Формирование компетенций, предусмотренных профессиональным циклом, при помощи задач прикладного характера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФОРМИРОВАНИЕ КОМПЕТЕНЦИЙ, ПРЕДУСМОТРЕННЫХ ПРОФЕССИОНАЛЬНЫМ ЦИКЛОМ, ПРИ ПОМОЩИ ЗАДАЧ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА

Р.М. Асланов, А.С. Безручко

Аннотация. В статье рассмотрены возможности формирования основных компетенций, предусмотренных стандартами нового поколения по направлению подготовки 010100 Математика (бакалавр), в ходе изучения курса дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: формирование компетенций, дифференциальные уравнения, задачи прикладного характера.

Summary. This article analyzes the possibilities of forming main competence standards stipulated by the standards of new generation of training 010100 Mathematics (BA) during the course of differential equations study.

Keywords: forming of competence, differential equations, problems of applied nature.

16

С1 сентября 2011 г. все высшие учебные заведения приступили к обучению студентов в соответствии с утвержденными федеральными государственными образовательными стандартами (ФГОС) третьего поколения.

Рассмотрим ФГОС по направлению подготовки 010100 Математика (бакалавр). Основная образовательная программа бакалавриата предусматривает изучение студентами данного направления курса дифференциальных уравнений в профессиональном цикле дисциплин.

Курс дифференциальных уравнений содержит в себе ряд возможностей для формирования ключевых компетенций, которыми должен обладать выпускник. Связанно это с тем, что дифференциаль-

ные уравнения играют большую роль в фундаментальной подготовке в плане формирования у студента научного мировоззрения, определенного уровня математической культуры, методической культуры, особенно по таким компонентам, как понимание сущности прикладной и практической направленности математики, овладение методом математического моделирования. Изучение курса дифференциальных уравнений и его методов дает еще один инструмент для познания мира, в котором мы живем, позволяет сформировать образное и научное представление о реальном физическом пространстве. Именно поэтому изучение данного раздела требует особого внимания [1].

Примерная основная образовательная программа предполагает изучение

ЕК

курса дифференциальных уравнений в ходе лекционных и практических занятий. На лекционных занятиях происходит изучение основных понятий и типов дифференциальных уравнений, методов их решения. В процессе данных занятий у будущего выпускника формируются следующие компетенции [3]:

• умение строго доказывать утверждения (ПК-4);

• умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК-7);

• знание конкретных постановок классических задач (ПК-9);

• владение главными смысловыми аспектами в доказательствах (ПК-16).

На практических занятиях студенты приобретают навыки аналитического решения дифференциальных уравнений, изучают их основные типы. Так как дифференциальные уравнения связаны с другими науками и с их помощью описываются процессы или явления, то существует возможность изучения прикладных задач в данном курсе. Для более эффективного решения и анализа решения прикладных задач целесообразно применять системы компьютерной математики, позволяющие решить исследуемое дифференциальное уравнения аналитическими, графическими и численными методами. Рассмотрим некоторые из таких задач [2].

Английский инженер и математик Ф.У. Ланчестер во время Первой мировой войны построил несколько математических моделей ведения воздушных сражений. Затем эти модели были обобщены и распространены на случаи боевых действий регулярных войск или партизанских соединений. Рассмотрим одну из этих моделей.

Пусть в боевых действиях участвуют две противоборствующие стороны х и у. Их численный состав в момент

времени ( обозначим через х(() и у() Предположим что х(() и у(() изменяются непрерывно и дифференцируемы как функции времени. Укажем ряд факторов, которые позволяют описать скорость изменения численности противоборствующих сторон. Обозначим через ах(() и <у() величины, выражающие скорость, с которой стороны х и у несут потери от болезней и других факторов, не связанных с непосредственными боевыми действиями. Пусть Ъу(^) и сх() - это скорость, с которой стороны несут потери от непосредственных столкновений в процессе боевых действий со стороны х и у соответственно. Через и <0(1) обозначим скорость подхода подкреплений к силам х и у. Тогда скорость изменения численности противоборствующих сторон будет задаваться следующими уравнениями:

Лх

—=-ах(г) -Ъу(г)+Р(г),

Л

Су = -0х(1) — Су(1) + ).

Л

Данная система относится к модели боевых действий между регулярными войсками. Будем рассматривать коэффициенты Ъ и с в виде

Ъ=г р , с=г р ,

у Гу х 1х>

где г , г

^ х ' у

17

коэффициенты огневой мощи сторон у и х соответственно, а рх и ру - это вероятности того, что каждый из выстрелов со стороны у и х соответственно окажется метким.

Решим задачу, реализующую данную модель аналитическим и графическим методом.

Задача № 1.

Регулярные войска двух противостоящих сил ведут боевые действия. Обе стороны не получают подкрепления и не терпят потерь от внешних факторов. Коэффициент огневой

2 / 2013

Преподаватель

мощи первой стороны равен 1,7, а вероятность попадания каждого выстрела равна 0,3. У второй стороны коэффициент огневой мощи равен 2,4, а вероятность попадания каждого выстрела равна 0,6. Определите, какая должна быть численность войск у второй стороны, чтобы она одержала победу, если известно, что численный состав первой стороны равен 200.

Решение:

Рассмотрим аналитическое решение данной задачи. Первую сторону войск обозначим х, а вторую у. Составим дифференциальные уравнения, характеризующие скорость изменения численности двух войск. Для этого определим коэффициенты Ь = г ■ ру = 2,4 ■ 0,6 = 1,44, с = г ■ р = 1,7 ■ 0,3 = 0,51. Составим соот-

х Гх ' ' '

ветствующие дифференциальные уравнения. Поскольку войска не получают подкреплений и не терпят потерь от внешних факторов, то соответствующие члены в модели боевых действий примем равными нулю.

Сх „ . . „ dx „

— = -0. х -1,4 у + 0; — = -1,4 у;

18 Ск = -0,51 х - 0 ■ у + 0;

Су

Сг

= -0,51 х;

Разделим второе уравнение на первое и получим уравнение с разделяющимися переменными с1у 0,51 х с1х 1,4 у

Разделяя переменные в данном уравнении и проинтегрировав его, получим следующий общий интеграл 1,44у2 = 0,51х2 + С или 1,44у2 - 0,51х2 = С. Очевидно, что если С= 0, то численность войск одинаково убывает и никто не одержит победу. Если С> 0, то численность второй стороны войск больше численности первой и она одержит победу. Если С< 0, то численность второй стороны войск меньше

численности первой и победу одержит первая сторона. Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо решить задачу Коши с начальными условиями у(200) = у0 и найти такое у0 чтобы С> 0. Подставим условия задачи Коши в общий интеграл: 1,44у02-0,51 ■ 2002=С, 1,44у02 - 20400=С. При этом условие С > 0 выполнено, если 1,44у02-20400> 0. Решив неравенство, получим что у0 е (— ~ ; -119,02) и (119,02; + ~). Поскольку численность войск - число положительное, то у0 е (119,02; + ~), следовательно, чтобы вторая сторона одержала победу, численность ее войск должна быть больше 119.

Теперь рассмотрим графическое решение данной задачи. Построим семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения Су 0,51х Сх 1,44 у

средствами программы МАТЪАБ (рис. 1).

При помощи графического решения можно быстро ответить на вопрос, поставленный в задаче. Достаточно посмотреть, начиная с каких значений у интегральные кривые начинают пересекать ось Оу, то есть при каких значения у численность первой стороны стремится к нулю (примером служит точка А, ее ордината примерно равна 120).

Решая данную задачу, целесообразно использовать оба метода решения, так как это дает более полную картину о течении процесса боевых действий и их возможных исходов. Аналитическое решение может помочь ответить на поставленный в задаче вопрос. Графическое решение позволит проанализировать не только вопрос задачи, но и возможное течения боя в зависимости от разных условий. Анализируя данное ре-

Рис. 1. Графическое решение задачи 1 средствами MATLAB

шение, можно быстро ответить на вопрос, кто победит в боевых действиях, если начальная численность войск у сторон будет одинакова; при каких условиях победит первая сторона, если численность второй будет известна; при различной начальной численности сторон, кто одержит победу. Таким образом, студенты смогут расширить свои представления о возможном течении процесса и не будут ограничиваться только условиями задачи.

Рассмотрим решение еще одной задачи, которую лучше решать графическим методом, так как аналитическое решение будет весьма трудоемко и займет много времени.

Задача № 2.

Летчик ведет самолет в направлении к городу В, расположенному на одной параллели западнее взлетной площадки. Постройте траекторию полета самолета, если его скорость V км/ч и ветер дует с юга со скоростью и км/ч. Исследуйте данную траекторию для случаев, когда и = V, и> V, и и<V. Уравнение, описывающее траекторию полета, имеет вид

dy dx

w I 2 , 2 --ijx + y

[3]

да В будет находится в точке (0; 0). Воспользуемся средствами программы MAT-LAB для построения решения дифференциального уравнения в трех случаях.

1 случай. Скорость самолета равна скорости ветра w=v. На рис. 2 представлено семейство интегральных кривых для соответствующего случая. Рассматривая данное семейство интегральных кривых, можно сказать, что при любых начальных условиях интегральная кривая никогда не будет проходить через точку (0; 0). Следовательно, если скорость ветра равна скорости самолета, на каком бы расстоянии ни находилась взлетная площадка, самолет никогда не достигнет города В.

2 случай. Скорость самолета меньше скорости ветра w>v. На рис. 3 представлено семейство интегральных кривых для соответствующего случая. Рассматривая данное семейство интегральных кривых, можно сказать, что при любых начальных условиях, интегральная кри-

0

Рис.

2. Семейство интегральных кривых (задача 2, случай 1)

Решение:

За взлетную площадку примем точку с координатой (а; 0), а положения горо-

2 / 2013-

0

Рис.

3. Семейство интегральных кривых (задача 2, случай 2)

Преподаватель

19

ВЕК

x

10

15

20

25

30

5

20

Рис. 4. Семейство интегральных кривых (задача 2, случай 3)

вая никогда не будет проходить через точку (0; 0). Следовательно, если скорость ветра больше скорости самолета, на каком бы расстоянии ни находилась взлетная площадка, самолет будет улетать от города В все дальше и дальше.

3 случай. Скорость самолета больше скорости ветра и>< V. На рис. 4 представлено семейство интегральных кривых для соответствующего случая. Рассматривая данное семейство интегральных кривых, можно сказать, что при любых начальных условиях интегральная кривая всегда будет проходить через точку (0; 0). Следовательно, если скорость ветра меньше скорости самолета, на каком бы расстоянии ни находилась взлетная площадка, самолет всегда прилетит в город В.

Приведенные выше задачи формируют более полное представление о процессах, описываемых дифференциальными уравнениями; учат студентов анализировать данные, полученные не только в аналитическом, но и в графическом виде; формулировать результат. Решая такого рода практические задачи, студент может сам моделировать тот или иной процесс, выбирать метод, с помощью которого он будет его исследовать, получать решения в удобном для себя виде. Наличие таких задач прикладного характера будет формировать следующие компетенции:

• способность применять знания на практике (ОК-6);

• навыки работы с компьютером

(ОК-12);

• способность к анализу и синтезу (ОК-14);

• умение формулировать результат (ПК-3);

• умение ориентироваться в поставленных задачах (ПК-8);

• владение методами математического и алгоритмического моделирования при решении прикладных задач (ПК-20);

• владение методами математического и алгоритмического моделирования при анализе теоретических и практических задач (ПК-12);

• умение самостоятельно математически корректно ставить естественнонаучные и инженерно-физические задачи (ПК-25) [4].

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Асланов Р.М. Гуманитарный потенциал профессионально ориентированного курса дифференциальных уравнений в педвузе. - М.: Прометей, 1996. - 129 с.

2. Безручко А. С. Расширения прикладного характера курса дифференциальных уравнений с помощью пакетов символьной математики // Современные проблемы прикладной математики, теории управления и математического моделирования: Материалы IV Международной научной конференции «ПМТУММ-2011», 12-17 сентября. - Воронеж: Издательско-поли-графический центр ВГУ 2011. - С. 29-31.

3. Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений. - Мн.: Высшая школа, 1973.

4. Федеральный государственный образовательный стандарт Высшего профессионального образования по направлению подготовки 010100 Математика (бакалавр). - М.: Министерство образования и науки Российской Федерации, 2010. - 21 с. ■

ЕК