Комплексный подход к оценке имущественных отношений между экономическими субъектами Российской Федерации (микрои мезоэкономические аспекты) Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Комплексный подход к оценке имущественных отношений между экономическими субъектами Российской Федерации (микро- и мезоэкономические аспекты)

С.В. Лушин

аспирант дневного отделения Центрального экономико-математического института Российской академии наук (ЦЭМИ РАН)

Часть II1

Прогресс состоит не в замене неправильной теории на правильную, а в замене неправильной теории на неправильную же, но уточненную.

Теория прогресса Хокинса

Уйти нам трудно от мирских забот,

Но Вечность постигает только тот,

Кто на шаг сойдет с тропы привычной И путь продолжит от других отличный.

Авицена (Абу Али Ибн Сина, ок. 980 - 1037 гг.)

Переход от оценки эффективности инвестиционных проектов к моделям и алгоритмам теории графов

Развивая применение оценок эффективности инвестиционных проектов2, перейдем к изучению зависимостей оптимального инвестиционного портфеля (ОИП) и структуры потенциальных инвесторов от изменения условий состояния макросреды. Для решения задач, обусловленных такой зависимостью, воспользуемся математическими моделями и методами в логистике из теории графов (алгоритмы Егервари и Гросса). В целях сопоставимости количественных результатов по выбранным функционалам (критериям) не будем менять базу исходных данных A(i, j) для всех состояний макросреды. Составим вербальную модель действительного хода инвестиционного процесса с помощью определенной системы понятий и ограниченного набора показателей. Условное производственное объединение (ПО), состоящее из пяти дочерних предприятий (і = 1+5, і є I), сформировало по тендерам эмитентов инвестиционную программу из шести финансовых активов ( = 1’+6’, j є J) со следующими, «плавающими по времени», объемами инвестиций (I) млрд р.:

1’ 5 < I < 13

2’ 3 < I < 12

3’ 4 < I < 14

4’ 8 < I < 11

5’ 6 < I < 15

6 3 < I < 10,

(1),

1 Часть I см. // Имущественные отношения в Российской Федерации. 2004, № 3.

2 Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов. Академия народного хозяйства при Правительстве Российской Федерации. М.: Дело, 2002.

где «нижняя планка» (соответственно 5, 3, 4, 8, 6, 3) означает минимальный размер первого лота (транша) инвестиций.

Дочерние предприятия, изучив инвестиционные проекты (1), направили в управление инвестиций ПО свои предложения ^0, j)] относительно их участия в инвестиционной стратегии объединения.

Задача (обычно формулируется ЛПР в форме поручения (распоряжения) или приказа): на основе предложений дочерних предприятий управлению инвестиций подготовить проект решения совета директоров об оптимальных финансовых потоках и структуре потенциальных инвесторов (ПО и ДП) в инвестиционных портфелях объединения для следующих состояний макросреды: а) непредсказуемое; б) условно-стабильное; в) стабильное; г) динамично развивающееся. Вербальная модель сформулированной выше комплексной задачи имеет в своих проекциях на четыре состояния макросреды конкретные локальные постановочные задачи: минисуммную, максиминную, минимаксную и максиминную, рассмотрение которых - предмет содержательного изложения настоящей и последующих частей исследования.

Следующим шагом будет поэтапное решение локальных постановочных задач с помощью алгоритмов Егервари и Гросса и методов имитационного моделирования. Для наглядности, количественные показатели ОИП (объемы инвестиционных потоков, млрд р.) проиллюстрируем с помощью виртуальной «корзины» (рис. 1), а качественные показатели ОИП (структуру потенциальных инвесторов) - на орграфах, матрицах, таблицах и одномерных массивах.

Минисуммная постановка задачи

Способ решения - алгоритм Егервари. Макросреда: непредсказуемая. Функционал (/): составить ОИП, минимизирующий общий объем инвестиций ПО (cost_min).

В условиях непредсказуемого состояния макросреды, инвестиционный портфель формируется из соображений минимизации общего объема инвестиций ПО, в котором преобладают весьма осторожные планы дочерних предприятий, о чем свидетельствует результат решенной задачи (два инвестиционных потока по 3, один - 5, один - 8 и один - 10 млрд рублей, средний объем которых почти в два раза ниже среднего объема инвестиций, объявленного дочерними предприятиями), изложенной далее.

Максиминная постановка задачи

Способ решения - алгоритм Гросса. Макросреда: условно-стабильная. Функционал (/): составить ОИП, при котором самый большой объем инвестиций дочернего предприятия окажется минимально возможным, т. е. минимизировать max[i, p(i)] по всем многовариантным версиям.

Как показывает решение, приведенное далее, во всех многовариантных версиях преобладает почти средний объем объявленных дочерними предприятиями инвестиций (три инвестиционных потока по 8, один - 4 и один - 6 млрд рублей), что характеризует все еще осторожное отношение дочерних предприятий к изменению состояния макросреды.

Минимаксная постановка задачи

Способ решения - алгоритм Гросса. Макросреда: стабильная. Функционал (0: составить ОИП, при котором самый маленький объем инвестиций дочернего предприятия окажется максимально возможным, т. е. максимизировать ттр, р(0] по всем многовариантным версиям.

Как показывает изложенное далее решение, дочерние предприятия стали более уверенными в макросреде, что подтверждается преобладанием в портфеле инвестиционных потоков, которые превышают средний объем объявленных дочерними предприятиями инвестиций (два инвестиционных потока по 11, один - 12, один - 13 и один - 15 млрд рублей).

Максисуммная постановка задачи

Способ решения - алгоритм Егервари. Макросреда: динамично развивающаяся. Функционал (/): составить ОИП, максимизирующий общий объем инвестиций ПО.

Рисунок 1 дает визуальное представление о смещении акцентов в инвестиционной стратегии ПО в зависимости от условий его окружения.

Рис. 1. Виртуальная корзина с ОИП для 4-х состояний макросреды

Обобщенные результаты по всем постановочным задачам будут изложены в последней части исследования.

Минисуммная постановка задачи

Решение

Содержание и иллюстрации в виде одномерных массивов, матриц (таблиц) и графов

Ґ\2 11 10 10 14 6s

У 8 12 10 11 8 6

, см. Приложение 1

Приводим матрицу A(i, j) сначала по строкам, а затем и по столбцам с помощью постоянных приведения (const). Затем строим: а) двудольный граф на основе нулевых решений; б) начальное паросочетание М*

« «жадным» алгоритмом (паросочетанием в двудольном графе называется множество ребер, не имеющих общих | вершин. Изначально паросочетаний может быть несколько. Мы делаем акцент на начальное паросочетание М*, О '

X 1' 2' 3' 4' 5' 6' Const

1 6 5 4 4 8 6

2 10 1 5 5 6

3 8 5 11 6 12

4 2 7 3 1 5

5 2 6 4 5 2

X г 2’ 3' 4’ 5' 6'

1 6 5 3 1 7

2 10 2 4 6

3 8 5 10 3 11

4 2 6 5

5 2 6 3 2 1

Const 0 0 1 3 1 0

Результат 1-й итерации: увеличивающейся относительно М* цепи нет, но остаются ненасыщенными вершины 3 и 5, следовательно, наибольшее паросочетание не построено. Переходим ко 2-й итерации.

Применим к трансформированной матрице, которая имеет наибольшее количество нулей, операцию Егервари Е(Г, Г, (1).

Множество вершин, достижимых из 3 и 5:

для в = 3 такое множество {6', 1П _ _

для в = 5 такое множество {6', 1 }_$~^ “г1}’-1 ~ 1° /■

Среди элементов Ьр, Л, где 1 е Г, а ] е Г' = Ш' находим элемент минимального веса, это Ъ[1, 4'] = 1, в приведенной матрице обозначим его выделенным шрифтом (I).

X Г 2’ 3' 4' 5’ б'

і 6 5 3 1 7 0

2 10 2 \ 5

3 8 5 10 3 11 ]

4 2 6 5

5 2 6 3 2 1 ]

Е(Г, J', d)

н 1' 2' 3’ V 5' 6’

1 5 4 2 6

2 10 2 4 7

3 8 5 10 3 11 1

4 2 6 6

5 2 6 3 2 1 1

1' 2' 3' 4’ 5' 6' Const

1 5 4 2 б

2 10 2 4 7

3 7 4 ) 2 10

4 2 5 6

5 1 5 2 1

Наибольшее паросочетание получилось сразу из начального паросочетания «жадным» алгоритмом (по коротким матричным ребрам).

Мы получили оптимальный инвестиционный портфель (І, I) в логистическом решении на основе теории графов в виде одномерного массива = {4, 2,6, 1,5}. Двумерное отображение решения можно представить не только в виде орграфа С, но и в виде таблицы и/или матрицы В(і, ]). Покажем это схематично в последовательности: А(і, _і), С, В(і, _і).

A(i, j) =

11

3

8

7

12

10

11

G'

14 8

15 6 8

> Nas_u = {4,2,6,l,5}<->

O©0®0

©©©©©©

sty]

X Г 2’ 3’ 4' 5’ 6'

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

_w_

Если полученные объемы инвестиционных потоков, составляющие оптимальный инвестиционный портфель ПО, обозначить выделенным шрифтом (напр. 10) в исходной матрице А(і, то сумма выделенных элементов окажется равной 29 (10+3+3+5+8). Это и есть значение функционала, соответствующее оптимальному инвестиционному портфелю в исходной задаче для непредсказуемой макросреды._____________________________

f = cost_min = 29; Nas_u = {4,2, 6,1, 5}.

Максисуммная постановка задачи

Решение

Содержание и иллюстрации в виде одномерных массивов, матриц (таблиц) и графов

ч

о

п

_а_

A(i,j) =

^12 11 10 10 14 6^

v8 12 10 И 8 6 j

, см. Приложение 1

Приводим матрицу A(i, j) сначала по строкам, а затем и по столбцам с помощью постоянных приведения (const). Затем строим: а) двудольный граф на основе нулевых решений; б) начальное паросочетание М* «жадным» алгоритмом (по коротким матричным ребрам).

н 1' 2' 3’ 4' 5' 6’ Const

1 2 3 4 4 0 8

2 0 10 9 5 5 4

3 4 7 1 6 0 12

4 7 5 0 4 6 2

5 4 0 2 1 4 6

н г 2' 3’ 4’ 5' 6'

1 2 3 4 3 0 6

2 0 10 9 4 5 2

3 4 7 1 5 0 10

4 7 5 0 3 6 0

5 4 0 2 0 4 4

Const 0 0 0 1 0 2

Результат 1-й итерации: увеличивающейся относительно М* цепи нет, но остается ненасыщенной вершина 3, следовательно, наибольшее паросочетание не построено. Переходим ко 2-й итерации.

Применим к трансформированной матрице, которая имеет наибольшее количество нулей, операцию Егервари Е(Г, Г, (1).

Множество вершин, достижимых из вершины 3, есть {5', 1}, следовательно, Г = {1}, Г = {5'}.

Среди элементов Ьр, Л, где \ е I1, а] е I" = Ш' находим элемент минимального веса, это Ь[1,1] = 2, который в таблице обозначим выделенным шрифтом (2).

Трансформирование

X 1' 2' 3' V 5' 6'

1 г 3 4 3 0 6

2 э 10 ) 4 5 2

3 4 7 1 5 3 10

4 7 5 3 3 6 5

5 4 3 2 5 4 4

Е(Г, Iі, d)

X 1' 2' 3' 4' 5' 6'

1 5 1 2 1 3 4

2 3 10 9 4 7 2

3 4 7 1 5 2 10

4 7 5 3 3 8 3

5 4 3 2 3 6 4

н 1' 2' 3' 4’ 5' 6' Const

1 3 1 2 1 3 4

2 3 10 9 4 7 2

3 3 6 3 4 1 9

4 7 5 3 3 8 3

5 4 0 2 0 6 4

Как видим, наибольшее паросочетание из М* сразу не получилось, однако мы имеем увеличивающуюся относительно М* цепь благодаря наличию чередующейся цепи (2, 1', 1, 5'). Техническое построение наибольшего паросочетания С получается заменой тонкого ребра (1,1') на жирное, а жирных ребер (2,1') и (1,

№

I

5') на тонкие, изменяя направление стрелок на противоположное т. е. С имеет вид:

&

!§

Мы получили оптимальный инвестиционный портфель (1,1) в логистическом решении на основе теории графов в виде одномерного массива №в_и = {5,1,3,6,2}. Двумерное отображение решения можно представить не только в виде орграфа С, но и в виде таблицы Вт[і, Л и/или матрицы Вм(і, Л, а также совмещенного орграфа 03<1, Ь> (рис. 3).

Вт[і, І]

н 1' 2' 3’ 4' 5’ 6'

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

Вм(і, І) =

0 0 0 0 14 0

13 0 0 0 0 0

0 0 14 0 0 0

0 0 0 0 0 10

0 12 0 0 0 0

Бели полученные объемы инвестиционных потоков, составляющие оптимальный инвестиционный портфель ПО, обозначить выделенным шрифтом (напр. 14) в исходной матрице А(1, Л, то сумма выделенных элементов окажется равной 63 (14+13+14+10+12). Это и есть значение функционала, соответствующее оптимальному инвестиционному портфелю в исходной задаче для динамично развивающейся макросреды.

• Кав_и = {5,1,3,6,2}=> советах = 14 +13 +14 +10 +12 = 63

(12 11 10 10 14 61

13 3 4 8 8 9

А(і,і) = 11 8 14 9 15 3 =>№в

5 7 12 8 6 10

І8 12 10 11 8 6J

ґ = советах = 63, Кая _и = {5,1, 3,6, 2}, 2о = 63.

Орграф GS<I, J>

Рис. 3. Орграф, совмещающий матрицу ВМ^, j), таблицу ВТр, j] и одномерный массив Nas_u = {5, 1, 3, 6, 2}

Приложение 1

Исходные данные: матрица A(i, j), граф G<I, J>

где А(і, j) - матрица предпочтений дочерних предприятий; і = (1^5) - номер (условный) дочернего предприятия (строка матрицы); j = (1’^6’) - номер (условный) эмитента (столбец матрицы);

а(і,у) - объем заявленных инвестиций /-го дочернего предприятия ву-й вид акций инвестиционного портфеля, вес ребра и(і, у);

G<I, J> - двудольный неориентированный граф, построенный по данным матрицы А(і, у); I - множество дочерних предприятий, I = {1, 2, 3, 4, 5};

J - множество финансовых активов (видов акций), J = {1’,2’,3’,4’,5’,6’}; и(/, у) - ребра, соединяющие множества I и J на основе матрицы А(і, у); f - функционал (критерий);

Nas_u - одномерный массив, инвестирование I в J, Nas_u = {.......};

f = ?, Nas_u = ?

Постановка задач, способы их решения и состояние макросреды в обобщенном виде

^'"^^ВЯакросреда КПЗ/СР Непредска- зуемая (А) Условно- стабильная (В) Стабильная (С) Динамично развивающаяся (0) Производный эффект

Минисуммная _^^^алгоритм Егервари ? ? ? ? ?

Максиминная _^^^"алгоритм Г росса ? ? ? ? ?

Минимаксная ^^-^алгоритм Г росса ? ? ? ? ?

Максисуммная ^^-^алгоритм Егервари ? ? ? ? ?

где КПЗ - категория постановки задачи (минисуммная, максиминная, минимаксная, максисуммная);

СР - способ решения задач (алгоритмы Егервари, Гросса);

А, В, С, D - итоговые суммы оптимального (рационального) инвестиционного портфеля (А < В < С <

? - поиск результатов.

Приложение 2

Математическое описание алгоритма Егервари

КАТЕГОРИЯ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ

Итерации МИНИСУММНАЯ МАКСИСУММНАЯ

3 a[i, j] - массив, задающий заявки дочерних

(8 предприятий (млрд р.) на участие в инвестиционных a[i, j]

щ проектах

§ dob - рабочая переменная, хранящая сумму коэфф. приведения по строкам и столбцам; cpst_min - минимальная по сумме заявка; Q)assJ[i], mass_J[j] - список строк Г и столбцов J'; dob - рабочая переменная, хранящая сумму коэфф. приведения по строкам и столбцам; cost_max - максимальная по сумме заявка; mass_l[i], mass J[j] - список строк 1' и столбцов J1-

1 Nas_u[i, j] - найденное на очередной итерации максимальное паросочетание; Nas l(M) рабочие массивы с элементами Nas_J(N) типа boolean, содержащие информацию о насыщенности вершин из м-в I и J, все элементы и j Nas_u[i, j] - найденное на очередной итерации максимальное паросочетание; Nas_l(M) рабочие массивы с элементами Nas_J(N) типа boolean, содержащие информацию о насыщенности вершин из м-в 1 и J, все элементы изначально равны false (т. е. характеристика неориентированного двудольного графа)

изначально равны false

(т. е. характеристика неориентированного двудольного графа)

'X , Привести массив a[l, j] Привести массив a[i, j]

я а *5 Э в цикле по i = 1-s-M (по строкам) в цикле по i = 1-s-M (по строкам)

о 3 в цикле по j = 1+N найти мин. эл-т min[i] в цикле по j = 1+N найти макс. эл-т max[i]

в цикле по j = 1-s-N a[i, j]: = a[i, j] - min[i] в цикле по j = 1-s-N a[i, j]: = max[i] - a[i, j]

dob: = dob + min[i] dob: = dob + max[i]

в цикле no j = 1+N (по столбцам) в цикле no j = 1+N (по столбцам)

1 в цикле no i = 1 -5-М найти мин. эл-т min[j] в цикле no i = 1-s-M найти мин. эл-т min[j]

в цикле по i = 1-s-M a[i, j]: = a[i, j] - min[j] в цикле по i = 1-5-М a[i, j]: = a[i, j] - min[j]

dob: = dob + min[j] dob: = dob + min[j]

cost_min: = dob cost_min: = dob

2 Использовать Алгоритм построения максимального паросочетания, ввод: a[i, j], вывод Nas_u[i], u[i, j] Использовать Алгоритм построения максимального паросочетания, ввод: a[i, j], вывод Nas_um, u[i, il

Q Выбрать ненасыщенные вершины и сформировать Выбрать ненасыщенные вершины и

О множества Г и J' сформировать множества Г и J'

3.1 В цикле по i = 1-s-M, если Nas_l[i] = false (т. е. В цикле по i = 1-5-М, если Nas_l[i] = false (т. е.

ненасыщенная вершина), то использовать ненасыщенная вершина), то использовать

Алгоритм нахождения вершин, достижимых из Алгоритм нахождения вершин, достижимых из

данной: ввод Nas_l[l], u[i, j]; вывод: Pi[k] данной: ввод Nas_l[i], u[i, j]; вывод: Pi[k]

3.2 На основе всех Pi[k] сформировать р[к] - указать в На основе всех Pi[k] сформировать р[к] - указать

нем номера вершин таких, что Pl[k] = -1 хотя бы для в нем номера вершин таких, что Pi[k] = -1 хотя бы

какого-нибудь i для какого-нибудь i

3.3 Среди элементов b[i, j], где: i е Г, j е J" = JVJ' Среди элементов b[i, j], где: i е Г, j е J"=JVT

определить min определить min

3.4 В цикле по I = 1 -s-М и I е Г, В цикле по i = 1-5-М и i е I',

noj = 1-s-N и j e J1, noj = 1-s-N и j е J',

b[i, j]: = b[i, j] - min, когда i e Г и b[i, j]: = b[i, j] - min, когда i e Г и

b[i, j]: = b[i, j] + min, когда j e J' b[i, j]: = b[i, jj + min, когда j e J1

Возврат к п. 2 Возврат кп.2

5 Nas_u[i] - массив, задающий вариант оптимального

S инвестиционного портфеля

CQ cost_min - суммарный объем инвестиций ПО

Приложение 3 Комментарий к математическому описанию алгоритма Егервари

Формулировка задач в терминах теории графов: дочерним предприятиям i (i = 1M) и

инвестиционным проектам j (j = 1N) ставятся в соответствие вершины графа, а возможность участия i-го дочернего предприятия в j-м инвестиционном проекте отображается наличием в графе ребра u(i, j) с весом a(i, j).

Возможные типы задач:

• максисуммная постановка. Даны M дочерних предприятий объединения и N инвестиционных проектов, отобранных экспертами и финансистами ПО, для формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях изменяемых состояний макросреды. Составить инвестиционный портфель, максимизирующий общий объем инвестиций ПО.

• минисуммная постановка. Составить инвестиционный портфель, минимизирующий общий объем инвестиций объединения.

Постановка задачи.

Дан двудольный граф G = <M, N> с взвешенными ребрами и матрицей весов A(i, j). Найти наибольшее паросочетание M* такое, что сумма a(i, j) по ребрам u(i, j), принадлежащим М*, будет минимальна (максимальна).

Основная идея.

Суть алгоритма в том, чтобы привести матрицу по строкам и столбцам к виду с наибольшим числом нулей, т. е. b(i, j) = 0. Строится двудольный граф, где ребра соответствуют нулям. Затем по начальному паросочетанию, построенному «жадным» алгоритмом (по коротким ребрам), используя метод чередующихся целей, находится большее паросочетание. Если оно (большее паросочетание) оставляет некоторые вершины множества I ненасыщенными, то его следует увеличить. Для этого матрица вновь преобразовывается в целях повторной попытки построить наибольшее паросочетание. И так до тех пор, пока все вершины множества I не станут насыщенными.

Возможные сложности.

Как преобразовать матрицу, чтобы стало возможным увеличение полученного (начального) паросочетания?

Способы преодоления.

К приведенной матрице применяется так называемая операция Егервари E(I’, J’, d): из каждой строки i из множества I’ вычитается d, а к каждому столбцу j из множества J прибавляется d, причем I’ с I, а J с J. Множества I’ и J определяются с помощью ненасыщенных вершин (стрелки ребер, исходящих из ненасыщенных вершин ориентированного двудольного графа, указывают на множества I’ и J’). Число d = b(i, j) - это элемент минимального веса среди элементов b(i, j), где i є I’, j є J” = J\J. После проведения операции Егервари E(I’, J’, d), станет возможным повторное приведение матрицы по строкам и/или столбцам, а полученное на основе такой матрицы начальное паросочетание окажется больше предыдущего.

Описанный алгоритм основан на идеях работы венгра Егервари, написанной еще в 1931 году.

Продолжение следует