CC BY
33
КОМПЬЮТЕРНАЯ ПОДДЕРЖКА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В УЧЕБНОМ ПРОЦЕССЕ ПЕДВУЗА
COMPUTER SUPPORT OF THE DECISION OF SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND ITS USE IN EDUCATIONAL PROCESS OF TEACHER TRAINING UNIVERSITY
Р. М. Асланов,
A. С. Безручко,
B. Л. Матросов
В данной статье рассматривается возможность применения компьютерной техники при изучении систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Также в статью включены несколько примеров, отражающих прикладную направленность дифференциальных уравнений, которые могут быть предложены студентам при изучении данной темы.
Ключевые слова: системы дифференциальных уравнений, использование компьютерной техники.
Основной тенденцией развития современного общества является информатизация всех сфер человеческой деятельности. В связи с этим возрастает и спрос на специалистов, владеющих информационно-коммуникационными технологиями (ИКТ). Но невозможно себе представить информатизацию общества в отрыве от информатизации образования, так как информатизация общего и профессионального образования является обязательным условием подготовки конкурентоспособных специалистов различного профиля и развития всего общества в целом. Под информатизацией образования понимается массовое внедрение в педагогическую практику методов и средств сбора, обработки, передачи и хранения информации на базе микропроцессорной техники и средств коммуникации, а также педагогических технологий, основанных на этих средствах, с целью создания условий для перестройки познавательной деятельности и усиления интеллектуальных возможностей обучаемых [1].
В настоящее время проходит реформирование всего образования, нацеленное на формирование новой системы, отвечающей требованием современного общества. Для достижения этой цели в школах и вузах были введены новые федеральные государственные образовательные стандарты.
В примерной основной образовательной программе образовательного учреждения (Основная школа) [2] в качестве результата обучения одним из компонентов является формирование ИКТ-компетентности. Причем формирование таких компонентов данной компетентности, как анализ информации, математическая обработка данных в исследовании, моделирование и проектирование, управление, частично должно достигаться в рамках изучения математики.
В настоящее время лишь немногие учителя способны в полном объеме реализовать требования данной про-
R. M. Aslanov, A. S. Bezruchko, V. L. Matrosov
In this article the possibility of the use of computer equipment is considered when studying systems of the ordinary differential equations. Also some examples of the differential equations reflecting an applied orientation which can be offered to students when studying this subject are included in the article.
Keywords: systems of the differential equations, use of the computer equipment.
граммы, об этом свидетельствует дублирующаяся задача - «обучение и повышение квалификации педагогов», прописанная в Федеральной целевой программе развития образования как на 2006-2010, так и на 2011-2015 гг. [3-4]. Таким образом, перед высшими учебными заведениями встает проблема подготовки высококвалифицированных кадров, способных владеть и с уверенностью применять ИКТ-технологии в своей педагогической деятельности. Современный преподаватель математики должен владеть не только базовыми знаниями по той или иной дисциплине, но и уметь применять свои знания для решения различных задач, связанных с моделированием, анализом полученных данных, используя при этом различные современные технологии.
В настоящее время в вузе изучение информационных технологий происходит в отрыве от самой математики. Изучение курса математики, как правило, сводится лишь к усвоению конкретных понятий того или иного раздела. Современные информационные технологии раскрывают перед преподавателями новые возможности, позволяют рассматривать задачи новых типов, тем самым расширяя знания студентов в той или иной степени и делая их еще более прочными. Именно поэтому при изучении математических дисциплин студенты должны одновременно получать знания, связанные с самой дисциплиной, иметь возможность осваивать современные информационные технологии, позволяющие решать и анализировать изучаемые понятия и рассматривать разнообразные задачи из приложений.
Почти все разделы математики так или иначе находят свое отражение в приложениях. Одним из таких разделов является курс дифференциальных уравнений.
Курс дифференциальных уравнений объединяет в себе знания, умения, навыки, методы и процедуры, осво-
енные в дифференциальном и интегральном исчислении функций одной и нескольких переменных, сведения из линейной алгебры и теории многочленов, комплексного анализа и теории элементарных функций, геометрии кривых и теории рядов. Именно поэтому дифференциальные уравнения играют большую роль в фундаментальной подготовке, в плане формирования у студента научного мировоззрения, определенного уровня математической культуры, методической культуры, особенно по таким компонентам, как понимание сущности прикладной и практической направленности математики, овладение методами математического моделирования. Изучение курса дифференциальных уравнений и его методов дает еще один инструмент для познания мира, в котором мы живем, позволяет сформировать образное и научное представление о реальном физическом пространстве [5].
Довольно часто изучение курса дифференциальных уравнений сводится к усвоению определенных типов уравнений и методов их решения. В основном при решении задач используются аналитические методы решения. Задачи из приложений, описывающие процессы или явления, включаются, но не в большом объеме, так как их решения аналитическими методами требует большого количества математических действий и занимает много времени. Использование графических и численных методов без применения компьютерной техники для этих уравнений также затруднено из-за огромного объема вычислений. При таком подходе прикладная направленность данного курса неосуществима в полном объеме, межпредметные связи устанавливаются очень слабо, вследствие чего у студентов не возникает полного представления о важности данного раздела математики, понимания сущности данной теории.
Применение компьютерной техники дает возможность значительно упростить процесс решения уравнений, используя при этом графические и численные методы. Таким образом, применение информационных технологий, в частности систем компьютерной математики, позволит значительно разнообразить типы решаемых задач и расширить знания студентов не только в области данного курса, но и в области применения информационных технологий [6].
Рассмотрим задачи, которые могут быть предложены студентам на практическом занятии при изучении систем дифференциальных уравнений. Хочется отметить, что первый пример связан с биологией, а второй с моделью боевых действий.
Задача 1. В небольшой заповедник для сохранения живой природы первоначально поселили 150 лис и 300 кроликов. Численность лис и кроликов моделируется следующей системой.
— = 0,05х - 0,0003ху,
Л
= -0,07 у + 0,0008ху
Определите период колебания численности популяций кроликов и период колебания численности лис.
250^ 200 150 100 50 « 0 -50 -100 -150 -200 -250
Рис. 1. Проекция фазовой траектории на различные плоскости
Определите максимальное и минимальное количество, которое может быть достигнуто каждой из популяций [7].
Решение. Интерпретация решения системы дифференциальных уравнений состоит в том, что в евклидовом пространстве с прямоугольными координатами решения нашей системы и у($ определяют закон движения по некоторой траектории (которую часто называют фазовой траекторией) в зависимости от изменения параметра ^ который обычно считается временем. При этом плоскость хОу называется фазовой плоскостью.
Для решения данной задачи воспользуемся системами компьютерной математики и найдем решения данной системы.
На рис. 1 представлена траектория движения и проекции данной траектории на различные плоскости. Из рисунка хорошо видно, что процесс, который описывает данная система, является цикличным. Связанно это с тем, что по мере увеличения численности популяции лис уменьшается численность популяции кроликов. В то же время уменьшение численности популяции кроликов ведет к нехватке пищи для лис, и в связи с этим уменьшается численность популяции лис, что ведет к увеличению численности популяции кроликов и т. д.
1: 9.458 У: 380
Г2З80.5
Рис. 2. Интегральные кривые, описывающие численность популяций лис и кроликов
40
х или у
Чтобы ответить на поставленные вопросы, рассмотрим рис. 2.
На рис. 2 представлены графики решений х(^) (сплошная линия ) и у(0 (линия из точек) которые изменяются в зависимости от времени I Таким образом, анализируя данный рисунок, можно сделать вывод о том, как численность популяции кроликов влияет на численность популяции лис, и ответить на поставленные задачи.
Из рис. 2 видно, что период колебания численности популяции кроликов равен 113 месяцев, а период колебания численности популяции лис 114 месяцев. При этом максимальное количество кроликов, которое может быть достигнуто в условиях данной задачи, равно 178, а минимальное 34. Для популяции лис максимальная численность популяции равна 380, а минимальная 53.
Задача2. Партизанские соединения противостоят регулярным войскам. Ни одна из сторон не получает подкрепления. Обе стороны терпят потери от внешних факторов, для партизан эти потери составляют 0,09 в неделю, для регулярных войск 0,02 в неделю. Партизанские соединения терпят потери от боевых действий регулярных войск, и эти потери составляют 0,637. Потери регулярных войск от боевых действий составляют 2,267.
а) Определите, какой должна быть численность партизанских соединений, чтобы они одержали победу над взводом регулярных войск численностью 42 солдата.
б) Кто одержит победу, если партизанские соединения будут насчитывать 100 солдат, а в регулярных войсках будет задействован взвод в составе 15 солдат. Сколько времени будет длиться бой? Через какой период времени численность партизанских соединений сократится на 30%? Через какой период времени численность регулярных войск сократится вдвое? Какова будет численность победителя по окончании боя? [8]
Решение. Английский инженер и математик Ф. У. Лан-честер во время первой мировой войны построил несколько математических моделей ведения воздушных сражений. Затем эти модели были обобщены и распространены на случаи боевых действий регулярных войск, партизанских соединений или смешанных боевых действий. Рассмотрим одну из этих моделей.
Пусть в боевых действиях участвуют партизанские соединения и регулярные войска. Их численный состав в момент времени t обозначим через x и у. Скорость изменения численности противоборствующих сторон будет задаваться следующей системой Жх
Ж
= -ах - дху + Р,
с - потери регулярных войск, не связанные с боевыми действиями;
с1 - потери регулярных войск, связанные с боевыми действиями партизанских соединений;
О - подкрепления регулярных войск в течение дня. Учитывая модель Ланчестера, составим систему дифференциальных уравнений, которая будет характеризовать нашу задачу. Принимая во внимания данные задачи, получим:
Г сх
— = -0,09х - 0,637ху,
Ж
ЖУ =-2,267х
Ж
0,02 у.
Решим данную задачу графически и воспользуемся для этого системами компьютерной математики.
— = -сх - Жу + Q.
Ж
а - потери партизанских соединений, не связанные с боевыми действиями;
ц - потери партизанских соединений, связанные с боевыми действиями регулярных войск;
Р - подкрепления партизанских соединений в течение дня;
45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
Рис. 3. График к задаче 2а
а) Построим траектории данной системы на фазовой плоскости (рис. 3). При помощи графического решения можно быстро ответить на вопрос, поставленный в задаче. Достаточно посмотреть, начиная с каких значений х интегральные кривые начинают пересекать ось Ох, то есть при каких значения х численность регулярных войск стремится к нулю. (Примером служит точка А, ее абсцисса примерно равна 270.) Пунктиром на рисунке показано равновесное решение, то есть это такое решение, при котором ни одна из сторон не одержит победы. Если начальные условия для этой системы будут находиться выше этой прямой, то победу одержат регулярные войска, если ниже, то партизанские соединения.
б) Из рис. 3 видно, что победу одержат партизанские соединения, так как точка с координатами (100;15) будет располагаться ниже равновесного решения. Построим решения данной системы в пространстве и ответим на остальные вопросы задачи (рис. 4).
Чтобы определить, через какой период времени численность партизанских соединений сократится на 30%, необходимо рассмотреть решения первого уравнения системы и определить, чему будет равно t при условии, что
0
50
100
200
250
300
Рис. 4. График к задаче 2б
х = 70. Если анализировать кривую в плоскости хО^ то видно, что при х = 70, t = 0,06025. Поскольку время измеряется в месяцах, то численность партизанских войск сократится на 30% через 43 ч.
Чтобы определить, через какой период времени численность регулярных войск сократится вдвое, необходимо рассмотреть решения второго уравнения системы и определить, чему будет равно t при условии, что х=7,5. Если анализировать кривую в плоскости уО^ то видно, что при х=7,5 t= 0,03969. Поскольку время измеряется в месяцах, то численность регулярных войск сократится вдвое через 28,5 ч.
Рассмотрев саму траекторию данной системы дифференциальных уравнений, можно определить то, что через 62 ч, когда численность регулярных войск сравнялась с 0, численность партизанских соединений составила 67 солдат.
Решение данных задач без применения компьютерных средств было бы весьма трудоемким. В то же время решения данных задач аналитическими методами с применением компьютерных средств тоже не очень удобно, так как, даже получив аналитическое решения системы, придется затрачивать много времени на его анализ. Графическое представление позволяет анализировать решения, не прибегая к большим математическим выкладкам, и значительно экономит время, к тому же углубляет знания студентов о системах дифференциальных уравнений, их графическом представлении и применении данных систем в различных областях науки в целом. На трехмерных изображениях становится более наглядным такое понятие, как фазовая плоскость. Так, например, данные задачи иллюстрируют тот факт, что замкнутая кривая соответствует периодическому решению (задача 1), а незамкнутая - непериодическому (задача 2).
Таким образом, использование компьютерной техники в учебном процессе делает современное преподавание дифференциальных уравнений значительно более полноценным и способствует:
• расширению и углублению данного курса за счет:
- возможности моделирования, имитации изучаемых процессов и явлений;
- организации экспериментально-исследовательской деятельности;
- экономии учебного времени при автоматизации рутинных операций вычислительного, поискового характера;
• повышению мотивации обучения за счет компьютерной визуализации изучаемых объектов, явлений, процессов;
• развитию мышления: наглядно-образного, теоретического, абстрактно-логического;
• увеличению знаний студентов о возможностях применения информационных технологий в предметной области;
• развитию компьютерной и графической культуры будущего преподавателя математики.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коджаспирова Г. М., Коджаспиров А. Ю. Педагогический словарь [Электронный ресурс]. URL: http://slovo.yaxy.ru/87.html (дата обращения 22.05.2013).
2. Примерная основная образовательная программа образовательного учреждения. Основная школа / [сост. Е. С. Савинов]. М.: Просвещение, 2011. 342 с. (Стандарты второго поколения).
3. О Федеральной целевой программе развития образования на 2006-2010 гг.: Постановление Правительства РФ от 23 декабря 2005 г. № 803.
4. О Концепции Федеральной целевой программы развития образования на 2011-2015 гг.: Распоряжение Правительства РФ от 7 февраля 2011 г. № 163.
5. Асланов Р. М. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе: моногр. М.: Прометей, 1996. 129 с.
6. Безручко А. С. Психолого-педагогические аспекты использования информационных технологий при организации практических занятий по дифференциальным уравнениям в педагогическом вузе // Наука и школа. 2011. № 5. С. 6-9.
7. Асланов Р. М, Матросов В. Л., Топунов М. В., Тетеруковский А. В. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными: учеб. пособие в 2 т. Т. II. Сб. задач. М.: МПГУ, 2004. 400 с.
8. Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука: Глав. ред. физ.-мат. лит., 1987. 160 с.
