Компьютерное моделирование электромагнитного рассеяния на структурах из нескольких тонких проводников Текст научной статьи по специальности «Физика»

А.Г. Дмитренко, Ю.А. Келлер

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО РАССЕЯНИЯ НА СТРУКТУРАХ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ТОНКИХ ПРОВОДНИКОВ

На основе метода вспомогательных источников построен численный алгоритм решения задач электромагнитного рассеяния на структурах, состоящих из конечного числа непересекающихся тонких проводников. Построенный алгоритм реализован в виде компьютерной программы для расчета характеристик рассеяния ряда структур, отличающихся взаимным расположением проводников. Исследовано влияние взаимного расположения проводников на бистатические сечения рассеяния рассмотренных структур, а также на распределение тока вдоль проводников.

Теория возбуждения и рассеяния электромагнитных волн тонким проводником родилась давно [1]. На начальном этапе эта теория была порождена запросами антенной техники. Однако с середины 60-х годов прошлого века исследователи начинают уделять всё большее внимание анализу рассеивающих свойств тонких проводников. Интерес к подобным исследованиям был обусловлен потребностями создания объектов с заданными рассеивающими свойствами. Наиболее распространенным методом решения как задач возбуждения тонкого проводника, так и задач рассеяния на нём является метод интегральных уравнений, порядок которых равен числу проводников в структуре. В данной работе для решения задач рассеяния на структурах, содержащих тонкие проводники, использован вариант метода вспомогательных источников, который позволяет исключить этап построения системы интегральных уравнений и тем самым упростить решение задачи. Даны математическая формулировка варианта и краткое описание возможностей реализованной на его основе программы для расчёта распределений тока вдоль проводников и характеристик рассеянного поля различных структур. Приведены результаты численных результатов, характеризующих взаимное влияние проводников на распределение тока вдоль них и бистатические сечения рассеяния.

1. ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОД ЕЁ РЕШЕНИЯ

Геометрия задачи показана на рис. 1. Будем рассматривать стационарную (зависимость от времени выбрана в виде ехр(/'ю/)) задачу дифракции электромагнитного поля {£0, Н0} на структуре, состоящей из и непересекающихся проводников, ограниченных поверхностями 8и (и = 1,2,...,и) и расположенных произвольным образом по отношению друг к другу. Под тонким проводником будем понимать идеальный проводник круглого сечения, диаметр которого мал по сравнению с длиной волны и длиной проводника. Эта структура размещена в однородной безграничной среде Бе с диэлектрической и магнитной проницаемостями ее и це соответственно в декартовой системе координат с началом отсчета, лежащим внутри проводника с порядковым номером и = 1. Требуется найти рассеянное поле {Ее, Йе} в области Бе.

Математическая постановка задачи имеет следующий вид:

1 = і®Р-еНе, [ЧЙе] = тгеЕе

[V, Ее

- в области Д.,

[Пи , Ее ] = -[Пи , Е0]

(1)

(2)

- на поверхностях 8и, где и = 1,2,...,и ,

[фГеЁе, Я / Я] + 4^еЙ е = 0(Я-1)„

[4^еЙе, Я / Я]-4^еЁе = ОСЯ-1) (3)

при Я . Здесь пи - единичные векторы нормалей

к поверхностям Би проводников; Я =у[Х

IX2 + у2 + 22

Рис. 1. Геометрия задачи

Решение сформулированной выше задачи получим следующим образом. Разместим (рис. 1) внутри каждого из тонких проводников на его оси непрерывно

распределенный вспомогательный ток 1и. Представим неизвестное рассеянное поле {Ее, Йе} в области Бе в виде суммы полей введенных вспомогательных токов:

и

Ее (М) = X [V, [V, Пи ]], Йе (М) = -X [V, Пи ],

К и=1 К,

и

'е и=1

п и =

е (М, м1 и) ЗиЛ.

(4)

Здесь ке = ®у1&е ке

Ям

^е (М, М1,и ) = (4пЯММі,и ) ЄХр(ІкеЯММі,и ) ;

4 - расстояние от точек М1 и на оси проводни-

ков до точки наблюдения М в области Бе; Ju - неизвестные осевые вспомогательные токи,

и = 1,2,..., и ; интегрирование проводится вдоль осевых линий проводников; 1и - осевая линия проводника с номером и .

и

Поле (4) удовлетворяет уравнениям Максвелла (1) и условиям излучения (3) в области Ве. Для того чтобы удовлетворить граничному условию (2), необходимо соответствующим образом выбрать осевые вспомогательные токи Зи (и = 1,2,...,и).

Введем кусочно-постоянную аппроксимацию осевых токов. Разобьем линию 1и каждого тока Ju на Ыи малых участков, в пределах каждого из которых ток можно считать постоянным. Тогда выражение для Пи в (4) приближенно можно записать в виде ми 1„л

Пи =£ JuA,I / *е (М,м,и )й1, (5)

¿=1 I • ,

и,/-1

где Jи i - ток на ¿-м участке проводника с номером и; еи i - единичный вектор, направление которого совпадает с направлением касательной в средней точке рассматриваемого участка. При таком подходе нахождение неизвестных распределений осевых токов

и

сводится к нахождению ^ ^ элементов тока.

и =1

Для определений значений элементов тока используем граничные условия (2), удовлетворяя им в соответствии с методом коллокаций. Пусть М ;-

(] = 1,2,...,Ьи) - точки коллокации на поверхности Би; Ьи - число точек коллокации на Би. В силу предположения о малости диаметра проводника по сравнению с длиной проводника и длиной волны будем считать, что вкладом в рассеянное поле азимутальных составляющих токов на поверхностях тонких проводников можно пренебречь. Тогда для нахождения неизвестных элементов токов Jui (и = 1,2,...,и;

i = 1,2,...,Ыи) получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с комплексной матри-и и

цей размерности (^ Ьи) х (^ К):

и=1 и =1

Е,и,1 =-Е,и,1, и = 1,2,...,и, ] = 1,2,...,Ьи , (6)

где Е]еи1 и Е^и1 - значения электрических компонент рассеянного (4) и возбуждающего полей вдоль оси проводника с номером и в точках коллокации на его поверхности.

Решение системы (6) определяется путём минимизации функционала

и Ьи

ф = ХХ1Екг + Ео,и,/ |2 . (7)

и =1 ] =1

После решения задачи минимизации (определения неизвестных элементов тока Jui, и = 1,2,...,и;

i = 1,2,...,Ми ) необходимые характеристики рассеянного поля определяем из (4). В частности, для компонент рассеянного поля в дальней зоне имеем

Е,е (м ) = (це / ее )1/2 Н,ф (М) =

= (ехрОкеЯ) / кеЯ) Ве (е, ф) + 0(Я-2),

Е,Ф (M) = -(^ / 8е )1/2 HeQ (M) =

= (exp(ikeR) / keR) Dy (0, ф) + O(R-2), (8)

где R - расстояние от начала системы координат до точки наблюдения M , а D0 (0, ф), Dy (0, ф) - компоненты диаграммы рассеяния, определяемые выражениями

U Nu __

D0(0, ф)=Z Z Ju,¡(cos 0 cos фcos аи i +

u=1 i =1

+ cos 0 sin ф cos ри,г - sin 0 cos yU1)Iu i,

U Nu

D(0, ф) = ZZ Ju i(- sin 0 cos au,i +

u =1 i=1

+ cos фcos Pu,i )Iu,1 , (9)

где Ju,i = i№ju,r (u = 1,2,-,U; i = l,2,•••, Nu ) - реше-

ние системы (6), cos au i, cos Pu ,г- , cos yui - направляющие косинусы единичного вектора eui; 0 и ф -

общепринятые угловые сферические координаты точки наблюдения M, а интеграл Iui имеет следующий вид:

kelu ,i

Iui = J exp{-i(sin 0 cos фкexlu + sin 0x

kelu ,i-1

x sinфкеу1л + cos0kez¡ u )}d(kel), где keX{ u, key¡ u, kezlu - координаты на оси проводника, по которым проводится интегрирование.

Данный метод, как и другие варианты метода вспомогательных источников, позволяет осуществлять апостериорную оценку точности полученного решения. В качестве величины, характеризующей точность, выберем значение относительной нормы невязки граничных условий на поверхностях всех проводников Su в точках, промежуточных по отношению к точкам коллокации, определяемое выражением

Д = (Ф'/Фо)1/2, Ф0 = Z hEL |2, (10)

u =1 j=1

где Ф - значение функционала (7) на указанной выше совокупности точек; Ф0 - значение нормы падающего поля на этой же совокупности точек; Lu -число промежуточных точек на поверхности проводника с номером u.

2. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

На основании вышеизложенного метода создана программа для расчета компонент рассеянного поля и контроля точности полученного решения для структур, конфигурация которых представлена на рис. 2 - 5.

Первая структура (рис. 2) представляет собой одиночный прямолинейный проводник длиной L1, расположенный в декартовой системе координат OXYZ таким образом, что его осевая линия направлена вдоль оси OZ, а середина осевой линии совпадает с началом системы координат. Вторая структура (рис. 3) состоит из двух параллельных проводников длиной L1 и L2 с

Рис. 2. Одиночный прямолинейный проводник

расстоянии 5 от второго проводника; середина осевой линии третьего проводника также расположена на оси ОХ. Четвертая структура (рис. 5) состоит из взаимно ортогональных проводников. Осевая линия первого проводника этой структуры длиной Ь1 ориентирована вдоль оси 02, её середина совпадает с началом системы координат. Два других проводника длиной Ь2 и Ь3 расположены на одинаковых расстояниях 5 от первого проводника таким образом, что их осевые линии направлены вдоль оси 07.

Входными величинами программы являются конфигурация структуры, падающее поле {Е0,Н0}, длины и радиусы проводников, расстояние между проводниками, а также число элементов разбиения осевого тока Ыи для каждого из проводников. В программе заложено, что точки коллокации на поверхности проводников размещены в сечениях, проходящих через середины токовых элементов (через точки М1 и на

рис. 1), причём в каждом сечении размещено четыре точки коллокации равномерно по азимутальному углу. По этой причине число точек коллокации жёстко связано с числом элементов разбиения осевого тока:

Ьи = 4 Ми .

Рис. 3. Структура из двух параллельных проводников

осевыми линиями, направленными вдоль оси 02, расположенных на расстоянии 5 друг от друга; середина осевой линии второго проводника расположена на оси 0Х. Третья структура (рис. 4) отличается от предыдущей наличием третьего проводника длиной Ь3, параллельного двум другим и расположенного на

Рис. 4. Структура из трех параллельных проводников

Рис. 5. Структура из взаимно ортогональных проводников

Минимизация функционала (7) осуществляется методом сопряженных градиентов; итерационный процесс останавливается при условии, если изменение функционала после выполнения очередной итерации не превышает 10-5.

При помощи данной программы выполнена серия вычислений, направленных на выяснение влияния числа элементов разбиения осевого тока на величину невязки граничных условий, на сравнение получаемых результатов с результатами других авторов, а также на оценку взаимного влияния проводников на распределения тока вдоль них и бистатические сечения рассеяния составленных из них структур. Некоторые результаты представлены ниже. Предполагается, что структуры возбуждаются таким образом, что векторы Е0 и ке лежат в плоскости 201 и вектор ке образует с осью 0У угол у (как показано на рис. 2 - 5). Предполагается также, что радиус проводников во всех случаях равен 0,02Х, где X - длина возбуждающей волны.

Зависимость нормы невязки граничных условий (10) от числа участков разбиения осевого тока иллюстрирует рис. 6.

А

10 20 30 40 50 60 70

Рис. 6. Зависимость нормы невязки от количества разбиения осевого тока для проводников различной длины

Результаты относятся к структуре, состоящей из одного проводника (рис. 2); угол падения плоской волны у = 0°. По оси абсцисс отложено число элементов (участков) разбиения линии осевого тока Ми , по оси ординат - значение нормы невязки граничных Д для этого числа разбиений. Кривая 1 относится к проводнику длиной Ь = 3Х, кривая 2 - к проводнику длиной Ь = Х и кривая 3 - к проводнику длиной Ь = Х/2.

Как видно из рисунка, при увеличении числа элементов разбиения осевого тока происходит уменьшение нормы невязки граничных условий. До определенного числа элементов уменьшение происходит достаточно быстро, при дальнейшем увеличении числа элементов тока наблюдается состояние «насыщения», при котором значение невязки уменьшается очень медленно. Выбирать число элементов разбиения большим того, при котором достигается состояние «насыщения», нецелесообразно, потому что это

приводит только к увеличению времени решения задачи. Для проводника длиной Х/2 состояние «насыщения» достигается при Ми = 20, для проводника длиной Х - при Ми = 40 и для проводника длиной 3Х - при Ми = 80. Если говорить о числе элементов разбиения на длину волны, то для всех рассмотренных проводников состояние «насыщения» достигается при числе элементов, равном 40 на длину волны.

На рис. 7 представлены результаты сравнения распределения осевого тока вдоль одиночного проводника длиной Ь = Х при угле падения плоской волны у = 30°.

І ^ |, усл.ед.

-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----1-----г

0 ________I_______I_______I_______I_______I_______I_______I_______I_______1_

-2.4 -1.2 0 1.2 2.4

Рис. 7. Распределение осевого тока вдоль проводника длиной Ь = Х

По оси абсцисс отложена координата точки на оси проводника, о по оси ординат - значение тока в этой точке в условных единицах. Кривая 1 - результаты, полученные данным методом, кривая 2 - результаты, взятые из работы [6] (получены методом интегральных уравнений). При получении кривой 1 в соответствии со сделанными выше рекомендациями линия тока разбита на 40 участков. При данном числе разбиений значение невязки равно 0,284. Как показывают эти кривые, имеет место хорошее совпадение сравниваемых результатов. Незначительные наблюдаемые отличия можно объяснить ошибками при графическом съёме информации с рисунка работы [6], а также погрешностями вычислений как данным методом, так и методом интегральных уравнений.

Результаты, представленные на рис. 8 - 11, позволяют оценить взаимное влияние параллельных проводников на токовые распределения и бистатические сечения рассеяния. Исследования такого рода представляют интерес для теории и техники проволочных (вибраторных) антенн, а также для оценки радиолокационной заметности объектов, содержащих такие провода. Оценка взаимного влияния проводников осуществлялась путём сравнения токов распределений вдоль проводников и бистатических сечений рассеяния структур, состоящих из двух (рис. 3) и трёх (рис. 4) параллельных проводников, с соответствующими характеристиками для одиночного проводника (рис. 2).

Рис. 8 и 9 характеризуют распределение токов вдоль оси проводников длиной Ь = Х, расположенных очень близко (5 = 0,0016Х) и достаточно далеко (5 = 3Х) друг от друга.

| J |, усл.ед 0.81-------'—

+-2 0 2 4

Рис. 8. Распределение токов вдоль оси проводников длиной Ь = Х, расположенных на расстоянии 5 = 0,0016Х

| ] |, усл.ед.

0 .7------1-----1------1-----1------1-----1------1-----

0 .1_____________I__________I___________I__________I___________I__________I__________I___________

- 4 -2 0 2 4

Рис. 9. Распределение токов вдоль оси проводников длиной Ь = Х, расположенных на расстоянии 5 = 3Х

Проводники возбуждаются плоской волной, падающей под углом у = 30°. По оси абсцисс отложена координата точки на оси проводника, по оси ординат

- значение тока в этой точке в условных единицах. Значение ке1 = 0 соответствует середине проводников, значения ке1 > 0 относятся к верхней части проводников, значение ке1 < 0 - к нижней части проводников. Кривые 1 на рис. 8 и 9 - распределение тока вдоль одиночного проводника; кривые 2 - распределение тока вдоль каждого из проводников системы из двух проводников (распределения одинаковы); кривые 3 -распределения тока вдоль первого и третьего проводников системы из трёх проводников (распределения одинаковы); кривые 4 - распределение тока вдоль второго (среднего) проводника системы из трёх проводников. Во всех случаях число элементов разбиения осевого тока выбиралось равным 40.

На рис. 10 и 11 представлены бистатические сечения рассеяния

ст(е,ф) = Иш{| Ее е(е,ф)|2 +|Евф(е,ф) |2}/| Е0 |2 (11)

тех же структур в полуплоскости у = 0° для тех же случаев взаимного расположения проводников:

5 = 0,0016Х (рис. 10) и 5 = 3Х (рис. 11).

Структуры возбуждаются плоской волной, падающей под углом у = 30°. По оси абсцисс отложен угол е в градусах, по оси ординат - величина ст / X2 в децибелах. На этих рисунках кривые 1 - бистатиче-

ское сечение рассеяния одиночного проводника (рис. 2), кривые 2 - бистатическое сечение рассеяния структуры из двух параллельных проводников (рис. 3), кривые 3 - бистатическое сечение рассеяния структуры из трёх параллельных проводников.

7^

10 ----1----1----1----1----1----1----1----г

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

9, град

Рис. 10. Бистатические сечения рассеяния структур, состоящих из проводников длиной Ь = Х, расположенных на расстоянии 5 = 0,0016Х

- 50_____I____I_____I____I____I____I____I____I______

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

в, град

Рис. 11. Бистатические сечения рассеяния структур, состоящих из проводников длиной Ь = Х, расположенных на расстоянии 5 = 3Х

Представленные на рис. 8 - 11 результаты расчётов позволяют сделать следующие выводы.

Если вблизи прямолинейного проводника находятся другие проводники, то распределение токов вдоль проводников существенно отличается от распределения тока вдоль одиночного проводника (см. рис. 8). Если структура состоит из двух проводников, то распределения тока на обоих проводниках одинаковы. Если структура состоит из трёх параллельных проводников, то распределения токов на крайних проводниках структуры одинаковы; распределение тока на среднем проводнике при том отличается от распределений токов на крайних проводниках. Отличие токовых распределений для систем проводников при расположении их близко друг к другу от распределения тока вдоль одиночного проводника объясняется сильным взаимодействием этих проводников. Однако, несмотря на существенные различия токовых

распределений систем близко расположенных проводников от распределения тока вдоль одиночного проводника, бистатические сечения рассеяния одиночного проводника и структур из двух и трёх параллельных проводников отличаются мало (см. рис. 10). Это говорит о том, что по отношению к рассеянному полю структура из близко расположенных параллельных проводников эквивалентна одному проводнику. Если проводники рассматриваемых структур находятся достаточно далеко друг от друга (в данном случае на расстоянии 5 = 3Х), то распределения токов вдоль проводников близки к распределению тока вдоль одиночного проводника (см. рис. 9). Это объясняется значительным уменьшением взаимодействия проводников структуры. В этом случае можно считать каждый проводник независимым рассеивателем, и рассеянное поле, следовательно, является суперпозицией полей, рассеянных каждым проводником, т. е. имеет интерференционную структуру, что и отражают результаты, представленные на рис. 11.

Результаты, представленные на рис. 12 - 19, позволяют оценить взаимное влияние ортогональных проводников на токовые распределения и бистатиче-ские сечения рассеяния. Как и в случае параллельных проводников, оценка взаимного влияния осуществлялась путём сравнения токовых распределений и бис-татических сечений рассеяния структуры, состоящей

из перпендикулярных проводников (см. рис. 5) с соответствующими характеристиками для одиночного проводника (см. рис. 2). При проведении численных расчетов во всех случаях число элементов разбиения осевого тока выбиралось равным 40 на длину волны.

На рис. 12 - 17 показаны распределения токов вдоль первого, второго и третьего проводников структуры, представленной на рис. 5, при различных углах падения плоской волны и различных расстояниях между проводниками.

Длина всех проводников структуры равна X. По оси абсцисс отложена координата точки на оси проводника, по оси ординат - значение тока в этой точке. Значение ке1 = 0 соответствует середине проводников; значения ке1 > 0 относятся к верхней части вертикального (первого) проводника структуры и к правым частям горизонтальных проводников структуры; значения ке1 < 0 - к нижней части вертикального проводника и левым частям горизонтальных проводников. Кривые 1 характеризуют распределение тока вдоль соответствующего проводника при 5 = 0,05Х, кривые 2 - при 5 = 0,2Х , кривые 3 - при 5 = 0,8Х и кривые 4 - при 5 = 1,5X . Для вертикального проводника (рис. 12 и 13) дополнительно нанесена кривая 5, которая характеризует распределение тока в отсутствие перпендикулярных проводников.

J |, усл.ед.

Рис. 12. Распределение тока вдоль первого проводника структуры при нормальном падении плоской волны (у = 0°)

0.8

0.4

. .

- 3,4,5 X //Чи \ -

- ^г\ Г 2 ' / \ -

- -

4 - 2 0 2 к 1 е 4

Рис. 13. Распределение тока вдоль первого проводника структуры при падении плоской волны под углом у = 30°

Рис. 14. Распределение тока вдоль второго проводника структуры при нормальном падении плоской волны (у = 0°)

Рис. 15. Распределение тока вдоль второго проводника структуры при падении плоской волны под углом у = 30°

Рис. 16. Распределение тока вдоль третьего проводника Рис. 17. Распределение тока вдоль третьего проводника

структуры при нормальном падении плоской волны (у = 0°) структуры при падении плоской волны под углом у = 30°

У*-*

■ 10

20

■ 30

40

1

7 X: 2,з

| I ■ 1111 ■ |

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

8, град

Рис. 18. Бистатические сечения рассеяния структуры из вза- Рис. 19. Бистатические сечения рассеяния структуры из взаимно перпендикулярных проводников при нормальном па- имно перпендикулярных проводников при падении плоской

дении плоской волны (у = 0°)

волны под углом у = 30°

На рис. 18 и 19 изображены бистатические сечения рассеяния в полуплоскости ф = 0° рассматриваемой структуры для тех же углов падения плоской волны и расстояний между проводниками.

Длина всех проводников по-прежнему равна X. Кривые 1 характеризуют бистатическое сечение рассеяния при 5 = 0,05Х , кривые 2 - при 5 = 0,2Х , кривые 3 - при 5 = 0,8Х кривые 4 - при 5 = 1,5X ; кривые 5 - это бистатическое сечение рассеяния вдоль одиночного вертикального проводника.

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

При падении плоской волны под углом у = 0° вектор Е0 падающей волны направлен вдоль центрального проводника (первого) проводника структуры и ортогонален второму и третьему проводникам структуры. По этой причине падающая волна возбуждает первый проводник и не возбуждает второй и третий проводники. Однако, несмотря на это, как видно из рис. 14 и 16, при малых расстояниях между проводниками на втором и третьем проводниках имеют место токи, величина которых имеет такой же порядок, что и токи на вертикальном проводнике. Возникновение этих токов можно объяснить только взаимодействием проводников: в ближнем поле вертикального

проводника имеются составляющие напряженности электрического поля, направленные вдоль осей второго и третьего проводников, которые и наводят токи на этих проводниках, причём эти токи симметричны относительно вертикального проводника. По мере удаления боковых проводников от центрального взаимодействие проводников уменьшается, поэтому уменьшаются и токи, наводимые на боковых проводниках. Несмотря на то, что боковые проводники существенно возбуждаются ближним полем центрального проводника, они оказывают очень малое влияние на распределение тока вдоль центрального проводника (см. рис. 12). Как видно из сравнения кривых, приведенных на рис. 18, при падении плоской волны под углом у = 0° бистатические сечения рассеяния рассматриваемой структуры близки к бистатическим сечениям рассеяния одиночного вертикального проводника.

При наклонном падении волны (у = 30°) падающая волна возбуждает как центральный проводник, так и расположенные рядом перпендикулярно к нему боковые проводники. В этом случае, как показывает рис. 13, при малых расстояниях между проводниками (5 < 0,2Х) токовые распределения на центральном проводнике зависят от расстояния, однако при расстояниях 5 > 0,8Х токовые распределения на центральном проводнике структуры мало отличаются от

распределения тока вдоль такого же одиночного про- Как показывает рис. 19, бистатическое сечение рас-

водника. Токовые распределения на боковых провод- сеяния рассматриваемой структуры отличается от

никах отличаются от распределения тока вдоль цен- бистатического сечения рассеяния одиночного центрального проводника и отличаются между собой. трального проводника.

ЛИТЕРАТУРА

1. PocklingtonH.C. // Camb. Phil. Soc. Proc. 1897. V. 9. P. 324.

2. Richmond J.H. // IEEE Trans. 1965. V. AP-13. P. 334.

3. Mei K.K. // IEEE Trans. 1965. V. AP-13. P. 374.

4. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.

5. Лифанов И.К., Ненашев А.С. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. Т. 8. № 4. С. 25.

6. HarringtonR.F. // Time-Harmonic Electromagnetic Fields. Ch. 3. New York: McGraw-Hill, 1961.

Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 1 июля 2005 г.