CC BY
77
следует обратить внимание на то, что нужно построить проекцию этой точки на основание призмы, полученная проекция не будет совпадать с вершинами призмы. Далее процесс построения сечений сводится к предыдущим задачам.
Далее уместно будет рассмотреть задачи на построение сечения при заданной точке на поверхности фигуры и при заданном следе (так как плоскость определяется точкой и прямой) в разных положениях. Порядок задач также следует задать, придерживаясь принципа «от простого к сложному».
Завершить данный этап изучения темы «Построение сечений» следует задачами при заданном следе и заданной прямой на поверхности фигуры (так как плоскость определяется двумя параллельными или пересекающимися прямыми).
Комбинируя задачи таким образом, мы делаем каждую предыдущую задачу опорной для каждой последующей, более сложной.
список источников и ЛИТЕРАТУРЫ
1. Четверухин Н. Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже. М.: УЧПЕДГИЗ, 1952. С. 24-39.
2. Польский И. Г. Сборник задач на построение на проекционном чертеже. М.: УЧПЕДГИЗ, 1958. С. 15-28.
B C
Рис. 6. Построение сечения призмы по двум точкам, лежащим на ребрах, и одной точке, находящейся грани
3. Казаков П. Г. Параллельные проекции и методы решения конструктивных задач. М.: УЧПЕДГИЗ, 1960. С. 54-79.
4. Василевский А. Б. Параллельные проекции и решение задач по стереометрии. Минск: Народная асвета, 1978. С. 29-33.
5. Атанасян Л. С. Геометрия 10-11. М.: Просвещение, 2009. С. 27-28.
6. Погорелов А. В. Геометрия 7-11. М.: Просвещение, 1998. С. 298-307.
РОЛЬ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ НА ПРАКТИЧЕСКИХ зАНЯТИЯХ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
THE ROLE OF SYSTEMS OF COMPUTER MATHEMATICS FOR PRACTICAL EXERCISES ON DIFFERENTIAL EQUATIONS
Р. М. Асланов, А. С. Безручко
В статье говорится о роли системы компьютерной математики в курсе дифференциальных уравнений. Сообщается, что они могут в значительной степени расширить класс задач, изучаемых в данной дисциплине, увеличить наглядность курса, его прикладное и практическое значения и тем самым помочь будущим учителям в понимании сущности изучаемого предмета.
Ключевые слова: системы компьютерной математики, дифференциальные уравнения, прикладная направленность, моделирование, наглядность.
R. M. Aslanov, A. S. Bezruchko
In given paper, it is SPK about what role is played by systems of computer mathematics in the course of the differential equations. It is informed that they can dilate substantially a class of tasks studied in the given discipline, to increment visualisation of course, its applied and practical values and by that to help to realise the future teacher essence of mathematics.
Keywords: systems of computer mathematics, the differential equations, an applied trend, modeling, visualization.
Сегодня мы являемся свидетелями скачка в компьютеризации общества, который произошел с началом массового производства и внедрения персональных компьютеров. По мере развития компьютерной
техники интенсивно развивается программное обеспечение, автоматизирующее математическую деятельность.
Сегодняшняя компьютерная математика обладает универсальными программными средствами символьных
вычислений. Системы компьютерной математики (СКМ) представляют собой универсальную инструментальную среду для математической деятельности. Они предоставляют в распоряжение пользователя сотни встроенных функций, содержащихся в ядре системы, и десятки функций из пакетов стандартных дополнений. Благодаря такому арсеналу средств большинство математических задач поддается решению в этой среде без программирования [1].
Серьезным препятствием для внедрения СКМ в вузовское обучение является их высокая стоимость, отсутствие русифицированных программ, малая оснащенность кабинетов. Но невозможно не отметить, что появляются бесплатные СКМ и множество литературы, которая в значительной степени упростит работу с англоязычными версиями СКМ. В то же время оснащенность кабинетов постепенно увеличивается, в вузы активно внедряются современные технологии. Таким образом, в скором времени все проблемы, связанные с использованием СКМ для обучения математике, могут быть решены, и их использование станет доступным для каждого преподавателя [2].
Помимо технических проблем, связанных с использованием СКМ в учебном процессе, существует и проблема отбора теоретического и практического материала, который будет целесообразно изучать с их помощью. Преподавателям будет необходимо выделить и изучить новый класс задач. К ним, в первую очередь, будут отнесены те задачи, которые до появления СКМ в качестве средства обучения давать обучающимся было или нецелесообразно, или невозможно из-за сложности и длительности вычислений, отсутствия предметной наглядности. Такие задачи могут быть решены лишь в результате объединения функциональных возможностей человека и компьютера, синтеза творческих процессов человека и реализации машинных программ.
Рассмотрим курс дифференциальных уравнений и роль, которую могут играть СКМ при его изучении.
В курсе дифференциальных уравнений скрыты большие возможности для полноценной реализации профессионально-педагогической направленности обучения, так как студент подходит к изучению данного курса, уже освоив ряд фундаментальных математических и информационных дисциплин.
Данный курс играет большую роль в как в фундаментальной, так и в профессиональной подготовке будущего учителя математики в плане формирования у студента научного мировоззрения, определенного уровня математической и методической культуры, особенно по таким компонентам, как понимание сущности прикладной и практической направленности обучения математике, овладение методом математического моделирования, умение осуществлять в обучении межпредметные связи. Он является ведущим в деле обучения студентов тому, как применяются математические методы к исследованию реальных процессов, как формализуются условия задачи, отвлекаясь от несущественных об-
стоятельств, как выбрать метод решения полученной математической модели, как интерпретировать результат. Иными словами, здесь студент получает неоценимый опыт математического моделирования реальных процессов.
Курс дифференциальных уравнений, с одной стороны, весьма абстрактен, обладает своей спецификой, терминологией, своими моделями, зачастую довольно тонкими. Изучая этот курс, студенты часто теряют ориентиры, не понимают, для чего все это нужно будущему учителю. С другой стороны, курс дифференциальных уравнений - один из самых выигрышных в деле осознания будущим учителем сущности математики, прикладной направленности, ее воспитательного значения [3].
Традиционно формы организации учебного процесса по курсу дифференциальных уравнений делятся на лекционные и практические занятия. Довольно часто изучение материала на практических занятиях сводится к усвоению определенных типов уравнений и методов их решения. В основном при решении задач используются аналитические методы решения. Задачи на моделирование процессов или явлений включаются крайне редко, так как в основном их уравнения не относятся к известным типам и их невозможно решить аналитическими методами.
Рассматривая процесс решения любой математической задачи, можно выделить три этапа [1]:
• ориентировочно-исследовательский (на этом этапе происходит поиск идеи решения);
• исполнительский (на этом этапе найденная идея получает воплощение с помощью используемого знаково-символического языка и допустимых логических правил);
• контрольно-оценочный.
При решении задач аналитическими методами значительную часть составляют упражнения на отработку умений и навыков работы с основными типами дифференциальных уравнений и методами их решения. Решение подобных задач приводит к тому, что основное внимание учащегося сосредотачивается на исполнительной части процесса решения. Именно поэтому у студента не возникает ощущения важности данного раздела математики, связи его с другими науками, то есть потенциал курса раскрывается не в полном объеме.
СКМ позволят включить задачи, не рассматриваемые ранее. В основном к таким задачам относятся задачи на моделирование. Сложность исследования получившейся математической модели не давала возможности рассматривать данные задачи ранее при проведении практических занятий. Применение СКМ позволяет пересмотреть традиционную систему задач, смещая акцент в сторону ориентировочно-исследовательского и оценочного этапа, тем самым открывая принципиально новые возможности в постановке экспериментов, в анализе графических изображений и многом другом.
Математические модели вследствие их относительной простоты помогают понять процесс, дают возможность установить качественные и количествен-
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3
-1 0 а)
1 -30 б)
к' - / / к' J J Ii
u /i i J /1 i 1 ^ \/ 2 y1 -1 Ь
5 .4 -3 -2 -1 0
в)
1 2 3 4 5
-5 -4-3-2-10123
г)
Рис. 1. Графики к задаче 1.
4 5
ные характеристики состояния процесса. Моделирование процессов или явлений включает в себя построение математических моделей реальных процессов, разработку аппарата для исследования математических моделей, применение полученных знаний для решения различных задач практики, умение преобразовывать научный материал в учебный, умение преобразовать фрагмент научной теории во фрагмент учебной дисциплины. Исполнительский этап решения задачи можно предоставить СКМ, вследствие чего студент сможет уделить больше времени ориентировочно-исследовательскому и оценочному этапу.
В настоящее время для решения дифференциальных уравнений наиболее используемыми являются такие СКМ, как Derive, Maple, Mathematica, MatLab, Mathcad, Maxima, Scilab [4]. Данные пакеты позволяют решать дифференциальные уравнения аналитическими графическими и численными методами. Таким образом, в зависимости от цели процесса моделирования можно выбрать подходящий метод решения. Важную роль будут играть численные и графические методы решения, так как их реализация без СКМ - очень трудоемкий и долгий процесс. Численные методы позволят получить аппроксимацию решения, графические - построить семейство интегральных
кривых дифференциального уравнения, которое описывает изучаемый процесс или явления.
При решении задач, связанных с моделированием, у студентов будут развиваться навыки решения, расширяться знания, касающиеся прикладной значимости дифференциальных уравнений и СКМ, используемых для их решения. Именно активное оперирование графическими моделями и наглядными образами явлений в процессе решения задач необходимо для эффективной реализации возможностей геометрического языка, повышению прочности и осознанности знаний, развитию должной интуиции студентов в осознании понятий и фактов, связанных с данным разделом математики.
Для раскрытия полного потенциала курса дифференциальных уравнений необходимо совместить на практических занятиях по дифференциальным уравнениям задачи, основанные на аналитических методах решения, реализующиеся с помощью ручки и бумаги, и задачи на моделирование, реализующиеся с помощью СКМ.
В то же время с помощью СКМ на практических занятиях можно увеличить наглядность данного раздела математики. Изображения графиков решения, семейства интегральных кривых решаемого студентами уравнения будет способствовать предотвращению формализма в знаниях,
у ' = 2 у/х
у ' = 2 у/х
у
4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4
а)
2 3 4 х -4 -3
Рис. 2. Графики к задаче 2
-2 -1 0 1 2 3 4 х б)
формированию полноценных образов изучаемого понятия и повышению значимости математики для будущих специалистов. Также перед началом изучения особых точек будет полезно предложить студентам графически решить ряд дифференциальных уравнений, в которых имеются особые точки, не называя их. Таким образом, существование данных точек уже будет связано с их графическим представлением.
Приведем несколько задач, решение которых может упростить использование СКМ.
Задача 1. Найдите и исследуйте особые точки следующих дифференциальных уравнений и сопоставьте интегральные кривые каждого дифференциального уравнения с рис. 1 а-г.
, _ — 2х + у У _ - 3х + 2у '
2х — 3у
У _-п-
х — 2у
х + у — х + 3у
У _-, у _-.
3х — у х + у
В данном примере необходимо провести исследование четырех дифференциальных уравнений. Семейство интегральных кривых можно предложить построить самим студентам с помощью СКМ, а уже после этого проводить анализ особых точек. Особенность данных уравнений состоит в том, что координаты их особых точек и собственные векторы одинаковы, но различия состоят в устойчивости и направлении движения. Тем самым учащимся наглядно демонстрируется важность учета устойчивости точки и направления движения. Данный пример также позволяет увидеть истинное поведение семейства интегральных кривых, которое может отличаться от сделанного эскиза.
Задача 2. Для дифференциального уравнения
2у
у _ выполните исследование интегральных кри-
х
вых и определите решение задачи Коши, удовлетворяющее начальным условиям у (а) = Ь в виде кусочно-определенной функции при условии [5].
Данный пример расширяет знания студентов о поведении интегральных кривых вблизи особых точек. И если построить семейство интегральных кривых, то оно будет наглядно иллюстрировать факт, гарантируемый выполнением условий теоремы о существовании и единственности: единственность решения только в окрестности начальной точки (а;Ь). При этом интегральная кривая, проходящая через эту точку, может где-нибудь в другом месте разветвиться, и потому единственность интегральной кривой в целом гарантировать нельзя (рис. 2 а, б).
Рассмотрение подобных задач в курсе дифференциальных уравнений позволяет студентам более осмысленно применять теоремы существования и единственности решения задачи Коши на практике, наглядно представлять условия этих теорем. Все сказанное говорит о возможностях повышения уровня математической культуры студентов при изучении данного материала.
Задача3. Пусть две функции численности популяции Р1 (() и Р2Ц) удовлетворяют логистическому уравнению
—Р
—р _ кР(М — Р), с одинаковым ограничением —
численности популяции М, но с различными значениями к1 и к2 константы к. Пусть к1 < к2 .Численность какой популяции приблизится к М быстрее? [4]
Для решения данной задачи можно предложить студентам решить ее аналитическими, графическими и численными методами, взяв за к1, к2 и М конкретные числа, а потом сравнить результаты. При решении аналитическими методами студенты могут воспользоваться ручкой и бумагой, а численные и графические требуют использования СКМ, так как сами по себе являются очень трудоемкими. Также можно предложить студентам придать к1, к2 другие значения и проанализировать, как будет меняться численность популяции и через какое время она приблизится к предельной численности М при увеличении или уменьшении к.
список источников и ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванюк М. Е. Интеграция математического образования студентов факультета информатики педагогического вуза с применением систем компьютерной математики: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02. Самара, 2008. 199 с.
2. Информационные технологии в образовании: учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений. М.: Академия, 2003. 192 с.
3. Асланов Р. М. Методическая система обучения дифференциальным уравнениям в педвузе: дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02. М., 1997. 390 с.
4. Эдвардс Г., Пенни Э. Дифференциальные уравнения и краевые задачи моделирования и вычисление с помощью Mathematica, Maple, и MATLAB / пер. с англ. 3-е изд. М.: И. Д. Вильяме, 2008. 1104 с.
5. Безручко А. С. Анализ существования и единственности решения задачи Коши как средство повышения уровня математической культуры студентов // Математика, информатика, физика и их преподавание. М.: МПГУ, 2009. 348 с. С. 187-189.
КОНЦЕПЦИЯ ФОРМИРОВАНИЯ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО
мировоззрения в гуманитарном учебном заведении
CONCEPTION OF THE FORMATION OF NATURAL SCIENTIFIC OUTLOOK IN A HUMANITARIAN EDUCATIONAL INSTITUTION
Ю. В. Масленникова, И. В. Гребенев
Рассматриваются различные подходы к реализации процесса гуманитаризации физического образования в средней школе, созданные после 2000 г. Выделены основные аспекты авторской концепции создания образовательного пространства в гимназии, способствующего формированию естественнонаучного мировоззрения учащихся: 1) изучение физики с 5-го класса; 2) факультативного курса «Экспериментальное естествознание» в 7-8-м классе, синхронизированного с курсом физики; 3) введение курса дополнительного образования по астрономии в 6-м классе; 4) элективного курса «История формирования естественнонаучной картины мира» в 10-11-м классе.
Ключевые слова: опережающее обучение, дополнительное образование, многосторонний подход к изучению предметов естественнонаучного цикла, естественнонаучный потенциал гуманитарных дисциплин.
Yu. V. Maslennikova, I. V. Grebenev
Different approaches to the realization of the process of humanitarization of physical education in a secondary school, created after 2000, are considered in the article. The following main aspects of the authors conception of educational area in the gymnasium which promote the formation of natural scientific outlook of students have been distinguished: 1 )study of physics since the 5th form; 2) study of the optional course «Experimental natural science» in the 7th-8th forms, synchronized with the course of physics; 3) introduction of an additional educational course on astronomy in the 6th form and the elective course «The History of Formation of Natural Scientific Worldview » in the 10th-11th forms.
Keywords: outstripping teaching, additional education, versatile approach to natural science study, natural scientific potential of humanities.
В настоящее время гимназия функционирует как вид среднего общеобразовательного учебного заведения в системе непрерывного образования, ориентированного на обучение и воспитание детей, способных к активному интеллектуальному труду, формирующего широко образованную интеллектуальную личность, готовую к творческой и исследовательской деятельности в различных областях знаний (по преимуществу гуманитарной области).
Следует учесть, что именно из числа выпускников гимназий и других гуманитарных учебных заведений вы-
ходят работники средств массовой информации, несущие особую ответственность за уровень общественного сознания, чья работа предполагает в силу этого достаточно серьезную естественнонаучную подготовку и сформированное научное мировоззрение.
Перечисляя цели введения профильного обучения, Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования не называет среди них задачу формирования пусть не гармонической, но хоть в какой-то мере полноценной с точки зрения мировоззрения личности:
