Компенсация влияния постоянного запаздывания в замкнутой электромеханической системе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.515:621.316.761.2

И А. Полетаев

КОМПЕНСАЦИЯ ВЛИЯНИЯ ПОСТОЯННОГО ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ЗАМКНУТОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ

В современной технике, включая электромеханику, существует много объектов автоматического управления с постоянным ("чистым" или транспортным) запаздыванием. Их разнообразие в связи с расширением и усложнением устройств автоматизации технологических и производственных процессов только увеличивается. Поэтому развитие теории электротехнических комплексов и систем с такими объектами не теряет актуальности и практической значимости. Причем это не только "классические" объекты с запаздыванием — транспортеры, вентиляционные шахты, электрические и газовые печи, но и такие устройства, как электроприводы с цифровым управлением или с вентильными двигателями [ 1 ].

Особо возрос интерес к электротехническим комплексам автоматизации режимов работы трубопроводов нефтепродуктов и газа. Теоретически модели этих объектов управления имеют распределенные параметры. Подобные же модели имеют и силовые электротехнические комплексы буровых установок [2]. Известно, что модели устройств с распределенными параметрами могут быть достоверно заменены моделями, передаточные функции которых имеют чистое запаздывание и подчас дискретную форму.

При проектировании регуляторов для объектов с постоянным запаздыванием используют математические описания линейных систем автоматического управления (САУ) с помощью передаточных функций (ПФ) от входа к выходу или в пространстве переменных состояния (ПС) [3].

В первом случае применяют частотные методы исследования как непрерывных, так и дискретных систем, а во втором — временные, основанные на решении систем дифференциальных (разностных) уравнений состояния, записанных в матричной форме в реальном времени. Применение обоих методов следует рассматривать как дополняющие друг друга подходы к решению единой задачи системного анализа [3].

Частотный метод исследования систем с объектами, содержащими элементы чистого запаздывания, эффективно используется уже более пятидесяти лет начиная с оценки свойств "регулятора (предиктора) Смита". В этом методе применяется компенсация чистого запаздывания в цепи локальной обратной связи (ОС) объекта управления с ПФ = е~™, где т —

время запаздывания [4].

На рис. 1 представлены альтернативные варианты структурных схем с блоками последова-

Рис.1. Обобщенная структурная схема системы управления с компенсацией запаздывания

тельной и параллельной (в цепи ОС) компенсации запаздывания. Изображение альтернативных блоков и их соединений выполнено пунктирными линиями. Такие структуры характерны для электромеханических систем (ЭМС) — электроприводов с автоматическим управлением, представляющих собою наиболее распространенную разновидность современных САУ.

В моделях ЭМС различают реальные причины появления блоков чистого запаздывания. В регуляторе запаздывание ти вызвано задержками в передаче, обработке и преобразовании информации. В объекте управления чистое запаздывание хр вызвано особенностями (свойствами) рабочего (технологического) процесса. Обычно ти«тр.

Последовательная компенсация при использовании звена вида 1¥кз (я) = \/ более чувствительна к вариациям параметров и искажает свойства системы в целом. Компенсация запаздывания в цепи обратной связи системы , сохраняя запаздывание в прямой цепи передачи сигналов, изменяет ее свободные движения и переходные процессы.

Покажем это на конкретных моделях. Пусть известны передаточные функции следующих объектов: Ф(.у) — замкнутой (в целом) системы; ^раз(^) — разомкнутой системы; ^(5) = = ^0(5)е~™ — объекта с учетом запаздывания; Лр(£) — регулятора; Щ (5) = е"" — звена чистого запаздывания; 1¥кз (я) = 1 / — компенсатора запаздывания.

При последовательной (точной) коррекции ^1раз(5) 2 ад = Кр(5) ВД;

Кр{5)К0{5)

лад,

при этом полиномы числителя и знаменателя ФI (5) теряют трансцендентность.

При коррекции в виде локальной ОС в регуляторе

А2раз(5-) ""

1 + ^3(5)^(5)^(5) 1 + А0(5) '

Ф2(5) =

КМ)К0(з)е~

1+^р(5) +^(5)^(5)

М|(5)е"1 N¿5)

полином числителя сохраняет исходное значение, а полином -/У2(5) становится трансцендентным. Модель Ф2(5) может иметь бесчисленное множество корней. Следовательно, компенсация запаздывания путем реализации местной обратной связи в регуляторе нецелесообразна.

Интересна модель с реализацией ^3(5)

в цепи главной обратной связи (по "выходу" ЭМС). Тогда получим ее ПФ в виде

Ф3(5) =

М,(5) е"

- = Ф,(5) е"

Поскольку решение и анализ трансцендентных уравнений связаны с большими трудностями, то в практических расчетах модель звена чистого запаздывания ]¥3 (я) = еможно заменить на приближенную алгебраическую функцию, используя разные методы.

Аппроксимацию Щ (5) = е"™ можно осуществить разложением степенной функции в ряд Паде и использовать затем различные степени этого ряда [5]:первую — = «(2-т5)/(2 + т5)

_бт? + Т ^ цр"

или вторую — Щ (5)«----. Лучшую

12^6^ + Т 5

точность дает аппроксимация полиномом четвертой степени

1680 _ 840Т5 + 180Т252 _20Т353 + Т454 1680 + 840Т5 + 180Т252 +20Т353 +Т454

более высокие степени используются редко.

Другой способ приближенной аппроксимации — представление Щ (я) = ев виде последовательного соединения п инерционных звеньев первого порядка с одинаковыми постоянными времени Т = т/я. Используя определение экспоненты как "замечательного предела"

е = Нт (1 + 1/я)" и ограничивая количество звеньев значением я, получим

№з(5)=<

С .

-5 + 1

С увеличением значения я точность возрастает, и всегда можно определить такое я, при котором расхождение на определенном участке этих двух функций не превышает заданную точность [6].

Рис. 2. Графики переходных функций комбинаций линейных динамических звеньев, аппроксимирующих звено чистого запаздывания при т = 1 с

Для сравнения на рис. 2 представлены графики реакций на единичное воздействие (переходные функции) звена чистого запаздывания (1), комбинации линейных динамических звеньев, аппроксимированной рядом Паде второго (2) и четвертого (3) порядков, а так же комбинаций двух (4), четырех (5) и восьми (6) последовательно соединенных инерционных звеньев первого порядка.

В любом случае для каждого из этих методов характерно существенное увеличение сложности передаточной функции аналогового регулятора при компенсации запаздывания и необходимость увеличения точности и качества переходных процессов в ЭМС.

При программной реализации цифровых (дискретных) регуляторов компенсация запаздывания имеет свои особенности, которые осветим ниже.

Таким образом, более или менее полная компенсация запаздывания вызывает трудности, тем более что физически от чистого запаздывания в ЭМС все равно не избавиться. С другой стороны, проблемы с исследованием и решением трансцендентных уравнений возникают только в моделях замкнутых систем. В моделях разомкнутых систем выходной сигнал элемента чистого запаздывания просто смещается на время т. Поэтому предлагаем ввести не компенсацию запаздывания как такового, а только компенсацию его влияния по цепи обратной связи в модели замкнутой системы.

Для этого необходимо задать передаточную функцию ЭМС в целом как разомкнутой, но

с тем же запаздыванием, которое соответствует объекту управления. То есть определить такое значение ПФ блока последовательной компенсации (см. рис. 1, блоки компенсации в цепях ОС отсутствуют), которое приводит модель замкнутой системы к разомкнутой.

Для решения этой задачи примем дополнительно обозначение = ^ ПФ регулятора с учетом структуры блока компенсатора запаздывания. Для компенсации влияния запаздывания следует определить желаемую ПФ системы Фж(^). Она может совпадать либо не совпадать с видом ПФ объекта И^), но должна иметь то же запаздывание. При этом порядок желаемой функции не должен превышать порядок ПФ объекта [7]. В итоге получаем

Первый пример. Объект моделируется инерционным звеном первого порядка с запазды-

к-е-*

ванием \¥0 ($) =-. Зададимся такой же желаемой передаточной функцией с единичным коэффициентом передачи, тогда

к0е~

T0s +1

1 + Wp (s)

T0s +1

где Тс — постоянная времени системы управления, она может отличаться численно от Т0.

Отсюда Wp(s) =

T0s + l

kofcs + l-е-™)

-. Если в ка-

честве стандартного использовать пропорционально-интегральный регулятор ¡¥р^) = кр+1/Тиз

(здесь кр =Т0/к0Тс , Ги = к0Тс), то ПФ компенсирующего звена будет иметь вид И^КЗ (я) =

1 +

7>

. Структурная схема модели этой

САУ представлена на рис. 3 [8].

Пока мы рассматривали вопросы компенсации влияния запаздывания только в математических моделях систем автоматического управления. Но важнее суметь компенсировать влияние запаздывания в реальных ЭМС. Это можно осуществить только в регуляторе. Очевидно, для этой цели мало пригодны аналоговые устройства. Здесь пришлось бы использовать сложные аппаратные средства в виде специально создаваемых больших интегральных схем (БИС) для каждого вида Фж (я), что экономически просто нереально.

Простейшее современное решение этой задачи — использовать легко программируемые недорогие цифровые регуляторы. Для этого в ре-

альной ЭМС (рис. 4) используют аналого-цифровой и цифро-аналоговый преобразователи (АЦП и ЦАП), которые "вводят" информацию е(Т) в аналоговой форме в цифровой регулятор с дискретной передаточной функцией (ДПФ) D(z) и "выводят" ее в аналоговой форме на объект управления с ПФ WQ(s).

Обычно принимают равными кванты аналоговых сигналов в АЦП 8а и в ЦАП 5Ц; тогда произведение коэффициентов преобразователей

^(У8а)х(8Ц/l) = l

правомерно заменяется безынерционным ключом 1К, а модель ЦАП ключом — Жи экстрапо-лятором нулевого порядка Кэ0, что и отражено в схеме, изображенной на рис. 4.

Объектом управления в ЭМС является силовой блок, включающий: усилитель мощности (УМ), управляемый сигналами ЦАП, электродвигатель (Д), механическое преобразовательное устройство (ПУ) (редуктор), органы рабочей машины (исполнительного механизма) и датчик-преобразователь физической формы сигнала на

выходе ЭМС y^t) в физическую форму сигнала задания g(t). Таким образом, модель реальной ЭМС отличается от формализованных моделей САУ тем, что имеет реальную информационную часть — регулятор, где происходит передача и преобразование информации, и силовую часть — объект управления, где происходит передача и преобразование одних форм энергии в другие. При этом преобразовании иногда возникают (или необходимы по условиям техноло-

Рис. 3. Структурная схема модели САУ с объектом первого порядка и "чистым" запаздыванием

Рис. 4. Дискретная модель реальной ЭМС с компенсацией "чистого" запаздывания

гий) процессы "чистого" запаздывания, что отражено в модели объекта Следует напомнить, что в УМ и ПУ часто имеются нелинейности, которые усложняют аналитическое исследование устойчивости моделей таких систем.

Второй пример. Рассмотрим принципы программной реализации компенсации запаздывания в реальном цифровом регуляторе. Дискретную передаточную функцию регулятора D{z) получим следующим образом. Пусть ДПФ разомкнутой системы (см. рис. 4) будет такой: Kp¡a(z,0) = D(z)Z(K30(S)W0(S)) = D(z)W0(z).

Тогда Д г) =

W0(z) pv

=

ДПФ стандартного регулятора без компенсатора запаздывания.

Представим ДПФ силовой части ЭМС колебательным звеном с запаздыванием и экстраполя-тором нулевого порядка, что близко к реальности:

ro(z) = Z

1-е

-Ti

k0e~

s r02s2 + 2^r0s + l

z-l

z-mk0 X

z2-ze~^ sec((p)cos[r/r07l-'2 + p

z-

1 z^-2ze-^ eos

где w = arctg

; m = т/Г ; T— период дис-

кретизации.

Зададимся желаемой ПФ замкнутой системы как инерционным звеном первого порядка:

Фж(г) = Z

\-e~Ts е -s

5 715 + 1

zm+\ _e-TlTczrn-

После преобразований получим ПФ регуля-

тора

D{z) =

b^-^z + b2z

\-axz 1 +a2z 2 -a3z m 1 +a4z m 2

где = (l-¿c)/(£Hc,);^ = (1-¿C)c4/(¿Hc,);

b2 = (1- rfc) rfH/(£Hc, ); ax=c2 + qdjq; a2=dcc2/cx, a3 =l-rfc; a4 = {l-¿c)c2/c,; c, =l + c3-c4; c2 =c3-dH;

c3=e-4T/T* sec(<p)cos(t/t^I-' + w);

c4 =2e-™ cosdH =е dc=e~TlT<.

В этом случае рекурсивный алгоритм управления выглядит следующим образом:

+ а1и[п-Ц-а2и [n-2] + %u[n-m-l]-a4u[n-m-2].

Аналогичным образом можно для этого объекта определить желаемую передаточную функцию в виде колебательного звена с запаздыванием. Поскольку коэффициенты этой функции можно задавать относительно произвольно (кроме т), то можно целенаправленно изменить демпфирование и инерционность Т0 модели системы в целом.

Таким образом, можно утверждать следующее.

Неточное определение параметров объекта не приведет к существенным изменениям параметров модели системы, что отличает описываемый метод от использования, например, "чистых" П ИД-регуляторов, требующих точной настройки коэффициентов [9]. То есть предложенный алгоритм настройки цифрового регулятора является нечувствительным (как и робастные системы) к определению начальных значений параметров модели объекта.

Предлагаемый метод компенсации влияния по обратной связи постоянного запаздывания достаточно универсален и прост в применении: необходимо лишь добавить дополнительное звено, компенсирующее влияние запаздывания, в ПИД-регулятор. Определить передаточную функцию такого звена и рекурсивный алгоритм управления цифрового регулятора можно и для моделей объектов, имеющих самые разнообразные линейные типы звеньев.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Косышн Ю.П. Развитие электромеханики в теории и технологиях электромеханотроники // Электромеханика. Известия вузов. 2008. N° 1. С. 11—20.

2. Киселев Н.В., Мядзель В.Н., Рассудов Л.Н. Электроприводы с распределенными параметрами. Л.: Судостроение, 1985. 220 е., ил.

3. Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985. 352 с.

4. Гриценко A.B. Улучшение качества алгоритма управления "Предиктор Смита" посредством автоматического вычисления времени запаздывания // Промышленные АСУ и контроллеры. 2004. № 12.

5. Лукас В.А. Теория управления технически-

ми системами. Екатеринбург: Изд-во УГГГА, 2002. 675 с.

6. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука, 1978. 416 с.

7. Джури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. М.: Физматгиз, 1963. 456 е., ил.

8. Полетаев И.А. Оптимальный синтез проти-возапаздывающих регуляторов. // Электротехника, Машиностроение: Труды Псковского Политехнического института. Псков: ППИ, 2004. N° 8.3. С. 256-259.

9. Денисенко В. ПИД-регуляторы: вопросы реализации: Часть 2 // Современные технологии автоматизации. 2008. № 1. С. 86-99.

УДК 621.311

И.А. Арсеньев, И.З. Богуславский, Н.В. Коровкин

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЗУБЦОВЫХ ГАРМОНИК ЭДС МНОГОФАЗНОЙ ОБМОТКИ С ЦЕЛЫМ ЧИСЛОМ ПАЗОВ НА ПОЛЮС И ФАЗУ

В практике создания современных многополюсных (2/?>40) генераторов для ветроэнергетики, МГЭС, ПЭС существует проблема обеспечения формы кривой линейного напряжения; эта кривая должна удовлетворять требованиям ГОСТ [ 1] и обычно определяется при испытаниях в режиме холостого хода генератора на стенде или на месте его установки. Необходимость ограничения величины коэффициента нелинейных искажений в соответствии с этими требованиями обусловлена несколькими причинами: возникновением в активной стали добавочных потерь, вызванных полями зубцовых гармоник; помехами, создаваемыми токами этих гармоник в телефонных линиях, расположенных вблизи ЛЭП, а также опасностью возникновения резонансных перенапряжений в этих Л Э П [2].

Для обеспечения указанных требований в практике используют несколько конструктивных решений [ 1,3—6].

При использовании обмотки статора с целым числом пазов на полюс и фазу (0=3) они предусматривают [1], [7]:

применение скоса пазов статора (полюсов ротора) на одно зубцовое деление статора;

локальный или групповой сдвиг полюсов ротора в тангенциальном направлении.

Для снижения ЭДС зубцовых гармоник используют также обмотки статора с дробным числом 0.

В практике использование этих решений имеет ряд особенностей:

для явнополюсных машин габаритов 16—17 и менее [7] чаще применяют скос пазов статора; дополнительные технологические трудности имеют место, например, если корпус статора изготовлен из нескольких секторов, а длина активной стали статора превышает 1 м; скос полюсов ротора [1] применяют обычно для машин больших габаритов;

помимо скоса пазов статора (полюсов ротора) нашла применение конструкция со сдвигом полюсов ротора в тангенциальном направлении. Известно [3—6] несколько модификаций такой конструкции, эффективность которых неодинакова: сдвиг соседних полюсов в пределах каждого периода Т= 2т (локальный сдвиг) и сдвиг соседних полюсов в пределах нескольких пери-

т

деление;