. Координаты точек панели, для которых находим перемещения и напряжения, заданы в локальных декартовых системах координат Оххху^\ и О2х2у2г2 (рис. 7-8). Оси ОУ1, О2у2 и Оу параллельны, при этом у^ =у2 = у . Перемещения определены при у^ =36И (табл. 1), напряжения при у2 =35й (см. табл. 2). Базовая дискретная модель панели, состоящая из однородных изотропных КЭ уи первого порядка (формы куба со стороной И и прямоугольного параллелепипеда размерами

0,25/г х /г х /г), учитывает структуру и порождает мелкую узловую сетку ГЛ.

Анализ результатов расчетов показывает, что максимальное значение перемещений м>ь - 92,030 многосеточной модели отличается от максимального перемещения м>0 = 95,368 базовой на 3,5% (см. табл. 1).

Таблица 1

^ \ х 4И 5И 6И 7И 8И 9И и, V, ^

4И 93,740 90,175 93,428 91,118 95,368 91,707 94,099 92,030 95,102 92,005 92,927 91,453 ^0 ™И

Эквивалентные напряжения оъ многосеточной дискретной модели панели и сг0 базовой вычисляем в центрах тяжести КЭ У И по четвертой теории прочности [8]. Максимальное значение сг/г = 37,949 отличается от максимального значения сг0 = 38,049 на 0,26% (см. табл. 2).

Таблица 2

сч * сч N 0,5И 1,5И 2,5И 3,5И 4,5И 5,5И

3,5И 38,049 37,978 34,161 33,877 31,011 30,569 28,240 27,571 24,261 23,342 20,486 20,108 ^0

Базовая дискретная модель панели содержит 105327 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 1344. Многосеточная дискретная модель панели имеет 4059 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 870 и занимает в 40 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. Время реализации МКЭ для многосеточной модели тела в 2 раза меньше, чем для базовой.

4.2. Рассмотрим в декартовой системе координат Охуі решение по МКЭ задачи изгиба трехмерной упругой трехслойной двутавровой балки длины Ь. Балка расположена в декартовой системе координат Охуг (рис. 10), Н - высота сечения балки.

Рис. 10. Расчетная схема двутавровой балки

При у = 0,Ь имеем и = у = м> = 0 (т.е. на торцах балка жестко закреплена). Сечение балки состоит из трех одинаковых прямоугольников размерами ахЬ . Размеры сечения балки показаны на рис. 5, а, где а = 16/г, с = 12/г, Ъ = 4/г, И = 0,5 . Балка нагружена сосредоточенными силами </_= 0,23, которые приложены в точках области балки с координатами хк.,уі,г0, где хк -2к(к-1), £ = 1,...Д7; уі=\2кл-\2к{і-Х), і = 1,... ,5, г0 - 24/г. Силы дг схематично показаны нарис. 10. Модуль Юнга для среднего (мягкого) слоя равен 1, для жестких слоев - 10, коэффициент Пуассона // = 0,3; X = 192/г, Н - 24/г, /г = 0,5, толщина жестких слоев равна 4/г. На рис. 10 боковые грани жестких слоев балки закрашены. Базовая дискретная модель балки, состоящая из однородных изотропных КЭ V* первого порядка формы куба со стороной И, учитывает структуру и порождает мелкую узловую сетку. Многосеточная дискретная модель балки состоит из трехмерных многосеточных суперэлементов VI (рис. 6). Характерные значения

перемещений и эквивалентных напряжений многосеточной и базовой моделей балки даны в табл. 3-4. Координаты точек балки, для которых находим перемещения и напряжения, заданы в декартовой системе координат Охуг (рис. 10). Перемещения определены при х = 16/г (табл. 3), напряжения - при х = 8,5/г (табл. 4).

Анализ результатов расчетов показывает, что максимальное значение перемещений м>ь =13,598 многосеточной модели отличается от максимального перемещения м>0 =13,651 базовой на 0,39% (см. табл. 3).

Таблица 3

г \ у 42,5к 48,5к 54,5к 60,5к 66,5к 72,5к w

24к 12.236 12.237 13,236 13,186 13.449 13.450 13,651 13,598 13,056 13,055 12,453 12,452 w0 wк

Эквивалентные напряжения <тА многосеточной дискретной модели композита и <т0 базовой вычисляем в центрах тяжести КЭ Vй по четвертой теории прочности [8]. Максимальное значение сгА -2,058 отличается от максимального значения сг0 =2,082 на 1,15% (см. табл. 4).

Таблица 4

г \ у 0,5к 1,5к 2,5к 3,5к 4,5к 5,5к (У

23,5к 2,026 1,927 2,082 2,058 1,854 1,888 1,666 1,681 1.485 1.485 1,316 1,308 о -5: Ь Ь

Базовая дискретная модель балки содержит 140385 узловых неизвестных, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 816. Многосеточная дискретная модель балки имеет 5967 неизвестных, ширина ленты СУ МКЭ равна 612 и занимает в 31 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем лента базовой модели. При этом время реализации МКЭ для многосеточной модели балки в 1,3 раза меньше, чем для базовой.

Были проведены расчеты композитных балок Ві (/' = 1,2,3), имеющих одинаковую длину Ь = 192/г.

Сечения балок В1,В2,В3 показаны соответственно на рис. 5,6, 5,е, 5,г, где а = 16/г, с = 12/г, Ь = 4/г, к = 0,5. Высота сечения балки Ві (/' = 1,2,3) равна , причем НХ=Н2= 24/г, Н3 - 20/г. У балок В модуль упругости жестких слоев равен 10, мягких - 1, коэффициент Пуассона равен 0,3. Балка Ві (/' = 1,2,3) имеет такое же закрепление и нагружена сосредоточенными силами д' в тех же точках области, как и двутавровая балка (рис. 10); имеем д] = 0,453, =д32 = 0,76. Базовые дискретные модели балок

В состоят из КЭ первого порядка формы куба со стороной к . Многосеточные дискретные модели балок В состоят из трехмерных многосеточных суперэлементов, построенных на основе ЧтКЭ по алгоритму п. 3. ЧтКЭ проектируются согласно процедуре п. 3 с применением параллелепипедов А и В (рис. 3-4). Анализ расчетов балок Ві показывает следующее. Максимальное значение сеточных перемещений w многосеточной дискретной модели балки В отличается от максимального значения сеточных перемещений базовой модели на 0,4% , для балки В2 - на 0,43, для балки В3 на - 0,03%. Относительная погрешность для максимальных сеточных эквивалентных напряжений базовой и многосеточной моделей для балки В равна 3,2 %, для балки В2 - 5,2, для балки В - 3,27 %.

Замечание. Обозначим через и0 вектор узловых перемещений базовой модели трехмерного композита (балки, цилиндрической панели), которая состоит из однородных КЭ первого порядка формы куба. Пусть ||ио - иI \\<61, где ио- точное решение, пусть ||и° -иА ||<£, где иА - вектор узловых перемещений многосеточной дискретной модели композита. Тогда имеем ||ио-1ГА ||<с>0, где с>0 =дх + 3, погрешность <?! определяется базовым разбиением тела. Факторы, влияющие на погрешность ди изучены в теории МКЭ [1; 7]. Расчеты показывают, что погрешность 8 зависит от соотношения шагов мелких и крупных узловых сеток УмнКЭ, ТрКЭ, ЧтКЭ (при фиксированных размерах УмнКЭ, ТрКЭ и ЧтКЭ).

Отметим, что с помощью предлагаемого многосеточного моделирования можно исследовать трехмерное напряженное состояние гофрированных пластин, ангарных сооружений и судовых корпусов [2], состоящих из пластин, цилиндрических панелей и подкрепляющих их ребер.

Литература

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.

2. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1977.

3. Матвеев А.Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов: деп. в ВИНИТИ. № 2990-В00 / Институт вычислительного моделирования СО РАН. - Красноярск, 2000. - 30 с.

4. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. - 2004. - № 3. - С. 161-171.

5. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1970.

6. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.

7. Стренг Г., ФиксДж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977.

8. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наук. думка, 1975.