Компьютерное моделирование термической обработки металлических изделий токами высокой частоты на основе метода классических клеточных автоматов

Димаки А.В.; Каминский П.П.; Зуев Л.Б.; Псахье С.Г.

А.В. Димаки, П.П. Каминский, Л.Б. Зуев, С.Г. Псахье

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия

Представлена математическая модель процесса индукционного нагрева детали, построенная на основе метода классических клеточных автоматов. Создана компьютерная программа, реализующая данную модель. Приводятся результаты сравнения картины тепловых полей, наблюдаемых в эксперименте, и модельных данных. Рассматривается возможность использования модели для решения задачи синтеза алгоритмов управления оборудованием и конфигурации индуктора.

Computer-aided simulation of thermal treatment of metal articles by high-frequency current on the basis of cellular automaton method

A.V. Dimaki, P.P. Kaminskii, L.B. Zuev, and S.G. Psakhie

Mathematical model of induction heating of a detail, developed on the basis of classic cellular automaton method, is presented. Computer program, which realizes this model, is made. Results of comparison between experimental heat fields and model results are given. Possibility of using of model for synthesis of control algorithms and inductor configuration is considered.

1. Введение

Одним из перспективных способов термической обработки деталей является индукционный нагрев, основанный на применении токов высокой частоты [1-3]. При таком подходе обрабатываемое изделие помещается в индуктор, представляющий собой катушку индуктивности, через которую пропускается переменный ток. Возникающее магнитное поле приводит к возникновению в детали вихревых токов, за счет которых происходит разогрев материала [4, 5]. Применение такой обработки позволяет решить проблему формирования в материале тепловых полей с заданными пространственным распределением и динамикой. Таким образом, становится возможным управление процессом локального формирования требуемых фаз, и как следствие, необходимых физико-механических свойств изделий.

Однако для создания в материале требуемого пространственно-временного распределения температуры необходимо знание зависимости картины теплового поля в конкретной детали от параметров материала и режима работы индуктора. В связи с этим компьютерное моделирование процесса термической обработки изделий индукционными токами является актуальной задачей. Компьютерное моделирование дает возможность

с высокой точностью предсказывать динамику тепловых полей в детали, и на основании этих сведений формировать требуемые режимы работы технологического оборудования.

2. Описание модели

В основу разработанной математической модели индукционного нагрева положена концепция классических клеточных автоматов [6-9]. В рамках данной концепции моделируемая среда представляет собой совокупность взаимодействующих между собой элементарных объемов (клеточных автоматов). Каждый клеточный автомат в зависимости от условий задачи может принимать некоторый набор дискретных состояний и по некоторым правилам переходить из состояния в состояние. Кроме того, каждому клеточному автомату сопоставлен некоторый набор переменных, характеризующих параметры материала и физические процессы, протекающие в данном клеточном автомате.

В рамках данной модели клеточный автомат может находиться в следующих состояниях: 1) материал детали; 2) окружающая среда. В рамках предлагаемой модели клеточный автомат характеризуется вектором свойств:

И 0

2140

150

300 Н,А-м

Рис. 1. Зависимость теплопроводности (а), теплоемкости (б) и удельного электросопротивления (в) от температуры [1] и магнитной проницаемости от напряженности магнитного поля (г) [10] для модельной стали

Я = (с, я, d, р, е,р, ц, В], где с — удельная теплоемкость; X — коэффициент теплопроводности; d — размер автомата (полагаем автомат кубической формы); р — плотность; е — коэффициент черноты; р — удельное электрическое сопротивление материала; |Л, — относительная магнитная проницаемость материала; В — расстояние от центра автомата до поверхности образца, а также вектором динамических параметров

^ = (Т И],

где Т — абсолютная температура автомата; И — напряженность магнитного поля.

При моделировании принимаются во внимание следующие физические процессы:

1) разогрев материала за счет индукционных токов;

2) процессы теплопроводности в объеме материала;

3) потери тепла за счет излучения.

В рамках предлагаемой модели конвективный теплообмен не учитывается ввиду малых времен протекания процесса нагрева.

В предлагаемой модели явно учитывается зависимость теплофизических и электромагнитных характеристик материала от температуры. Вид модельных зависимостей теплофизических и электромагнитных параметров материала приведен на рис. 1.

Отметим, что при температурах выше температуры Кюри магнитная проницаемость считается независимой от напряженности магнитного поля и равной единице.

В данной модели распространение тепла определяется режимом работы индуктора, а также начальными

и граничными условиями. К начальным условиям относятся:

1) геометрическая конфигурация моделируемого объекта;

2) исходное распределение температур в объекте;

3) температура окружающей среды;

4) параметры индуктора.

Рассмотрим пару соседних клеточных автоматов (г',у) на временном шаге п. Количество теплоты для г-го автомата выражается как:

ОП = орт?. (1)

Количество теплоты, привнесенное в г-й автомат за счет теплопроводности:

до*- = 1 dД^ТС - Т )Хг, (2)

ХТ +Ь Т

где ТС =--------, Лt — шаг по времени.

Х{ + X ]

Количество теплоты, перенесенное излучением, определяется следующим соотношением:

ДОГ* = aгd2((Тепу)4 - (Тп“УЖ (3)

где а — постоянная Стефана-Больцмана; Тепу — температура окружающей среды (воздуха).

Количество теплоты, выделившееся в автомате за счет индукционных токов, определяется следующим образом:

= 32 pd 3Дt, (4)

где

J =

0.5Н

(5)

где 3 — плотность тока; И — действующее значение напряженности магнитного поля в г'-м автомате; А — модельный коэффициент, имеющий размерность расстояния. В предлагаемой модели коэффициент А полагается равным

Д =

2Р

где Ц0 — магнитная постоянная; ю — круговая частота колебаний магнитного поля.

Таким образом, полное количество теплоты, привнесенное і-й автоматом на временном шаге п, будет равно

АО2 =2 [дйГ +Ав*] + де“,

(6)

к=1

к = 1, к, т,

где т — число соседей г-го автомата.

Полное количество теплоты в г'-м автомате на (п+1)-м шаге будет равно

ОП+1 = оп + д^.

(7)

Таким образом, температура г-го автомата на временном шаге п + 1 определяется из следующего соотношения:

Тп +1 = О +ДО

CiPidi

(8)

Рассмотрим зависимость мощности теплопотерь в материале от расстояния до поверхности. Под мощностью теплопотерь будем понимать снижение мощности магнитного поля за счет его диссипации, сопровождаемой разогревом материала. Пусть магнитная проницаемость материала зависит от напряженности магнитного поля следующим образом [10]:

= + Н, Н < 300 А • м,

1^ = аН_р, Н > 300 А • м,

(9)

где ц — магнитная проницаемость материала в отсутствие внешнего магнитного поля; а, Р, у — модельные коэффициенты зависимости |Л,(И).

Отметим, что эмпирическая зависимость (9) аппроксимирует экспериментальные данные с ошибкой, не превышающей 5 % [10]. При использовании зависимости (9) аналитического решения системы уравнений Максвелла для напряженности магнитного поля не существует [4]. В этом случае возможно только численное нахождение распределения напряженности магнитного поля по глубине образца.

В предложенной модели для нахождения мощности теплопотерь в каждом клеточном автомате используется следующий алгоритм.

1. На основе численного решения уравнений Максвелла составляется таблица значений напряженности магнитного поля в зависимости от глубины х. При этом, напряженность магнитного поля рассчитывается на основе следующих соотношений:

Н(х) = Н8 ехр(-кх),

где

к = (1 + Л

ю^0^ 2Р ’

(10)

(11)

где ] =4~\; И8 — напряженность магнитного поля на поверхности образца.

При этом шаг по глубине, используемый при построении таблицы, должен быть много меньше размера клеточного автомата.

2. Для каждого клеточного автомата определяется минимальное расстояние до свободной поверхности В.

3. Для каждого клеточного автомата вычисляется эффективное действующее значение напряженности магнитного поля:

Н =■

1

D + 0^

| И (х)йх. (12)

а В-0.5а

На основании выражения (12) рассчитывается мощность теплопотерь в автомате по формулам (4) и (5). Предложенный алгоритм позволяет достаточно просто учитывать зависимость свойств материала от температуры. Для этого достаточно, зная вид зависимости свойств материала от температуры, выполнять шаги 1-3 после каждого шага по времени.

3. Результаты моделирования

На основе построенной математической модели индукционного нагрева был проведен тестовый расчет для случая стального стержня диаметром 12 мм. Параметры модельной стали соответствуют параметрам, приведенным на рис. 1. На рис. 2 показана расчетная зависимость температуры на поверхности стержня от времени.

На расчетной зависимости температуры от времени можно выделить два основных участка. Первый участок (до ~ 1.0 с), соответствует нагреву материала до точки Кюри. На этом участке нагрев протекает наиболее интенсивно. Это обусловлено тем, что при температурах ниже точки Кюри материал сохраняет ферромагнитные свойства и интенсивно поглощает электромагнитную энергию. Второй участок кривой (1.0-4.0 с) характеризуется снижением скорости нагрева, которая практически не изменяется на этом участке. Нагрев на данном участке идет в условиях потери материалом ферромаг-

12 3 4

Время, с

Рис. 2. Расчетная и экспериментальная [2] зависимости температуры на поверхности стержня от времени. Е = 0.65; а = 5-10-5 м; р = = 7 800 кг/м3; И8 = 250000 А-м; ш = 62 831 рад/с; |х' = 150; а = 307 154.3; 0 = 0.84886; у = 1.331743; Гепт = 300 К

нитных свойств, что приводит к резкому снижению поглощения энергии магнитного поля.

На рис. 2 приведены экспериментальные значения температуры на поверхности стержня диаметром 12 мм, выполненного из стали У8, при его индукционном нагреве [2], при этом параметры индукционного нагревателя соответствовали той же скорости нагрева материала, что и в проведенных вычислениях. Хорошо видно, что в целом характер расчетной и экспериментальной зависимостей совпадает.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

4. Выводы

В рамках концепции классических клеточных автоматов предложена компьютерная модель термической обработки изделий индукционными токами. Данная модель позволяет исследовать динамику тепловых полей в детали. Необходимо отметить простоту модели, относительно небольшие времена расчета, а также возможность достаточно простого задания структуры и формы моделируемых образцов.

Как видно из сравнения данных компьютерного моделирования и экспериментальных данных, разработанная модель позволяет получать результаты, достаточно хорошо согласующиеся с экспериментом.

В целом, разработанный метод моделирования представляется перспективным для анализа и проектирования технологических режимов термической обработки изделий различной геометрии. В частности, метод позволяет анализировать влияние профиля мощности и геометрической конфигурации индуктора на форму тепловых полей в обрабатываемой детали, что дает возможность, в перспективе, решать обратную задачу, т.е. синтезировать алгоритм управления технологическим оборудованием, а также конфигурацию индуктора на основании требований к распределению температуры в образце.

Литература

1. Бабат Г.И. Индукционный нагрев металлов и его промышленное

применение. Изд. 2-е. - М.-Л.: Энергия, 1965. - 552 с.

2. Кидин И.Н. Физические основы электротермической обработки металлов и сплавов. - М.: Металлургия, 1969. - 376 с.

3. Zuev L.B., Trusova G.V. Ultrasonic prediction of fatigue failure and suppression of the same by electric current pulse treatment. // Zeitschrift fur Metallkunde. - 1999. - V. 90. - No. 6. - P. 461^465.

4. Волъман В.И., Пименов Ю.В. Техническая электродинамика. - М.:

Связь. - 1971. - 484 с.

5. Слухоцкий А.Е. Установки индукционного нагрева. - Л.: Энерго-атомиздат. - 1981. - 325 с.

6. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учеб. руководство. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 272 с.

7. Фон Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. -М.: Мир, 1971. - 212 с.

8. Тоффоли Т., Марголус Н. Машины клеточных автоматов. - М.: Мир, 1985. - 280 с.

9. Псахъе С.Г., Шилъко Е.В., Негрескул С.И. Об описании движения фронта экзотермической реакции в порошковой среде // Письма в ЖТФ. - 1994. - Т. 20. - № 2. - С. 35-39.

10. Владимиров С.Н., Земан С.К., Шестаков А.Н. Базовая математическая модель поглощения электромагнитной энергии в нелинейной ферромагнитной среде // Аппаратно-программные средства автоматизации технологических процессов / Под ред. Ю.А. Шуры-гина. - Томск: Изд-во ТГУ, 2002. - Вып. 4. - С. 54-65.