Компьютерное моделирование влияния сферической аберрации III порядка на построение германиевой линзой инфракрасного излучения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

УДК 535 Иванов Максим Сергеевич,

аспирант; ассистент кафедры «Безопасность жизнедеятельности и инженерная защита окружающей среды»,

Забайкальский институт железнодорожного транспорта - филиал ИрГУПС,

e-mail: vanov.maks@mail.ru; тел. 8-924-376-80-34

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СФЕРИЧЕСКОЙ АБЕРРАЦИИ III ПОРЯДКА НА ПОСТРОЕНИЕ ГЕРМАНИЕВОЙ ЛИНЗОЙ ИНФРАКРАСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

M.S. Ivanov

COMPUTER SIMULATION OF THE SPHERICAL ABERRATION OF THE III ORDER TO BUILD THE FOCUSED INFRARED RADIATION WITH A GERMANIUM LENS

Аннотация. В данной статье с помощью компьютерного моделирования проведён анализ влияния продольной сферической аберрации на фокусировку инфракрасного излучения германиевой линзы. Представленная математическая модель даёт возможность на примере известных методов оценить величину аберрации германиевой линзы известной геометрии. Показано, что для повышения точности фокусировки теплового излучения необходимо создание метода, позволяющего экспериментально определять продольную сферическую аберрацию в инфракрасной области спектра.

Ключевые слова: продольная сферическая аберрация, германиевая линза, инфракрасное излучение.

Abstract. In this paper, using computer simulation analysis of the influence of the longitudinal spherical aberration on the focusing of infrared germanium lenses is carried out. The given mathematical model provides an example of known methods to estimate the aberration of germanium lenses of known geometry. It is shown that to improve the accuracy of focusing the thermal radiation it is necessary to create a method allowing to experimentally determine the longitudinal spherical aberration in the infrared spectrum.

Keywords: longitudinal spherical aberration, germanium lenses, infrared radiation.

Введение

В последние годы широкое применение находят оптико-электронные системы на основе полупроводниковых приемников излучения и оптико-механического сканирования. Эти системы

применяются в качестве теплопеленгаторов, предназначенных для обнаружения различных объектов по их тепловому излучению при наведении на них датчика приёма теплового сигнала. В связи с бурным развитием полупроводниковых приёмников излучения их чувствительность многократно возросла, а инерционность стала существенно ниже. Это дало возможность использовать подобные оптико-электронные системы не только для обнаружения объектов, но даже для их опознавания [1]. В настоящее время системы теплопеленгаторов широко применяются как в военной технике, так и в промышленности, медицине, научных исследованиях и т. п.

Тепловое изображение в теплопеленгатор-ных приложениях получается следующим образом. Реальная оптическая система собирает инфракрасное излучение (ИК-излучение), осуществляя тем самым спектральную фильтрацию, фокусирует его на чувствительный элемент приемника, далее оптический сигнал преобразуется в соответствующий электрический сигнал, который затем усиливается и обрабатывается. Материалом линз, используемых для фокусировки ИК-излучения в оптике теплопеленгаторов, как правило, служит германий - германиевая линза (Ое-линза), пропускающая ИК-излучение в диапазоне от 2 до 15 мкм. Благодаря своему показателю преломления Ое-линза является очень полезным компонентом ИК-систем построения изображения, работающих в двух «атмосферных окнах» от 2-5 и 8-12 мкм [2].

Реальная оптическая система обладает аберрациями различного рода, отцентрированная же содержит только сферическую аберрацию. В теп-лопеленгаторах, используемых на железнодорож-

иркутским государственный университет путей сообщения

ном транспорте, в конструкции детекторов напольной сигнализации используется болометр полупроводникового типа с Ое-линзой сферической формы (см. рис. 1, где Я - радиус сферической поверхности линзы, I - геометрический размер толщины линзы, ё - толщина сферической части линзы на оптической оси, О - диаметр линзы, п -показатель преломления линза, ^ - фокус на оси, точка фокусировки лучей, несущих информацию о тепловом излучении (место крепления чувствительного элемента болометра типа БП-1 и БП-2М, размером 0,12 х 0,12 мм)).

Как и любой компонент сферической формы, линза не лишена сферической аберрации III порядка. Исследование данного вида аберраций Ое-линзы представляет актуальную задачу для анализа возможности уменьшения искажения ИК-сигнала при построении изображения в тепловых ИК приложениях.

две среды с показателями преломления п1 и п 2 (рис. 2). Луч, идущий параллельно оптической оси, падает на поверхность в точку М. Найдем

формулу продольной сферической аберрации Ss* для этого луча в зависимости от параметров системы и угла и наклона преломленного луча к оптической оси, соблюдая принятое в геометрической оптике правило знаков.

Рис. 2. К выводу формулы продольной сферической аберрации для выпуклой преломляющей поверхности

Пользуясь законом преломления и геометрическими соотношениями (рис. 2), найдем

я = г0 + &п - МС-

Рис. 1. Выпукло-плоская ве-линза

Современные методы, такие как метод Гартмана, метод теневой картинки, интерферо-метрический метод и др., позволяют сделать оценку величины сферической аберрации оптических линз, применяемых в видимой области спектра; в ИК-области спектра экспериментальное определение величины сферической аберрации данными методами невозможно.

Таким образом, представляет практический интерес анализ математической модели влияния сферической аберрации, а также оценка ошибки результата построения фокусируемого ИК-излучения в Ое-линзе одним из вышеприведённых методов.

Для последующего сравнения этого результата с результатом расчёта величины сферической аберрации, предлагаемого в работах [3, 4] нелинейно-оптического метода, позволяющего определять величину продольной сферической аберрации экспериментально, путём АП-конверсии частоты ИК-излучения в нелинейном кристалле.

Теоретическая модель

Рассмотрим случай, когда выпуклая поверхность (поверхность второго порядка) разделяет

(1)

яти

где г0 - радиус кривизны при вершине выпуклой поверхности; 8яп - продольная аберрация нормали МС, она определяется по формуле [5]:

,2

' ' - 1

=

е 2 -1

_л/1 -(е 2 -1)& >

Длину же нормали МС можно определить

(2)

как

МС =

{1

2 ■ 2 е ягп р

(3)

где е - эксцентриситет поверхности второго порядка; р - угол наклона нормали к оптической оси.

г^ *

как

Так как и = р- г

ятг* = (ягпг*)/п = -(ягп р)/п, то

4

и

ягпг

ягпи

2 2 сояр + -^ п - ягп р

1 - п2

(4)

где п = п2/пх - относительный показатель преломления двух сред.

Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получим

я = Г

7 2 ■ 2 п - ягп р

1 -ч , == +

(1 - п2 1 - е2 ят2 р

+

е2 -1

сояр

41-

-1

22 е ягп р

(5)

*

г

о

2

е

/

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

В параксиальной области когда 0, тогда формула (5) примет известный в геометрической оптике вид

* rnn s* = - 0

n -1

(6)

(7)

Найдем зависимость угла р от u в виде явной функции. Так как

* *

sinu = sinpcosi + cospsini , то с учетом выражения

V2 ■ 2

n - sin р

cosi =-

n

уравнение (7) можно привести к виду

(n2 -1)2 + 4n2 si

sin2 u

sin4 ф -

-2n2 (n2 +l) sin2 u sin2 ф + (п sin u )4 = 0.

Решая это уравнение относительно sin29, получим

nsinu

sin p = ±

í

n +1 - 2ncosu

(8)

sinp = ± nQsinu; cosp = ±Q(ncosu -1); nsinu

tgp=±

ncosu-1

(9)

где Q = 4п2 +1 - 2ncosu .

Используя зависимости (5), (6) и (9), найдем продольную сферическую аберрацию Ss* = s* - s0 для луча, преломлённого под углом ы к оптической оси:

Ss = r

-±

1 - n e2 -1

±

ne cosu -1

(e2 - \)j 1 + n2 -2ncosu -(ensinu)

. (10)

Ш

Ss = r

m

-±

m -1 e -1

±

e cosu - m

(e2 - \)j 1 + m2 - 2mcosu -(esinu)2

(11)

где т = 1/ п .

Последнюю формулу можно преобразовать так, чтобы в качестве аргумента использовать только одну тригонометрическую функцию. Введем обозначения:

гп[в2 -т) 2в2

[в - 2[т -1) в

а = sin —; A = -2

- m

b =

4e

4(e2 - m) (m -1)2 (m -1)

c = -

с учетом, которых формула (11) примет вид

Ss* = A

1 -

1 - аа

Знак плюс соответствует случаю, когда п > 1; при п < 1 следует брать знак минус. Таким образом, основные тригонометрические функции угла < в зависимости от ы примут вид

V1 - Ьа

Для приближенных пользоваться формулой

+ ca

2

(12)

вычислений можно

Ss*

2r (m2 - e2) 2 u —^-L 2 _

(m-1)3

2

(13)

Полученная формула справедлива для всех видов преломляющих поверхностей второго порядка. Знак минус следует брать при п < 1, плюс при п > 1.

В некоторых случаях более удобно пользоваться формулой

Если предметная точка расположена на конечном расстоянии от вершины выпуклой поверхности второго порядка, то получить в явном виде точную зависимость Ss* = f(и) практически невозможно. В этом случае необходим тригонометрический расчет хода лучей, а для приближенных вычислений - использование известных формул теории аберраций III порядка [6, 7].

Выпуклые поверхности второго порядка находят применение в оптических приборах различного назначения. Наиболее часто их используют в широкоугольных окулярах в качестве линзы с выпуклыми параболическими поверхностями. Такие выпуклые линзы используют в микрообъективах, предназначенных для работы за пределами видимой области спектра. В промышленности на железнодорожном транспорте находят большое применение линзы, имеющие сферическую, чаще параболическую или гиперболическую поверхности, в качестве оптики фокусирующей ИК-излучение на чувствительный элемент теплопе-ленгатора [8].

Рассмотрим на примере известного метода автоколлимационного контроля выпукло-плоских линз применение теоретической модели, анализируя формулы (10-11), (13) (рис. 3), когда после преломления на плоской поверхности излучение отражается от сферической поверхности Ge-линзы и затем идёт параллельно оси. Этот же ход лучей,

2

e

2

I

e

2

иркутским государственный университет путей сообщения

но в обратном направлении, возникает при падении пучка лучей со стороны плоской поверхности линзы. Важно оценить величину погрешности

сферической поверхности линзы &* и проанализировать влияние параметров геометрии линзы на построение изображения после прохождения ИК-излучения через неё.

Рис. 3. Схема контроля выпукло-плоской сферической линзы при автоколлимационном отражении от плоской поверхности

*

Продольную сферическую аберрацию оя луча, преломленного на плоской поверхности, можно вычислить по приближенной формуле

Ss*

ns 2

(n2 -1)/

2 +1(n2 - ф*

Ss'

'0 (e2 -1

16

+ -

3r,

256

0 e 2 - 1)3e 2 -1

шшт

Изготовлена линза из германия с показателем преломления п =4,05, геометрия которой следующая: эксцентриситет поверхности е = 3,24, радиус кривизны при вершине г0=10 мм и толщина линзы на оптической оси ё = 2,87 мм.

Зависимость поперечной сферической аберрации 5я* от угла и наклона преломленного луча к оптической оси получила вид кривой, представленной на рис. 4, величина аберрации имеет весьма существенные значения при и = 0,192 рад., а при 0,202 рад. она увеличивается практически в 5 раз, по отношению к 0,192 рад., принимая при этом весьма существенные значения.

(14)

При падении параллельного пучка лучей на отражающую сферическую поверхность второго порядка возникает аберрация, которую можно вычислить по формуле

)Л (15)

где r0 - вершинный радиус кривизны поверхности линзы; e - ее эксцентриситет. Легко заметить, что по аналогии с выводом формул (10), (13) продольной сферической аберрации, здесь и = ф, а и* = и .

В итоге, если не учитывать отражающий эффект на сферической поверхности линзы, полагая, что излучение проходит параллельно оптической оси линзы через её выпуклую поверхность, данные формулы сводятся к формулам (10) и (11), а также к (13) для расчёта величины аберрации приближенного значения.

Компьютерное моделирование

Компьютерное моделирование проводилось с учётом математического аппарата контроля автоколлимационного отражения от плоской поверхности. В программной среде Delphi 7, а также в программном пакете CODE V9.5 были получены результаты расчётов величины продольной сферической аберрации III порядка для выпукло-плоской линзы, которая используется в качестве основного оптического элемента болометра БП-1.

Рис. 4. График зависимости от угла и

Угол наклона преломленных к оптической оси лучей напрямую зависит от диаметра О входного зрачка Ое-линзы. Делаем вывод, что чем больше диаметр зрачка, тем больше угол и , а значит и величина продольной сферической аберрации.

Рис. 5. Распределение интенсивности сфокусированного ве-линзой излучения

Интенсивность в Ое-линзе данной геометрии распределена по всему входному зрачку неравномерно, это видно на рис. 5, где чётко выражен максимум интенсивности сходящихся пара-

4

2

Информатика, вычислительная техника и управление. Приборостроение. Метрология. Информационно-измерительные приборы и системы

ксиальных лучей, значение которого соответствует мнимому геометрическому размеру толщины

*

линзы l = 14,241 мм. Действительное же значение геометрического размера толщины линзы l =13,333 мм.

Данный результат получен для длин волн в интервале от 2 до 6 мкм, отсюда можно сделать вывод, что для большего интервала, например от 2

до 12 мкм, величина сферической аберрации Ss* может существенно коррелировать в ИК-области спектра, измеряемой полупроводниковым болометром, в котором и используется линза данной геометрии и свойств.

Заключение

По результатам компьютерного моделирования и анализа полученных данных следует отметить, что информативное ИК-излучение, несущее тепловой сигнал, сходится далеко за фактическим положением чувствительного элемента полупроводникового болометра БП-1 и БП-2М.

Методы контроля сферических поверхностей, контроля аберраций III и большего порядков, математический аппарат которых был использован для построения компьютерной модели в данной работе, применимы исключительно для теоретического расчёта величины сферической аберрации, а также её анализа в ИК-области спектра. Для экспериментального же исследования и расчёта актуальной ошибки измерения следует принять во внимание, что визуальное наблюдение аберрационной картины сфокусированного линзой излучения невозможно, так как она находится в ИК-области спектра, невидимой человеческому глазу.

Автор выражает благодарность д. ф.-м. н., профессору, зав. кафедрой «Физика» Иркутского государственного университета путей сообщения -Анатолию Ильичу Илларионову за инициирование данной работы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Henini M., Razeghi M. Handbook of Infrared Detection Technologies. Elsevier Science Ltd, 2002. P. 509.

2. Ллойд Дж.. Системы тепловидения / пер. Н.В.Васильченко под ред. канд. техн. наук А.И.Горячева. М.: Мир, 1978. 416 с.

3. Илларионов А.И., Янчук О.В. Влияние сферической аберрации волнового фронта основного излучения на процессы генерации второй гармоники в одноосных кристаллах // IX Международная школа - семинар по люминесценции и лазерной физике: сб. науч. тр. / под ред. акад. С.Н. Багаева, акад. Н.А. Борисевича и проф. Е.Ф. Мартыновича. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2005. - С. 212-218.

4. Иванов М.С., Илларионов А.И., Горева О.В. Нелинейно-оптический метод измерения величины сферической аберрации германиевых линз в инфракрасной области спектра // Международная конференция «Фундаментальные проблемы оптики - 2010»: сб. науч. тр. / под ред. проф. В.Г. Беспалова, проф. С.А. Козлова -Санкт-Петербург: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2010. - С. 157-158.

5. Зверев В.А., Кривопустова Е.В. Оптотехника несферических поверхностей: учеб. пособие. -СПб.: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2006. 203 с.

6. Смирнов А.П. Аналитический метод аберрационного расчёта оптических систем. // Оптика и спектроскопия. 2007. Т. 102, № 1. С. 142-148.

7. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике: Расчет, изготовление и контроль. - 4-е изд., испр. и доп. - М.: Книжный дом ЛИБРО-КОМ, 2011. 296 с.

8. Слюсарев Г.Г. Методы расчёта оптических систем. - Л.: Машиностроение, 1969. - 671 с.